浙教版八年级数学下册 专题2.24 一元二次方程（全章复习与巩固）（知识讲解）

这是一份浙教版八年级数学下册 专题2.24 一元二次方程（全章复习与巩固）（知识讲解），共30页。
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
特别说明：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
要点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
特别说明：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
2． 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A．B．0C．2022D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
解：∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点拨】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
【变式2】 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
【答案】C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，
∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．
类型二、解一元二次方程➽➼直接开平方法✬配方法✬因式分解法✬公式
3．用适当的方法解方程
（1）；（配方法） （2）；（公式法）
（3）；（因式分解法） （4）．（选择适当的方法）
【答案】(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，
【分析】（1）利用配方法求解，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方，最后两边同时开方即可；
（2）利用公式法求解，先计算的值，再根据公式求解；
（3）先移项，再利用提取公因式法进行因式分解，即可求解；
（4）利用因式分解法求解．
（1）解：
移项得，
配方得，即，
两边开方，得，
，；
（2）解：，
，，，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
或，
，；
（4）解：，
去括号、移项得，
因式分解得，
或，
，．
【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等，能够根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 （1）用配方法解方程：；
（2）公式法解方程：．
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）先将二次项的系数化为，然后根据配方法的步骤求解即可；
（2）先确定一元二次方程中、、的值，然后代入求根公式求解即可．
解：（1）两边都除以2，得：，
移项，得，
配方，得，，
∴或，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，
∴
，
∴，．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程．
【变式2】 按照指定方法解下列方程：
（公式法）；
（配方法）；
（因式分解法）．
【答案】(1) ，(2) ，(3) ，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程．
（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（3）解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
4． 用适当的方法解下列方程
(2)
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）直接利用因式分解法，即可求解；
（2）先移项，再利用因式分解法，即可求解．
（1）解：
∴，
即，
解得：，；
（2）解：
∴，
∴，即
解得：．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 用适当的方法解下列方程
； (2) ．
【答案】(1) ，(2) ，
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出的值，再代入公式求出即可．
解：（1），
，
或，
，；
（2），
△
，
，
，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．
【变式2】 解方程：
x2－2x－3＝0 (2)
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，再得到两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先把方程化为再把左边分解因式，再解方程即可．
（1）解：x2－2x－3＝0，

∴或
解得：，
（2）
整理得：
∴
∴或
解得：
【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解法解方程的基本步骤”是解本题的关键．
类型三、解一元二次方程➽➼换元法✬✬分式方程✬✬无理方程
5． 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值．
【问题】解方程：
【提示】可以用“换元法”解方程．
【答案】见分析；，是原方程的根．
【分析】设，则原方程可变形为：，利用因式分解法解一元二次方程，然后根据二次根式的非负性可得，再利用配方法解方程，最后注意方程的根要进行检验．
解：设，
∴原方程可变形为：，
，
，
，
∴，即，
∵，
∴，
则有，配方，得：，
解得：，，
经检验：，是原方程的根．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
举一反三：
【变式1】 解方程：.
【答案】或．
【分析】利用换元法，根据方程的特点设，则原方程可化为，解方程求y，再求x即可.
解：设，则原方程可化为
解得，或．
当时，，解得,.
当时，，方程无解．
经检验,都是原方程的根，
∴原方程的根是,.
【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根
【变式2】 解方程：.
【答案】或．
【分析】根据方程的特点用完全平方公式将分式化为，设，原方程化为解一元二次方程求y，再求x即可.
解：.
，
，
设，原方程化为
解得，.
当时，，方程无解，后者解得或．
当时，，解得或．
经检验：或都是原方程的根，
∴原方程的根是,.
【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
6． 阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
【答案】（1）；（2）；（3）x＝－.
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y−＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
解：（1）将y＝代入原方程，则原方程化为−＝0；
（2）将y＝代入方程，则原方程可化为y−＝0；
（3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解；
当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－.
【点拨】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
举一反三：
【变式1】 解方程：
【答案】无解
【分析】通过去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答．
解：
两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并得：，解得：．
检验：经检验是方程的增根，原方程无解．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．求出解后的检验是本题的易错点．
【变式2】 阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简
单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由
于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有末知数的方程)．解无理方程关键是要去掉
根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方
程也必须检验．
例如：解方程．
解：两边平方得：．
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴代入原方程中不合理，是原方程的增根．
原方程的根是．
解决问题∶
填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____；
求满足x的x的值．
【答案】(1) 2(2)
【分析】（1）把代入方程得，然后解关于的无理方程即可；
（2）利用乘方把无理方程转化为得，解得，，然后进行检验确定原方程的根；
（1）解：把代入方程得，
两边平方得，解得，
经检验是方程的解；
所以的值为2；
故答案为：2；
（2）解：，
方程两边平方得，
解得，，
经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根，
原方程的根是；
【点拨】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
类型三、一元二次方程➽➼韦达定理✬✬根的判别式
7． 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见分析；（2）0或-2或1或-1
【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴=0
∴，或，
当，时，
∵k与都为整数，
∴k=0或-2
当，时，
∴，
∵k与都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点拨】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
举一反三：
【变式1】 已知关于的方程有实数根．
求的取值范围；
设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
【答案】(1)； (2).
【分析】(1) 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；(2) 根据根与系数的关系得出方程解答即可．
(1)解：∵原方程有实数根，
∴，∴，
∴.
(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
【变式2】 已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）4＋或4＋.
【分析】（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.
解：（1）证明：∵△=[-（m＋2）] 2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.
∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
8． 已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m8
∴只有BE+BF=8，△BEF的面积=
设BE长为，则，△BEF的面积
∵方程无解，
∴不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分.
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，根的判别式和解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．