人教版八年级数学上册同步备课17.2勾股定理的逆定理(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步备课17.2勾股定理的逆定理(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了2 勾股定理的逆定理，5、6、6，5，1，5．等内容，欢迎下载使用。


知识点一
互逆命题与互逆定理
●互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
●互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理.
◆1、对互逆命题的理解：
①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；
②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.
③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式.
◆2、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.
知识点二
勾股定理的逆定理
●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
◆1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；．
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
◆2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
知识点三
勾股数
●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
◆1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
◆2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
◆3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
◆4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
题型一 逆命题与逆定理
【例题1】下列定理中，逆命题是假命题的是（ ）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
【变式1-1】(2023秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 ．
【变式1-2】下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）个．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行
A．0B．1C．2D．3
【变式1-3】下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
【变式1-4】下列命题：
①两直线平行，内错角相等；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；
③等边三角形是锐角三角形，
其中原命题和它的逆命题都正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【变式1-5】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应边相等；④同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二 利用三边关系判定直角三角形
【例题2】(2023秋•大渡口区校级期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．5，12，14B．6，8，9C．7，24，25D．8，13，15
【变式2-1】(2023秋•新华区校级期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝2∠B＝2∠C
C．AB=34，BC＝3，AC＝5D．∠A＝20°，∠B＝70°
【变式2-2】(2023秋•绿园区校级期末）木工师傅想利用木条（单位都为：米）制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．7，24，25D．9，12，15
【变式2-3】(2023秋•招远市期末）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c=5B．a＝40，b＝50，c＝60
C．a=54，b＝1，c=34D．a=41，b＝4，c＝5
【变式2-4】(2023秋•莱阳市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2﹣b2＝c2，则下列说法正确的是（ ）
A．∠A是直角B．∠B是直角C．∠C是直角D．∠A是锐角
【变式2-5】已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形．
（1）a＝11，b＝31，c＝21；
（2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n为正整数）．
【变式2-6】(2023秋•埇桥区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
题型三 根据三边满足的关系式判断三角形的形状
【例题3】(2023秋•市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 ．
【变式3-1】(2023春•岚皋县期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果a−6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
【变式3-2】(2023秋•兴隆县期末）已知a，b，c满足|a−8|+b2−10b+25+（c−18）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【变式3-3】已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
小明的解题过程如下：
因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②
所以c2＝a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
请根据上述解题过程回答下列问题：
（1）小明的解题过程中，从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
题型四 勾股定理及其逆定理解决面积问题
【例题4】(2023春•惠城区期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=32千米，AD=42千米．
（1）求小溪流AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
【变式4-1】(2023秋•下城区校级月考）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式4-2】(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四边形花圃ABCD的面积；
（2）求C到AD的距离．
题型五 巧添辅助线构造直角三角形
【例题5】(2023春•广西月考）在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝210，求BC边上的高．
【变式5-1】(2023春•勃利县期末）如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【变式5-2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（ ）
A．61B．261C．13D．12
【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
【变式5-4】(2023•北京模拟）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
题型六 勾股定理及其逆定理的实际应用
【例题6】(2023春•开福区校级月考）如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？
【变式7-1】(2023秋•楚雄州期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得∠B＝90°，AB＝4m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，如果种植草皮费用是200元/m2，那么共需投入多少钱？
【变式7-2】(2023秋•连州市期末）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
【变式7-3】(2023秋•莱西市期中）如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
【变式7-4】(2023秋•陈仓区期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【变式7-5】(2023春•淮南期中）如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
题型七 勾股数的辨别
【例题7】(2023秋•邢台期末）下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．1，3，2B．12，16，20
C．32，42，52D．0.5，1.2，1.3
【变式7-1】(2023秋•峄城区校级期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．32，42，52B．3，4，7
C．0.5，1.2，1.4D．9，12，15
【变式7-2】(2023秋•东源县校级期末）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10D．7，24，25
【变式7-3】(2023春•河间市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
题型八 勾股数的规律猜想题
【例题8】(2023秋•皇姑区校级月考）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为 ．
【变式8-1】(2023秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5=32+12，13=52+12，…）
【变式8-2】(2023春•思明区校级期中）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
【变式8-3】(2023秋•沙坪坝区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
勾股定理
勾股定理的逆定理
条 件
在Rt△ABC中，∠C=90°
在△ABC中，a2 + b2 = c2
结 论
a2 + b2 = c2
∠C=90°
区 别
勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.
勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联 系
两者都与三角形的三边有关系.
解题技巧提炼
1、写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，判断一个命题是真命题要证明，判断一个命题是假命题只有举一个反例即可.
2、判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理.
解题技巧提炼
判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：
（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；
（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
解题技巧提炼
解题过程中主要运用了非负数的性质和勾股定理的逆定理，已知三角形三边长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
解题技巧提炼
不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积.
解题技巧提炼
当问题中没有呈现直角三角形，但需要用勾股定理时，就要通过添加辅助线构造直角三角形.
解题技巧提炼
解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合.
解题技巧提炼
判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.
解题技巧提炼
对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，…若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2.
（2）若h＞1，且h为整数，则h2+1,h2﹣1,2h 是一组勾股数.
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
17.2 勾股定理的逆定理
知识点一
互逆命题与互逆定理
●互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
●互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理.
◆1、对互逆命题的理解：
①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；
②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.
③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式.
◆2、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.
知识点二
勾股定理的逆定理
●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
◆1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；．
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
◆2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
知识点三
勾股数
●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
◆1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
◆2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
◆3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
◆4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
题型一 逆命题与逆定理
【例题1】下列定理中，逆命题是假命题的是（ ）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
分析：分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，正确，是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C、逆命题为：等边三角形是有一个角是60度的等腰三角形，正确，是真命题；
D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题，难度不大．
【变式1-1】(2023秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 ．
分析：把原命题的题设与结论交换得到逆命题．
【解答】解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，
故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够区分原命题的题设和结论，难度不大．
【变式1-2】下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）个．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行
A．0B．1C．2D．3
分析：写出各个定理的逆命题，判断真假即可．
【解答】解：有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两底角相等，正确，①存在逆定理；
全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的三角形全等，错误，②没有逆定理；
同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，正确，③存在逆定理；
故选：C．
【点评】本题考查的是逆定理的概念，命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【变式1-3】下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
分析：先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．
【解答】解：A、其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；
B、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；
C、其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；
D、其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理的区别，正确的命题叫定理．
【变式1-4】下列命题：
①两直线平行，内错角相等；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；
③等边三角形是锐角三角形，
其中原命题和它的逆命题都正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
分析：利用平行线的性质、实数的乘法法则、等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等，正确；逆命题为：内错角相等，两直线平行，正确；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；正确；逆命题为：如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；不正确；
③等边三角形是锐角三角形，正确；逆命题为：锐角三角形是等边三角形；不正确；
其中原命题和它的逆命题都正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟记平行线的性质、等边三角形的性质等知识，等腰三角形的性质，难度不大．
【变式1-5】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应边相等；④同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：分别写出各个定理的逆命题，根据等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形有两边相等，正确，①有逆定理；
如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形的逆命题是如果直角三角形的三边a，b，c，则满足a2+b2＝c2，正确，②有逆定理；
全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确，③有逆定理；
同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行、同位角相等，正确，④有逆定理，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
题型二 利用三边关系判定直角三角形
【例题2】(2023秋•大渡口区校级期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．5，12，14B．6，8，9C．7，24，25D．8，13，15
分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【解答】解：A、52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、82+132≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【变式2-1】(2023秋•新华区校级期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝2∠B＝2∠C
C．AB=34，BC＝3，AC＝5D．∠A＝20°，∠B＝70°
分析：根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和定理进行分析即可．
【解答】解：A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＝180°×512=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；
B．∵∠A＝2∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠C＝180°×14=45°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形，故此选项不合题意；
C．∵32+53=(34)2，
∴是直角三角形，故此选项不合题意；
D．∵∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝90°，
∴是直角三角形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是正确掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【变式2-2】(2023秋•绿园区校级期末）木工师傅想利用木条（单位都为：米）制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．7，24，25D．9，12，15
分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，
∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵72+242＝252，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵92+122＝152，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，判断三个数能否组成直角三角形的条件是看是否符合勾股定理的逆定理，即a2+b2＝c2．
【变式2-3】(2023秋•招远市期末）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c=5B．a＝40，b＝50，c＝60
C．a=54，b＝1，c=34D．a=41，b＝4，c＝5
分析：根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解答】解：∵22+（5）2＝32，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
∵402+502≠602，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B符合题意；
∵（34）2+12＝（54）2，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
∵42+52＝（41）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【变式2-4】(2023秋•莱阳市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2﹣b2＝c2，则下列说法正确的是（ ）
A．∠A是直角B．∠B是直角C．∠C是直角D．∠A是锐角
分析：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：由a2﹣b2＝c2，可得c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
故选：A．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出这个三角形就是直角三角形解答．
【变式2-5】已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形．
（1）a＝11，b＝31，c＝21；
（2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n为正整数）．
分析：b＞c＞a，判断△ABC是不是直角三角形，只需判断a与c的平方和是否等于b的平方．
【解答】解：（1）显然b＞c＞a，
∵b2＝312＝961，a2+c2＝112+212＝562，a2+c2≠b2，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）∵m＞n，
∴（m﹣n）2＞0，
即m2﹣2mn+n2＞0，可得m2+n2＞2mn．
又m2+n2＞m2﹣n2，
∴m2+n2是最长边．
∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2，
即a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是灵活利用勾股定理的逆定理．
【变式2-6】(2023秋•埇桥区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
分析：（1）应用勾股定理，求出CD，再运用勾股定理即可求出AD；
（2）判断出AC2+BC2＝AB2，即可判断△ABC为直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD=BC2−BD2=152−92=12，
在Rt△BCD中，由勾股定理得AD=AC2−CD2=202−122=16，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）知：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题关键．
题型三 根据三边满足的关系式判断三角形的形状
【例题3】(2023秋•市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 ．
分析：根据绝对值，偶次方的非负性可得c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，从而可得c2＝a2+b2，a＝b，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．
【解答】解：∵|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，
∴c2＝a2+b2，a＝b，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式3-1】(2023春•岚皋县期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果a−6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
分析：根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性得出a﹣10＝0，b﹣8＝0，c﹣6＝0，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
【解答】解：∵a−6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣10＝0，c﹣8＝0，
∴a＝6，b＝10，c＝8，
∵62+82＝102，即a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形（b为斜边），
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【变式3-2】(2023秋•兴隆县期末）已知a，b，c满足|a−8|+b2−10b+25+（c−18）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
分析：（1）利用已知条件以及绝对值的性质确定a，b，c的值即可；
（2）根据三角形的三边关系判断能构成直角三角形．
【解答】解：（1）∵|a−8|+b2−10b+25+（c−18）2＝0，
∴a−8=0，（b﹣5）2＝0，c−18=0，
∴a＝22，b＝5，c＝32；
（2）∵（22）2+（32）≠52，
∴不能构成直角三角形．
【点评】此题主要考查了绝对值；二次根式；非负数的性质，关键是掌握绝对值、算术平方根和偶次幂具有非负性．
【变式3-3】已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
小明的解题过程如下：
因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②
所以c2＝a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
请根据上述解题过程回答下列问题：
（1）小明的解题过程中，从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
分析：（1）观察解答过程可知，第①步为已知条件，第②步为因式分解，第③步忽略了a2﹣b2＝0的可能；
（2）接下来根据以上的分析，写出正确的步骤，可推出a＝b或c2＝a2+b2，由此确定三角形的形状即可．
【解答】解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误；错误的原因是忽略了a2﹣b2＝0的可能．
（2）正确的解法为：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．
移项得c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，
因式分解得（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，c2＝a2+b2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【点评】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，会把等式变形并会把等式的左边分解因式是解决问题的关键．
题型四 勾股定理及其逆定理解决面积问题
【例题4】(2023春•惠城区期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=32千米，AD=42千米．
（1）求小溪流AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
分析：（1）根据勾股定理即可得；
（2）由勾股定理逆定理得∠D＝90°，从而由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD可得答案．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，
∴AC=AB2+BC2=52+52=52（千米）；
（2）∵AC2＝（52）2＝50，CD2+AD2＝（32）2+（42）2＝50，
∴AC2＝CD2+AD2，
则∠D＝90°，
S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
=12×5×5+12×32×42
=492（平方千米）．
即四边形ABCD的面积为492平方千米．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【变式4-1】(2023秋•下城区校级月考）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
分析：根据勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，可以先求出BC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，
∴BC=BD2+CD2=42+22=25，
∵AB＝6，AC＝4，
∴AC2+BC2＝42+（25）2＝16+20＝36＝62＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC=12×4×25−12×4×2＝45−4．
故答案为：45−4．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出BC的长．
【变式4-2】(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四边形花圃ABCD的面积；
（2）求C到AD的距离．
分析：（1）连接AC．根据勾股定理求得AC的长，从而根据勾股定理的逆定理发现直角三角形ACD，就可求得该四边形的面积．
（2）根据等面积法即可求出C到AD的距离．
【解答】解：连接AC．
∵∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5cm．
∵52+122＝132，
∴△ADC是直角三角形．
∴S四边形ABCD=12×3×4+12×12×5=36m2．
（2）过点C作CH⊥AD于点H，如上图：
根据等面积法得12AD•CH=12AC•CD，即12×13×CH=12×5×12，
解得CH=6013，即C到AD的距离是6013cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理的内容是解题的关键．
题型五 巧添辅助线构造直角三角形
【例题5】(2023春•广西月考）在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝210，求BC边上的高．
分析：作AH⊥BC于H，首先利用勾股定理的逆定理说明∠BAC＝90°，再利用等积法可得AH的长．
【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB2+AC2＝22+62＝40，BC2＝40，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴12BC•AH=12AB⋅AC，
∴AH=2×6210=3105，
∴BC边上的高为3105．
【点评】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，三角形的面积等知识，证明∠BAC＝90°是解题的关键．
【变式5-1】(2023春•勃利县期末）如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
分析：连接AC，由已知和等腰三角形的性质可知∠BAC＝45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC＝90°，从而求出∠DAB的度数．
【解答】解：连接AC．
设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理的应用．本题将∠DAB分成∠BAC，∠DAC是解题的关键．
【变式5-2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（ ）
A．61B．261C．13D．12
分析：延长AD到点E，使AD＝DE＝6，通过SAS可证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB＝5，通过勾股定理逆定理可证明△AEC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长即可．
【解答】解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE＝6，
∴AE＝12，
∵AD是边BC的中线，
∴BD＝CD=12BC，
在△ABD和△ECD中，
∵AD=ED∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，
∵AE2+CE2＝169，
AC2＝169．
∴AC2＝AE2+CE2，
∴△AEC为直角三角形，
∴∠E＝90°，
∴CD=ED2+CE2=61，
∴BC＝2CD＝261．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
分析：（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可；
（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AC．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC．
（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，
∵∠ABC＝90°，
∴AC2＝18k2，
在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，
∴18k2＝172+k2，
∴k=17，
∴CD=17，AB＝BC＝317，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+717．
【点评】本题考查勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式5-4】(2023•北京模拟）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
分析：延长FD到G使GD＝DF，连接BG，EG，证△BDG≌△CDF，推出BG＝FC，∠C＝∠GBD，求出∠EBG＝90°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：延长FD到G使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴BD＝DC，
∵在△BDG和△CDF中，BD=DC∠FDC=∠BDGDG=DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝FC，∠C＝∠GBD，
∴BG∥AC，
∵ED⊥DF，
∴EG＝EF，
∵BE2+FC2＝EF2，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴∠ABG＝90°，
∵BG∥AC，
∴∠A+∠ABG＝180°，
∴∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
题型六 勾股定理及其逆定理的实际应用
【例题6】(2023春•开福区校级月考）如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？
分析：首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°确定最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价．
【解答】解：∵BC2+AB2＝122+52＝169，
AC2＝132＝169，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
当BD⊥AC时BD最短，造价最低．
∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
∴BD=AB⋅BCAC，即BD=5×1213=6013（km）．
∴6013×260＝1200（万元）．
答：最低造价为1200万元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用垂线段最短得出当BD⊥AC时BD最短，造价最低，再利用三角形面积求出是解题关键．
【变式7-1】(2023秋•楚雄州期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得∠B＝90°，AB＝4m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，如果种植草皮费用是200元/m2，那么共需投入多少钱？
分析：直接利用勾股定理逆定理得出△ACD是直角三角形，进而结合勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25m，
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
=12•AB•BC+12•AD•DC
=12×24×7+12×20×15
＝234（m2），
所需费用为234×200＝46800（元），
答：共需投入46800元．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理是解题关键．
【变式7-2】(2023秋•连州市期末）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
分析：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；
（2）依据AB2+AC2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．
【解答】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得
4x﹣3x＝5．
解得x＝5，
∴4x＝20，3x＝15，
∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
又∵货船沿东偏南10°方向航行，
∴客船航行的方向为北偏东10°方向．
【点评】此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．
【变式7-3】(2023秋•莱西市期中）如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
分析：首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC＝90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA＝∠BAD＝30°，再根据平角定义可得∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，进而得到答案．
【解答】解：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【变式7-4】(2023秋•陈仓区期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
分析：（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，
AC＝120×660=12（海里），BC＝50×660=5（海里），
∵AB＝13（海里），
∵AC 2+BC 2＝AB 2，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝67°，
∴∠CAB＝23°，
∴甲的航向为北偏东67°；
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），
乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），
3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：62+2．52=6.5（海里）．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键．
【变式7-5】(2023春•淮南期中）如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
分析：（1）延长AC到F，使AC＝CF，连接BF，交CD于E，则E为所求；
（2）过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，得出矩形，求出BN，NC长，根据勾股定理求出BF，即可得出答案．
【解答】解：（1）
延长AC到F，使AC＝CF，连接BF，交CD于E，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）
过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠BNC＝∠NCD＝∠BDC＝90°，
∴四边形NCDB是矩形，
∴BN＝CD＝3千米，BD＝CN＝3千米，
∵AC＝CF＝1千米，
∴NF＝3千米+1千米＝4千米，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=BN2+NF2=32+42=5（千米），
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE+BE＝EF+BE＝BF＝5千米，
∴铺设水管的最省总费用是：20000元/千米×5千米＝100000元．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，矩形的性质和判定，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
题型七 勾股数的辨别
【例题7】(2023秋•邢台期末）下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．1，3，2B．12，16，20
C．32，42，52D．0.5，1.2，1.3
分析：欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
【解答】解：A、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
B、122+162＝202，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
C、92+162≠252，不能构成直角三角形，不是勾股数，故选项不符合题意．
D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
【变式7-1】(2023秋•峄城区校级期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．32，42，52B．3，4，7
C．0.5，1.2，1.4D．9，12，15
分析：根据勾股数的定义：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数进行判断即可．
【解答】解：A、∵32＝9，42＝16，52＝25，92+162＜252，故选项错误，不符合题意；
B、∵32+42＜72，故选项错误，不符合题意；
C、∵0.5，1.2，1.4不符合勾股数定义，故选项错误，不符合题意；
D、∵92+122＝81+144＝225＝152，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数，解题关键是熟记勾股数的概念．
【变式7-2】(2023秋•东源县校级期末）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10D．7，24，25
分析：判断是否为勾股数，须满足勾股数必须为正整数，且两小边的平方和等于最长边的平方．
【解答】解：A、52+122＝132，是勾股数，不符合题意，故错误；
B、0.32+0.42＝0.52，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确；
C、62+82＝102，是勾股数，不符合题意，故错误；
D、72+242＝252，是勾股数，不符合题意，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式7-3】(2023春•河间市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
分析：欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
【点评】此题考查勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
题型八 勾股数的规律猜想题
【例题8】(2023秋•皇姑区校级月考）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为 ．
分析：据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可解答．
【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑤组勾股数是14，48，50．
故答案为：14，48，50．
【点评】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
【变式8-1】(2023秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5=32+12，13=52+12，…）
分析：它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．
【解答】解：由题意得：a2+1442＝1452，
a2＝1452﹣1442，
a＝17．
故答案为：17．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．
【变式8-2】(2023春•思明区校级期中）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
分析：（1）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案；
（2）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
所以第六组勾股数为14，48，50．
（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下：
（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2．
【点评】此题考查了勾股数，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【变式8-3】(2023秋•沙坪坝区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
分析：（1）根据“派生勾股数”的定义可得答案；
（2）找到斜边小于70且与一条直角边相差1的勾股数，再根据“新新勾股数”的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵9＝3×3，12＝4×3，16÷3≠5，
∴9，12，16不是“派生勾股数”；
∵10＝5×2，24＝12×2，26＝13×2，
∴10，24，26是“派生勾股数”；
（2）勾股数3，4，5，把勾股数同时乘以3可得9，12，15，15﹣12＝3，9，12，15是“新新勾股数”；
勾股数5，12，13，把勾股数同时乘以3可得15，36，39，39﹣36＝3，15，36，39是“新新勾股数”；
勾股数7，24，25，把勾股数同时乘以3可得21，72，75，75﹣72＝3，21，72，75是“新新勾股数”；
勾股数9，40，41，把勾股数同时乘以3可得27，120，123，123﹣120＝3，27，120，123是“新新勾股数”；
勾股数11，60，61，把勾股数同时乘以3可得33，180，183，183﹣180＝3，33，180，183是“新新勾股数”．
综上所述，斜边小于200的所有“新新勾股数”有9，12，15；15，36，39；21，72，75；27，120，123；33，180，183．
【点评】本题考查了勾股数和新定义的综合应用，对勾股定理逆定理以及常见的勾股数非常熟悉是解题的关键．
勾股定理
勾股定理的逆定理
条 件
在Rt△ABC中，∠C=90°
在△ABC中，a2 + b2 = c2
结 论
a2 + b2 = c2
∠C=90°
区 别
勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.
勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联 系
两者都与三角形的三边有关系.
解题技巧提炼
1、写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，判断一个命题是真命题要证明，判断一个命题是假命题只有举一个反例即可.
2、判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理.
解题技巧提炼
判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：
（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；
（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
解题技巧提炼
解题过程中主要运用了非负数的性质和勾股定理的逆定理，已知三角形三边长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
解题技巧提炼
不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积.
解题技巧提炼
当问题中没有呈现直角三角形，但需要用勾股定理时，就要通过添加辅助线构造直角三角形.
解题技巧提炼
解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合.
解题技巧提炼
判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.
解题技巧提炼
对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，…若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2.
（2）若h＞1，且h为整数，则h2+1,h2﹣1,2h 是一组勾股数.