2024年内蒙古自治区包头市第四十五中学中考数学三模试卷

这是一份2024年内蒙古自治区包头市第四十五中学中考数学三模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的相反数为（ ）
A．﹣3B．3C．D．﹣9
2．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（ ）
A．2B．﹣1C．0D．1
4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣，1）B．（﹣2，4）
C．（﹣，1）或（，﹣1）D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
5．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
6．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
D．200[1+x+（1+x）2]＝1000
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（ ）
A．1B．C．2D．
8．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
10．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（ ）
A．无论x取何值，y2总是负数
B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小
D．四边形AECD为正方形
二、填空题
11．计算的结果为 ．
12．如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为 ．
13．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是 ．
14．若关于x的分式方程无解，则m＝ ．
15．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为 ．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下4个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③AG＝；④S△BGF＝．在以上4个结论中正确的有 ．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
18．如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“﹣3”、“﹣1”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为 ；
（2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作x，第二次转出的数字记作y，点Q的坐标记作（x，y）．用树状图或列表法求转动两次后得到的点Q落在第四象限的概率．
19．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB＝400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732）
20．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
21．如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．
22．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，将线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，点F的对应点是点G，连接FG．
（1）如图①，当点G在边CD上，且DG＝2，AF＝3时，求EF；
（2）如图②，若E是AD的中点，EG与CD相交于点H，连接FH，求证：FE平分∠AFH；
（3）如图③，若点F和点B重合，EG、FC分别交CD于点M、N，连接DG．求证：NG2＝MN•ND．
23．如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线在第三象限图象上的点，且∠PAB＝∠OCB，求P点的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．的相反数为（ ）
A．﹣3B．3C．D．﹣9
【解答】解：＝3的相反数为：﹣3．
故选：A．
2．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（ ）
A．2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：∵2x﹣a＞﹣3的解集在数轴上为：x＞﹣2，
则2x＞a﹣3，
即x＞，
故＝﹣2，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣，1）B．（﹣2，4）
C．（﹣，1）或（，﹣1）D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【解答】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，
∴点C对应点C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
5．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【解答】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数，
故选：B．
6．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
D．200[1+x+（1+x）2]＝1000
【解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：C．
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠ABC，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴CE•CB＝CD•CA，
∵AC＝AB＝4，
∴•2＝4CD，
∴CD＝．
故选：B．
8．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：当a＝0，b＝﹣1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a＝﹣2，b＝﹣1；
若a＞1，则（a﹣1）0＝1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0＝1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a﹣1）0＝1，则a≠1；
两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；
四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题．
故选：D．
9．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【解答】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（8，0），G（0，﹣4），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴＝，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，BE＝a，
∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），
∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k＝4×6＝24，
∴反比例函数表达式为y＝，
故选：D．
10．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（ ）
A．无论x取何值，y2总是负数
B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小
D．四边形AECD为正方形
【解答】解：A、∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，
∴无论x取何值，y2总是负数；
故不符合题意；
B、∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），
∴当x＝1时，y＝﹣2，
即﹣2＝a（1+1）2+2，
解得：a＝﹣1；
∴y1＝﹣（x+1）2+2，
∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故不符合题意；
C、∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，
∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
故符合题意；
D、设AC与DE交于点F，
∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，﹣2），
当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝1，
∴点C（3，﹣2），
∴AF＝CF＝3，AC＝6，
当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，
∴DE＝6，DF＝EF＝3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC＝DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故不符合题意．
故选：C．
二、填空题
11．计算的结果为 ．
【解答】解：
＝×
＝．
故答案为：．
12．如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为 8 ．
【解答】解：设多边形的一个外角的度数是x°，列方程，得
3x+x＝180，
解得：x＝45，
多边形的边数为：360°÷45°＝8．
故答案为：8．
13．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是 ．
【解答】解：根据两个转盘的特点，画树状图如下（第2个转盘中红色占50%，相当于2个红色，记为红1、红2）：
共有12种等可能的结果，其中红色与蓝色可配成紫色，有3种结果，
∴可配成紫色的概率是＝．
故答案为：．
14．若关于x的分式方程无解，则m＝ ﹣4或6或1 ．
【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2），
解得m＝6．
（2）x＝2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2），
解得m＝﹣4．
（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
化简得：（m﹣1）x＝﹣10．
当m＝1时，整式方程无解．
综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解．
15．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为 2或6 ．
【解答】解：分两种情况：
①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝，
∴BC＝AB×＝10×＝2，
∴B'C＝2，AC＝＝4，
∴AB'＝AC﹣B'C＝﹣2＝2；
②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，
同理可得，B'C＝2，AC＝4，
∴AB'＝AC+B'C＝+2＝6；
综上所述，点A与点B'的距离为2或6．
故答案为：2或6．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下4个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③AG＝；④S△BGF＝．在以上4个结论中正确的有 ①②④ ．
【解答】解：由折叠得：△DCE≌△DFE，
∴DF＝DC，∠DFE＝∠DCE，EC＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°，
∴∠A＝∠DFG＝90°，AD＝DF，
∵DG＝DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG＝FG，
∴AG+EC＝FG+EF＝GE，
故①正确；
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC，∠EBF＝∠EFB，
∵∠ECF+∠EFC+∠EBF+∠EFB＝180°，
∴∠EFC+∠EFB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BF⊥CF，
故②正确；
设AG＝x，则BG＝6﹣x，
由Rt△ADG≌Rt△FDG得：AG＝FG，
∵点E是BC边上的中点，
∴EF＝CE＝BE＝3，
在Rt△BEG中，根据勾股定理得：BG2+BE2＝EG2，
（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2，
AG＝2，
故③不正确，
∴BG＝4，
∴GB＝2AG，
∴S△BEG＝BE•BG＝×3×4＝6，
∵△BEF和△BEG等高，
∴＝＝，
则＝，
∴S△BGF＝×6＝，
故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
【解答】解：（1）原式＝1+（）﹣1﹣|﹣|+2
＝1+﹣+2
＝3；
（2）原方程去分母得：x＝4x﹣2+3，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，2x﹣1≠0，
故原方程的解为x＝﹣．
18．如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“﹣3”、“﹣1”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为 ；
（2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作x，第二次转出的数字记作y，点Q的坐标记作（x，y）．用树状图或列表法求转动两次后得到的点Q落在第四象限的概率．
【解答】解：（1）转动一次有5种等可能情况，出现数字是偶数有3种情况，
则转出的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）由题意，列表如下：
共有25种等可能的情况数，其中点Q落在第四象限有4种，
则点Q落在第四象限的概率是．
19．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB＝400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732）
【解答】解：过A作AD⊥MN于点D
设AD＝x，
∵∠ABD＝45°，
∴设BD＝x，
∵∠AMD＝30°，
∴＝，
∴＝，
∴x＝546.372，
∴AD＞500．
∴不会穿过居民区．
20．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 1600 元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
【解答】解：
（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40
则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元
故答案为1600
（2）①
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得
，解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70
（Ⅰ）当0＜x＜30时
w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）
＝﹣2x2+100x+1200
＝﹣2（x﹣25）2+2450
∴当x＝25时，w最大值＝2450
（Ⅱ）当30≤x≤50时，
w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800
∵w随x的增大而减小
∴当x＝30时，w最大值＝2400
∴w＝，
第25天的利润最大，最大利润为2450元
②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400，
解得x1＝20，x2＝30
∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下
由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400
此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
21．如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．
【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAB＝90°，
∵CO＝OA，
∴∠OCA＝45°，
∴∠ADC＝∠AOC＝45°，
∴∠OCA＝∠ADC；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝AD＝，
∵tanB＝＝，
∴BE＝3AE＝3，
∴AB＝＝＝2，
在Rt△ABF中，tanB＝＝，
∴AF＝AB＝，
∵OC∥AB，
∴∠OCF＝∠B，
∴tan∠OCF＝＝，
设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r﹣，
∴3 （r﹣）＝r，
解得r＝，
∴OC＝．
22．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，将线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，点F的对应点是点G，连接FG．
（1）如图①，当点G在边CD上，且DG＝2，AF＝3时，求EF；
（2）如图②，若E是AD的中点，EG与CD相交于点H，连接FH，求证：FE平分∠AFH；
（3）如图③，若点F和点B重合，EG、FC分别交CD于点M、N，连接DG．求证：NG2＝MN•ND．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，
∴∠CEF＝90°，EF＝EG，
∴∠AEF+∠DEG＝90°，
∴∠AFE＝∠DEG，
∴△AEF≌△DGE（AAS），
∴AE＝DG＝2，
∴EF＝；
（2）证明：如图1，
延长HE交BA的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QAE＝∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠Q＝∠DHE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△AEQ≌△DEH（AAS），
∴EQ＝EH，
∵∠FEG＝90°，
∴FE⊥QH，
∴FH＝FQ，
∴FE平分∠AFH；
（3）证明：如图2，
作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠CDH＝90°，
∴∠H＝∠A＝90°，
同理（1）可知：△ABE≌△HEG（AAS），
∴EH＝AB＝AD，AE＝GH，
∴DH＝AE＝GH，
∴∠DGH＝∠HDG＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∵EF＝EG，∠FEG＝90°，
∴∠EGF＝∠EFG＝45°，
∴∠EGF＝∠CDG，
∵∠DNG＝∠MNG，
∴△GNM∽△DNG，
∴，
∴NG2＝MN•ND．
23．如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线在第三象限图象上的点，且∠PAB＝∠OCB，求P点的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）分别代入得：
，解得，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，过点P作PH⊥AB于点H，
∵∠PAB＝∠OCB，
∴tan∠PAB＝tan∠OCB，
∵点B（﹣1，0），点C（0，﹣3），
∴tan∠OCB＝，
设P（x，x2﹣2x﹣3），
∴，解得x＝﹣或3（舍去），
∴P点的坐标为（﹣，﹣）；
（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，
设D（m，m2﹣2m﹣3），则K（m，0）．并由题意知点D位于第四象限．
∴DK＝﹣m2+2m+3，OK＝m．
∵∠BAC是公共角，
∴当△AOE与△ABC相似时，有二种情况：
①∠AOD＝∠ABC时，△AOE∽△ABC，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．
∴，解得m1＝，m2＝（舍去），
∴D（，）；
②∠AOD＝∠ACB时，△AOE∽△ACB，
过点B作BQ⊥AC于点Q．
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝3．
∵∠BQA＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝90°．
∴∠QAB＝∠QBA＝45°．
∵在直角△AQB中，AQ2+BQ2＝AB2，AB＝4．
∴AQ＝BQ＝2．
∴CQ＝3﹣2＝．
∵∠BQC＝90°，
∴tan∠ACB＝＝＝2，
∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．
∴＝2，解得m1＝，m2＝﹣（舍去）
∴D（，﹣2）．
综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是（，）或（，﹣2）．第一次第二次
﹣3
﹣1
0
2
4
﹣3
（﹣3，﹣3）
（﹣1，﹣3）
（0，﹣3）
（2，﹣3）
（4，﹣3）
﹣1
（﹣3，﹣1）
（﹣1，﹣1）
（0，﹣1）
（2，﹣1）
（4，﹣1）
0
（﹣3，0）
（﹣1，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
2
（﹣3，2）
（﹣1，2）
（0，2）
（2，2）
（4，2）
4
（﹣3，4）
（﹣1，4）
（0，4）
（2，4）
（4，4）