2024年内蒙古包头市第二十九中学中考数学三模试卷

这是一份2024年内蒙古包头市第二十九中学中考数学三模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2
B．3a﹣a＝3
C．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
D．（a2b）3＝a6b
2．如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．若|2a﹣2|＝2﹣2a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，则∠PAB的大小为（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
5．如图，有一电路连着三个开关，每个开关闭合与断开是等可能的，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．如图，在△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△BAC绕点A逆时针旋转45°至△B'AC'，线段B'C'与线段AC交于点D，若，则线段AB的长为（ ）
A．4B．C．D．
8．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1
9．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为何？（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．因式分解：mx2﹣6mxy+9my2＝ ．
12．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 元．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ．
14．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 ．
16．如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为，则k的值为 ．
三、解答题
17．（1）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．
（2）解方程：．
18．打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ ，n＝ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
19．如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中CD长为6cm，BC长为12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）点D到BC的距离为 cm；
（2）求点D到AB的距离．
20．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式．
（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？
（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
22．课本再现
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO．
又∵BD⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线．
∴ ．
∴平行四边形ABCD是菱形．
知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求的值．
23．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2
B．3a﹣a＝3
C．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
D．（a2b）3＝a6b
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，故A是错误的；
∵3a﹣a＝2a，故B是错误的；
∵（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，故C是正确的；
∵（a2b）3＝a6b3，故D是错误的；
故选：C．
2．如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间靠上有一条横向的实线，中间有一条横向的虚线．选项A符合题意．
故选：A．
3．若|2a﹣2|＝2﹣2a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵|2a﹣2|＝2﹣2a，
∴2a﹣2≤0，
解得a≤1，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：C．
4．如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，则∠PAB的大小为（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵多边形ABCDE为圆内接正五边形，
∴，
∵OA＝OB，
∴，
∵PA为圆O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠OAB＝36°，
故选：B．
5．如图，有一电路连着三个开关，每个开关闭合与断开是等可能的，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设K1打开用A表示，闭合用a表示，K2打开用B表示，闭合用b表示，K3打开用C表示，闭合用c表示，
树状图如图所示，
由图可知，点灯点亮的可能性是（aBc）、（abC）、（abc），
则电灯点亮的概率为，
故选：B．
6．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，
∴a+b＝＝﹣1，ab＝＝﹣8，
∴a＝﹣1﹣b，
∴a2+2a+b
＝a2+a+（a+b）
＝a（a+1）+（a+b）
＝a（﹣1﹣b+1）+（a+b）
＝﹣ab+a+b
＝8﹣1
＝7．
故选：A．
7．如图，在△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△BAC绕点A逆时针旋转45°至△B'AC'，线段B'C'与线段AC交于点D，若，则线段AB的长为（ ）
A．4B．C．D．
【解答】解：作DH⊥AB'于H，
∵将△BAC绕点A逆时针旋转45°至△B'AC'，
∴∠CAB'＝∠BAB'＝45°，∠B＝∠B'，
∵，
∴DH＝AH＝2，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝∠B'＝60°，
∴B'H＝2，
∴AB'＝AH+B'H＝2+2，
故选：D．
8．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1
【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，
∴DG＝AD+AG＝2+2，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，
故选D．
方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cs∠EBH＝2cs30°＝，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
，
∴△BEH≌△DEG（AAS），
∴DG＝BH＝，
∴DF＝DG+FG＝+1，
故选：D．
9．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为何？（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，GF∥BN，且DE＝GF＝EF＝1，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴ ①， ②，
由①可得，，解得：AE＝，
将AE＝代入②，得：，
解得：BN＝，
故选：D．
10．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
正确结论的个数是4个，
故选：D．
二、填空题
11．因式分解：mx2﹣6mxy+9my2＝ m（x﹣3y）2 ．
【解答】解：mx2﹣6mxy+9my2
＝m（x2﹣6xy+9y2）
＝m（x﹣3y）2，
故答案为：m（x﹣3y）2．
12．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 2.25 元．
【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是：5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元）；
故答案为：2.25．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ﹣1或5 ．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，解得m＝﹣4，
∴关于x的方程x2+mx＝5可化为x2﹣4x﹣5＝0，即（x+1）（x﹣5）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5．
故答案为：﹣1或5．
14．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是 2﹣ ．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′＝60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OO′＝OA，
∴当O′中⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OB＝60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B＝120°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠B′O′B＝120°，
∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝S△B′OB﹣S扇形O′OB＝×2×2﹣＝2﹣，
故答案为2﹣．
15．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 6 ．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E＝＝＝6，
∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．
16．如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为，则k的值为 2 ．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
则△OAD∽△CBE，
∴OA：CB＝OD：CE＝AD：BE＝2：1，
设CE＝a，BE＝b，则OD＝2a，AD＝2b，
∵反比例函数经过点A、点B，
∴k＝2a•2b＝4ab，
∴B（4a，b），
∴DE＝2a，
∴S△OAB＝S梯形ADBE＝（AD+BE）•DE＝•（2b+b）•2a＝，
解得ab＝，
∴k＝4ab＝2．
故答案为：2．
三、解答题
17．（1）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．
（2）解方程：．
【解答】解：（1）（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b）
＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣6ab+a2﹣4b2
＝﹣8ab﹣3b2，
当a＝1，b＝﹣3时，原式＝﹣8×1×（﹣3）﹣3×（﹣3）2
＝24﹣3×9
＝24﹣27
＝﹣3；
（2）原方程去分母得：2+2x﹣2＝3，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝．
18．打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ 18 ，n＝ 6 ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 72 度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【解答】解：（1）调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，
文学类书籍对应扇形圆心角＝360°×＝72°，
故答案为：18，6，72；
（2）2000×＝480（人），
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
19．如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中CD长为6cm，BC长为12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）点D到BC的距离为 6 cm；
（2）求点D到AB的距离．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC，垂足为F，
在Rt△CDF中，CD＝6cm，∠C＝45°，
∴DF＝CDsin45°＝6×＝6cm，
∴点D到BC的距离为6cm，
故答案为：6；
（2）过点D作DG⊥AB，垂足为G，连接BD，过点F作FM⊥AB，垂足为M，过点D作DN⊥FM，垂足为N，
∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝DF＝6cm，
∵BC＝12cm，
∴BF＝BC﹣CF＝12﹣6＝6cm，
∴CF＝BF，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴CD＝DB＝6cm，
在Rt△FMB中，FM＝BFsin60°＝6×＝3cm，
∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BFM＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠DFM＝∠DFB﹣∠BFM＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△FDN中，FN＝FDcs60°＝6×＝3cm，
∴MN＝FM﹣FN＝（3﹣3）cm，
∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，
∴四边形DNMG是矩形，
∴DG＝MN＝（3﹣3）cm，
∴点D到AB的距离为（3﹣3）cm．
20．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式．
（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？
（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
【解答】解：（1）根据图象，反比例函数图象经过（1，200），
设反比例函数为y＝（k≠0），
则＝200，
解得k＝200，
∴反比例函数为y＝（1≤x≤5），
当x＝5时，y＝40，
设改造工程完工后函数解析式为y＝20x+b，
则20×5+b＝40，
解得b＝﹣60，
∴改造工程完工后函数解析式为y＝20x﹣60（x＞5且x取整数）；
（2）当y＝200时，20x﹣60＝200，
解得x＝13．
13﹣5＝8．
∴经过8个月，该厂利润才能达到200万元；
（3）当y＝100时，＝100，解得x＝2，
20x﹣60＝100，解得x＝8，
∴月利润少于100万元有：3，4，5，6，7月份．
故该厂资金紧张期共有5个月．
21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcsA＝×＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴ED＝．
22．课本再现
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO．
又∵BD⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线．
∴ AB＝BC＝CD＝DA ．
∴平行四边形ABCD是菱形．
知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB＝DC，
∵BD⊥AC
∴∠AOB＝∠COB＝90°，
在△AOB，△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SAS），
∴AB＝CB，
同理可得△DOA≌△ODC，则DA＝DC，
又∵AB＝CD，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）①证明：四边形ABCD是平行四边形，AD＝5，AC＝8，BD＝6，
∴，，
在△AOD中，AD2＝25，AO2+OD2＝32+42＝25，
∴AD2＝AO2+OD2，
∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
②解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD
∴，
∴，
∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴，
如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G，
∴，
∴，
∴．
23．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），代入 y＝ax2+bx+4得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）∵点A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线l：，
设直线l与x轴交于点G，过点E作 ED⊥l于点D，
当F在x轴上方时，如图：
∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴EF＝BF，
∵∠DFE＝90°﹣∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°，
∴△DFE≌△GBF（AAS），
∴GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，m），则DE＝m，DG＝DF+FG＝GB+FG＝3+m，
∴E（1+m，3+m），
∵E点在抛物线y＝﹣x2+x+4上，
∴，
解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，
∴F（1，1）；
当F在x轴下方时，如图：
同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，n），则E（1﹣n，n﹣3），
把E（1﹣n，n﹣3）代入y＝﹣x2+x+4得：
n﹣3＝﹣（1﹣n）2+（1﹣n）+4，
解得n＝3（舍去）或n＝﹣5，
∴F（1，﹣5）；
当E点与A点重合时，如图所示，
∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴，
此时 F（1，﹣3），
由对称性可得，点F'（1，3）也满足条件，
综上所述，F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；
（3）OM+ON为定值6，理由如下：
设P（s，t），直线AP的解析式为 y＝dx+f，BP的解析式为 y＝gx+h，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），P（s，t），
∴，，
解得：，，
∴直线AP的解析式为 ，BP的解析式为y＝x+，
在中，令 x＝0 得，
∴，
在中，令x＝0得，
∴N（0，），
∵P（s，t） 在抛物线上，
∴t＝﹣s2+s+4＝﹣（s﹣4）（s+2），
∴OM+ON＝+×＝＝＝6，
∴OM+ON为定值6．思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．