湖南省益阳市南县第一中学2023-2024学年高三8月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省益阳市南县第一中学2023-2024学年高三8月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．在复平面上，复数的共轭复数对应的向量是( )
A.B.
C.D.
3．设,若,则( )
A.4B.5C.6D.7
4．已知正数x,y满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
5．在平面直角坐标系xOy中,锐角的大小如图所示,则( )
A.-2B.2C.D.3
6．已知直线是圆的对称轴,过点作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.1B.2C.4D.8
7．在数字通信中,信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05,若发送信号0和1是等可能的,则接受信号为1的概率为( )
8．定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A.0B.1C.D.2023
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.经验回归方程中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量y平均减少1.5个单位
B.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第70百分位数为16
C.若随机变量,,则
D.设随机事件A和B,若,,,则
10．已知函数，则下列判断正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.在区间上单调递增
D.当时，
11．下列计算中正确的是( )
A.
B.若,则
C.
D.,都是锐角,,,则或
12．如图,正方体的棱长为2,若点M在线段上运动,则下列结论正确的是( )
A.直线可能与平面相交
B.三棱锥与三棱锥的体积之和为
C.的周长的最小值为
D.当点M是的中点时,CM与平面所成角最大
三、填空题
13．已知直角三角形OAB的斜边为AB,向量,,则实数______.
14．若命题“,”为假命题,则实数m的取值范围是____.
15．已知正数a,b满足,,则函数的定义域为_____.
16．设函数在区间恰有三个极值点,两个零点,则的取值范围是____________.
四、解答题
17．已知等差数列中的前n项和为,且,,成等比数列,.
（1）求数列通项公式;
（2）若数列为递增数列,记,求数列的前40项的和.
18．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求B的大小;
（2）若角B的平分线交AC于点D,,,求c.
19．如图,三棱柱中,M是AC的中点,平面,.
（1）求证:;
（2）若,求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知函数,.
（1）若,求在区间上的最大值和最小值;
（2）设,求证:恰有2个极值点;
（3）若,不等式恒成立,求k的最小值.
21．为了加强居民对电信诈骗的认识,提升自我防范的意识和能力,某社区开展了“远离电信诈骗,保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立,宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1.
（1）假设在宣传前某一天,该社区有3位居民各接到一次诈骗电话.
(i)求该社区这一天有人被电信诈骗概率;
(ii)该社区这一天被电信诈骗的人数记为X,求X的分布列和数学期望.
（2）根据调查发现,居民每接受一次“防电诈”宣传,其被骗概率降低为原来的10%,假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话,请问至少要进行多少次“防电诈”宣传,才能保证这10位居民都不会被骗?(我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件,认为在一次试验中小概率事件不会发生)
(参考数据:,,,)
22．已知双曲线经过点,右焦点为,且,,成等差数列.
（1）求C的方程;
（2）过F的直线与C的右支交于P,Q两点(P在Q的上方),PQ的中点为M,M在直线上的射影为N,O为坐标原点,设的面积为S,直线PN,QN的斜率分别为,,证明:是定值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得,,
又因为,
所以.
故选:B
2．答案：A
解析：本题考查共轭复数、复数的几何意义. 复数的共轭复数，在复平面上对应的点的坐标为, 4),故选A.
3．答案：B
解析：二项式的展开式的通项为,
所以,,又,
所以,
所以,
故选:B.
4．答案：B
解析：因为正数x,y满足,在等式两边同时除以2xy可得,
由基本不等式可得,
当且仅当时,即当时,等号成立,
故的最小值为4.
故选:B.
5．答案：B
解析：因为点是角终边的一点,所以,
所以,
由可知,,所以
.
故选：B.
6．答案：C
解析：圆即,圆心为,半径为,
由题意可知过圆的圆心,
则,解得,点A的坐标为,
,切点为B则,
.
故选:C
7．答案：B
解析：设“发送的信号为0”,“接收到的信号为0”,
则“发送的信号为1”,“接收到的信号为1”,
所以,,,,,,
所以接收信号为0的概率为:,
所以接收信号为1的概率为:.
故选:B.
8．答案：B
解析：因为函数是定义在R上的奇函数,且当时,,
由,①
且,②
由①②可得,
整理可得,解得,此时,,可得,
故当时,,
,合乎题意,
因为,则,
所以,函数是周期为2的周期函数,
所以,,
在等式中,令可得,可得,
,
因此,.
故选:B.
9．答案：BCD
解析：对于A,根据回归直线方程解析式,当解释变量每增加1个单位时,
响应变量y平均减少0.8个单位,A错误;
对于B,该组数据共10个,则,
所以第百分位数为,B正确;
对于C,由于,,
则,C正确;
对于D,由全概率公式,
,
D正确.
故选:BCD
10．答案：BC
解析：A选项,，
当时,,故的图象不关于直线对称,A错误;
B选项, 当时,,故的图象关于点对称,B正确;
C选项, 时,,因为在上单调递增，
故在区间上单调递增,C正确;
D选项, 时,,故，D错误.
故选:BC.
11．答案：AB
解析：对于A,由二倍角和辅助角公式可得
,所以A正确;
对于B,依题意知,
所以
,即B正确;
对于C,由可得,因此;
所以
,即C错误;
对于D,因为,都是锐角,,所以可得,
易知,又,所以,
因此,即D错误;
故选:AB
12．答案：BD
解析：对于A,连,AC,,,,
因为,平面,平面,
所以平面,同理得平面,
又,平面,,
所以平面平面,因为平面,
所以平面,故A错误;
对于B,过点M作,垂足为E,作,垂足为F,
易得,因为平面ACD,所以平面ACD,
,因为平面,所以平面,
因为,,所以,
所以
.故B正确;
对于C,的周长为,,则最小时,的周长最小,
将平面与平面展成同一平面,如图:
当点A,M,C共线时,最小,
作,交AB的延长线于N,则,,
则,
所以,即的周长的最小值为,故C错误;
对于D,当点M是的中点时,,
因平面,平面,所以,
因为,,平面,所以平面,
所以与平面所成角为,为最大角,故D正确.
故选:BD
13．答案：-2
解析：因为直角三角形OAB的斜边为A,所以,
又因为,,
所以,解得.
故答案为：-2.
14．答案：
解析：由命题“,”的否定为“,”,
因为命题“,”为假命题,则“,”为真命题,
所以,解得,
则实数m的取值范围是.
故答案为:.
15．答案：
解析：因为,则,可得,
则,解得或(舍去),
所以,
可得,解得,
所以函数的定义域为.
故答案为:.
16．答案：
解析：由题意,当时,不能满足在上极值点比零点多,
当时,因为,所以,
要使函数在区间恰有三个极值点,两个零点,
由的部分图象如下图所示:
则,解得,即,
故答案为:.
17．答案：（1）或
（2）820
解析：（1）设公差为d,则,即
解得或,所以或;
（2）因为数列为递增数列,,,,
所以
;
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理得,
又因为A,,则,,
所以,整理得,
且,可知,
所以,即.
（2）由角B的平分线交AC于点D,可得,
且,
则,
即,解得.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为平面,平面,
所以,
又,,AC,平面ABC,
所以平面ABC,
又平面ABC,所以.
（2）由（1）知BA,BC,两两垂直,
建立空间直角坐标系如图所示,
不妨设,则,则,,,,
所以,
可得,,
设平面的法向量为,
由得,取,得,
又,,
设平面的法向量为,
由得,取,得
所以,
所以,平面与平面夹角的余弦值为.
20．答案：（1）,.
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）由函数,可得,
令,可得,
则x,,的关系,如图下表:
综上可得,函数,.
（2）由函数,
可得,
因为,
所以方程有两个不同的根,设为,且,则有
综上可得,函数恰有2个极值点.
（3）因为,所以,不等式恒成立,
设,可得,
所以x,,的关系,如图下表:
所以,所以实数的最小值为e.
21．答案：（1）(i)0.271;
(ii)分布列见解析,0.3
（2）至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗
解析：（1）(i)记事件A:该社区这一天有人被骗,则,
该社区这一天有人被电信诈骗的概率为0.271.
(ii)X可以取0,1,2,3,由题意,
,,
,;
的分布列如下:
;
（2）设宣传k次之后每个人每次接到电话被骗的概率为,
事件B:10位居民有人被骗,则.
即
,
又函数单调递减,当时,;当时,,
,即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,,成等差数列,所以,
又,所以.
将点的坐标代入C的方程得,解得,
所以,所以C的方程为.
（2）依题意可设,
由,得,
设,,,则.
,,
则,
而,
所以,
所以是定值.
x
1
2
0
极大值
x
0
0
极小值
极大值
x
1
0
极大值
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001