广东省麻涌，塘厦，七中，济川四校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题

这是一份广东省麻涌，塘厦，七中，济川四校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题，文件包含2023-2024学年下学期段考二四校联考高一数学试题docx、2023-2024学年下学期段考二四校联考高一数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
命题人：傅建美、谢林、韦日凤、汪群芳 审题人：谢林
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）
1．若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
3．数据的第15百分位数为（ ）
A．70B．69C．75D．96
4．在中，若，则角等于（ ）
A．B．C．或D．或
5．在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B.
C． D．
6．如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（ ）
B．
C．D．
7．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．3D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．在上的投影向量为 D．
11．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上一个动点，则（ ）
A．存在点G，使直线平面
B．存在点G，使平面∥平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得截面的最大面积为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数满足，则 .
13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为 m.

(第13题图） （第14题图）
14．如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，?
16．（本题15分）锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若边上的中线长为，求的面积.
17．（本题15分）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角.
18．（本题17分）已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.

今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，，设
(1)计算的大小；
(2)质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；
②若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
19．（本题17分）如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.