湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在的展开式中常数项是( )
A.1120B.160C.D.
2．曲线在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
3．若双曲线的离心率为2,则m的值为( )
A.B.C.D.
4．如图,在三棱锥中,点E,F分别是SA,BC的中点,点G在EF上,且满足,若,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知随机变量,则下列结论错误的是( )
A.,
B.若,则
C.
D.若随机变量Y满足,则
6．“四平方和定理”最早由欧拉提出,后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和,例如正整数.设,其中a,b,c,d均为自然数,则满足条件的有序数组的个数是( )
A.26B.28C.29D.30
7．几何学史上有一个著名的米勒问题:“设E,F是锐角的一边PA上的两点,试在边PB上找一点Q,使得最大.”,其结论是:点为过E,F两点且和射线PB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xy中,给定两点,点Q在y轴上移动,则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．若存在正实数t,m满足:,则m的最大值为( )
A.B.C.1D.e
二、多项选择题
9．数列的前n项和为,已知,则( )
A.对于,数列均为递减数列B.,使为等差数列
C.对于,都有D.若,则,都有
10．随着毕业季的临近,包含小王和小张的4位同学准备互相送礼物.他们每人准备了一份礼物,这四份礼物收齐后,每人从中随机抽取一份作为毕业留念,则( )
A.小王和小张恰好互换了礼物的概率为
B.已知小王抽到小张准备的礼物的条件下,小张抽到小王的礼物的概率为
C.恰有一个人抽到自己准备的礼物的概率为
D.每个人抽到的礼物都不是自己准备的礼物的概率为
11．已知空间直角坐标系中的四个点,,,,E,F分别为线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为B.三棱锥的外接球表面积为
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
12．已知点,,直线与y轴相交于点C,则中,AB边上的高CE所在直线的方程是______.
13．若函数在内有最小值,则实数a的取值范围是______.
14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”,则______.若“黄金椭圆”的两个焦点分别为,,P为椭圆E上异于顶点的任意一点,点M是的内心,连接PM并延长交于点Q,则______.
四、解答题
15．设函数
（1）求的单调区间和极值;
（2）若对恒成立,求的取值范围.
16．如图,在四面体中,平面是中点,,点在线段上,且.
（1）若平面,求的值;
（2）若是正三角形,,且,求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值.
17．已知数列满足,
（1）记,写出,,并求数列的通项公式;
（2）求的前100项和.
18．已知动点P到点的距离比到直线的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的轨迹方程;
（2）已知点,过点Q作直线l与曲线C交于A,B两点,连接AF,BF分别交C于M,N两点.
①当直线AB的斜率存在时,设直线AB的斜率为,直线MN的斜率为,试判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
②求面积的最小值.
19．某高中学校有室内,室外两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼,也可选择不锻炼,一天最多锻炼一次,一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去室内,室外运动场的概率均为0.5,每次选择相互独立.设W同学三天内去运动场锻炼的次数为X,已知X的分布列如下:(其中,)
（1）记事件表示W同学三天内去运动场锻炼次;事件B表示W同学在这三天内去室内运动场锻炼的次数大于去室外运动场锻炼的次数.当时,试根据全概率公式求的值;
（2）是否存在实数p,使得?若存在,求p的值:若不存在,请说明理由;
（3）记表示事件“室外运动场举办集体锻炼活动”,N表示事件“王同学去室外运动场锻炼”,.已知W同学在室外运动场举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率,比不举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率大,试比较与的大小,并证明之.
参考答案
1．答案：D
解析:.
2．答案：A
解析:,当时,,故切线方程为,即.
3．答案：C
解析:因为曲线为双曲线,所以,故,所以.
4．答案：B
解析:如图,,因为,
所以.
5．答案：D
解析:已知随机变量,所以,,故A成立;因为,所以,故C成立;若,则,故B成立;对于D答案;随机变量满足,则,故D错误.
6．答案：C
解析:满足的自然数有四组,分别是:6,0,0,0;5,3,1,1;4,4,2,0;3,3,3,3;那么有序数组有:个.
7．答案：B
解析:设圆心C坐标为,则,圆的方程为
因为E,F两点在圆上,所以,解得或,
当时,为劣弧所对角,故舍去.所以,,
所以,,,故为等腰直角三角形,所以.
8．答案：A
解析:正实数t,m满足,则,
所以令,则,设,,,易知在上单调递减,在上单调递增,故,所以,即,又因为,故,所以,所以,则,则,令,,,易知在上单调递增,在上单调递减,所以故的最小值为.
9．答案：ACD
解析:数列的前项和,则
因为,当时,,故A正确;
又因为所以不为等差数列,故B错误;
因为,所以,又因为数列均为递减数列,所以都有,故C正确;
因为,所以,因为,有函数性质可知:的最大值为或,所以,故D正确.
10．答案：BC
解析:对于,四个人每人从中随机抽取一份共有种抽法,其中小王和小张恰好互换了礼物的抽法有种,故小王和小张恰好互换了礼物的概率为,故错误;
对于,设小王抽到的是小张准备的礼物为事件,则,小张抽到小王准备的礼物为事件,则已知小王抽到的是小张准备的礼物的条件下,小张抽到小王写的贺卡的概率为,故B正确;
对于,恰有一个人抽到自己准备的礼物的抽法有种,故恰有一个人抽到自己准备的礼物的概率为,故C正确:
对于,每个人抽到的礼物都不是自己准备的抽法共有种,
故每个人抽到的礼物都不是自己写的概率为,故D错误.
11．答案：ABC
解析:空间中四个点,,,,
所以,,,,,
对于,因为,所以,所以,设平面法向量为,则,取,则,所以,
则点到平面的距离为:,所以,故A正确;
对于,因为,所以,又,所以,所以外接球球心为CD中点,设CD中点球心,则,所以外接球表面积为,故B正确;
对于C,E,F分别为线段AB,CD上的动点,所以EF的最小值为异面直线AB,CD之间的距离,设为垂直于AB,CD的向量,,取,则,,所以,则在上投影长为,故C正确;
对于D,的最小值即为直线AB与平面BCD所成角的最小值,设平面BCD法向量为,取,则,,所以,则,所以的最小值为,故D错误.
12．答案：
解析:直线与y轴交点,AB的斜率,所以AB边上的高CE的斜率,所以CE所在直线方程为.
13．答案：
解析:函数的定义域为
,令可得:或(舍)
所以在上单调递减,在上单调递增,又因为函数在内有最小值,故,所以a的取值范围是.
14．答案：①,②
解析:由椭圆的离心率为,
可得,所以,
如图所示,连接,,设的内切圆半径为r,
则,即,
所以,所以,
因为,所以,所以.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）,令,则
当时,,故,所以在上单调递增;
又因为,所以当时,当时,
所以,的单调递减区间为,单调递增区间为
所以,有极小值,无极大值
（2）因为当时,恒成立,所以当时,恒成立,
令,所以
由（1）可知当时,,,,
所以,所以在上单调递增,
所以,所以
16．答案：（1）1
（2）
解析:（1）如图,取AD中点G,连接GF,
因为D为PA中点,G为AD中点,所以,
又因为,所以,故,
平面ABC,平面,故平面,
因为平面ABC,且,GE,平面GEF,
所以平面平面ABC,
又因为平面GEF,故平面ABC,
平面PAB,平面平面ABC,所以,
G为AD的中点,所以E为BD的中点,因为,所以;
（2）如图,取AC,PC中点O,H,连接OH,则,因为平面ABC,故平面ABC,连接OB,由于是正三角形,故,
以O为坐标原点,以OA,OB,OH所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,
由于,故,则,,,
设平面AEF的法向量,
则,,令,则,
而平面ABC的法向量可取为,
设平面AEF与平面PAC的夹角为,,所以.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由题意知:,又且,所以
,,所以,所以
因为,所以
所以,数列是以0为首项,以为公差的等差数列,所以,
（2）当n为奇数时,为偶数,则,两式相减得:
因为,所以
当n为偶数时,为奇数,则,,两式相减得:
因为,所以,所以:;
所以
18．答案：（1）
（2）
解析:（1）由题可知,点P到点F的距离与到的距离相等,
所以曲线C是以F为焦点,直线为准线的抛物线,方程为.
（2）①设,,,,
由题可知AB斜率不为0,设,
联立曲线方程并消去x可得,
显然,,,
,联立曲线方程并消去x可得
则,是方程的两根,,
所以,同理
因为,所以,所以.
（2）由①知MN的方程为:
令,,所以过定点.
,
当且仅当时,面积最小,最小值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析:（1）当时,,,,,则,解得.
由题意,得,,.
由全概率公式,得.
又,,所以.
（2）由,得.
假设存在p,使.
将上述两式相乘,得,化简得:.
设,则.
由,得,由,得,
则在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,所以不存在使得.即不存在p值,使得.
（3）证明:由题知,所以,
所以,
所以,
即,所以,即.
X
0
1
2
3
P