2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列-2025新高考数学专题，共22页。试卷主要包含了数列的概念，注意 an 与 an 的区别，数列的递推公式，数列的函数性质，等差数列与等比数列对比，等差数列的性质等内容，欢迎下载使用。

(1) 数列的定义
一般地, 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列
(sequence f number), 数列中的每一个数叫做这个数列的
项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项, 常用
符号 a1 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项,
用 a2 表示 ⋯⋯ 第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项,
用 an 表示. 其中第 1 项也叫做首项.
说明:
1. 数列具有有序性, 一个数列不仅与构成数列的 “数” 有关, 而且与这些数的排列顺序有关, 注意与集合中元 素的无序性区分开来.
2、数列的项具有可重复性, 数列中的数可以重复出现, 这要与集合中元素的互异性区分开来.
3、注意 an 与 an 的区别: an 表示数列整体: a1,a2,⋯,an,⋯;an 表示数列 an 中的第 n 项.
4. 数列与函数的关系: 数列 an 是从正整数集 N* (或它的有限子集 1,2,3,⋯,n ) 到实数集 R 的函数,其自变 量是序号 n ,对应的函数值是数列的第 n 项 an ,记 an=fn ,即当自变量从 1 开始,按照从小到大的顺序依次取值 时所对应的一列函数值就是数列 an ,另一方面,对于函数 y=fx ,如果 fnn∈N* 有意义,那么, f1,f2 , f3,⋯,fn,⋯ ,构成一个数列 {fn} .
2、数列的分类
3、数列的通项公式
如果数列 an 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项 公式.
说明: 数列的通项公式实际上是一个定义域比较特殊的函数的解析式,即 an=fn ,通项公式中的 n 取不同的值, 可以得到数列的项.
4、数列的递推公式
如果一个数列 an 的相邻两项或者多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做数列 an 的递推 公式.
说明: (1) 不是所有的数列都有递推公式. (2) 递推公式是给出数列的一种方法. 递推公式和数列的通项公式一样, 都是关于项的序号 n 的恒等式,如果用符合要求的正整数依次去替换 n ,就可以求出数列的各项.
(3) 数列的表示方法: 通项公式法; 列表法; 图象法; 递推公式法.
5、数列的前 n 项和 ○ 温馨提示
an=Sn−Sn−1 不是对一切正 1. 概念: 数列 an 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和,称为数列 整数 n 都成立,而是对 n≥2 an 的前 n 项和,记作 Sn ,即 Sn=a1+a2+⋯+an .
的一切正整数 n 恒成立,因为如果数列 an 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的对应关系 当 n=1 时, Sn−Sn−1 无意义. 因可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前 n 项此,由前 n 项和 Sn 求通项公式 an=fn 时,要分 n=1 与 n≥2 和公式.
两种情况, 注意验证两种情形 2. an 与 Sn 的关系: an=S1,n=1,Sn−Sn−1,n≥2. 能否用同一式子表示, 若不能,则将 an 用分段形式表示.
6、数列的函数性质
(1) 数列单调性的判断方法:
(1)转化为函数,借助函数的单调性研究数列的单调性,如: 数列 an 的通项公式为 an=n2−n+1 ,考察函数 y=x2−x+1 在 12,+∞ 上为增函数,则数列 an 为单调递增数列.
(2)利用定义判断: 作差 (作商) 比较法,比较 an+1 与 an 的大小,从而判断数列 an 的单调性.
例: 已知数列 an 满足 an=n2+λnn∈N* ,若数列 an 为递增数列,则实数 λ 的取值范围是 (2) 数列的最大项与最小项
(1)借助数列的单调性研究数列的最大项与最小项.
(2)利用 an≥an+1an≥an−1 n≥2 求数列 an 的最大项; 利用 an≤an+1an≤an−1 n≥2 求数列 an 的最小项.
例: 已知数列 an 的通项公式是 an=n+2×78nn∈N* ,试问数列 an 中有没有最大项? 若有,求出最大项和 相应的项数; 若没有, 说明理由.
7、等差数列与等比数列对比
8、证明数列 an 为等差数列的方法:
(1) 定义法: an−an−1=dd 为常数, n≥2⇔an 为等差数列;
(2) 中项法: 2an+1=an+an+2⇔an 为等差数列;
(3) 通项法: an 为 n 的一次函数 ⇔an 为等差数列;
(4) 前 n 项和法: Sn=An2+Bn 或 Sn=na1+an2 。
9、等差数列的性质:
(1) 在等差数列中,若 m+n=p+k ,则 am+an=ap+akm、n、p、k∈N+ 。
(2) 在等差数列 an 中, ak、a2k、a3k、a4k、⋯ 仍为等差数列,公差为
(3) 若 an 为等差数列,则 Sk、S2k−Sk、S3k−S2k、⋯ 仍为等差数列,公差为 k2d0
s2ka1+a2+a3+⋯+ak⏟Sk+ak+1+⋯+a2k⏟S2k−Sk+a2k+1+⋯+a3k⏟S3k−S2k
(4) 等差数列的增减性: d>0 时为递增数列,且当 a1<0 时前 n 项和 Sn 有最小值。(5) 等差数列 an 的首项是 a1 ,公差为 d
若其前 n 项之和可以写成 Sn=An2+Bn ,则 A=d2,B=a1−d2 ,当 d≠0 时它表示二次函数,数列 an 的前 n 项和 Sn=An2+Bn 是 an 成等差数列的充要条件。 10、对等差数列前 n 项和的最值问题的三中方法:
(1) 利用 an:D 当 a1>0,d<0 ,前 n 项和有最大值,可由 an≥0 且 an+1≤0 ,求得 n 的值;
(2)当 a1<0,d>0 ,前 n 项和有最小值,可由 an≤0 且 an+1≥0 ,求得 n 的值。
注意: 求 Sn 的最值时,当 an=0 时 n 取两个值。
(2) 利用 Sn : 由 Sn=d2n2+a1−d2n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值。
(3) 利用函数的单调性
11、等比数列的判定与证明方法:
(1) 定义法: 若 an+1an=qn∈N+,q≠0 或 anan−1=qn≥2,n∈N+,q≠0 ,则 an 是等比数列。
(2) 等比中项法: 若数列 an 中, an≠0 且 an+12=an⋅an+2n∈N+ ,则 an 是等比数列。
(3) 通项公式法: 若数列通项公式可写成 an=c⋅qnc≠0,q≠0,n∈N+ ,则 an 是等比数列。
12、等比数列的性质
(1) 等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a、G、b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比
中项。即 G=±aba、b同号
(2) 等比中项的性质:
(1) an2=an−1⋅an+1n≥2;an2=an−k⋅an+kn>k>0 ;
(2)若 m+n=p+k ,则 am⋅an=ap⋅ak 。
(3) 数列 an 首项是 a1 ,公比为 q1 ,数列 bn 首项为 b1 ,公比为 q2 ,则数列 an⋅bn 是首项为 a1⋅b1 ,公比为 q1⋅q2 的等比数列,同理数列 anbn 是首项为 a1b1 ,公比为 q1q2 的等比数列。
(4) 在公比为 q 的等比数列 an 中,数列 am、am+k、am+2k、am+3k⋯ 仍是等比数列。
(5) 公比为 qk ; 数列 Sk、S2k−Sk、S3k−S2k、⋯ 仍是等比数列 (此时 q≠−1 )。
a1+a2+a3+⋯+ak⏟Sk+ak+1+⋯+a2k⏟S2k−Sk+a2k+1+⋯+a3k⏟S2k−S2kS2k
13、递推数列的类型以及求通项方法总结:
(1) 定义法: 等差数列的通项公式: an=a1+n−1d 或 an=am+n−md
等比数列的通项公式: an=a1⋅qn−1a1⋅q≠0 或 an=am⋅qn−mn>m
(2) 做差法: 由 an 与 Sn (即 a1+a2+⋯+an=fn ) 的关系求 an,an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2 。
(3) 累加法: 由 an+1−an=fn 求 an,an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1n≥2 。
(4) 累乘法: 已知 an+1an=fn 求通项 an,an=anan−1⋅an−1an−2⋯a2a1⋅a1n≥2 。
(5) 已知递推关系求 an ,用构造法 (构造等差、等比数列):
形如 an+1=pan+fn ,只需构造数列 bn ,消去 fn 带来的差异, fn 的形式有:
(1) fn 为常数,即递推公式为 an+1=pan+q (其中 p、q 均为常数且 pqp−1≠0 )。
解法: 先设参转化为 an+1+λ=pan+λ ,其中 λ=qp−1 ,再利用换元法转化为等比数列求解。
(2) fn 为一次多项式,即递推公式为 an+1=p⋅an+r⋅n+s 。
(3) fn 为 n 的二次式,则可设 bn=an+An2+Bn+C 。
递推公式为 an+1=p⋅an+qn (其中 p、q 为常数且 pqp−1q−1≠0 ) 或 an+1=p⋅an+r⋅qn (其中 p、q、r 为常数)。
解法: 一般地要先在原递推公式两边同除以 qn+1 ,得: an+1qn+1=pq⋅anqn+1q ,引入辅助数列 bn (其中 bn= anqn ,得: bn+1=pq⋅bn+1q ,再应用类型 (1) 的方法解决。
递推公式为 an+2=p⋅an+1+q⋅an (其中 p、q 均为常数)。
解法: 先把原递推公式转化为 an+2−s⋅an+1=tan+1−s⋅an ,其中 s、t 满足 s+t=pst=−q ,解出 s、t ,于是
an+1−san 是公比为 t 的等比数列,就转化为前面的类型。形如 an=an−1kan−1+b 或 an−1−b⋅an=k⋅an⋅an−1 的递推数列都可以用倒数法求通项。
形如 an+1=p⋅nr 型,该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等 比数列求通项。两边取对数 lgan+1=lgp⋅anr=lgp+r⋅lgan ,设 bn=lgan ,原等式变为 bn+1=r⋅bn+lgp 即变为基本型。 14、数列的求和方法:
(1) 等差数列求和: Sn=a1+ann2=am+an−m−1n2=na1+nn−1d2;Sm+n=Sm+Sn+mnd 。
(2) 等比数列求和: Sn=na1q=1a11−qn1−q=a1−anq1−qq≠1;Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm 。
(3) 分组求和法: 把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列, 再求和。
对于求 an 的前 n 项和的问题一般都是分类讨论。
(4) 倒序求和法: 将数列的顺序倒过来排列, 与原数列两式相加, 若有公因式可提, 并且剩余项的和易于求 出, 这样的数列可用倒序相加法求和。
(5) 裂项相消法: 就是把数列的各项分裂成两项之差, 相邻的两项彼此相消, 只余有限几项, 就可以化简后 求和。适用条件:
(1) canan+1 其中 an 是各项不为 0 的等差数列, c 为常数,可拆解为 canan+1=cd1an−1an+1 ;
(2)部分无理数列 can+an+1=cdan+1−an 。
(6) 一些常用的裂项公式:
(1) 1nn+1=1n−1n+1 ; (2) 14n2−1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ;
(3) 1nn+2=121n−1n+2 ; (4) 1n+1+n=n+1−n ;(5) 1nn+k=1k1n−1n+k ; (6) 1nn+1n+2=121nn+1−1n+1n+2 。
(7) 常见放缩公式:
(1) 2n+1−n=2n+1+n<1n<2n+n−1=2n−n−1 ;
(2) 1k2<1k2−1=121k−1−1k+1 ;
(3) 1k−1k+1=1kk+1<1k2<1kk−1=1k−1−1k ;
(8) 错位相减法: 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和。 (9) 周期法: 有的数列是周期数列, 把握了数列的周期则可顺利求和。
【重要方法总结】
1、特殊递推数列求通项公式
3、几个特殊数列的和
自然数列的和: 1+2+3+4+⋯⋯+n=nn+12
平方数列的和: 1+22+32+42+⋯⋯+n2=16nn+12n+1
立方数列的和: 1+23+33+43+⋯⋯+n3=nn+122
奇数列的和: 1+3+5+⋯⋯+2n−1=n2
4、裂项求和中的方法
(1) 适用条件: 适用于题目所给数列通项结构为分式形式的数列求和.
(2) 核心步骤: 需把题目所给数列通项结构进行列项. 其中: k=1大分母一小分母
列项公式: 1小分母×大分母=k1小分母−1大分母
(3) 常见放缩方式:
(1) 形如 1n+12 ,常放缩为 1nn+1>1n+12≥1n+1n+2 ;
(2) 形如 ka+qn ,常放缩为 kqn ,譬如 13n>13n+1≥14⋅3n−1
(3) 形如 1n+1 ,常放缩为 1n+1≥1n+n+1
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版选择性必修二 P9
4. 已知数列 an 的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后各项由 an=an−1+an−2n>2 给出.
(1) 写出这个数列的前 5 项;
(2) 利用数列 an ,通过公式 bn=an+1an 构造一个新的数列
(第 5 题)
bn ,试写出数列 bn 的前 5 项.
5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研 究数. 他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多 类,如图中第一行的 1,3,6,10 称为三角形数,第二行的 1,4,9,16 称为正方形数,第三行的 1,5,12,22 称为 五边形数. 请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数 所构成的数列的第 5 项和第 6 项.
6. 假设某银行的活期存款年利率为 0.35% ,某人存人 10 万元 后, 既不加进存款也不取款, 每年到期利息连同本金自动 转存. 如果不考虑利息税及利率的变化,用 an 表示第 n 年 到期时的存款余额,求 a1,a2,a3 及 an .
新人教 A 版选择性必修二 P9
7. 已知函数 fx=2x−12xx∈R ,设数列 an 的通项公式为 an=fnn∈N* .
(1) 求证 an≥12 .
(2) an 是递增数列还是递减数列? 为什么?
新人教 A 版选择性必修二 P18
3. 在等差数列 an 中, an=m,am=n ,且 n≠m ,求 am+n . 新人教 A 版选择性必修二 P23
5. 已知一个等差数列的项数为奇数, 其中所有奇数项的和为 290 , 所有偶数项的和为 261 . 求此数列中 间一项的值以及项数.
新人教 A 版选择性必修二 P23
5. 已知数列 an 的通项公式为 an=n−22n−15 ,前 n 项和为 Sn . 求 Sn 取得最小值时 n 的值.
新人教 A 版选择性必修二 P25
3. (1) 求从小到大排列的前 n 个正偶数的和.
(2) 求从小到大排列的前 n 个正奇数的和.
(3) 在三位正整数的集合中有多少个数是 5 的倍数? 求这些数的和.
(4) 在小于 100 的正整数中, 有多少个数被 7 除余 2 这些数的和是多少?
新人教 A 版选择性必修二 P25
5. 已知一个多边形的周长等于 158 cm ,所有各边的长成等差数列,最大的边长为 44 cm ,公差为 3 cm . 求这个多边形的边数.
6. 数列 an,bn 都是等差数列,且 a1=5,b1=15,a100+b100=100 . 求数列 an+bn 的前 100 项的和.
7. 已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和.
(1) 证明 Snn 是等差数列;
(2) 设 Tn 为数列 Snn 的前 n 项和,若 S4=12,S8=40 ,求 Tn .
8. 已知两个等差数列 2,6,10,⋯,190 及 2,8,14,⋯,200 ,将这两个等差数列的公共项按 从小到大的顺序组成一个新数列. 求这个新数列的各项之和.
新人教 A 版选择性必修二 P26
12. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中, 后人称为 “三角垛”. “三角垛” 的最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球, 第三层有 6 个球……设各层球数构成一个数 列 an .
(1) 写出数列 an 的一个递推公式;
*(2) 根据 (1) 中的递推公式,写出数列 an 的一个通项公式.
新人教 A 版选择性必修二 P34
5. 已知数列 an 的通项公式为 an=n33n ,求使 an 取得最大值时 n 的值.
新人教 A 版选择性必修二 P37
2. 已知 a≠b ,且 ab≠0 . 对于 n∈N* ,证明:
an+an−1b+an−2b2+⋯+abn−1+bn=an+1−bn+1a−b.
5. 如果一个等比数列前 5 项的和等于 10 , 前 10 项的和等于 50 , 那么这个数列的公比等于多少?
新人教 A 版选择性必修二 P40
1. 一个乒乓球从 1 m 高的高度自由落下,每次落下后反弹的高度都是原来高度的 0.61 倍.
(1) 当它第 6 次着地时,经过的总路程是多少 (精确到 1 cm )?
(2) 至少在第几次着地后,它经过的总路程能达到 400 cm ?
新人教 A 版选择性必修二 P41
3. 求和:
(1) 2−3×5−1+4−3×5−2+⋯+2n−3×5−n ;
(2) 1+2x+3x2+⋯+nxn−1 .
新人教 A 版选择性必修二 P41
5. 已知 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和, S3,S9,S6 成等差数列. 求证: a2,a8,a5 成等差数列.
6. 求下列数列的一个通项公式和一个前 n 项和公式:
1,11,111,1111,11111,⋯
7. 已知数列 an 的首项 a1=1 ,且满足 an+1+an=3×2n .
(1) 求证: an−2n 是等比数列.
(2) 求数列 an 的前 n 项和 Sn .
8. 若数列 an 的首项 a1=1 ,且满足 an+1=2an+1 ,求数列 an 的通项公式及前 10 项的和.
9. 在流行病学中,基本传染数 R0 是指在没有外力介人,同时所
对于 R0>1 ,而且死亡 率较高的传染病，一般要隔 离感染者, 以控制传染源, 切断传播途径.
有人都没有免疫力的情况下, 一个感染者平均传染的人数. R0 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每 次接触过程中传染的概率决定. 假设某种传染病的基本传染 数 R0=3.8 ,平均感染周期为 7 天,那么感染人数由 1 个初始 感染者增加到 1000 人大约需要几轮传染? 需要多少天? (初 始感染者传染 R0 个人为第一轮传染,这 R0 个人每人再传染 R0 个人为第二轮传染……)
10. 已知数列 an 为等比数列, a1=1024 ,公比 q=12 . 若 Tn 是数列 an 的前 n 项积,求 Tn 的 最大值.
11. 已知数列 an 的首项 a1=35 ,且满足 an+1=3an2an+1 .
(1) 求证: 数列 1an−1 为等比数列.
(2) 若 1a1+1a2+1a3+⋯+1an<100 ,求满足条件的最大整数 n .
12. 已知数列 an 为等差数列, a1=1,a3=22+1 ,前 n 项和为 Sn ,数列 bn 满足 bn=Snn . 求证:
(1) 数列 bn 为等差数列;
(2) 数列 an 中的任意三项均不能构成等比数列.
新人教 A 版选择性必修二 P55
(2)《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus) 是世界上最古老的数学著作之一. 书中有一道这样的 题目, 请给出答案: 把 100 个面包分给 5 个人, 使每人所得面包个数成等差数列, 且使较 大的三份之和的 17 是较小的两份之和,则最小的一份为 ( ).
(A) 53 (B) 103 (C) 56 (D) 116
(3) 如图是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案. 图形的作法是: 从一个 正三角形开始, 把每条边分成三等份, 然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形, 再去掉底边. 反复进行这一过程, 就得到一条 “雪花” 状的曲线. 设原正三角形 (图(1) 的边 长为 1,把图(1)、图(2)、图(3)中图形的周长依次记为 C1,C2,C3,C4 ,则 C4= . (A) 1289 (B) 649 (C) 6427 (D) 12827
(1) (2) (3) (4)
(第 3 (3) 题)
新人教 A 版选择性必修二 P56
10. 任取一个正整数, 若是奇数, 就将该数乘 3 再加上 1 ; 若是偶数, 就将该数除以 2 . 反复进行 上述两种运算,经过有限次步骤后,必进人循环圈 1→4→2→1 . 这就是数学史上著名的 “冰 雹猜想” (又称 “角谷猜想” 等). 如取正整数 m=6 ,根据上述运算法则得出 6→3→10→ 5→16→8→4→2→1 ,共需经过 8 个步骤变成 1 (简称为 8 步 “雹程”).
现给出冰雹猜想的递推关系如下:
已知数列 an 满足: a1=m ( m 为正整数), an+1=an2,当an为偶数时,3an+1,当an为奇数时
(1) 当 m=17 时,试确定使得 an=1 需要多少步看程;
(2) 若 a8=1 ,求 m 所有可能的取值集合 M .
11. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S4=4S2,a2n=2an+1n∈N* .
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 若 bn=3n−1 ,令 cn=anbn ,求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
12. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 an+1=2Sn+2n∈N* .
(1) 求数列 an 的通项公式.
(2) 在 an 与 an+1 之间插人 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列,在数列 dn 中是否存在 3 项 dm,dk,dp (其中 m,k,p 成等差数列) 成等比数列? 若存在, 求出这样的 3 项; 若不存在, 请说明理由.
新人教 A 版选择性必修二 P56
13. 类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等, 发现它们具有如下的对偶关系: 只要将等差数列的一个关系式中的运算 “十” 改为 “ × ”,“一” 改为 “ ”,正整数倍改为正 整数指数幂, 相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式, 反之也成立.
(1) 根据上述说法, 请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式;
(2) 在等差数列 an 中,若 a2018=0 ,则有
a1+a2+⋯+an=a1+a2+⋯+a4035−nn∈N*,n<4035.
相应地,在等比数列 bn 中,若 b2019=1 ,请你类比推测出对偶的等式,并加以证明.
新人教 A 版选择性必修二 P57
14. 在 2015 年苏州世乒赛期间, 某景点用
(第 14 题)
乒乓球堆成若干堆 “正三棱雉” 形的 装饰品, 其中第 1 堆只有 1 层, 就一 个球; 第 2,3,4,⋯ 堆最底层 (第一 层) 分别按图中所示方式固定摆放, 从第二层开始, 每层的小球自然垒放 在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球. 记第 n 堆的乒乓球总数为 fn .
(1) 求出 f3 ;
(2) 试归纳出 fn+1 与 fn 的关系式,并根据你得到的关系式探求 fn 的表达式. 参考公式: 12+22+⋯+n2=16nn+12n+1 .新人教 A 版选择性必修二 P57
15. 有理数都能表示成 mn(m,n∈Z ,且 n≠0,m 与 n 互质) 的形式,进而有理数集 Q= mn m,n∈Z ,且 n≠0,m 与 n 互质 } . 任何有理数 mn 都可以化为有限小数或无限循环小数. 反之,任一有限小数也可以化为 mn 的形式,从而是有理数; 那么无限循环小数是不是有理数? 思考下列问题:
(1) 1.2 是有理数吗? 请说明理由.
(2) 1.24 是有理数吗? 请说明理由.
16. 平面上有 nn∈N,n≥3 个点,其中任何三点都不在同一条直线上. 过这些点中任意两点 作直线, 这样的直线共有多少条? 证明你的结论.
*17. 数学归纳法还有其他变化形式, 例如, 将数学归纳法中的第 (1) 步保持不变, 第 (2) 步改 为 “以 “当 n0≤n≤kk∈N*,k≥n0 时命题成立’ 为条件,推出 ’当 n=k+1 时命题也 成立,”,” 也可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 这种证明方法称为第二数学归 纳法. 试用第二数学归纳法证明如下命题:
若数列 Fn 满足 F1=1,F2=1,Fn=Fn−1+Fn−2n≥3,n∈N* ( Fn 称为斐波那 契数列),则其通项公式为 Fn=151+52n−1−52n .
新人教 B 版选择性必修三 P8
(5) 已知函数 fx=2x−1x ,设数列 an 的通项公式为 an=fn ,其中 n∈N+ .
(1) 求证: 1≤an<2 ;
(2) 判断 an 是递增数列还是递减数列,并说明理由.
(4) 已知数列 an 的通项公式为 an=n2+2n ,则 168 是不是这个数列中的项? 如果 是, 求出是第几项; 如果不是, 说明理由.
(4) 古希腊的毕达哥拉斯学派将 1,3,6,10 等数称为三角形数,因为这些数目的 点总可以摆成一个三角形, 如下图所示. 把所有的三角形数按从小到大的顺序 排列,就能构成一个数列 an ,写出 a5,a6 以及 an .
(第 4 题)
新人教 B 版选择性必修三 P
(2) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn=n2−n ,求 an 的通项公式.
(4) 如图,已知直线 l:y=x 与曲线 C:y=12x ,设 P1 为
(第 4 题)
曲线 C 上横坐标为 1 的点. 过 P1 作 x 轴的平行线交 l 于 Q2 ,过 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P2 ; 再过 P2 作 x 轴 的平行线交 l 于 Q3 ,过 Q3 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P3⋯⋯ 设点 P1,P2,⋯,Pn,⋯ 的纵坐标分别为 a1 , a2,⋯,an,⋯ ,试求数列 an 的前两项以及递推关系. 新人教 B 版选择性必修三 P15
(3) 已知数列 an 的通项公式为 an=n−97n−98 ,它的前 30 项中最大项是第几项? 最小项是第几项?
(4) 已知函数 fx=1−2xx+1 ,构造数列 an=fn .
(1) 求证: an>−2 ;
(2) 数列 an 是递增数列还是递减数列? 为什么?
(5) 写出数列 1,2,2,4,3,8,4,16,5,⋯ 的一个通项公式.
(6) 已知数列 an 中,前 n 项和 Sn=n+1n ,求 an 的通项公式. 新人教 B 版选择性必修三 P22
(4) 已知安装在一个公共轴上的 5 个皮带轮的直径成等差数列, 其中最大的与最小 的皮带轮的直径分别为 216 mm 与 120 mm ,求中间 3 个皮带轮的直径.
已知一个无穷等差数列的首项为 a1 ,公差为 d .
(1) 将数列的前 m 项去掉,其余各项依次构成的数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别为多少?
(2) 取出数列中的所有序号是奇数的各项, 依次构成一个新的数列, 这个数列 是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别为多少?
(3) 取出数列中的所有序号是 7 的倍数的各项, 依次构成一个新的数列, 这个 数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别为多少?
新人教 B 版选择性必修三 P27
等差数列 14,11,8,…前多少项的和最大? 为什么?
在两位数的正整数中, 有多少个除以 3 余 1 的数? 求它们的和.
(4) 已知一个凸 n 边形内角的度数按从小到大构成等差数列,且最小角为 40∘ ,公差 为 20∘ ,求 n 的值.新人教 B 版选择性必修三 P27
如果一个三角形的 3 个内角的度数成等差数列, 这个三角形 3 个内角的大小 能确定吗? 你能得到什么结论?
(2) 已知等差数列 an 中, d=−5,a10=−2 ,求这个数列前 8 项的和.
(2) 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 S0<0,S10>0 ,则此等差数列的前 多少项和最小?
(4) 在等差数列 an 中,已知 a3+a11=6 ,求 S13 . 新人教 B 版选择性必修三 P28
如果一个三角形的 3 个内角的度数成等差数列, 这个三角形 3 个内角的大小 能确定吗? 你能得到什么结论?
(2) 已知等差数列 an 中, d=−5,a10=−2 ,求这个数列前 8 项的和.
(2) 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 S0<0,S10>0 ,则此等差数列的前 多少项和最小?
(4) 在等差数列 an 中,已知 a3+a11=6 ,求 S13 .
(3) 已知函数 fn=n−1+n−2+n−3+⋯+n−20 ,其中 n 是自 然数.
(1) 分别计算 f1,f5,f20 的值;
(2) 当 n 为何值时, fn 取得最小值? 最小值是多少?
(2) 我国古代数学名著《算法统宗》中说: 九百九十六斤棉, 赠分八子做盘缠; 次第每人多十七, 要将第八数来言; 务要分明依次第, 孝和休惹外人传. 说 的是, 有 996 斤棉花要赠送给 8 个子女做旅费, 从第 1 个孩子开始, 以后每 人依次多 17 斤, 直到第 8 个孩子为止……你能根据这些信息算出每人分得了 多少棉花吗?
新人教 B 版选择性必修三 P36
当等比数列的首项与公比满足什么条件时，这个数列是递增数列?
(4) 求证: an 为等比数列的充要条件是 an=kqn ,其中 k,q 都是不为 0 的常数.
下图(1)是一个边长为 1 的正三角形, 将每边 3 等分, 以中间一段为边向外作正 三角形,并擦去中间一段,得图 (2),如此继续下去,得图(3)……试求第 n 个 图形的周长和面积.
(1) (2) (3)
新人教 B 版选择性必修三 P42
(1) 计算.
(1) 0.9+0.99+0.999+⋯+0.999⋯9n↑9 ;
(2) a−1+a2−2+⋯+an−n,a≠0,a∈R .
如果一个等比数列前 5 项的和等于 10 , 前 10 项的和等于 50 , 那么这个数列前 15 项的和等于多少?
(3) 已知等比数列的首项为 -1,前 n 项和为 Sn ,如果 S10S5=3132 ,求 S8 .
新人教 B 版选择性必修三 P42
(4) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,点 n,Sn 在函数 y=2−2×3x 的图象上,求 数列 an 的通项公式.
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: 远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? 意思是, 一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍, 求塔顶层灯的数目. 你 能求出来吗?
新人教 B 版选择性必修三 P43
(2) 求 a4+a2b2 与 b4+a2b2 (其中 ab≠0 ) 的等比中项.
已知一个正三角形边长为 a ,以此正三角形的高为边作第 2 个正三角形,以 此类推继续作正三角形. 求前 10 个正三角形的周长之和.
(3) 设 an 是等比数列,且 an>0 ,证明数列 lgan 是等差数列,并求出这个等 差数列的首项与公差.新人教 B 版选择性必修三 P44
(6) 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,已知 13S3 与 14S4 的等比中项为 15S5 ,且
13S3 与 14S4 的等差中项为 1,求 an 的通项公式.
(2) 已知等比数列 an 的前 n 项的积为 Tn ,即 Tn=a1a2a3⋯an−1an ,又已知 a1=4,q=12 ,求 Tn ,及 Tn 的最大值.
新人教 B 版选择性必修三 P44
(1) 求 1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n 的值.
(2) 在数列 an 中, Sn+1=4an+2,a1=1 .
(1) 设 bn=an+1−2an ,求证: 数列 bn 是等比数列;
(2) 设 cn=an2n ,求证: 数列 cn 是等差数列;
(3) 求数列 an 的通项公式及前 n 项和公式.
(2) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若对于任意的正整数,都有 Sn=2an−3n .
(1) 求数列 an 的首项与递推关系;
(2) 证明: 数列 bn 满足 bn+1=Abn+B 时 (其中 A≠1,B≠0 ),数列 bn−B1−A 是以 A 为公比的等比数列. 并求数列 an 的通项公式.
新人教 B 版选择性必修三 P51
(3) 某人现有资金 172500 元, 恰好可以以每股 17.25 元的价格购进某种股票 10000 股, 预期一年后能以每股 18.96 元的价格卖出 (股票交易税税率为 0.3%); 此人也可以将这笔资金存入银行,其中月利率为 0.8% ,每月结算 一次利息且不扣利息税. 你觉得该人应该用这笔资金买股票还是存银行? (取 1+0.8%12=1.10034)
(7) 从社会效益和经济效益出发, 某地准备投入资金进行生态环境建设, 以发展 旅游产业. 根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 15 , 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 14 .
(1) 设 n 年内 (本年度为第 1 年) 总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万 元,写出 an,bn 的表达式;
(2) 经过多少年后, 旅游的总收入就能超过总投入?新人教 B 版选择性必修三 P51
6. 已知 a1=1,an+1=2an+1 ,记 bn=an+1 ,证明: bn 是等比数列,并 求 an .
7. 早在公元前 1 世纪左右, 我国古代著名的《周牌算经》中就出现了与等差数 列有关的内容: 凡八节二十四气, 气损益九寸九分六分分之一; 冬至暑长一丈三尺 五寸, 夏至暑长一尺六寸. 问: 次节损益寸数长短各几何? 这指的是二十四节气可 以通过特定标记的日影长度来确定,每相邻两个节气之间的日影长度差为 9916 分; 且冬至时日影长度最大, 为 1350 分; 夏至时日影长度最小, 为 160 分. 问每个节气 的日影各为多少. 设二十四节气的日影长按从大到小的顺序排成的数列为 an ,请 依次写出这个数列中的各项. 新人教 B 版选择性必修三 P59
3. (1) 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则
Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,S4n−S3n,⋯
成等差数列吗? 证明你的结论.
(2) 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则
Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,S4n−S3n,⋯
成等比数列吗? 证明你的结论.
4. 是否存在一个各项都小于 5 的无穷递增数列? 如果存在, 写出一个满足条件 的数列的通项公式; 如果不存在, 说明理由.
5. 如果 a4=18,an+1=an2an+1 ,试写出数列 an 的前 3 项,并猜想它的一个通 项公式, 然后给出证明. 新人教 B 版选择性必修三 P59
8. 已知 an 满足 a1a2a3⋯an−1an=n2 ,求 an .
9. 已知数列 an 满足 a1+2a2+⋯+n−1an−1+nan=3n2 ,求 an .
10. 已知数列 an 是等差数列, bn 是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1 , a14=b4 .
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 设 cn=anbn ,求数列 cn 的前 n 项和.
11. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 An ,等差数列 bn 的前 n 项和为 Bn ,且 AnBn=2n+33n+2 ,求 a8b8 .
12. 已知 n≥2 ,且平面内有 n 条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同 一点, 证明: 这些直线的交点的个数为
fn=nn−12.
新人教 B 版选择性必修三 P60
1. 甲、乙、丙、丁 4 人做传球练习, 球首先由甲传出, 每个人得到球后都等可 能地传给其余 3 人之一,设 Pn 表示经过 n 次传递后球回到甲手中的概率.
(1) 求 P1,P2 ;
(2) 用 n 表示出 Pn .
2. 计算 1+2x+3x2+⋯+nxn−1 .
3. 将正整数数列 1,2,3,4,5,⋯ 的各项按照上小下大、左小右大的原则写 成如下的三角形数表.
(1) 写出数表的第 4 行、第 5 行;
(2) 写出数表中第 10 行的第 5 个数;
(3) 设数表中每行的第 1 个数依次构成数列 an ,数表中每行的最后一个数依 次构成数列 bn ,试分别写出数列 an,bn 的递推公式,并求出它们的通项公式.等差数列
等比数列
定义
公式
1. an= 2. Sn=
1. an= 2. Sn=
性质
1. a,b,c成等差数列 ⇒ 称b为a与c的等差中项 2. 若 m+n=p+q ,则
1. a,b,c成等比数列 ⇒ 称b为 a 与 c 的等比中项 2. 若 m+n=p+q ,则
数 列
数列通项公式
an+1=aan+bcan+d
不动点递推法. 令: an+1=an=x ,即 cx2−a−dx−b=0 ; 解出 两个根为 α,β . (1) 当 α≠β 时, an+1−αan+1−β=kan−αan−βk=a−αca−βc ,数列 an−αan−β 是以 a1−αa1−β 为首项， k 为公比的等比数列 (2) 当 α=β 时, 1an+1−α=1an−α+kk=cαc+d ,数列 1an−α 是以 1a1−α 为首项, k 为公差的等差数列.
an+1=pan+qan−1 a1=a,a2=b
(1) 当 p+q=1 时, an=a+b−a1−−qn−11+q . (2) 当 p+q≠1 时,设 an+1−αan=βan−αan−1 与 an+1=pan+ qan−1 比较,得 α⋅β=−qα+β=p ,可知: α,β 是方程 x2−px−q= 0 的两根，容易求得 α,β . 当 α≠β 时,特征根解方程法: 令 an=x⋅αn+y⋅βn ,将 a1,a2 代入即可. 当 α=β 时,特征根解方程法: 令 an=xn+yαn ,将 a1,a2 代 入即可.
Fn=Fn−1+Fn−2 F0=F1=1 斐波那契数列 (黄金分割数列)
(1) 定义:一个数列, 前两项都为 1 , 从第三项起, 每一项都是前两 项之和. (2) 通项公式: Fn=151+52n−1−52n (3) 性质: a12+a22+⋯+an2=anan+1
an+1=pan+qan−1+A a1=a,a2=b
(1) 当 p+q=1 时, an+1−an=−qan−an−1+A ,继续构造 法,迭加法求出 an . (2) 当 p+q≠1 时,设 an+1−αan=βan−αan−1+A α,β 是方程 x2−px−q=0 的两根,容易求得 α,β . 当 α≠β 时,特征根解法: an=x⋅αn+y⋅βn+z ,代入 a1,a2,a3 可解. 当 α=β 时,特征根法: an=xn+yαn+z ,代入 a1,a2,a3 可 解.
周期数列
数列 an 满足: an+2=an+1−ann∈N•、an=an−1an−1n≥3 则 an 是周期为 6 的数列, 计算出前 6 个数列值, 整个数列就都知道了.
名称
等差数列 an
等比数列 bn
定义
an+1−an=d
通项公式
bn=b1qn−1=bmqn−m
常用性质
(1) a1+an=a2+an−1=a3+an−2=⋯ (2) an−k+an+k=2an n>k (3) (4) a1+a2+⋯+an=n2a1+an
(1) (2) (3)若 m+n=k+l m,n,k,l∈N* , 则 bnbm=bkbl (4)