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2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块08-三角函数及三角恒等变换-2025新高考数学专题
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这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块08-三角函数及三角恒等变换-2025新高考数学专题，共27页。试卷主要包含了任意角，终边相同的角，象限角与轴线角，角度制与弧度制，角度与弧度的换算，弧长公式，弧度制下角的终边的对称与垂直，三角函数的概念等内容，欢迎下载使用。
(2) 角的分类:
零角的始边与终边重
合, α=0∘ .
注: 设角 α 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成,角 β 由射线 O′A′ 绕端点 O′ 旋转而成. 如果它们的旋转方向相 同且旋转量相等,那么就称 α=β .
(3) 角的加法、减法
1) 角的加法
设 α,β 是任意两个角. 我们规定,把角 α 的终边旋转角 β ,这
时终边所对应的角是 α+β .
2) 相反角的概念
我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的 两个角叫做互为相反角. 角 α 的相反角记为 −α .
3) 角的减法
像实数减法的 “减去一个数等于加上这个数的相反数”一 样,我们有 α−β=α+−β . 这样,角的减法可以转化为角的 加法. 类比“减去一个数等于加上这个数的相反数”.
2、终边相同的角:
所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个
○ 温馨提示
3. 当角的始边相同时, 相等的 角的终边一定相同, 而终边 相同的角不一定相等. 终边 相同的角有无数个, 它们相 差 360∘ 的整数倍. 终边不同 则表示的角一定不同.
集合 1. α 为任意角,“ k∈Z ” 这一条 件不能漏.
2.k⋅360∘ 与 α 中间用“ + ” 连
即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周接, k⋅360∘−α 可理解成 k . 角的和. 360∘+−α .
3、象限角与轴线角
(1) 象限角的表示:
(i) 第一象限角: . (弧度表示) (注: 锐角是第一象限角, 反之不成立)
(ii) 第二象限角: （弧度表示）(注: 钝角是第二象限角, 反之不成立)
(iii) 第三象限角: (弧度表示)
(iv) 第四象限角: (弧度表示)(2) 轴线角的表示:
4、角度制与弧度制:
(1) 角度制:
我们知道,角可以用度为单位进行度量,1 度的角等于周角的 1360 . 这种用度作为单 位来度量角的单位制叫做角度制.
(2) 弧度制:
1) 1 弧度的角: 长度等于半径长的圆弧所对的
圆心角.
2) 弧度制: 以弧度作为单位来度量角的单位 制. 用符号 rad 表示,读作弧度.
我们把半径为 1 的圆叫做单位圆. 如图,在单位圆 O 中, AB 的
长等于 1,∠AOB 就是 1 弧度的角.
3) 在半径为 r 的圆中,弧长为 l 的弧所对的圆心角为 αrad ,则 α=lr
注: 一般地, 正角的弧度数是一个正数, 负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是 0 . 5、角度与弧度的换算:
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表:
角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间
建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数 (等于这 个角的弧度数) 与它对应; 反过来, 每一个实数也都有唯一的一 个角 (即弧度数等于这个实数的角) 与它对应 (图 5.1-12).
6、弧长公式、扇形的面积公式在应用弧长公式 l=αR
○ 易错提醒
时,要注意 α 的单位是 “弧 是以“度”为单位的角, 那么必
如图,设扇形的半径为 R ,弧长为 l ,圆心角为 α0<α<2π . 度”,而不是“度”,如果已知角
(1) 弧长公式: 须先把它化成以 “弧度” 为单位的, 再代入计算.
(2) 扇形的面积公式
7、弧度制下角的终边的对称与垂直
角的终边是一条射线, 在平面直角坐标系中, 若两个角的终边关于某条直线 (或点) 对称, 则这两个角就有一定的 关系.
8、三角函数的概念
(1) 单位圆中的定义
设 α 是一个任意角, α∈R ,它的终边 OP 与单位圆相交于点 Px,y .
(1) 把点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数 (sine functin),记作 sinα ,即
y=sinα;
(2) 把点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数 (csine functin),记作 csα ,即
x=csα;
(3) 把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 yx 叫做 α 的正切,记作 tanα ,即
yx=tanαx≠0.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 (trignmetric functin), 通 常将它们记为:
正弦函数 y=sinx,x∈R ;
余弦函数 y=csx,x∈R ;
正切函数 y=tanx,x∈x x≠π2+kπk∈Z .
(2) 利用角 α 的终边上任意一点的坐标定义三角函数
如图,设角 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是 x,y ,它与原点的距离 r=x2+y2 r>0 .
则: (i) sinα=
(ii) csα=
(iii) tanα=
(3) 三角函数值在各象限中的符号:
表 5.2-1
csα
tanα
(4) 特殊角的三角函数值
还需实记的值: 15∘π12:sin15∘=6−24 cs15∘=6+24 tan15∘=2−3
9、诱导公式:
10、同角三角函数的基本关系
1) 平方关系: sin2α+cs2α=1 ; 同一个角 α 的正弦、余弦的平
2) 商数关系: tanα=sinαcsαα≠π2+kπk∈Z . 方和等于 1 .
(说明: 利用三角函数的定义, 自行推导同角三角函数的基本关系式)
1、平方关系的推导:
2、商数关系的推导
11、三角函数的图象与性质
12、五点作图法:
13、三角函数图象变换
(1) 三角函数的平移变换 (1) 先伸缩后平移: y=sinx=−x⇒y=Asinx
y=Asinωx⇒y=Asinωx+φ
(2) 先平移后伸缩: y=sinx→y=Asinx
y=Asinx+φ⇒y=Asinωx+φ
定理: y=Asinωx+φ1→y=Asinωx+φ2 则平移单位为 φ2−φ1ω (注意平移方向)(2) 三角函数的翻折变换
(1) fx=sinx 的图像由 fx=sinx 图像作 x 轴的对称翻折得到.
(2) fx=sinx 的图像由 fx=sinx 图像作 y 轴的对称翻折得到.
14、正余弦型三角函数
⋆1 、正弦型三角函数 y=Asinωx+φ+B
fx=Asinωx+φ+B
(1) A (振幅): 振动物体离开平衡位置的最大距离. ωx+φ相位: 振动物体任意时刻的状态.
φ (初相): 振动物体初始时刻的状态.
T=2πω (周期): 振动物体往复一次的时间.
(2) 待定系数法求正弦型函数解析式
2A=fxmax−fxmin
2B=fxmax+fxmin、
ω=2πT从图中读出周期,一般是12T、14T、34T
φ 最值点 (零点) 法: ωx0+φ=π23π2
(3) 正 (余) 弦型三角函数的性质 (利用换元: t=ωx+φ 转化为正 (余) 弦三角函数)
15、三角恒等变换
(1) 两角和与差的三角公式
对于任意角 α,β 有
Cα−β
此公式给出了任意角 α,β 的正弦、余弦与其差角 α−β 的余弦之间的关系,称为差角 的余弦公式,简记作 Cα−β .
⇕α+β=α−−β
对于任意角 α,β 有
Cα−β
此公式给出了任意角 α,β 的正弦、余弦与其差角 α−β 的余弦之间的关系,称为差角 的余弦公式,简记作 Cα−β .
通过推导, 可以得到:
sinα+β=
Sα+β
sinα−β=
Sα−β
tanα+β=
Tα+β
tanα−β=
Tα−β
公式 Sa+β,Ca+β,Ta+β 给出了任意角 α,β 的三角函数值与其和角 α+β 的三角函 数值之间的关系. 为方便起见, 我们把这三个公式都叫做和角公式.
类似地, Sα−β,Cα−β,Tα−β 都叫做差角公式.
(2) 两角和与差的正切公式变形
1) Tα+β 的变形: tanα+tanβ=tanα+β1−tanαtanβ .
tanα+tanβ+tanαtanβtanα+β=tanα+β .
tanαtanβ=1−tanα+tanβtanα+β. 公式 Tα+β,Tα−β 是变形
○ 温馨提示
2) Tα−β 的变形: tanα−tanβ=tanα−β1+tanαtanβ . 较多的两个公式, tanαtanβ ,
tanα−tanβ−tanαtanβtanα−β=tanα−β . tanα+tanβ或tanα−tanβ,
tanαtanβ=tanα−tanβtanα−β−1 . tanα+β (或 tanα−β) 三者知二即可表示或求出第三个.
16、二倍角公式
(1) 二倍角的正弦、余弦、正切公式:
S2α
C2α
T2α
如果要求二倍角的余弦公式 C2a 中仅含 α 的正弦 (余弦),那么又可得到:
cs2α=
cs2α=
以上这些公式都叫做倍角公式. 倍角公式给出了 α 的三
角函数与 2α 的三角函数之间的关系.
(2) 公式的推导:
(3) 升幂公式: 1+csα=_ ;1−csα=
降幂公式: sin2α= ; cs2α=
(4) 熟悉公式的逆用: sin3αcs3α=12sin6α;2sinα2csα2=sinα;cs22α−sin22α=cs4α ;
1±sin2α=sin2α+cs2α±2sinαcsα=sinα±csα
(5) 辅助角公式
(1) 一次辅助角公式:
fx=asinωx±bcsωx=a2+b2sinωx±φ tanφ=ba
sinx+3csx=
sinx+csx=
(2) 二次辅助角公式:
fx=asinωxcsωx±bcs2ωxa,b>0
fx=a2sin2ωx±b2cs2ωx+1=a2+b22sin2ωx±φ±b2tanφ=ba
17、函数 y=Asinωx+φ 的图象与性质（阅读人教 A 版课本 P231−P238 ）一般地,正弦型函数 y=Asinωx+φ A≠0,ω≠0 的定义域为 R , 值域为 −A,A ,周期是 2πω ,而且函数的图象可通过对正弦曲线进 行平移、伸缩得到.
正弦型函数中的常数 A,ω,φ 都具有一定的实际意义.
事实上, 在前述情境与问题的小球运动
图 7-3-12
过程中,如果从 t=0 时刻开始,每隔一小 段时间（比如 0.01 s ）给弹簧和小球拍一张 照片, 并将这些照片按时间顺序排成一列 (顶端对齐), 就可得到如图 7-3-12 所示的图 形. 可以认为, 图中小球的中心在正弦型函 数 x=Asinωt+φ 的图象上,而且
(1) A 表示小球能偏离平衡位置的最 大距离, 称为振幅;
(2) φ 在决定 t=0 时小球的位置（即 Asinφ) 中起关键作用,称为初相;
(3) 周期 T=2πω 表示小球完成一次运动 所需要的时间. (小球的位置和速度首次都得到重复时称完成了一次运动.)
此时, f=1T=ω2π 表示单位时间内能够完成的运动次数,称为频率.
【课本优质习题汇总】
人教 A 版必修一 P176
10. 每人准备一把扇形的扇子, 然后与本小组其他同学的对比, 从中选出一把展开后看上去形状 较为美观的扇子,并用计算工具算出它的面积 S1 .
(1) 假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为 S2 ,求 S1 与 S2 的比值;
(2) 要使 S1 与 S2 的比值为 0.618,则扇子的圆心角应为几度 (精确到 1∘ )?
11. (1) 时间经过 4 h (时),时针、分针各转了多少度? 各等于多少弧度?
(2) 有人说, 钟的时针和分针一天内会重合 24 次. 你认为这种说法是否正确? 请说明理由. (提示: 从午夜零时算起,假设分针走了 tmin 会与时针重合,一天内分针和时针会重合 n 次,利用分针与时针转动的速度,建立 t 关于 n 的函数解析式,并求解.)
12. 已知相互啮合的两个齿轮, 大轮有 48 齿, 小轮有 20 齿.
(1) 当大轮转动一周时, 求小轮转动的角度;
(2) 如果大轮的转速为 180r/min (转/分),小轮的半径为 10.5 cm ,那么小轮周上一点每 1 s 转过的弧长是多少?人教 A 版必修一 P186
16. 化简 1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα ,其中 α 为第二象限角.
18. (1) 分别计算 sin4π3−cs4π3 和 sin2π3−cs2π3 的值,你有什么发现?
(2) 任取一个 α 的值,分别计算 sin4α−cs4α,sin2α−cs2α ,你又有什么发现?
(3) 证明: ∀x∈R,sin2x−cs2x=sin4x−cs4x .
人教 A 版必修一 P195
9. 化简下列各式,其中 n∈Z :
(1) sinnπ2+α ; (2) csnπ2−α .
人教 A 版必修一 P214
11. 根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的 x 的取值集合:
(1) sinx≥32x∈R ; (2) 2+2csx≥0x∈R .
13. 若 x 是斜三角形的一个内角,写出使下列不等式成立的 x 的集合:
(1) 1+tanx≤0 ; (2) tanx−3≥0 .
16. 已知函数 fx=12sin2x−π3,x∈R ,
(1) 求 fx 的最小正周期; (2) 求 fx 在区间 −π4,π4 上的最大值和最小值.
人教 A 版必修一 P214
4. 求证:
(1) csαsinβ=12sinα+β−sinα−β ;
(2) csαcsβ=12csα+β+csα−β ;
(3) sinαsinβ=−12csα+β−csα−β .
5. 求证:
(1) sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2 ;
(2) csθ+csφ=2csθ+φ2csθ−φ2 ;
(3) csθ−csφ=−2sinθ+φ2sinθ−φ2 .人教 A 版必修一 P227
例 10 如图 5.5-2,在扇形 OPQ 中,半径 OP=1 ,圆心角
图 5.5-2
∠POQ=π3,C 是扇形弧上的动点,矩形 ABCD 内接于扇形. 记 ∠POC=α ,求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大? 并求出 这个最大面积.
分析: 可先建立矩形 ABCD 的面积 S 与 α 之间的函数关系 S= fα ,再求函数 S=fα 的最大值. 人教 A 版必修一 P228 3. 已知正 n 边形的边长为 a ,内切圆的半径为 r ,外接圆的半径为 R . 求证 R+r=a2tanπ2n . 人教 A 版必修一 P229 8. 求证:
(1) sin2α−cs2α2=1−sin4α ; (2) tanx2+π4+tanx2−π4=2tanx ;
(3) 1+sin2φcsφ+sinφ=csφ+sinφ ; (4) 1−2sinαcsαcs2α−sin2α=1−tanα1+tanα ;
(5) 1−cs2θ1+cs2θ=tan2θ ; (6) 1+sin2θ−cs2θ1+sin2θ+cs2θ=tanθ .
12. 化简:
(1) 315sinx+35csx ; (2) 32csx−32sinx ;
(3) 3sinx2+csx2 ; (4) 24sinπ4−x+64csπ4−x .
人教 A 版必修一 P229
13. 在 △ABC 中,已知 tanA,tanB 是 x 的方程 x2+px+1+1=0 的两个实根,求 ∠C .
14. 在 △ABC 中, B=π4,BC 边上的高等于 13BC ,则 csA= .
(A) 31010 (B) 1010 (C) −1010 (D) −31010
人教 A 版必修一 P230
16. 是否存在锐角 α,β ,使 α+2β=2π3,tanα2tanβ=2−3 同时成立? 若存在,求出 α,β 的度 数; 若不存在, 请说明理由.
17. (1) 求函数 fx=sinπ3+4x+sin4x−π6 的周期和单调递增区间;
(2) 求函数 fx=asinx+bcsxa2+b2≠0 的最大值和最小值.
人教 A 版必修一 P230
18. 观察以下各等式:
sin230∘+cs260∘+sin30∘cs60∘=34,
sin220∘+cs250∘+sin20∘cs50∘=34,
sin215∘+cs245∘+sin15∘cs45∘=34.
分析上述各式的共同特点, 写出能反映一般规律的等式, 并对等式的正确性作出证明.
19. 你能利用所给图形, 证明下列两个等式吗?
12sinα+sinβ=sinα+β2csα−β2;
12csα+csβ=csα+β2csα−β2.
(第 19 题)
20. 设 fα=sinxα+csxα,x∈n∣n=2k,k∈N+ . 利用三角变换,估计 fα 在 x=2,4,6 时的取值情况,进而猜想 x 取一般值时 fα 的取值范围.
人教 A 版必修一 P232
如图 5.6-3,以 O 为原点,以与水平面平行的直线为 x 轴 建立直角坐标系. 设 t=0 时,盛水筒 M 位于点 P0 ,以 Ox 为
始边, OP0 为终边的角为 φ ,经过 t s 后运动到点 Px,y . 于是,以 Ox 为始边, OP 为终边的角为 ωt+φ ,并且有
y=rsinωt+φ.
(1)
所以,盛水筒 M 距离水面的高度 H 与时间 t 的关系是
H=rsinωt+φ+h.
(2)
人教 A 版必修一 P241
6. 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm ,秒针绕点 O 匀速旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合. 将 A,B 两点间的距离 d (单位: cm ) 表示成 t (单位: s ) 的函数,则 d= ,t∈[0,60] .
7. 如图,一个半径为 3 m 的简车按逆时针方向每分转 1.5 圈,
(第 4 题)
(第 7 题)
筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2.2 m . 设筒车上的某个盛 水筒 P 到水面的距离为 d (单位: m ) (在水面下则 d 为负 数),若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间,则 d 与时 间 t (单位: s) 之间的关系为
d=Asinωt+φ+KA>0,ω>0,−π2<φ<π2.
(1) 求 A,ω,φ,K 的值 φ精确到0.0001 ;
(2) 盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点 (精确 到 0.01 s )?
人教 A 版必修一 P254
12. (1) 证明 tanα+tanβ=tanα+β−tanαtanβtanα+β ;
(2) 求 tan20∘+tan40∘+3tan20∘tan40∘ 的值;
(3) 若 α+β=3π4 ,求 1−tanα1−tanβ 的值;
(4) 求 tan20∘+tan40∘+tan120∘tan20∘tan40∘ 的值.
13. 化简:
(1) 1sin10∘−3cs10∘ ; (2) sin40∘tan10∘−3 ;
(3) tan70∘cs10∘3tan20∘−1 ; (4) sin50∘1+3tan10∘ .
人教 A 版必修一 P255
14. (1) 已知 csθ=−35,π<θ<3π2 ,求 sinθ2−csθ22 的值;
(2) 已知 sinα2−csα2=15 ,求 sinα 的值;
(3) 已知 sin4θ+cs4θ=59 ,求 sin2θ 的值;
(4) 已知 cs2θ=35 ,求 sin4θ+cs4θ 的值.
15. (1) 已知 csα+β=15,csα−β=35 ,求 tanαtanβ 的值;
(2) 已知 csα+csβ=12,sinα+sinβ=13 ,求 csα−β 的值.人教 A 版必修一 P255
16. 证明:
(1) cs4α+4cs2α+3=8cs4α ; (2) 1+sin2α2cs2α+sin2α=12tanα+12 ;
(3) sin2α+βsinα−2csα+β=sinβsinα ; (4) 3−4cs2A+cs4A3+4cs2A+cs4A=tan4A .
17. 已知 sinα−csα=15,0≤α≤π ,求 sin2α−π4 的值.
18. 已知 csπ4+x=35,17π1219. 已知 sinθ+csθ=2sinα,sinθcsθ=sin2β ,求证 4cs22α=cs22β .
20. 已知函数 fx=cs4x−2sinxcsx−sin4x ,
(1) 求 fx 的最小正周期;
(2) 当 x∈0,π2 时,求 fx 的最小值以及取得最小值时 x 的集合.
21. 已知函数 fx=sinx+π6+sinx−π6+csx+a 的最大值为 1,
(1) 求常数 a 的值;
(2) 求函数 fx 的单调递减区间;
(3) 求使 fx≥0 成立的 x 的取值集合.
人教 A 版必修一 P255
22. 已知函数 fx=3sin2x+2cs2x+m 在区间 0,π2 上的最大值
(第 23 题)
为 6 ,
(1) 求常数 m 的值;
(2) 当 x∈R 时,求函数 fx 的最小值,以及相应 x 的集合.
23. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为边 AB,DA 上的点. 当 △APQ 的周长为 2 时,求 ∠PCQ 的大小.
25. 如图,已知直线 l1//l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且点 A 到 l1,l2 的距离分别为 h1,h2 . B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB ,且使 AC 与直线 l1 交于点 C . 设 ∠ABD=α .
(第 25 题)
(1) 写出 △ABC 的面积 S 关于角 α 的函数解析式 Sα ;
(2) 画出上述函数的图象;
(3) 由 (2) 中的图象求 Sα 的最小值.人教 B 版必修三 P13
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合.
(5) 在平面直角坐标系中,集合 S=α α=2kπ3,k∈Z 的元素所表示的角的终边 在哪些位置? 人教 B 版必修三 P26
(2) 已知 tanα=−4 ,求下列各式的值.
(1) sin2α ; (2) cs2α−sin2α ;
(3) 3sinαcsα ; (4) 4sinα−2csα5csα+3sinα .
人教 B 版必修三 P27
(4) 化简.
(1) 2cs2θ−11−2sin2θ ; (2) sinαcsαtanα+1tanα .
(5) 求证: sinα+csα2=1+2sin2αtanα . 人教 B 版必修三 P34
6 化简 tan1∘tan2∘⋯tan45∘tan46∘⋯tan88∘tan89∘ .
(提示: tan89∘=sin89∘cs89∘=sin90∘−1∘cs90∘−1∘=cs1∘sin1∘=1tan1∘ .)
人教 B 版必修三 P35
用单位圆中的三角函数线说明: 对于任意角 α ,不等式
sinα+csα≥1
都成立.
(6) (1) 若 π2<α<π ,化简 1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα ;
(2) 若 3π2<α<2π ,化简 1−csα1+csα+1+csα1−csα ;
(3) 化简 sin2α1+1tanα+cs2α1+tanα ;
(4) 化简 1−cs2αtanα .
证明下列恒等式.
(1) csα−12+sin2α=2−2csα ; (2) tan2α−sin2αtan2α=sin2α ;
(3) 1+tan2αtan2α−1=12sin2α−1 .人教 B 版必修三 P36
已知 sinα+csα=2 ，求下列各式的值.
(1) sinαcsα ; (2) sin3α+cs3α ;
(3) sin4α+cs4α ; (4) sin4α−cs4α .
(2) 已知 sinα+csα=1−32,α∈0,π ,求 tanα 的值.
(3) 已知 sinαcsα=18 ,且 π4<α<π2 ,求 csα−sinα 的值.
(4) 已知 csθ1−sin2θ+sinθ1−cs2θ=−2 ,试判断角 θ 所在的象限.
人教 B 版必修三 P36
(7) 求 tan−150∘cs−210∘cs−420∘tan−690∘sin−1050∘ 的值.
(3) 设 cs460∘=t ,将 tan260∘ 用含 t 的式子表示. 人教 B 版必修三 P43
(3) 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时 x 的值.
(1) y=−4sinx+5 ;
(2) y=cs2x−sinx+1 .
人教 B 版必修三 P51
(5) 如果被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移 h cm 与时间 t s 之间的函数关系 为 h=2sin8πt+π4,t∈[0,+∞) ,根据表达式回答下列问题.
(1) t=0 时,小球相对平衡位置的位移为多少?
(2) 小球相对平衡位置的最大距离是多少?
(3) 经过多长时间小球完成一次运动?
(4) 小球 1 s 内能运动多少次?
人教 B 版必修三 P65
作出下列函数的简图.
(1) y=1−sinx,x∈[0,2π] ; (2) y=2csx−1,x∈[0,2π] .
(6) (1) 由余弦曲线怎样得到函数 y=csx+π3 的图象?
(2) 由 y=sin3x 的图象怎样得到函数 y=sin3x−π4 的图象?
(3) 求函数 y=4sinx,x∈[−π,π] 的单调区间.
(4) 判断函数 y=csx+π3 的奇偶性.人教 B 版必修三 P65
(2) 分别求满足下列条件的 x 的值.
(1) sinx=−12,x∈−π2,π2 ; (2) csx=−12,x∈[0,2π] ;
(3) sin2x=0,x∈−π2,π2 ; (4) tanx=3 .
(1) 把函数 y=sin2x+π4 的图象进行怎样的变换,就能得到函数 y=−cs2x−2 的 图象? (用两种方法实现)
(2) 把函数 y=sin3x 的图象进行怎样的变换,就能得到函数 y=cs3x+π2 的 图象?
(3) 求下列函数的值域.
(1) y=sinx,x∈π4,5π4 ; (2) y=csx−π3,x∈π2,3π2 .
(4) 求下列函数的最大值和最小值,以及使函数取得这些值时 x 的值.
(1) y=11+cs2x ; (2) y=15sin2x+1 ;
(3) y=2−sinx+12 ; (4) y=cs2x+2sinx−3 .
(5) 作出函数 y=−2csx−π3 在一个周期内的图象.
人教 B 版必修三 P66
(3) 已知函数 y=Asinωx+φ+B( 其中 A,ω,φ,B 均为常
(第 8 题)
数, A>0,φ<π) 的部分图象如右图所示,写出与之对 应的一个函数解析式.
(2) 已知电流 i 随时间 t 变化的关系式是
i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞).
(1) 求电流 i 的周期、频率、振幅和初相;
(2) 分别求 t=0,1600,1150,7600,160 时的电流.
(10) 求函数 y=−2sin3x−π6 的周期、振幅以及单调区间.人教 B 版必修三 P71
2. 已知 α 为第二象限的角,化简
csα1−sinα1+sinα+sinα1−csα1+csα.
3. 求证:
1+sinα+csα+2sinαcsα1+sinα+csα=sinα+csα.
人教 B 版必修三 P100
求下列函数的周期、最值以及最值点.
(1) fx=3sinx+csx ; (2) fx=cs3x−sin3x .
(5) 已知 x0 是函数 fx=3sinx+4csx 的最大值点,求 sinx0 的值.
人教 B 版必修三 P103
(1) 求函数 y=cs2x−sin2x 的周期与最大值.
(2) 已知 sinα−csα=1 ,求 cs2α 的值.
(3) 求 cs20∘cs40∘cs80∘ 的值. (提示: 乘以并除以 sin20∘ .)
(4) 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 720 ,求这个三角形一个底角的正弦和余弦.
5 求函数 y=1−2sin2x−sin2x 的周期、最值和最值点.
人教 B 版必修三 P109
证明下列恒等式.
(1) csα−csβsinα+sinβ=tanβ−α2 ; (2) sinx−sinysinx+y=sin12x−ysin12x+y ;
(3) 1+sinxcsx=tanπ4+x2 ; (4) cs2x+cs2y1+cs2x+y=csx−ycsx+y .
(1) 求函数 fx=csx+π6csx 的周期与最小值.
(2) 求函数 fx=sinx+π3+csx−π6 的周期与最大值.
(3) 用半角公式求出 cs15∘ 的值.
求下列各式的值.
(1) sin20∘−sin40∘cs20∘−cs40∘ ; (2) sin20∘+sin40∘−sin80∘ .
5 如果 A+B+C=π ,求证:
csA+csB+csC=1+4sinA2sinB2sinC2.
人教 B 版必修三 P110
(7) 求证: csαcsα−csβ+sinαsinα−sinβ=2sin2α−β2 .
(4) 在 △ABC 中,已知 csA=45,csB=1213 ,求 csC 的值.
(6) 已知 sinα−β=45,sinα+β=−45 ,且 α−β∈π2,π,α+β∈
3π2,2π ,求 sin2α 的值.
(7) 求函数 fx=csx+2π3+csx−π6,x∈−π2,π2 的最值.
人教 B 版必修三 P112
8. 已知等腰三角形的一个底角的正弦等于 513 ,求这个三角形顶角的正弦、余弦 和正切.
9. 证明下列恒等式.
(1) 1−tan2α1+tan2α=cs2α ; (2) 2sinα−sin2α2sinα+sin2α=tan2α2 ;
(3) tanx+tanytanx−tany=sinx+ysinx−y .
10. 证明下列恒等式.
(1) tan45∘+θ=csθ+sinθcsθ−sinθ ;
(2) tanx+ytanx−y=tan2x−tan2y1−tan2xtan2y .
11. 已知 tanα=2,tanβ=3 ,且 α,β 都是锐角,求证: α+β=135∘ .
12. 已知 cs2αsinα−π4=−22 ,求 csα+sinα .
人教 B 版必修三 P113
9. 化简下列各式.
(1) cs27∘+αcs33∘−α−sin27∘+αsin33∘−α ;
(2) sinα−15∘csα+15∘+csα−15∘sinα+15∘ .
10. 设 A,B,C 是 △ABC 的 3 个内角,求证:
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.
11. 证明下列恒等式.
(1) sin3θ=3sinθ−4sin3θ ;
(2) cs3θ=4cs3θ−3csθ .
12. 化简 sin50∘1+3tan10∘ .人教 B 版必修三 P113
13. 求下列函数的周期、最值和最值点.
(1) y=1+csx−sinx ;
(2) y=sinx−csx2 .
14. 求下列函数的周期、最值和最值点.
(1) y=sinxcsx ;
(2) y=3cs2x+12sin2x .
人教 B 版必修三 P114
15. 求证: tan20∘+tan25∘+tan20∘tan25∘=1 .
(第 16 题)
16. 已知圆心角为 60∘ 的扇形 AOB 的半径为 1,C 是 AB 弧上一点,作矩形 CDEF ,如图所示. 当 C 点在什么位置时, 这个矩形的面积最大? 这时 ∠AOC 等于多少度?
17. 求函数 y=sinx+3csx,x∈0,π2 的最小值.
6. 求 3−sin70∘2−cs210∘ 的值.名称
图形
类比正数, α>0∘ .
正角
一条射线绕其端点_________旋转 形成的角
类比负数, α<0 。
负角
一条射线绕其端点 _______旋转 形成的角
零角
一条射线没有进行任何旋转形成的角
AB
角 α 终边的位置
角 α 的集合表示
集合中角之间的差 都为 360 的整数倍
角 α 终边的位置
角 α 的集合表示
特点 集合中角之间的差 都为 180%的整数倍 集合中角之间的差 为 90 的整数倍
在 x 轴的非负半 轴上 在 x 轴的非正半
αα=k⋅360∘,k∈ Z} α∣α=k 360∘+
在 x 轴上
α∣α=k⋅180∘,k∈ Z}
轴上
180∘,k∈Z}
在 y 轴上
α α=k⋅180∘+90∘,
在 y 轴的非负半
α∣α=k⋅360∘+90∘ ,
k∈Z}
轴上 在 y 轴的非正半 轴上
k∈Z} α∣α=k⋅360∘+ 270∘,k∈Z}
在坐标轴上
α∣α=k⋅90∘,k∈ Z}
度
0∘
30∘
45∘
120∘
135∘
150∘
360∘
弧度
π3
π2
π
3π2
角 α 与角 β 终边的位置关系
角 α 与角 β 关系
角 α 与角 β 终边关于 x 轴对称
角 α 与角 β 终边关于 y 轴对称
角 α 与角 β 终边关于原点对称
角 α 与角 β 终边关于 y=x 对称
角 α 与角 β 终边关于 y=−x 对称
角 α 与角 β 终边在一条直线上
角 α 与角 β 终边相互垂直
三角函数
定义域
sinα
csα
tanα
角度
0
30∘
45∘
60∘
90∘
120∘
135∘
150∘
180∘
270∘
360∘
弧度
0
π6
π4
60∘
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
sinα
csα
tanα
公式一
sin2kπ+α=
cs2kπ+α=
tan2kπ+α=
公式二
sinπ+α=
csπ+α=
tanπ+α=
公式三
sin−α=
cs−α=
tan−α=
公式四
sinπ−α=
csπ−α=
tanπ−α=
公式五
sinπ2−α=
csπ2−α=
公式六
sinπ2+α=
csπ2+α=
y=sinx
y=csx
y=tanx
图 象
定义域
值 域
最 值
既无最大也无最小
周期性
奇偶性
单增区间
单减区间
无
对称轴
无
对称中心
kπ2,0
三角函数
五个关键点
y=sinx, x∈[0,2π] y=csx, x∈[0,2π]
y=Asinωx+φ+b
y=Acsωx+φ+b
周 期
最大值
最小值
单调增区间
y=Asinωx+φ+b
y=Acsωx+φ+b
单调减区间
对称轴
对称中心
(2) 角的分类:
零角的始边与终边重
合, α=0∘ .
注: 设角 α 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成,角 β 由射线 O′A′ 绕端点 O′ 旋转而成. 如果它们的旋转方向相 同且旋转量相等,那么就称 α=β .
(3) 角的加法、减法
1) 角的加法
设 α,β 是任意两个角. 我们规定,把角 α 的终边旋转角 β ,这
时终边所对应的角是 α+β .
2) 相反角的概念
我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的 两个角叫做互为相反角. 角 α 的相反角记为 −α .
3) 角的减法
像实数减法的 “减去一个数等于加上这个数的相反数”一 样,我们有 α−β=α+−β . 这样,角的减法可以转化为角的 加法. 类比“减去一个数等于加上这个数的相反数”.
2、终边相同的角:
所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个
○ 温馨提示
3. 当角的始边相同时, 相等的 角的终边一定相同, 而终边 相同的角不一定相等. 终边 相同的角有无数个, 它们相 差 360∘ 的整数倍. 终边不同 则表示的角一定不同.
集合 1. α 为任意角,“ k∈Z ” 这一条 件不能漏.
2.k⋅360∘ 与 α 中间用“ + ” 连
即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周接, k⋅360∘−α 可理解成 k . 角的和. 360∘+−α .
3、象限角与轴线角
(1) 象限角的表示:
(i) 第一象限角: . (弧度表示) (注: 锐角是第一象限角, 反之不成立)
(ii) 第二象限角: （弧度表示）(注: 钝角是第二象限角, 反之不成立)
(iii) 第三象限角: (弧度表示)
(iv) 第四象限角: (弧度表示)(2) 轴线角的表示:
4、角度制与弧度制:
(1) 角度制:
我们知道,角可以用度为单位进行度量,1 度的角等于周角的 1360 . 这种用度作为单 位来度量角的单位制叫做角度制.
(2) 弧度制:
1) 1 弧度的角: 长度等于半径长的圆弧所对的
圆心角.
2) 弧度制: 以弧度作为单位来度量角的单位 制. 用符号 rad 表示,读作弧度.
我们把半径为 1 的圆叫做单位圆. 如图,在单位圆 O 中, AB 的
长等于 1,∠AOB 就是 1 弧度的角.
3) 在半径为 r 的圆中,弧长为 l 的弧所对的圆心角为 αrad ,则 α=lr
注: 一般地, 正角的弧度数是一个正数, 负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是 0 . 5、角度与弧度的换算:
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表:
角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间
建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数 (等于这 个角的弧度数) 与它对应; 反过来, 每一个实数也都有唯一的一 个角 (即弧度数等于这个实数的角) 与它对应 (图 5.1-12).
6、弧长公式、扇形的面积公式在应用弧长公式 l=αR
○ 易错提醒
时,要注意 α 的单位是 “弧 是以“度”为单位的角, 那么必
如图,设扇形的半径为 R ,弧长为 l ,圆心角为 α0<α<2π . 度”,而不是“度”,如果已知角
(1) 弧长公式: 须先把它化成以 “弧度” 为单位的, 再代入计算.
(2) 扇形的面积公式
7、弧度制下角的终边的对称与垂直
角的终边是一条射线, 在平面直角坐标系中, 若两个角的终边关于某条直线 (或点) 对称, 则这两个角就有一定的 关系.
8、三角函数的概念
(1) 单位圆中的定义
设 α 是一个任意角, α∈R ,它的终边 OP 与单位圆相交于点 Px,y .
(1) 把点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数 (sine functin),记作 sinα ,即
y=sinα;
(2) 把点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数 (csine functin),记作 csα ,即
x=csα;
(3) 把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 yx 叫做 α 的正切,记作 tanα ,即
yx=tanαx≠0.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 (trignmetric functin), 通 常将它们记为:
正弦函数 y=sinx,x∈R ;
余弦函数 y=csx,x∈R ;
正切函数 y=tanx,x∈x x≠π2+kπk∈Z .
(2) 利用角 α 的终边上任意一点的坐标定义三角函数
如图,设角 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是 x,y ,它与原点的距离 r=x2+y2 r>0 .
则: (i) sinα=
(ii) csα=
(iii) tanα=
(3) 三角函数值在各象限中的符号:
表 5.2-1
csα
tanα
(4) 特殊角的三角函数值
还需实记的值: 15∘π12:sin15∘=6−24 cs15∘=6+24 tan15∘=2−3
9、诱导公式:
10、同角三角函数的基本关系
1) 平方关系: sin2α+cs2α=1 ; 同一个角 α 的正弦、余弦的平
2) 商数关系: tanα=sinαcsαα≠π2+kπk∈Z . 方和等于 1 .
(说明: 利用三角函数的定义, 自行推导同角三角函数的基本关系式)
1、平方关系的推导:
2、商数关系的推导
11、三角函数的图象与性质
12、五点作图法:
13、三角函数图象变换
(1) 三角函数的平移变换 (1) 先伸缩后平移: y=sinx=−x⇒y=Asinx
y=Asinωx⇒y=Asinωx+φ
(2) 先平移后伸缩: y=sinx→y=Asinx
y=Asinx+φ⇒y=Asinωx+φ
定理: y=Asinωx+φ1→y=Asinωx+φ2 则平移单位为 φ2−φ1ω (注意平移方向)(2) 三角函数的翻折变换
(1) fx=sinx 的图像由 fx=sinx 图像作 x 轴的对称翻折得到.
(2) fx=sinx 的图像由 fx=sinx 图像作 y 轴的对称翻折得到.
14、正余弦型三角函数
⋆1 、正弦型三角函数 y=Asinωx+φ+B
fx=Asinωx+φ+B
(1) A (振幅): 振动物体离开平衡位置的最大距离. ωx+φ相位: 振动物体任意时刻的状态.
φ (初相): 振动物体初始时刻的状态.
T=2πω (周期): 振动物体往复一次的时间.
(2) 待定系数法求正弦型函数解析式
2A=fxmax−fxmin
2B=fxmax+fxmin、
ω=2πT从图中读出周期,一般是12T、14T、34T
φ 最值点 (零点) 法: ωx0+φ=π23π2
(3) 正 (余) 弦型三角函数的性质 (利用换元: t=ωx+φ 转化为正 (余) 弦三角函数)
15、三角恒等变换
(1) 两角和与差的三角公式
对于任意角 α,β 有
Cα−β
此公式给出了任意角 α,β 的正弦、余弦与其差角 α−β 的余弦之间的关系,称为差角 的余弦公式,简记作 Cα−β .
⇕α+β=α−−β
对于任意角 α,β 有
Cα−β
此公式给出了任意角 α,β 的正弦、余弦与其差角 α−β 的余弦之间的关系,称为差角 的余弦公式,简记作 Cα−β .
通过推导, 可以得到:
sinα+β=
Sα+β
sinα−β=
Sα−β
tanα+β=
Tα+β
tanα−β=
Tα−β
公式 Sa+β,Ca+β,Ta+β 给出了任意角 α,β 的三角函数值与其和角 α+β 的三角函 数值之间的关系. 为方便起见, 我们把这三个公式都叫做和角公式.
类似地, Sα−β,Cα−β,Tα−β 都叫做差角公式.
(2) 两角和与差的正切公式变形
1) Tα+β 的变形: tanα+tanβ=tanα+β1−tanαtanβ .
tanα+tanβ+tanαtanβtanα+β=tanα+β .
tanαtanβ=1−tanα+tanβtanα+β. 公式 Tα+β,Tα−β 是变形
○ 温馨提示
2) Tα−β 的变形: tanα−tanβ=tanα−β1+tanαtanβ . 较多的两个公式, tanαtanβ ,
tanα−tanβ−tanαtanβtanα−β=tanα−β . tanα+tanβ或tanα−tanβ,
tanαtanβ=tanα−tanβtanα−β−1 . tanα+β (或 tanα−β) 三者知二即可表示或求出第三个.
16、二倍角公式
(1) 二倍角的正弦、余弦、正切公式:
S2α
C2α
T2α
如果要求二倍角的余弦公式 C2a 中仅含 α 的正弦 (余弦),那么又可得到:
cs2α=
cs2α=
以上这些公式都叫做倍角公式. 倍角公式给出了 α 的三
角函数与 2α 的三角函数之间的关系.
(2) 公式的推导:
(3) 升幂公式: 1+csα=_ ;1−csα=
降幂公式: sin2α= ; cs2α=
(4) 熟悉公式的逆用: sin3αcs3α=12sin6α;2sinα2csα2=sinα;cs22α−sin22α=cs4α ;
1±sin2α=sin2α+cs2α±2sinαcsα=sinα±csα
(5) 辅助角公式
(1) 一次辅助角公式:
fx=asinωx±bcsωx=a2+b2sinωx±φ tanφ=ba
sinx+3csx=
sinx+csx=
(2) 二次辅助角公式:
fx=asinωxcsωx±bcs2ωxa,b>0
fx=a2sin2ωx±b2cs2ωx+1=a2+b22sin2ωx±φ±b2tanφ=ba
17、函数 y=Asinωx+φ 的图象与性质（阅读人教 A 版课本 P231−P238 ）一般地,正弦型函数 y=Asinωx+φ A≠0,ω≠0 的定义域为 R , 值域为 −A,A ,周期是 2πω ,而且函数的图象可通过对正弦曲线进 行平移、伸缩得到.
正弦型函数中的常数 A,ω,φ 都具有一定的实际意义.
事实上, 在前述情境与问题的小球运动
图 7-3-12
过程中,如果从 t=0 时刻开始,每隔一小 段时间（比如 0.01 s ）给弹簧和小球拍一张 照片, 并将这些照片按时间顺序排成一列 (顶端对齐), 就可得到如图 7-3-12 所示的图 形. 可以认为, 图中小球的中心在正弦型函 数 x=Asinωt+φ 的图象上,而且
(1) A 表示小球能偏离平衡位置的最 大距离, 称为振幅;
(2) φ 在决定 t=0 时小球的位置（即 Asinφ) 中起关键作用,称为初相;
(3) 周期 T=2πω 表示小球完成一次运动 所需要的时间. (小球的位置和速度首次都得到重复时称完成了一次运动.)
此时, f=1T=ω2π 表示单位时间内能够完成的运动次数,称为频率.
【课本优质习题汇总】
人教 A 版必修一 P176
10. 每人准备一把扇形的扇子, 然后与本小组其他同学的对比, 从中选出一把展开后看上去形状 较为美观的扇子,并用计算工具算出它的面积 S1 .
(1) 假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为 S2 ,求 S1 与 S2 的比值;
(2) 要使 S1 与 S2 的比值为 0.618,则扇子的圆心角应为几度 (精确到 1∘ )?
11. (1) 时间经过 4 h (时),时针、分针各转了多少度? 各等于多少弧度?
(2) 有人说, 钟的时针和分针一天内会重合 24 次. 你认为这种说法是否正确? 请说明理由. (提示: 从午夜零时算起,假设分针走了 tmin 会与时针重合,一天内分针和时针会重合 n 次,利用分针与时针转动的速度,建立 t 关于 n 的函数解析式,并求解.)
12. 已知相互啮合的两个齿轮, 大轮有 48 齿, 小轮有 20 齿.
(1) 当大轮转动一周时, 求小轮转动的角度;
(2) 如果大轮的转速为 180r/min (转/分),小轮的半径为 10.5 cm ,那么小轮周上一点每 1 s 转过的弧长是多少?人教 A 版必修一 P186
16. 化简 1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα ,其中 α 为第二象限角.
18. (1) 分别计算 sin4π3−cs4π3 和 sin2π3−cs2π3 的值,你有什么发现?
(2) 任取一个 α 的值,分别计算 sin4α−cs4α,sin2α−cs2α ,你又有什么发现?
(3) 证明: ∀x∈R,sin2x−cs2x=sin4x−cs4x .
人教 A 版必修一 P195
9. 化简下列各式,其中 n∈Z :
(1) sinnπ2+α ; (2) csnπ2−α .
人教 A 版必修一 P214
11. 根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的 x 的取值集合:
(1) sinx≥32x∈R ; (2) 2+2csx≥0x∈R .
13. 若 x 是斜三角形的一个内角,写出使下列不等式成立的 x 的集合:
(1) 1+tanx≤0 ; (2) tanx−3≥0 .
16. 已知函数 fx=12sin2x−π3,x∈R ,
(1) 求 fx 的最小正周期; (2) 求 fx 在区间 −π4,π4 上的最大值和最小值.
人教 A 版必修一 P214
4. 求证:
(1) csαsinβ=12sinα+β−sinα−β ;
(2) csαcsβ=12csα+β+csα−β ;
(3) sinαsinβ=−12csα+β−csα−β .
5. 求证:
(1) sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2 ;
(2) csθ+csφ=2csθ+φ2csθ−φ2 ;
(3) csθ−csφ=−2sinθ+φ2sinθ−φ2 .人教 A 版必修一 P227
例 10 如图 5.5-2,在扇形 OPQ 中,半径 OP=1 ,圆心角
图 5.5-2
∠POQ=π3,C 是扇形弧上的动点,矩形 ABCD 内接于扇形. 记 ∠POC=α ,求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大? 并求出 这个最大面积.
分析: 可先建立矩形 ABCD 的面积 S 与 α 之间的函数关系 S= fα ,再求函数 S=fα 的最大值. 人教 A 版必修一 P228 3. 已知正 n 边形的边长为 a ,内切圆的半径为 r ,外接圆的半径为 R . 求证 R+r=a2tanπ2n . 人教 A 版必修一 P229 8. 求证:
(1) sin2α−cs2α2=1−sin4α ; (2) tanx2+π4+tanx2−π4=2tanx ;
(3) 1+sin2φcsφ+sinφ=csφ+sinφ ; (4) 1−2sinαcsαcs2α−sin2α=1−tanα1+tanα ;
(5) 1−cs2θ1+cs2θ=tan2θ ; (6) 1+sin2θ−cs2θ1+sin2θ+cs2θ=tanθ .
12. 化简:
(1) 315sinx+35csx ; (2) 32csx−32sinx ;
(3) 3sinx2+csx2 ; (4) 24sinπ4−x+64csπ4−x .
人教 A 版必修一 P229
13. 在 △ABC 中,已知 tanA,tanB 是 x 的方程 x2+px+1+1=0 的两个实根,求 ∠C .
14. 在 △ABC 中, B=π4,BC 边上的高等于 13BC ,则 csA= .
(A) 31010 (B) 1010 (C) −1010 (D) −31010
人教 A 版必修一 P230
16. 是否存在锐角 α,β ,使 α+2β=2π3,tanα2tanβ=2−3 同时成立? 若存在,求出 α,β 的度 数; 若不存在, 请说明理由.
17. (1) 求函数 fx=sinπ3+4x+sin4x−π6 的周期和单调递增区间;
(2) 求函数 fx=asinx+bcsxa2+b2≠0 的最大值和最小值.
人教 A 版必修一 P230
18. 观察以下各等式:
sin230∘+cs260∘+sin30∘cs60∘=34,
sin220∘+cs250∘+sin20∘cs50∘=34,
sin215∘+cs245∘+sin15∘cs45∘=34.
分析上述各式的共同特点, 写出能反映一般规律的等式, 并对等式的正确性作出证明.
19. 你能利用所给图形, 证明下列两个等式吗?
12sinα+sinβ=sinα+β2csα−β2;
12csα+csβ=csα+β2csα−β2.
(第 19 题)
20. 设 fα=sinxα+csxα,x∈n∣n=2k,k∈N+ . 利用三角变换,估计 fα 在 x=2,4,6 时的取值情况,进而猜想 x 取一般值时 fα 的取值范围.
人教 A 版必修一 P232
如图 5.6-3,以 O 为原点,以与水平面平行的直线为 x 轴 建立直角坐标系. 设 t=0 时,盛水筒 M 位于点 P0 ,以 Ox 为
始边, OP0 为终边的角为 φ ,经过 t s 后运动到点 Px,y . 于是,以 Ox 为始边, OP 为终边的角为 ωt+φ ,并且有
y=rsinωt+φ.
(1)
所以,盛水筒 M 距离水面的高度 H 与时间 t 的关系是
H=rsinωt+φ+h.
(2)
人教 A 版必修一 P241
6. 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm ,秒针绕点 O 匀速旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合. 将 A,B 两点间的距离 d (单位: cm ) 表示成 t (单位: s ) 的函数,则 d= ,t∈[0,60] .
7. 如图,一个半径为 3 m 的简车按逆时针方向每分转 1.5 圈,
(第 4 题)
(第 7 题)
筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2.2 m . 设筒车上的某个盛 水筒 P 到水面的距离为 d (单位: m ) (在水面下则 d 为负 数),若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间,则 d 与时 间 t (单位: s) 之间的关系为
d=Asinωt+φ+KA>0,ω>0,−π2<φ<π2.
(1) 求 A,ω,φ,K 的值 φ精确到0.0001 ;
(2) 盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点 (精确 到 0.01 s )?
人教 A 版必修一 P254
12. (1) 证明 tanα+tanβ=tanα+β−tanαtanβtanα+β ;
(2) 求 tan20∘+tan40∘+3tan20∘tan40∘ 的值;
(3) 若 α+β=3π4 ,求 1−tanα1−tanβ 的值;
(4) 求 tan20∘+tan40∘+tan120∘tan20∘tan40∘ 的值.
13. 化简:
(1) 1sin10∘−3cs10∘ ; (2) sin40∘tan10∘−3 ;
(3) tan70∘cs10∘3tan20∘−1 ; (4) sin50∘1+3tan10∘ .
人教 A 版必修一 P255
14. (1) 已知 csθ=−35,π<θ<3π2 ,求 sinθ2−csθ22 的值;
(2) 已知 sinα2−csα2=15 ,求 sinα 的值;
(3) 已知 sin4θ+cs4θ=59 ,求 sin2θ 的值;
(4) 已知 cs2θ=35 ,求 sin4θ+cs4θ 的值.
15. (1) 已知 csα+β=15,csα−β=35 ,求 tanαtanβ 的值;
(2) 已知 csα+csβ=12,sinα+sinβ=13 ,求 csα−β 的值.人教 A 版必修一 P255
16. 证明:
(1) cs4α+4cs2α+3=8cs4α ; (2) 1+sin2α2cs2α+sin2α=12tanα+12 ;
(3) sin2α+βsinα−2csα+β=sinβsinα ; (4) 3−4cs2A+cs4A3+4cs2A+cs4A=tan4A .
17. 已知 sinα−csα=15,0≤α≤π ,求 sin2α−π4 的值.
18. 已知 csπ4+x=35,17π12
20. 已知函数 fx=cs4x−2sinxcsx−sin4x ,
(1) 求 fx 的最小正周期;
(2) 当 x∈0,π2 时,求 fx 的最小值以及取得最小值时 x 的集合.
21. 已知函数 fx=sinx+π6+sinx−π6+csx+a 的最大值为 1,
(1) 求常数 a 的值;
(2) 求函数 fx 的单调递减区间;
(3) 求使 fx≥0 成立的 x 的取值集合.
人教 A 版必修一 P255
22. 已知函数 fx=3sin2x+2cs2x+m 在区间 0,π2 上的最大值
(第 23 题)
为 6 ,
(1) 求常数 m 的值;
(2) 当 x∈R 时,求函数 fx 的最小值,以及相应 x 的集合.
23. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为边 AB,DA 上的点. 当 △APQ 的周长为 2 时,求 ∠PCQ 的大小.
25. 如图,已知直线 l1//l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且点 A 到 l1,l2 的距离分别为 h1,h2 . B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB ,且使 AC 与直线 l1 交于点 C . 设 ∠ABD=α .
(第 25 题)
(1) 写出 △ABC 的面积 S 关于角 α 的函数解析式 Sα ;
(2) 画出上述函数的图象;
(3) 由 (2) 中的图象求 Sα 的最小值.人教 B 版必修三 P13
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合.
(5) 在平面直角坐标系中,集合 S=α α=2kπ3,k∈Z 的元素所表示的角的终边 在哪些位置? 人教 B 版必修三 P26
(2) 已知 tanα=−4 ,求下列各式的值.
(1) sin2α ; (2) cs2α−sin2α ;
(3) 3sinαcsα ; (4) 4sinα−2csα5csα+3sinα .
人教 B 版必修三 P27
(4) 化简.
(1) 2cs2θ−11−2sin2θ ; (2) sinαcsαtanα+1tanα .
(5) 求证: sinα+csα2=1+2sin2αtanα . 人教 B 版必修三 P34
6 化简 tan1∘tan2∘⋯tan45∘tan46∘⋯tan88∘tan89∘ .
(提示: tan89∘=sin89∘cs89∘=sin90∘−1∘cs90∘−1∘=cs1∘sin1∘=1tan1∘ .)
人教 B 版必修三 P35
用单位圆中的三角函数线说明: 对于任意角 α ,不等式
sinα+csα≥1
都成立.
(6) (1) 若 π2<α<π ,化简 1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα ;
(2) 若 3π2<α<2π ,化简 1−csα1+csα+1+csα1−csα ;
(3) 化简 sin2α1+1tanα+cs2α1+tanα ;
(4) 化简 1−cs2αtanα .
证明下列恒等式.
(1) csα−12+sin2α=2−2csα ; (2) tan2α−sin2αtan2α=sin2α ;
(3) 1+tan2αtan2α−1=12sin2α−1 .人教 B 版必修三 P36
已知 sinα+csα=2 ，求下列各式的值.
(1) sinαcsα ; (2) sin3α+cs3α ;
(3) sin4α+cs4α ; (4) sin4α−cs4α .
(2) 已知 sinα+csα=1−32,α∈0,π ,求 tanα 的值.
(3) 已知 sinαcsα=18 ,且 π4<α<π2 ,求 csα−sinα 的值.
(4) 已知 csθ1−sin2θ+sinθ1−cs2θ=−2 ,试判断角 θ 所在的象限.
人教 B 版必修三 P36
(7) 求 tan−150∘cs−210∘cs−420∘tan−690∘sin−1050∘ 的值.
(3) 设 cs460∘=t ,将 tan260∘ 用含 t 的式子表示. 人教 B 版必修三 P43
(3) 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时 x 的值.
(1) y=−4sinx+5 ;
(2) y=cs2x−sinx+1 .
人教 B 版必修三 P51
(5) 如果被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移 h cm 与时间 t s 之间的函数关系 为 h=2sin8πt+π4,t∈[0,+∞) ,根据表达式回答下列问题.
(1) t=0 时,小球相对平衡位置的位移为多少?
(2) 小球相对平衡位置的最大距离是多少?
(3) 经过多长时间小球完成一次运动?
(4) 小球 1 s 内能运动多少次?
人教 B 版必修三 P65
作出下列函数的简图.
(1) y=1−sinx,x∈[0,2π] ; (2) y=2csx−1,x∈[0,2π] .
(6) (1) 由余弦曲线怎样得到函数 y=csx+π3 的图象?
(2) 由 y=sin3x 的图象怎样得到函数 y=sin3x−π4 的图象?
(3) 求函数 y=4sinx,x∈[−π,π] 的单调区间.
(4) 判断函数 y=csx+π3 的奇偶性.人教 B 版必修三 P65
(2) 分别求满足下列条件的 x 的值.
(1) sinx=−12,x∈−π2,π2 ; (2) csx=−12,x∈[0,2π] ;
(3) sin2x=0,x∈−π2,π2 ; (4) tanx=3 .
(1) 把函数 y=sin2x+π4 的图象进行怎样的变换,就能得到函数 y=−cs2x−2 的 图象? (用两种方法实现)
(2) 把函数 y=sin3x 的图象进行怎样的变换,就能得到函数 y=cs3x+π2 的 图象?
(3) 求下列函数的值域.
(1) y=sinx,x∈π4,5π4 ; (2) y=csx−π3,x∈π2,3π2 .
(4) 求下列函数的最大值和最小值,以及使函数取得这些值时 x 的值.
(1) y=11+cs2x ; (2) y=15sin2x+1 ;
(3) y=2−sinx+12 ; (4) y=cs2x+2sinx−3 .
(5) 作出函数 y=−2csx−π3 在一个周期内的图象.
人教 B 版必修三 P66
(3) 已知函数 y=Asinωx+φ+B( 其中 A,ω,φ,B 均为常
(第 8 题)
数, A>0,φ<π) 的部分图象如右图所示,写出与之对 应的一个函数解析式.
(2) 已知电流 i 随时间 t 变化的关系式是
i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞).
(1) 求电流 i 的周期、频率、振幅和初相;
(2) 分别求 t=0,1600,1150,7600,160 时的电流.
(10) 求函数 y=−2sin3x−π6 的周期、振幅以及单调区间.人教 B 版必修三 P71
2. 已知 α 为第二象限的角,化简
csα1−sinα1+sinα+sinα1−csα1+csα.
3. 求证:
1+sinα+csα+2sinαcsα1+sinα+csα=sinα+csα.
人教 B 版必修三 P100
求下列函数的周期、最值以及最值点.
(1) fx=3sinx+csx ; (2) fx=cs3x−sin3x .
(5) 已知 x0 是函数 fx=3sinx+4csx 的最大值点,求 sinx0 的值.
人教 B 版必修三 P103
(1) 求函数 y=cs2x−sin2x 的周期与最大值.
(2) 已知 sinα−csα=1 ,求 cs2α 的值.
(3) 求 cs20∘cs40∘cs80∘ 的值. (提示: 乘以并除以 sin20∘ .)
(4) 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 720 ,求这个三角形一个底角的正弦和余弦.
5 求函数 y=1−2sin2x−sin2x 的周期、最值和最值点.
人教 B 版必修三 P109
证明下列恒等式.
(1) csα−csβsinα+sinβ=tanβ−α2 ; (2) sinx−sinysinx+y=sin12x−ysin12x+y ;
(3) 1+sinxcsx=tanπ4+x2 ; (4) cs2x+cs2y1+cs2x+y=csx−ycsx+y .
(1) 求函数 fx=csx+π6csx 的周期与最小值.
(2) 求函数 fx=sinx+π3+csx−π6 的周期与最大值.
(3) 用半角公式求出 cs15∘ 的值.
求下列各式的值.
(1) sin20∘−sin40∘cs20∘−cs40∘ ; (2) sin20∘+sin40∘−sin80∘ .
5 如果 A+B+C=π ,求证:
csA+csB+csC=1+4sinA2sinB2sinC2.
人教 B 版必修三 P110
(7) 求证: csαcsα−csβ+sinαsinα−sinβ=2sin2α−β2 .
(4) 在 △ABC 中,已知 csA=45,csB=1213 ,求 csC 的值.
(6) 已知 sinα−β=45,sinα+β=−45 ,且 α−β∈π2,π,α+β∈
3π2,2π ,求 sin2α 的值.
(7) 求函数 fx=csx+2π3+csx−π6,x∈−π2,π2 的最值.
人教 B 版必修三 P112
8. 已知等腰三角形的一个底角的正弦等于 513 ,求这个三角形顶角的正弦、余弦 和正切.
9. 证明下列恒等式.
(1) 1−tan2α1+tan2α=cs2α ; (2) 2sinα−sin2α2sinα+sin2α=tan2α2 ;
(3) tanx+tanytanx−tany=sinx+ysinx−y .
10. 证明下列恒等式.
(1) tan45∘+θ=csθ+sinθcsθ−sinθ ;
(2) tanx+ytanx−y=tan2x−tan2y1−tan2xtan2y .
11. 已知 tanα=2,tanβ=3 ,且 α,β 都是锐角,求证: α+β=135∘ .
12. 已知 cs2αsinα−π4=−22 ,求 csα+sinα .
人教 B 版必修三 P113
9. 化简下列各式.
(1) cs27∘+αcs33∘−α−sin27∘+αsin33∘−α ;
(2) sinα−15∘csα+15∘+csα−15∘sinα+15∘ .
10. 设 A,B,C 是 △ABC 的 3 个内角,求证:
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.
11. 证明下列恒等式.
(1) sin3θ=3sinθ−4sin3θ ;
(2) cs3θ=4cs3θ−3csθ .
12. 化简 sin50∘1+3tan10∘ .人教 B 版必修三 P113
13. 求下列函数的周期、最值和最值点.
(1) y=1+csx−sinx ;
(2) y=sinx−csx2 .
14. 求下列函数的周期、最值和最值点.
(1) y=sinxcsx ;
(2) y=3cs2x+12sin2x .
人教 B 版必修三 P114
15. 求证: tan20∘+tan25∘+tan20∘tan25∘=1 .
(第 16 题)
16. 已知圆心角为 60∘ 的扇形 AOB 的半径为 1,C 是 AB 弧上一点,作矩形 CDEF ,如图所示. 当 C 点在什么位置时, 这个矩形的面积最大? 这时 ∠AOC 等于多少度?
17. 求函数 y=sinx+3csx,x∈0,π2 的最小值.
6. 求 3−sin70∘2−cs210∘ 的值.名称
图形
类比正数, α>0∘ .
正角
一条射线绕其端点_________旋转 形成的角
类比负数, α<0 。
负角
一条射线绕其端点 _______旋转 形成的角
零角
一条射线没有进行任何旋转形成的角
AB
角 α 终边的位置
角 α 的集合表示
集合中角之间的差 都为 360 的整数倍
角 α 终边的位置
角 α 的集合表示
特点 集合中角之间的差 都为 180%的整数倍 集合中角之间的差 为 90 的整数倍
在 x 轴的非负半 轴上 在 x 轴的非正半
αα=k⋅360∘,k∈ Z} α∣α=k 360∘+
在 x 轴上
α∣α=k⋅180∘,k∈ Z}
轴上
180∘,k∈Z}
在 y 轴上
α α=k⋅180∘+90∘,
在 y 轴的非负半
α∣α=k⋅360∘+90∘ ,
k∈Z}
轴上 在 y 轴的非正半 轴上
k∈Z} α∣α=k⋅360∘+ 270∘,k∈Z}
在坐标轴上
α∣α=k⋅90∘,k∈ Z}
度
0∘
30∘
45∘
120∘
135∘
150∘
360∘
弧度
π3
π2
π
3π2
角 α 与角 β 终边的位置关系
角 α 与角 β 关系
角 α 与角 β 终边关于 x 轴对称
角 α 与角 β 终边关于 y 轴对称
角 α 与角 β 终边关于原点对称
角 α 与角 β 终边关于 y=x 对称
角 α 与角 β 终边关于 y=−x 对称
角 α 与角 β 终边在一条直线上
角 α 与角 β 终边相互垂直
三角函数
定义域
sinα
csα
tanα
角度
0
30∘
45∘
60∘
90∘
120∘
135∘
150∘
180∘
270∘
360∘
弧度
0
π6
π4
60∘
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
sinα
csα
tanα
公式一
sin2kπ+α=
cs2kπ+α=
tan2kπ+α=
公式二
sinπ+α=
csπ+α=
tanπ+α=
公式三
sin−α=
cs−α=
tan−α=
公式四
sinπ−α=
csπ−α=
tanπ−α=
公式五
sinπ2−α=
csπ2−α=
公式六
sinπ2+α=
csπ2+α=
y=sinx
y=csx
y=tanx
图 象
定义域
值 域
最 值
既无最大也无最小
周期性
奇偶性
单增区间
单减区间
无
对称轴
无
对称中心
kπ2,0
三角函数
五个关键点
y=sinx, x∈[0,2π] y=csx, x∈[0,2π]
y=Asinωx+φ+b
y=Acsωx+φ+b
周 期
最大值
最小值
单调增区间
y=Asinωx+φ+b
y=Acsωx+φ+b
单调减区间
对称轴
对称中心
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