高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第5章三角函数章末重难点归纳总结(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第5章三角函数章末重难点归纳总结(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了三角函数的定义，三角函数值的正负，同角三角函数，诱导公式及恒等变化，三角函数性质等内容，欢迎下载使用。

重点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．或
【例1-2】（2023·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【一隅三反】
1．（2022·四川 ）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是______．
2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为__________．
3．（2021·陕西榆林）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积（弦矢矢）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为______．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，所在圆的半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若，，求的值.
重点二 三角函数的定义
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）如果角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2022·江西省铜鼓中学 ）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2（2022·重庆 ）角的终边经过点，且，则的值为______．
3．（2023·全国·专题练习）已知角的终边经过点，且，则____．
重点三 三角函数值的正负
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·全国·专题练习）已知角θ在第二象限，且，则角在（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知且，则是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．第三象限的角D．第四象限的角
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重难点四 同角三角函数
【例4-1】（2022·成都）已知​，且​为第四象限角，则​（ ）
A．​B．​
C．​D．​
【例4-2】（2022·辽宁实验中学）已知，则的值为（ ）
A．B．18C．D．15
【例4-3】（2023·云南）已知 ，且 ，给出下列结论：
①；② ；③；④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③④
C．①②③D．①③④
【一隅三反】
1．（2023·广东）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·辽宁·沈阳二十中一模）（多选）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·安徽）已知，则___________.
4．（2020·河南信阳·高一期中）如果，且，那么的值是_________ .
重难点五 诱导公式及恒等变化
【例5-1】（2022·湖北黄冈）（多选）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知为第一象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2022·吉林 ）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·辽宁实验中学）（多选）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（贵州省2023届高三上学期联合考试数学（文）试题）若，则________.
3．（2022·重庆 ）已知，则___________.
重难点六 三角函数性质
【例6】（2022·陕西）已知函数．则关于说法错误的是( )
A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为
B．的图象与的图象关于y轴对称
C．的单调递减区间为
D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是
【一隅三反】
1．（2022·成都）已知函数​，下列说法正确的是（ ）
A．​的最小正周期是​
B．​的图像关于直线​对称
C．​在区间​上单调递增
D．​的图像可由​的图像向左平移​个单位得到
2．（2022·陕西师大附中高一期中）函数，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；
③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；
④若，则的值域是
其中，正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022·江苏省如皋中学 ）（多选）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
4．（2021·福建省福州屏东中学 ）（多选）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为
第5章 三角函数 章末重难点归纳总结
重点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】设扇形的弧长为，半径为，则，
，则，解得：或，
当时，，，
当时，，，故舍去，
扇形的圆心角的弧度数是．故选:C．
【例1-2】（2023·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】(1)
(2)最大值为25；
【解析】(1)因为，所以扇形的面积为；
(2)由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
【一隅三反】
1．（2022·四川 ）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是______．
【答案】
【解析】由题意可得，扇形AOB的面积是，
扇形COD的面积是．
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．
故答案为：
2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为__________．
【答案】2.88
【解析】设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，
由题意可知，所以，
所以该扇环形屏风的面积为：
.
故答案为：2.88.
3．（2021·陕西榆林）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积（弦矢矢）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为______．
【答案】
【解析】设圆弧所对圆心角的弧度为，由题可知，解得．
故扇形的面积为，三角形的面积为，故弧田实际的面积为．
作分别交，于点，，则，，
所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为，
则所求差值为．
故答案为：.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，所在圆的半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）5π（cm），25π–50（cm2）；（2）或.
【解析】（1）设弧长为，弓形面积为，
则，，
，
；
（2）由已知得，解得或，
或
重点二 三角函数的定义
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）如果角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可得，因为所以.故选：D
【例2-2】（2022·江西省铜鼓中学 ）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】由题意，解得．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，
所以，，
整理得：，因为，所以.故选：D.
2（2022·重庆 ）角的终边经过点，且，则的值为______．
【答案】
【解析】由题意角的终边经过点，且，可知 ，
则，解得，所以，故答案为：
3．（2023·全国·专题练习）已知角的终边经过点，且，则____．
【答案】
【解析】因为角的终边经过点，且，所以，
解得或，
因为点的纵坐标为，且，所以角的终边落在第三象限，所以，即，
所以，所以.故答案为：
重点三 三角函数值的正负
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得是第二象限角，所以是第三象限角，是第四象限角，
所以，，，,故选:D．
【例3-2】（2023·全国·专题练习）已知角θ在第二象限，且，则角在（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵角θ是第二象限角，∴θ∈， ∴，，
∴角在第一或第三象限，∵，∴，∴角在第三象限.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为第二象限角，所以，故ABD错误，C正确.故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）已知且，则是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．第三象限的角D．第四象限的角
【答案】D
【解析】，则是第三、四象限的角，则是第二、四象限的角
∴是第四象限的角故选：D．
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】因为点在第一象限，
所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足，
所以，当位于第一象限时，时，；
当位于第三象限时，时，.故选：AB
重难点四 同角三角函数
【例4-1】（2022·成都）已知​，且​为第四象限角，则​（ ）
A．​B．​
C．​D．​
【答案】A
【解析】​为第四象限，​，故选：A
【例4-2】（2022·辽宁实验中学）已知，则的值为（ ）
A．B．18C．D．15
【答案】A
【解析】，
代入可算得原式的值为.故选：A
【例4-3】（2023·云南）已知 ，且 ，给出下列结论：
①；② ；③；④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③④
C．①②③D．①③④
【答案】A
【解析】∵, ，等式两边平方得 ，
解得，故②正确；
∵，，∴，,故①正确，③错误；
由可知， ，且 ，
解得，故④正确，故选：A
【一隅三反】
1．（2023·广东）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因，则，所以.故选：C
2．（2022·辽宁·沈阳二十中一模）（多选）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正确．，所以②，故D正确．由①②，得，，故B正确．，故C错误．
故选：ABD．
3．（2022·安徽）已知，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，则，
所以.故答案为:
4．（2020·河南信阳·高一期中）如果，且，那么的值是_________ .
【答案】
【解析】由，得
代入整理得：
，或
又，，，
，则．故答案为：．
重难点五 诱导公式及恒等变化
【例5-1】（2022·湖北黄冈）（多选）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，

，故D正确；
故选：ABD.
【例5-2】（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知为第一象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由为第一象限角，，得，故，故.
故选：A.
【例5-3】（2022·吉林 ）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·辽宁实验中学）（多选）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
因为
，故D正确；
故选：BCD
2．（贵州省2023届高三上学期联合考试数学（文）试题）若，则________.
【答案】
【解析】，
故答案为：
3．（2022·重庆 ）已知，则___________.
【答案】
【解析】，
而.
故答案为：
重难点六 三角函数性质
【例6】（2022·陕西）已知函数．则关于说法错误的是( )
A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为
B．的图象与的图象关于y轴对称
C．的单调递减区间为
D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是
【答案】D
【解析】﹒
对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；
对于选项B，∵，
∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；
对于C，由得，
即的单调递减区间为，∴选项C正确；
对于D，如图为的图象，
由图可知，在上有3个零点，则，解得，
∴选项D错误．
故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·成都）已知函数​，下列说法正确的是（ ）
A．​的最小正周期是​
B．​的图像关于直线​对称
C．​在区间​上单调递增
D．​的图像可由​的图像向左平移​个单位得到
【答案】D
【解析】，
得，故A选项错误；
令，
直线不为其对称轴，故B选项错误；
当，时，单调递增，
函数单调递减，故C选项错误；
将的图像向左移个单位得
.故D选项正确.
故选：D.
2．（2022·陕西师大附中高一期中）函数，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；
③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；
④若，则的值域是
其中，正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，
求函数的单调减区间：由，得，
时，有在区间上是减函数，①正确；
求函数的对称轴：由，得，
时，是函数图像的一条对称轴，②正确；
由向左平移个单位后得到，③不正确；
当时，，有，所以的值域为，④不正确．
故正确的是①②，正确的命题个数是2个.
故选：B
3．（2022·江苏省如皋中学 ）（多选）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【解析】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选：ACD.
4．（2021·福建省福州屏东中学 ）（多选）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为
【答案】AC
【解析】因为函数的图像关于直线对称，
所以，，解得，
因为，
所以，即，
所以，对于A选项，函数，是奇函数，故正确；
对于B选项，当时，，由于函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故错误；
对于C选项，函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像对应的解析式为，
若图像关于对称，则，解得，
由于，故的最小值是，故正确；
对于D选项，当时，，
故结合正弦函数的性质可知，若方程在上有个不同实根，不妨设，
则取得最大值时满足且，
所以，的最大值为，故错误.
故选：AC