高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第2章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第2章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了基本不等式常见考法，三个一元二次的关系，恒成立或存在问题，含参一元二次不等式解法等内容，欢迎下载使用。

考点一 基本不等式常见考法
【例1-1】（2022·浙江·温州中学）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【例1-2】（2022·湖北十堰·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
【例1-3】（2021·四川德阳·高一期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
【例1-4】（2021·江苏·高一专题练习） 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·四川德阳）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)
C．D．(-1，0)
2．（2022·天津红桥·）若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8
C．D．
3．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设，，且，则的最大值为（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·专题练习）（1）已知，则取得最大值时的值为________．
（2）已知，则的最大值为________．
（3）函数的最小值为________．
5．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是___________.
考点二 三个一元二次的关系
【例2-1】（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
【例2-2】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
B．
C．D．
【例2-3】（2022·江西宜春）已知，q：方程有两个不相等的实数根，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
30（2022广东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
已知一元二次不等式的解集为或，关于的不等式的解集为(其中)
(1)求，的值；
(2)求集合；
(3)是否存在实数，使得_______.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
考点三 恒成立或存在问题
【例3-1】（2022·全国·专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______．
【例3-2】（2022·全国·专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【一隅三反】
1．（2022·江西吉安）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·全国·高一课时练习）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.
5．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
6．（2021·全国·高一专题练习）若不等式在时有解，则实数a的取值范围为______．
7（2022·江苏）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．
考点四 含参一元二次不等式解法
【例4-1】（2022·四川）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
B．(0，1)
C．D．(-1，0)
【例4-2】（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知关于的不等式
(1)若不等式的解集为，则实数的值；
(2)若，求不等式的解集．
【一隅三反】
．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末重难点归纳总结
考点一 基本不等式常见考法
【例1-1】（2022·浙江·温州中学）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【解析】因为正数满足，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，故选：C
【例1-2】（2022·湖北十堰·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
【答案】D
【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D
【例1-3】（2021·四川德阳·高一期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
【答案】C
【解析】不等式 等价于，设 ，
显然a=0不符合题意，
若 ， ， 是开口向上，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，解集为 或 ，不符合题意；
若 ，则是开口向下，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，依题意解集为 ， ，即 ，故选：C.
【例1-4】（2021·江苏·高一专题练习） 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】正实数，满足，
当且仅当且，即，时取等号，
存在，使不等式有解，
，解可得或，即，故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·四川德阳）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
【答案】C
【解析】不等式 等价于，设 ，显然a=0不符合题意，
若 ， ， 是开口向上，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，解集为 或 ，不符合题意；
若 ，则是开口向下，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，依题意解集为 ， ，即 ，故选：C.
2．（2022·天津红桥·）若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【解析】若，都是正数，且
，
当且仅当时等号成立，故选：A.
3．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设，，且，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，，，
当且仅当，时取等号，∴．故选：B．
4．（2022·全国·专题练习）（1）已知，则取得最大值时的值为________．
（2）已知，则的最大值为________．
（3）函数的最小值为________．
【答案】（1） （2） 1 （3）
【解析】（1），
当且仅当，即时，取等号．故答案为：.
（2）因为，所以，
则,
当且仅当，即时，取等号．
故的最大值为1.
故答案为：1.
（3）
.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
5．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是___________.
【答案】##
【解析】因为正实数、满足，则，由可得，
所以，
.
当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.
考点二 三个一元二次的关系
【例2-1】（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【解析】由题意得，即，
所以即，解得．故选：B
【例2-2】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．故选：C
【例2-3】（2022·江西宜春）已知，q：方程有两个不相等的实数根，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程有两个不相等的实数根，当且仅当，解得或，
显然，，，所以p是q的充分不必要条件.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】关于x的不等式的解集为，，，
可化为，，
关于x的不等式的解集是．故选：D．
2．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】BC
【解析】因为关于x的不等式的解集为
所以，是方程，
所以A错误，，则，
对于B，由，得，因为，所以，所以不等式的解集为，所以B正确，
对于C，因为，，所以，所以C正确，
对于D，不等式可化为，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，所以D错误，
故选：BC
30（2022广东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
已知一元二次不等式的解集为或，关于的不等式的解集为(其中)
(1)求，的值；
(2)求集合；
(3)是否存在实数，使得_______.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
【答案】(1)1、2；
(2)当时，；当时，；当时，；
(3)若选①：；若选②：或；若选③：.
【解析】(1)由一元二次不等式的解集为或，
得，且方程的两根为、，∴ 解得
(2)由(1)可知即为，即．
m＜2时，；
m＝2时，不等式无解；
m＞2时，．
综上，当时，；当时，；当时，．
(3)由(1)知或，
若选：，则，
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
∴选，则实数的取值范围是；
若选：，
当时，，则；
当时，，不满足；
当时，，满足；
∴选，则实数的取值范围是或；
若选③：，，
当时，，则m≥1，∴；
当时，，满足
当时，，不满足．
∴选，则实数m的取值范围是.
考点三 恒成立或存在问题
【例3-1】（2022·全国·专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式在上有解，
∴，∴实数的取值范围为，故答案为：
【例3-2】（2022·全国·专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【答案】C
【解析】令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，整理得：，解得：或．
的取值范围为．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·江西吉安）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．
2．（2022·全国·专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，该不等式为，成立；
当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，综上所述，的取值范围是，故选：A.
3．（2021·全国·高一课时练习）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式对恒成立，
所以对恒成立，
所以，当时，对恒成立．
当时，由题意，得，即，解得，
综上，的取值范围为．故选：C
4．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由于“存在，”为假命题，
所以“”，为真命题，
所以在区间上恒成立，
在区间上，当时，取得最大值为，所以.
故答案为：
5．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得，“，”是真命题，
则对恒成立，在区间上，的最小值为，
所以，即a的取值范围是.故答案为：
6．（2021·全国·高一专题练习）若不等式在时有解，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】由，得，
因为，所以有解，令，则在上单调递增，
所以，所以，故答案为：
7（2022·江苏）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为关于的不等式在上有解，的最大值为4
所以，解得故答案为：
考点四 含参一元二次不等式解法
【例4-1】（2022·四川）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
【答案】C
【解析】不等式 等价于，设 ，
显然a=0不符合题意，
若 ， ， 是开口向上，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，解集为 或 ，不符合题意；
若 ，则是开口向下，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，依题意解集为 ， ，即 ，故选：C.
【例4-2】（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知关于的不等式
(1)若不等式的解集为，则实数的值；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】(1)不等式，
依题意，是方程的二根，且，因此，，解得，
所以实数的值是.
(2)由（1）知，，
当时，解得，
当时，不等式化为，解得或，
当时，不等式化为，
当时，有，解得，
当时，有，不等式无解，
当时，有，解得，
所以当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为.
【一隅三反】
．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
【答案】答案见解析
【解析】（1）
当时，不等式为，解集为；
时，不等式分解因式可得
当时，故，此时解集为；
当时，，故此时解集为；
当时，可化为，又
解集为；
当时，可化为，又
解集为.
综上有，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为
（2）把化简得，
①当时，不等式的解为
②当，即，得，此时，不等式的解为或
③当，即，得或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，得，此时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为且，
当时，不等式的解为或，
（3），
，
①时，，可得；
②时，可得
若，解可得，或；
若，则可得，
当即时，解集为，；
当即时，解集为，；
当即时，解集为.
（4）不等式可化为.
①当时，，解集为，或；
②当时，，解集为；
③当时，，解集为，或.
综上所述，
当时，原不等式的解集为，或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为，或.
（5）当时，不等式即，解得.
当时，对于方程，
令，解得或；
令，解得或；
令，解得或，方程的两根为.
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（6）原不等式可变形为.
①当时，则有，即，解得；
②当时，，解原不等式得或；
③当时，.
（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；
（ii）当时，即当时，解原不等式得；
（iii）当时，即当时，解原不等式可得.
综上所述：①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为；
④当时，原不等式的解集为；
⑤当时，原不等式的解集为.
（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x