2023-2024学年海南省高二下学期期末数学考试试题（含答案）

这是一份2023-2024学年海南省高二下学期期末数学考试试题（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=1,2,3，B=−3,−1，那么集合A∩B等于( )
A. −3,−1,1,3B. −3,−1,1,2,3C. −1,1D. ⌀
2.若复数z=−2+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若3OA+OC=3OD+OB，则四边形ABCD一定是( )
A. 矩形B. 梯形C. 平行四边形D. 菱形
4.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为( )
A. 25B. 35C. 14D. 34
5.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为( )
A. 79B. 49C. 23D. 59
6.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且AE=3EF，BF=2BC，异面直线AB，CD所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )
A. 20πB. 16πC. 12πD. 10π
7.双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为 52，直线x−3y+1=0与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点Mm,0满足MA=MB，则m=( )
A. ±2B. −1C. 1D. 3
8.设函数fx=ex2x−1−mx+m，其中m<1，若有且仅有一个整数n，使得fn<0，则m的取值范围是( )
A. −1,1B. −1,32eC. 32e,34D. 32e,1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=cs2ωx− 3sin2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有( )
A. fx的图象可由y=2cs4x的图象平移得到
B. fx在−π3,−π6上单调递增
C. fx图象的一个对称中心为π12,0
D. fx图象的一条对称轴为直线x=π3
10.定义在R的函数f(x)满足：任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)1+f(x)f(y)，则( )
A. −1≤f(x)≤1恒成立
B. f(x)可能是周期函数，且没有最小正周期
C. 若f(x)在R上单调，则f(x)一定是奇函数
D. 若f(x)在R上单调，则存在x0∈R，使得f2x0=1
11.下列说法中正确的是( )
A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是4591
B. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=20,D(X)=10，则n=40
C. 已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，若P(ξ>1)=p，则P(ξ<3)=1−p
D. 已知随机事件A，B满足P(B)=35,P(AB)=25，则P(A∣B)=13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b2−c2=4,C=60∘，则▵ABC的面积为 ．
13.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100,102)，若测量10000株水稻，株高在(80,90)的约有__________.(若X∼N(μ,σ2)，P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0.9545)
14.椭圆C1:x249+y224=1与双曲线C2:x2−y2b2=1有相同的焦点F1，F2，若曲线C1，C2有一个公共点P，则△PF1F2的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an的首项a1=3，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，点Sn,an+1均在直线y=8x+3上．
(1)求an的通项公式； (2)设bn=lgan3，求数列bnbn+1的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知函数fx=x2−mx−27x+2,m∈R．
(1)若m=4，求曲线y=fx在点3,f3处的切线方程；
(2)若函数fx在区间0,+∞上单调递增，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB/​/CD，▵PCD是正三角形.已知AB=4，AD=BC=CD=2，PB= 10．
(1)证明：平面PCD⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知圆A:(x+1)2+y2=16和点B(1,0)，点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点D在直线x=4上运动，过点D的动直线l与曲线C相交于点M,N．
(ⅰ)若线段MN上一点E，满足|ME||EN|=|MD||DN|，求证：当D的坐标为4,1时，点E在定直线上；
(ⅱ)过点M作x轴的垂线，垂足为G，设直线GN,GD的斜率分别为k1,k2，当直线l过点1,0时，是否存在实数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．
(1)从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求PB和PBA，并判断事件A与B是否相互独立；
(2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖30000元、二等奖2000元、三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的期望(精确到元)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据交集运算的定义求解即可．
【详解】因为集合A和集合B没有公共元素，故A∩B=⌀．
故选：D
2.【答案】B
【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可．
【详解】复数z=−2+i，则复数z在复平面内对应的点(−2,1)位于第二象限．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理的应用以及向量的几何运用，是一般题．
由已知可得3DA=CB，则AD//BC且AD≠BC，可得四边形ABCD一定是梯形．
【解答】
解：由3OA+OC=3OD+OB，
得3(OA−OD)=OB−OC，
∴3DA=CB，
可得AD//BC且AD≠BC．
∴四边形ABCD一定是梯形．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【详解】从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”有(金、石)，(金、土)，(金、革)，(金、丝)，
(石、土)，(石、革)，(石、丝)，(土、革)，(土、丝)，(革、丝)共10个基本事件，
其中含“丝”的有(金、丝)，(石、丝)，(土、丝)，(革、丝)，共4个基本事件，
故所求概率P=410=25．
故选：A
5.【答案】D
【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率．
【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，
因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选 D．
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查异面直线的夹角和圆柱的外接球问题，考查空间想象能力及推理能力，属于中档题题．
可判断异面直线AB，CD所成角为∠OCD或其补角，得△ODF为等边三角形，利用余弦定理求出圆柱底面圆O的半径r，进而可求球的表面积．
【解答】
解：如图所示，连接AF，设底面圆的圆心为O，
由AE=3EF，BF=2BC可知，E为OF的中点，C为BF的中点，连接OC，
则OC/​/AB，
所以异面直线AB，CD所成角为∠OCD或其补角，
连接DF，DE，OD，CE，
因为DE⊥OF，所以OD=DF，
则△ODF为等边三角形．
设圆柱底面圆O的半径为r，在Rt△OFC中，CF=1，所以OC= r2+1，在Rt△CDF中，
又DF=OD=r，所以CD= r2+1，
由异面直线AB，CD所成角的正弦值为45，可知cs∠OCD=35．
在△COD中，由余弦定理得r2=(r2+1)+(r2+1)−2(r2+1)×35，
所以r=2.易知该圆柱的外接球的直径为AB，
则AB2=AF2+BF2=16+4=20，
故外接球的表面积为S球=4πR2=π⋅AB2=20π．
故选A．
7.【答案】C
【解析】【分析】由离心率求出ba，即可得渐近线方程，求两直线交点得A,B的坐标，设AB的中点为P，根据PM⊥AB即可求解．
【详解】由离心率为 52= 1+ba2，有ba=12，故双曲线的渐近线方程为y=±bax=±12x．
由y=12xx−3y+1=0解出A2,1；由y=−12xx−3y+1=0解出B−25,15．
设AB的中点为P，则点P的坐标为45,35，且PM⊥AB，
于是kPM⋅kAB=−35m−45×13=−35m−4×13=−1，解出m=1．
故选：C．

8.【答案】D
【解析】【分析】
设gx=ex2x−1，y=mx−m，则有且仅有一个整数n，使得gx在直线y=mx−m的下方，由此利用导数性质能求出m的取值范围．
【详解】函数fx=ex2x−1−mx+m，其中m<1，
设gx=ex2x−1，y=mx−m，
∵有且仅有一个整数n，使得fn<0，
∴有且仅有一个整数n，使得gx在直线y=mx−m的下方，
∵g′x=ex2x+1，
∴当x<−12时，g′x<0，函数gx单调递减；
当x>−12时，g′x>0，函数gx单调递增；
∴当x=−12时，[gx]min=g−12=−2e−12，
当x=0时，g0=−1，当x=1时，g1=e>0，
直线y=mx−m恒过1,0，斜率为m，
故−m>g0=−1，且g−1=−3e−1≥−m−m，解得32e≤m<1，
∴m的取值范围是：32e,1,
故选：D．
【点睛】关键点点睛：
(1)利用数形结合思想将题意转化为两图象相交的问题；
(2)利用导数判断函数的单调性，分析临界位置处函数值的大小关系．
9.【答案】BD
【解析】【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到fx=2cs2x+π3+1，由图象平移的性质可得 A错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B正确；代入fπ12可得 C错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D正确；
【详解】fx=cs2ωx− 3sin2ωx+1=2cs2ωx+π3+1，
因为最小正周期为π，所以2π2ω=π⇒ω=1，
所以fx=2cs2x+π3+1，
A：由以上解析式可得fx的图象不可由y=2cs4x的图象平移得到，故 A错误；
B：当x∈−π3,−π6时，2x+π3∈−π3,0，
由余弦函数的单调性可得fx在−π3,−π6上单调递增，故 B正确；
C：fπ12=2cs2×π12+π3+1=1≠0，故 C错误；
D：当x=π3时，2x+π3=π，此时fx=−1为最小值，
所以fx图象的一条对称轴为直线x=π3，故 D正确；
故选：BD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】对于A，令x=y=t2，则f(t)=2ft21+f2t2，则根据ft2的符号，结合基本不等式即可判断；对于B，根据函数f(x)=1判断；对于C，令x=y=0得f(0)=0或±1，再根据函数单调性得f(0)=0，最后令y=−x即可判断；对于D，结合C选项，分别讨论fx0=1与fx0=−1的情况即可得到矛盾，进而判断．
【详解】解：对于A，令x=y=t2，则f(t)=2ft21+f2t2，
当ft2>0时，f(t)=2ft21+f2t2=21ft2+ft2≤22 1ft2⋅ft2=1，故0<2ft21+f2t2≤1，即f(t)∈0,1；
当ft2<0时，f(t)=2ft21+f2t2=−2−1ft2+−ft2≥−22 −1ft2⋅−ft2=−1，故−1≤2ft21+f2t2<0，即f(t)∈−1,0；
当ft2=0时，f(t)=2ft21+f2t2=0
所以，f(t)=2ft21+f2t2∈[−1,1]，于是−1≤f(x)≤1恒成立，故 A选项正确；
对于B，令f(x)=1，显然符合题意，f(x)=1是周期函数，且没有最小正周期，故 B选项正确；
对于C，令x=y=0，则f(0)=2f(0)1+f2(0)，解得f(0)=0或±1，
当f(0)=1时，令y=0，于是f(x)=f(x)+11+f(x)=1，这与f(x)在R上单调矛盾，
所以f(0)≠1，同理f(0)≠−1，所以f(0)=0，
令y=−x，则f(0)=0=f(x)+f(−x)1+f(x)f(−x)，
所以f(x)+f(−x)=0，则f(x)一定是奇函数，故 C选项正确；
对于D，由C，f(x)在R上单调，则f(x)一定是奇函数，f(0)=0，
假设存x0∈R，使得f2x0=1，则fx0=±1，
若fx0=1，则x0≠0，
令y=x0，则fx+x0=f(x)+fx01+f(x)fx0=f(x)+11+f(x)=1，这与f(x)R上单调矛盾，
所以不存在fx0=1，
同理，若fx0=−1，则x0≠0，
令y=x0，则fx+x0=f(x)+fx01+f(x)fx0=f(x)−11−f(x)=−1，这与f(x)在R上单调矛盾，
不存在fx0=−1，故 D选项错误．
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于通过取特殊值，结合基本不等式，函数单调性，奇偶性的概念，反证法等判断求解．
11.【答案】BD
【解析】【分析】对A，根据超几何分布可计算判断；对B，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D，根据全概率和条件概率的计算公式求解．
【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为p=C42⋅C101C143=6×1014×13×2=1591，故 A错误；
对于B，∵X∼Bn,p，∴np=20np1−p=10，解得n=40p=12，故 B正确；
对于C，∵ξ∼N2,σ2，则正态曲线的对称轴为ξ=2，根据正态曲线的对称性可得Pξ>1=Pξ<3=p，故 C错误；
对于D，∵PB=PAB+PAB，∴PAB=35−25=15，
所以PAB=PABPB=1535=13，故 D正确．
故选：BD．
12.【答案】 33或13 3
【解析】【分析】利用余弦定理，结合已知求出ab，再利用三角形面积公式计算即得．
【详解】在▵ABC中，由余弦定理得a2+b2−c2=2abcsC=ab，
而a2+b2+2ab−c2=4，解得ab=43，
所以▵ABC的面积为S=12absinC= 34ab= 33．
故答案为： 33
13.【答案】1359
【解析】【分析】
本题考查了正态分布的概率计算，属于基础题．
设该地水稻的株高为X，则有μ=100，σ=10，可得P(80【解答】
解：设该地水稻的株高为X，可知X∼N(100,102)，
则μ=100，σ=10，
P(80=12[P(μ−2σ ≈12(0.9545−0.6827)=0.1359，
10000×0.1359=1359，
∴10000株水稻，株高在80,90的约有1359株．
14.【答案】24
【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的定义，根据焦点三角形为直角三角形即可求解．
【详解】C1:x249+y224=1长轴为2×7=14，C2:x2−y2b2=1的实轴长为2，焦点为± 49−24,0，即±5,0，
不妨设P在第一象限，
根据双曲线的定义和椭圆的定义可得PF1−PF2=2,PF1+PF2=14，
解得PF1=8,PF2=6，又F1F2=10，因此PF12+PF22=F1F22，
所以△PF1F2为直角三角形，因此S▵PF1F2=12PF1PF2=12×8×6=24，
故答案为：24
15.【答案】解：(1)∵对任意的n∈N*，点Sn,an+1均在直线y=8x+3上，
∴an+1=8Sn+3，
∴当n≥2时，an=8Sn−1+3，
∴an+1−an=8Sn−Sn−1=8an，即an+1=9ann≥2，
又∵S1=a1=3，
∴a2=8S1+3=27，
∴a2=9a1，
∴an+1=9ann∈N*，
∴数列an是以3为首项，9为公比的等比数列，
∴an=3×9n−1=32n−1．
(2)bn=lgan3=1lg3an=12n−1，
∴bnbn+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
∴Tn=b1b2+b2b3+⋯+bnbn+1=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=n2n+1，即Tn=n2n+1．
【解析】本题考查数列的通项公式，数列的求和，属于基础题，
(1)根据数列的递推关系得出数列an是以3为首项，9为公比的等比数列，再求出an的通项公式；
(2)利用裂项相消法求和．
16.【答案】(1)
当m=4时，fx=x2−4x−27x+2，所以f3=−10，
由f′x=2x−4+27x2，得f′3=5，
所以曲线y=fx在点3,f3处的切线方程为y−−10=5x−3，
即5x−y−25=0．
(2)
由fx=x2−mx−27x+2，得f′x=2x−m+27x2，
因为函数fx在区间0,+∞上单调递增，
所以f′x≥0在区间0,+∞上恒成立，
即m≤2x+27x2在区间0,+∞上恒成立，
令gx=2x+27x2x>0，则g′x=2−54x3=2x3−27x3，
令g′x=0，得x=3，
当x∈0,3时，g′x<0，函数gx单调递减；
当x∈3,+∞时，g′x>0，函数gx单调递增，
所以函数gx的极小值为g3=9，也是最小值．
所以m≤9，即实数m的取值范围是−∞,9．

【解析】(1)将m=4代入函数fx，求切点和导数，进而利用导数求斜率即可到切线方程；
(2)由题意得，在区间0,+∞上f′x≥0恒成立，分离参数可得m≤2x+27x2，令gx=2x+27x2x>0，利用导数求函数gx的最小值，从而可得实数m的取值范围．
17.【答案】(1)
证明：分别作CD,AB的中点E,F，连接PE,EF,EB，
因为E,F分别为CD,AB的中点，
且四边形ABCD为等腰梯形，AB/​/CD，
所以EF⊥AB，
又AB=4,AD=BC=CD=2，易知EF= 4−1= 3,BF=2，
所以BE= BF2+EF2= 7，
因为▵PCD是正三角形，E是CD中点，所以PE⊥CD，且由CD=2，可知PE= 3，
又PB= 10，所以PB2=PE2+BE2，所以PE⊥BE，
又PE⊥CD,CD∩BE=E,CD,BE⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，
又因为PE⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD．
(2)
由(1)可知，EF,EC,EP两两垂直，如(1)图，以E为原点，
以EF,EC,EP所在直线分别为x,y,z轴
建立空间直角坐标系，则P0,0, 3，
A 3,−2,0,B 3,2,0,C0,1,0,D0,−1,0，
所以DA= 3,−1,0,DP=0,1, 3，PB= 3,2,− 3，PC=0,1,− 3，
设平面PAD的一个法向量为m=x,y,z，
则m⋅DA= 3x−y=0m⋅DP=y+ 3z=0,
取y= 3，可得x=1,z=−1，所以m=1, 3,−1，
设平面PBC的一个法向量为n=a,b,c，
则n⋅PB=x+ 3y−z=0n⋅PC=y− 3z=0
取y=− 3，可得x=1,z=−1，所以n=1,− 3,−1，
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，
则csθ=m⋅nm⋅n=1−3+1 1+3+1⋅ 1+3+1=15．
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为15．

【解析】(1)利用面面垂直定理即可求解；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面夹角．
18.【答案】解：(1)由题意知圆心A(−1,0)，半径为4，且|QP|=|QB|，|AB|=2，
则|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|PA|=4>|AB|=2，所以点Q的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，
设曲线的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则2a=4,2c=2，解得a=2,c=1，
所以b2=a2−c2=3，
所以曲线C的方程为x24+y23=1；

(2)(ⅰ)因为直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=kx+m，
因为D4,1在l上，所以4k+m=1，
由y=kx+mx24+y23=1得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2−3)=0，
Δ=(8km)2−16(3+4k2)(m2−3)=48(4k2−m2+3)>0， 设M(x1,y1),N(x2,y2),E(x0,y0)，
则x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4(m2−3)3+4k2，由|ME||EN|=|MD||DN|得x1−x0x0−x2=4−x14−x2，
化简得4(x1+x2)−2x1x2=[8−(x1+x2)]x0，
则4×(−8km3+4k2)−2×4(m2−3)3+4k2=(8+8km3+4k2)x0，
化简得kx0+m+3x0−3=0，又因为y0=kx0+m，所以3x0+y0−3=0，
所以点E在定直线3x+y−3=0上;
(ⅱ)因为直线y=kx+m过1,0，所以k+m=0，直线方程为y=kx−k，
从而得D(4,3k)，G(x1,0)，
由(ⅰ)知，x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4(k2−3)3+4k2，k1=y2x2−x1,k2=3k4−x1，
所以k1k2=y2x2−x1×4−x13k=(4−x1)(kx2−k)3(x2−x1)k=4x2−4−x1x2+x13(x2−x1)
=4x2−4−4(k2−3)3+4k2+8k23+4k2−x23[x2−(8k23+4k2−x2)]=(3+4k2)x2−4k22[(3+4k2)x2−4k2]=12，
所以存在实数λ=12，使得k1=12k2．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系及其应用，考查椭圆中的定直线问题，属于较难题．
(1)根据中垂线的性质可得|QA|+|QB|=4>|AB|=2，由椭圆的定义可知动点Q的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆，从而求出轨迹方程；
(2)(ⅰ)设直线l的方程为y=kx+m，设M(x1,y1),N(x2,y2),E(x0,y0)，与椭圆联立，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点E在定直线3x+y−3=0上；
(ⅱ)利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断．
19.【答案】(1)
模型内饰为米色的共有20个，所以PB=C201C501=25，
红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所PBA=C151C351=37，
红色外观模型且内饰为米色的共有15个，
所以PAB=C151C501=310，
PA=C351C501=710，
因为PAB≠PAPB，所以A，B不独立；
(2)
设事件C=“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件D=“取出的模型外观和内饰都异色”，事件E=“仅外观或仅内饰同色”，
PC=C202+C102+C152+C52C502=27，PD=C201C51+C101C151C502=1049，
PE=C201C151+C101C51+C201C101+C151C51C502=2549，
因为PE>PC>PD，
所以获得一等奖的概率为1049，二等奖的概率为27，三等奖的概率为2549，
其分布列为
期望为EX=3000×1049+2000×27+1000×2549≈1694．

【解析】(1)由题意根据古典概型求出PB，PBA，再利用相互独立事件的定义判断即可；
(2)求出三种情况的概率，按给定的假设确定奖金金额对应的概率列出分布列，求出期望即可．
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
20
10
米色内饰
15
5
X
3000
2000
1000
P
1049
27
2549