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中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题24 线段最值问题（2份打包，原卷版+教师版）
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这是一份中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题24 线段最值问题（2份打包，原卷版+教师版），文件包含中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题24线段最值问题原卷版doc、中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题24线段最值问题教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，过点D作直线 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为点E，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
【分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入解析式即可求解；
（2）可求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①当 SKIPIF 1 < 0 时，可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线的表达式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点D的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，过点D作直线 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不合题意，舍去，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为M．求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时P点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，即得出 SKIPIF 1 < 0 ．设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 ．再结合二次函数的性质可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把A，B两点的坐标代入解析式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
把A，B两点坐标代入解析式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最大，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时的P点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点．
(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为 SKIPIF 1 < 0 ．
①求抛物线的解析式并直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
③当 SKIPIF 1 < 0 时.动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 下方的抛物线上，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为 SKIPIF 1 < 0 .当直线 SKIPIF 1 < 0 同时经过点 SKIPIF 1 < 0 和（1）中抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 时，设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)①抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或1；③ SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
③把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得 SKIPIF 1 < 0 ，运用待定系数法可得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况：当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可求得答案；当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，同理可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线经过原点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
①抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 增大而减小，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 增大而增大，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的值为1，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或1；
③由题意得：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(3)若点D，E分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ①；
（3）解：作 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且相似比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 为最小，
在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴平行线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴平行线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
答： SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上．点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿线段 SKIPIF 1 < 0 方向匀速运动，运动到点 SKIPIF 1 < 0 时停止．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(3)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 开始运动时，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 同时出发，以与点 SKIPIF 1 < 0 相同的速度沿 SKIPIF 1 < 0 轴正方向匀速运动，点 SKIPIF 1 < 0 停止运动时点 SKIPIF 1 < 0 也停止运动．连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 上方作 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图2，由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 上方作 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时最短），
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上时，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点D．如图1．当 SKIPIF 1 < 0 的值最大时，求点P的坐标及 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 轴，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出点P的坐标和最大值即可；
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，如图所示：
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
此时点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，过点D作直线 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为点E，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
【分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入解析式即可求解；
（2）可求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①当 SKIPIF 1 < 0 时，可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线的表达式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点D的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，过点D作直线 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不合题意，舍去，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为M．求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时P点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，即得出 SKIPIF 1 < 0 ．设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 ．再结合二次函数的性质可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把A，B两点的坐标代入解析式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
把A，B两点坐标代入解析式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最大，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时的P点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点．
(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为 SKIPIF 1 < 0 ．
①求抛物线的解析式并直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
③当 SKIPIF 1 < 0 时.动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 下方的抛物线上，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为 SKIPIF 1 < 0 .当直线 SKIPIF 1 < 0 同时经过点 SKIPIF 1 < 0 和（1）中抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 时，设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)①抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或1；③ SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
③把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得 SKIPIF 1 < 0 ，运用待定系数法可得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况：当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可求得答案；当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，同理可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线经过原点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
①抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 增大而减小，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 增大而增大，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的值为1，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或1；
③由题意得：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间，作点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(3)若点D，E分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ①；
（3）解：作 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且相似比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 为最小，
在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴平行线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴平行线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
答： SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上．点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿线段 SKIPIF 1 < 0 方向匀速运动，运动到点 SKIPIF 1 < 0 时停止．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(3)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 开始运动时，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 同时出发，以与点 SKIPIF 1 < 0 相同的速度沿 SKIPIF 1 < 0 轴正方向匀速运动，点 SKIPIF 1 < 0 停止运动时点 SKIPIF 1 < 0 也停止运动．连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 上方作 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图2，由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 上方作 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时最短），
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上时，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点D．如图1．当 SKIPIF 1 < 0 的值最大时，求点P的坐标及 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 轴，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出点P的坐标和最大值即可；
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，如图所示：
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
此时点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．
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