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期末复习专题一:数与代数——分数、百分数、比的认识和计算【四大篇目】-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列(原卷版+解析版)人教版(1)
展开数与代数——分数、百分数、比的认识和计算【四大篇目】
专题解读
本专题是期末复习专题一:数与代数——分数、百分数、比的认识和计算。本部分内容包括分数的基础计算、混合计算及简便计算,百分数综合计算,比的化简求值等,该部分根据篇目进行分类,每个篇目又包含多个常考考点,建议作为期末复习核心内容进行讲解,一共划分为四个篇目,欢迎使用。
目录导航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11528" 【第一篇】分数基本计算
\l "_Tc21419" 【知识总览】 PAGEREF _Tc21419 \h 4
\l "_Tc17741" 【考点一】分数乘法基本计算 PAGEREF _Tc17741 \h 5
\l "_Tc26864" 【考点二】分数除法基本计算 PAGEREF _Tc26864 \h 6
\l "_Tc22695" 【考点三】积或商的关系问题 PAGEREF _Tc22695 \h 7
\l "_Tc25476" 【考点四】倒数及其应用 PAGEREF _Tc25476 \h 10
\l "_Tc14279" 【考点五】分数乘除法混合运算 PAGEREF _Tc14279 \h 13
\l "_Tc5039" 【第二篇】分数简便计算
\l "_Tc2353" 【知识总览】 PAGEREF _Tc2353 \h 23
\l "_Tc1821" 【考点一】乘法交换律和乘法结合律 PAGEREF _Tc1821 \h 23
\l "_Tc6834" 【考点二】乘法分配律 PAGEREF _Tc6834 \h 25
\l "_Tc26856" 【考点三】除法左分配律 PAGEREF _Tc26856 \h 30
\l "_Tc24489" 【考点四】化加式与化减式 PAGEREF _Tc24489 \h 31
\l "_Tc13115" 【考点五】裂项相消法 PAGEREF _Tc13115 \h 33
\l "_Tc9866" 【考点六】连锁约分 PAGEREF _Tc9866 \h 35
\l "_Tc7901" 【考点七】整体约分 PAGEREF _Tc7901 \h 36
\l "_Tc31376" 【第三篇】比的认识和计算
\l "_Tc1383" 【知识总览】 PAGEREF _Tc1383 \h 38
\l "_Tc1853" 【考点一】比的认识和意义 PAGEREF _Tc1853 \h 39
\l "_Tc31272" 【考点二】求比值 PAGEREF _Tc31272 \h 41
\l "_Tc21572" 【考点三】比的基本性质 PAGEREF _Tc21572 \h 44
\l "_Tc23159" 【考点四】化简比 PAGEREF _Tc23159 \h 46
\l "_Tc14288" 【考点五】化连比 PAGEREF _Tc14288 \h 49
\l "_Tc21233" 【考点六】比与除法、分数、小数的关系与互化 PAGEREF _Tc21233 \h 50
\l "_Tc2685" 【第四篇】百分数的认识和计算
\l "_Tc23576" 【知识总览】 PAGEREF _Tc23576 \h 53
\l "_Tc25079" 【考点一】百分数的认识和意义 PAGEREF _Tc25079 \h 53
\l "_Tc24592" 【考点二】分数、小数、百分数、除法、比之间的综合转化 PAGEREF _Tc24592 \h 55
\l "_Tc28507" 【考点三】分数、百分数四则混合运算和简便计算 PAGEREF _Tc28507 \h 58
\l "_Tc31237" 【考点四】分数、百分数解方程 PAGEREF _Tc31237 \h 64
【第一篇】分数基本计算
【知识总览】
一、分数乘法。
1.分数乘整数计算方法:
分母不变,分子乘整数作分子,即:。
注意:能约分的先约分。
2.分数乘小数计算方法:
分母乘分母作分母,分子乘分子作分子,能约分的先约分,即:。
3.分数乘小数计算方法:
(1)把小数统一成分数再计算;
(2)如果所乘分数可以化为有限小数,也可以把分数统一成小数再计算;
(3)小数和分母能约分的,先约分再计算比较简便。
4.积与乘数的关系。
(1)一个不为0的数乘大于1的数,积比原来的数大;
(2)一个不为0的数乘小于1的数,积比原来的数小;
(3)当乘法算式的乘积一定时,如果已知因数越小,那么与它相乘的另一个因数越大;相反地,已知因数越大,与它相乘的另一个因数就越小。
5.分数乘法混合运算。
分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同,先乘除、后加减,有括号时要先算括号里的。
二、分数除法。
1.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。
注意:一个数不能称之为倒数。
2.求一个数的倒数的方法:
(1)求真分数、假分数的倒数:交换分子、分母的位置;
(2)求整数的倒数:先把整数(O除外)看作分母是1的假分数,再交换分子、分母的位置;
(3)求小数的倒数:先把小数化成分数,再交换分子、分母的位置;
(4)求带分数的倒数:先把带分数化成假分数,再交换分子、分母的位置.。
3.分数除法计算方法:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即:。
4.商与被除数“1”的关系:
当被除数不等于0时,
若除数大于1,则商小于被除数;
若除数小于1(0除外),则商大于被除数。
5.分数除法四则混合运算。
分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同,含有两级运算的,要先算乘除法,后算加减法;只含同一级运算的,要按照从左到右的顺序依次计算;算式里带括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。
注意:在计算时,要先约分,再进行计算。
【考点一】分数乘法基本计算。
【典型例题】
直接写出得数。
×= 8×= ×=
×= ×14= ×=
【答案】;6;
;16;
【详解】略
【对应练习】
1.直接写出得数。
= = = =
= = = =
【答案】;;0.8;
0.72;;;
【详解】略
2.直接写出得数。
×2= ×52= ×= ×=
×= ×1.2= 1.5×= ×=
【答案】;8;;
;0.9;;
【详解】略
3.直接写出得数。
【答案】;3;;4
;84;;
【详解】略
【考点二】分数除法基本计算。
【典型例题】
直接写出得数。
= = ×36=
0.25×= 0.8÷= = =
【答案】;;0;29
;;;
【详解】略
【对应练习】
1.直接写出得数。
【答案】1.8;1;;;
;0;;
【解析】略
2.直接写出得数。
【答案】12;14;;;
;;;18
【详解】略
3.直接写出得数。
【答案】;1;;1.2;
;;;2
【详解】略
【考点三】积或商的关系问题。
【典型例题1】“积”。
在括号里填上“>”“<”或“=”。
0.24( ) 0.66( ) ( ) ( )
【答案】 < < < >
【分析】把分数化成小数,用分子除以分母,再根据多位小数比较大小的方法即可得解;
在分数乘法中,一个因数(0除外)保持不变,当另一个因数大于1时,积比原来的因数大。当另一个因数小于1时,积比原来的因数小。
【详解】=0.25,0.24<0.25,所以0.24<;
=0.666⋯,0.66<0.666⋯,所以0.66<;
<1,所以<;
>1,所以>。
【点睛】此题主要考查分数与小数之间的互化、多位小数比较大小以及分数乘法的计算法则。
【典型例题2】“商”。
在括号里填上“>”“<”或“=”。
÷6( )×6 ÷6( ) ÷( )
【答案】 < < >
【分析】(1)一个数(0除外)乘大于1的数,积比原来的数大;一个数(0除外)乘小于1的数,积比原来的数小。
(2)当被除数不等于0时,若除数大于1,则商小于被除数;若除数小于1(0除外),则商大于被除数。
【详解】因为6>1,所以÷6<,×6>,所以÷6<×6。
因为6>1,所以÷6<。
因为<1,所以÷>。
【点睛】积与其中一个因数的大小比较,关键是比较另一个因数和1的大小。商与被除数的大小比较,关键是比较除数和1的大小。
【对应练习】
1.在括号里填上“>”“<”或“=”。
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 < > < >
【分析】在分数除法中,当被除数不为零时,除以一个大于1的数,商一定小于它本身;当被除数不为零时,除以一个小于1的数,商一定大于它本身;
在分数乘法中,一个因数(0除外)保持不变,当另一个因数大于1时,积比原来的因数大。当另一个因数小于1时,积比原来的因数小。据此解答。
【详解】因为<1,所以<;
因为>,所以>;
因为15>1,所以<;
因为<1,所以>。
【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的计算法则,掌握积与因数、商与被除数之间的关系。
2.在括号里填上“>”“<”或“=”。
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 < < = >
【分析】在分数除法中,当被除数不为零时,除以一个大于1的数,商一定小于它本身;当被除数不为零时,除以一个小于1的数,商一定大于它本身;
在分数乘法中,一个因数(0除外)保持不变,当另一个因数大于1时,积比原来的因数大。当另一个因数小于1时,积比原来的因数小。
根据分数除法法则:甲数除以乙数(0除外)等于甲数乘乙数的倒数。
【详解】,所以<;
,所以<;
=
,所以>。
【点睛】此题主要考查分数乘法、分数除法的计算法则,掌握积与因数、商与被除数之间的关系。
3.在( )里填上“>”“<”或“=”。
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 < > < <
【分析】一个数(0除外),乘一个小于1的数(0除外),得到的积小于它本身;
一个数(0除外),乘一个大于1的数,得到的积大于它本身;
一个数(0除外),除以一个大于1的数,得到的商小于它本身;
一个数(0除外),除以一个小于1的数(0除外),得到的商大于它本身,据此判断即可。
【详解】由分析可得:
因为<1,所以<;
>1,所以>;
>1,所以<;
2>1,所以<,<1,所以>2,则<。
【考点四】倒数及其应用。
【典型例题1】倒数。
9×( )=( )×8==0.6×( )=1。
解析:;;15;
【典型例题2】倒数和。
一个自然数,与它的倒数的和是,这个自然数是( )。
【答案】5
【分析】假设这个自然数是a,则它的倒数是,根据这个自然数+它的倒数=,列出方程,通过观察即可得出a的值。
【详解】假设这个自然数是a。
a+==5+
所以a=5
一个自然数,与它的倒数的和是,这个自然数是5。
【点睛】关键是理解倒数的含义,乘积是1的两个数互为倒数。
【典型例题3】倒数差。
一个数与它的倒数的差是,这个数是( )。
【答案】13
【分析】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数,只需要将分子、分母交换位置即可。
已知一个数与它的倒数的差是,可以分解成13-,13的倒数正好是,据此解答。
【详解】=13-
13的倒数是;
所以,这个数是13。
【点睛】本题考查倒数的求法,把带分数分解成13-的形式是解题的关键。
【典型例题4】比较大小。
、、均是不为0的自然数,且,、、这三个数相比较,最大的是( ),最小的是( )。
【答案】
【分析】假设,分别确定a、b、c的值,比较即可。
【详解】
则,
,
,
因为,即,所以最大的是,最小的是。
【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系,乘积是1的两个数互为倒数。
【对应练习】
1.的倒数是( ),7.5的倒数是( )。
【答案】 2
【分析】根据倒数的定义:乘积是1的两个数互为倒数,例如:如果a、b不为0,a×b=1,则a是b的倒数,b是a的倒数。求一个分数的倒数,把分子和分母调换位置即可;求一个小数的倒数,先把小数化成分数,再交换分子、分母的位置;求整数的倒数,先把整数看做分母是1的分数,再交换分子、分母的位置。
【详解】7.5=
的倒数是2;7.5的倒数是。
【点睛】本题主要考查了求倒数的方法,熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。
2.( )×9=0.45×( )=×( )=1
【答案】
【分析】先把小数化成分数,再根据倒数的概念,两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数。据此解答。
【详解】0.45=
×9=1
×=1
×=1
所以括号内分别填上、、。
【点睛】此题考查了小数化分数以及倒数的意义。要求熟练掌握并灵活运用。
3.、、均是不为0的自然数,且,、、这三个数相比较,最大的是( ),最小的是( )。
【答案】
【分析】假设,分别确定a、b、c的值,比较即可。
【详解】
则,
,
,
因为,即,所以最大的是,最小的是。
【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系,乘积是1的两个数互为倒数。
【考点五】分数乘除法混合运算。
【典型例题1】分数乘除法混合运算。
脱式计算。
【答案】;;
20;;
【分析】(1)按照从左到右的运算顺序进行计算即可;
(2)化除法为乘法,然后运用乘法交换律进行计算即可;
(3)按照从左到右的运算顺序进行计算即可;
(4)先算小括号里面的除法,再算括号外面的乘法;
(5)先算小括号里面的除法,再算括号外面的除法;
(6)先算小括号里面的乘法,再算括号外面的除法。
【详解】
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=20
=
=
=
=
=
【典型例题2】分数四则混合运算。
脱式计算。
(1)÷8× (2)÷+× (3)20÷[(+)×]
【答案】(1);(2);(3)80
【分析】(1)先把分数除法化为分数乘法,再利用乘法交换律简便计算;
(2)先把分数除法化为分数乘法,再利用乘法分配律简便计算;
(3)先计算小括号里面的分数加法,再计算中括号里面的分数乘法,最后计算括号外面的除法。
【详解】(1)÷8×
=××
=4×
=
(2)÷+×
=×+×
=(+)×
=1×
=
(3)20÷[(+)×]
=20÷[×]
=20÷
=80
【对应练习】
1.脱式计算。
(1) (2) (3)
【答案】(1);(2);(3)
【分析】(1)根据运算顺序,先计算,再用它们的积除以。
(2)根据运算顺序,先计算,再用它们的积除以。
(3)根据运算顺序,先计算,再用它们的商乘。
【详解】(1)
=
=
=
(2)
=
=
=
(3)
=
=20
2.脱式计算。
【答案】;;;396
【分析】(1)先算小括号里面的加法,再算中括号里面的减法,最后算括号外面的除法即可;
(2)先算乘法,再算减法即可;
(3)化除法为乘法,再运用乘法分配律进行计算即可;
(4)运用乘法分配律进行计算即可。
【详解】
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=396
3.脱式计算。
【答案】;35
;15
【分析】(1)按照从左到右的运算顺序进行计算即可;
(2)运用乘法分配律进行计算即可;
(3)先算小括号里面的加法,再算括号外面的除法即可;
(4)先算小括号里面的加法,再算中括号里面的减法,最后算括号外面的乘法即可。
【详解】
=
=
=
=
=20+15
=35
=
=
=
=
=×36
=15
【典型例题3】分数四则混合运算与解方程。
解方程。
x÷= x= x÷=15
【答案】x=;x=;x=
【分析】根据等式性质2:
(1)方程两边同时乘;
(2)方程两边同时乘;
(3)方程两边同时乘,两边再同时乘。
【详解】(1)x÷=
解:x÷×=×
x=
(2)x=
解:×x=×
x=
(3)x÷=15
解:x÷×=15×
x=3
x=3×
x=
【对应练习】
1.解方程。
【答案】;;
【分析】先把方程左边含项合并为,再根据等式的性质2,方程两边同时除以即可求解;
先计算,再根据等式的性质1和性质2,方程两边先同时加上25,再同时除以即可求解;
根据等式的性质2,方程两边先同时乘,然后左右两边调换位置,再同时除以即可求解。
【详解】
解:
解:
解:
2.解方程。
【答案】;;
【分析】根据等式的性质2,方程的两边先同时乘,再同时除以即可求解;
先计算方程右边的乘法,再根据等式的性质1,方程两边同时加上即可求解;
先把方程左边含项合并为,再根据等式的性质2,方程两边同时除以0.7即可求解。
【详解】
解:
解:
解:
3.解方程。
【答案】;;
【分析】(1)根据等式的性质2,方程两边先同时乘,再同时除以即可求解;
(2)先计算,再根据等式的性质1和性质2,方程两边先同时加上,再同时除以即可求解;
(3)根据等式的性质1和性质2,方程两边先同时减去0.2,再同时除以即可求解。
【详解】
解:
解:
解:
【第二篇】分数简便计算
【知识总览】
一、分数乘法简便计算。
1.乘法交换律:
两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变,用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘,积不变,用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
3.乘法分配律:
(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c
4.乘法分配律逆运算:
a×c+b×c=(a+b)×c
a×c-b×c=(a-b)×c
5.添加因数1:
形如A×B+A的式子,在进行简便计算时,要把单独的一个数看作A×1,即
A×B+A=A×B+A×1,然后再使用乘法分配律进行简便计算。
二、分数除法简便计算。
除法运算性质:
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
【考点一】乘法交换律和乘法结合律。
【典型例题】
简便计算。
(1) (2) (3)
【答案】(1);(2);(3)
【分析】(1)(2)从左往右依次计算;
(3)根据乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)进行简算。
【详解】(1)
(2)
(3)
【对应练习】
简便计算。
×× ×4×
×× 24××51
【答案】;
;72
【分析】(1)首先第1、2个分数相乘,分子分母同时约掉13,再用与相乘,结果化成最简;(2)先算分数乘整数,整数与分母8同时约掉4得,再乘,结果化成最简;(3)三个分数的分子分母先后约掉5、7得,再与相乘,结果化成最简;(4)分子分母上的51互相约分掉,结果是24乘3,据此解答。
【详解】
=
××
24××51
=24×3
=72
【考点二】乘法分配律。
【典型例题1】乘法分配律。
简便计算。
×5.4
解析:
×5.4
=×5.4-×5.4
=4.2-0.9
=3.3
【典型例题2】乘法分配律变式。
简便计算。
解析:
【典型例题3】乘法分配律逆运算。
简便计算。
解析:
=
=
=22
【典型例题4】添加因数“1”。
简便计算。
解析:
=
=
=
【典型例题5】综合。
简便计算。
解析:
【对应练习】
1.简便计算。
【答案】23;;51
【分析】,先把算式变为,然后根据乘法分配律,将算式变为进行简算即可;
,先把38拆分为37+1,然后根据乘法分配律,将算式变为进行简算即可;
,根据乘法交换律和乘法结合律,将算式变为进行简算即可。
【详解】
2.简便计算。
【答案】;;
【分析】(1)(3)运用乘法分配律进行简算;
(2)利用乘法结合律进行简算。
【详解】(1)( - )×36
= ×36- ×36
=27-15
=12
(2)××
=×(×)
=×
=
(3)×+×
=×(+)
=×
=
3.简便计算。
【答案】25;;240
【分析】,根据乘法分配律,将算式变为进行简算即可;
,根据乘法分配律,将算式变为进行简算即可;
,根据乘法交换律和乘法结合律,将算式变为进行简算即可。
【详解】
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
【考点三】除法左分配律。
【典型例题1】
1.简便计算。
解析:
=
=
=
2.简便计算。
解析:
=
=
=
=
【典型例题2】
1.简便计算。
解析:
2.简便计算。
÷-÷
解析:
÷-÷
=×-×
=(-)×
=8×
=11
【考点四】化加式与化减式。
【典型例题1】带分数化加式与化减式。
1.简便计算。
24× EQ \F(5,6) 20×25
解析:;;
2.简便计算。
解析:
29×+39×+49+59
=(30-)×+(40-)×+(50-)×+(60-)×
=20-+30-+40-+50-
=(20+30+40+50)-(+)-(+)
=139-1
=137
3.简便计算。
2020÷2020
解析:将带分数化成加法形式,再按照除法的左分配律进行简便计算。
2020÷2020
=(2020+)÷2020
=2020÷2020+÷2020
=1+
=1
4.简便计算。
2019÷2019
解析:
2019÷2019
=2019÷
=2019×
=
【典型例题2】分数化加式与化减式。
1.简便计算。
EQ \F(33,34) ×27
解析:26
2.简便计算。
EQ \F(23,22) ×17
解析:17
【典型例题3】整数化加式与化减式。
1.简便计算。
解析:
=
=
=
=
2.简便计算。
200×
解析:
200×
=(201-1)×
=201×-1×
=199-
=
【考点五】裂项相消法。
【典型例题】
观察下列等式:
,,,
请将以上三个等式两边分别相加得:
。
(1)猜想并写出:( )。
(2)( )。
(3)探究并计算:( )。
(4)计算:
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)先根据题中所给出的等式进行猜想,写出猜想结果即可;
(2)根据(1)中的猜想计算出结果;
(3)根据乘法分配律提取,再计算即可求解;
(4)先拆项,再抵消结果即可求解。
【详解】(1)
=
=
【点睛】本题考查的是分数的混合运算,根据题意找出规律是解答此题的关键。
【对应练习】
1.简便计算。
解析:
=
=
=
=
2.简便计算。
(提示:,为不为0的自然数)
解析:
【考点六】连锁约分。
【典型例题】
简便计算。
×××…××
【答案】
【分析】仔细观察可以发现,算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的,即可以进行约分,据此约分得出结果即可。
【详解】×××…××
=1×
=
【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。
【考点七】整体约分。
【典型例题】
1.简便计算。
解析:
=
=
=2
2.简便计算。
(××)÷(××)
解析:
(××)÷(××)
=××÷÷÷
=×××××
=(×)×(×)×(×)
=2×2×2
=8
【第三篇】比的认识和计算
【知识总览】
一、比的意义。
两个数相除又叫做两个数的比。
二、比的符号和读写法。
符号:比用符号“:”表示,“:”叫做比号。
写法:15:10,记做15:10或
读法:两种形式的比都读作几比几。
三、比的各部分名称。
四、比的化简。
1.比的基本性质法,即利用比的基本性质化简。
2.比值法,即先求出比的比值,再约分化成最简比。
注意:当比的前项和后项为互质数时,这个比才是最简整数比。
五、比与除法的关系。
比值=前项÷后项
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(前项=比值×后项,后项=前项÷比值))
六、求比值。
直接用前项除以后项求出比的比值,需要注意的是当前项或后项带单位时要先统一单位再求比值。
七、比与除法、分数、小数互化。
【考点一】比的认识和意义。
【典型例题】
如果5a=b,则a∶b=( );若a=10,那么b=( )。
【答案】 2∶15 75
【分析】假设5a=b=1,根据积÷因数=另一个因数,算出a和b,两数相除又叫两个数的比,据此写出a和b的比,化简即可;将a=10代入5a=b,根据等式的性质2,两边同时÷,即可求出b的值。
【详解】假设5a=b=1。
a=1÷5=
b=1÷=1×=
a∶b=∶=(×10)∶(×10)=2∶15
将a=10代入5a=b
5×10=b
解:b=50
b÷=50÷
b=50×
b=75
如果5a=b,则a∶b=2∶15;若a=10,那么b=75。
【对应练习】
1.(判断)可以表示比,也可以表示比值。( )
【答案】√
【分析】两个量相除,叫做两个量的比;依据分数与除法之间的关系,分数可以转变成除法,除法也可以表示比,分数、除法、比之间是可以相互转换的;比的前项除以后项得到的商叫做比值,比值可以用分数表示,也可以用整数或小数表示。
【详解】由比的意义和比值的意义可知,比能用分数的形式表示,比值也可以用分数表示,原题说法正确。
故答案为:√
【点睛】此题主要考查比的概念以及比值的求法,掌握比值的表示方法也是解题的关键。
2.(判断)一场足球比赛的比分是2∶0,所以比的后项可以为零。( )
【答案】×
【分析】比的意义是两个数相除又叫做两个数的比,比是表示两个数相除。比的前项相当于除法算式中被除数,比的后项相当于除法算式中的除数,除数不能为0。据此解答。
【详解】例如:3÷5=3∶5。3∶5表示3和5相除,是表示两个数的关系。
一场足球比赛的比分是2∶0,比分代表的是具体的数值。比分可以为0,比的后项不能为0。
故答案为:×
【点睛】本题要重点理解比的意义,知道比是表示两个数的关系。
3.(判断)既可以看作“比”,也可以看作“比值”,所以“比”和“比值”没有区别。( )
【答案】×
【分析】可以看作一个比,是比3∶4的另一种写法,仍然读作三比四;还可以看作一个比的比值,因为比值是一个数,可以是小数、分数或整数;但比和比值是有区别的,(1)概念不同,比的前项÷后项所得的商叫做比值;比表示两数相除的一种关系。(2)性质不同,比的最后结果仍是一个比,可以用比的形式或分数形式表示,但不可以用整数、小数或者带分数表示;比值可以是整数、小数、分数。据此进行判断。
【详解】根据分析得,虽然可以看作“比”,也可以看作“比值”,但“比”和“比值”是有区别的。
故答案为:×
【点睛】此题主要考查比和比值的意义,需要熟练掌握。
【考点二】求比值。
【典型例题】
1.求比值。
15∶40 0.28∶0.42
【答案】;;
【分析】用比的前项除以比的后项,即可求出比值。
【详解】15∶40
=15÷40
=
0.28∶0.42
=0.28÷0.42
=
=
=
=
2.求比值。
4.2∶0.35 350毫升∶升 540米∶千米
【答案】12;1.4;0.9
【分析】求比的比值,可用比的前项除以比的后项,即可得解,对于单位不统一的,先换算单位后,再求出比的比值。
【详解】4.2∶0.35
=4.2÷0.35
=12
350毫升∶升
=350毫升∶(×1000)毫升
=350毫升∶250毫升
=350÷250
=1.4
540米∶千米
=540米∶(×1000)米
=540米∶600米
=540÷600
=0.9
【对应练习】
1.求比值。
35∶105 ∶ ∶2
【答案】;;
【分析】根据求比值的方法可知,用比的前项除以比的后项,即可得解。
【详解】35∶105
=35÷105
=
∶
=÷
=×
=
∶2
=÷2
=×
=
2.求比值。
【答案】3;0.1;81
【分析】用比的前项除以比的后项即可求出比值。
【详解】
=
=
=
=3
=20kg∶200kg
=20∶200
=20÷200
=0.1
=
=
=81
3.求比值。
0.4米∶0.3分米
【答案】;;
【分析】根据求比值的方法,用比的前项除以比的后项,即可解答。
【详解】∶
=÷
=×3
=
4∶1.2
=4÷1.2
=
0.4米∶0.3分米
=4分米∶0.3分米
=4÷0.3
=
【考点三】比的基本性质。
【典型例题】
1.在5∶8中,如果前项加上15,要使比值不变,后项应加( )或乘( )。
【答案】 24 4
【分析】根据5∶8的前项加上15可知比的前项由5变成20,相当于前项乘4;根据比的性质,要使比值不变,后项也应该乘4,由8变成32,也可以认为是后项加上32-8=24;据此进行解答。
【详解】由分析可得:在5∶8中,如果前项加上15,要使比值不变,后项应加24或乘4。
【点睛】此题考查比的性质的运用,比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值才不变。
2. 24∶40的前项减去6,要使比值不变,后项要减去( )。
【答案】10
【分析】根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变,据此把24∶40化为最简整数比,再确定前项扩大的倍数,进而求出后项的值,最后求出后项要减去多少。
【详解】24∶40
=(24÷8)∶(40÷8)
=3∶5
(24-6)÷3
=18÷3
=6
40-5×6
=40-30
=10
则要使比值不变,后项要减去10。
【点睛】本题考查比的基本性质,熟练运用比的基本性质是解题的关键。
【对应练习】
1.如果把5∶9的前项加上10,要使比值不变,后项应加上( )。
【答案】18
【分析】5∶9的前项加上10,前项变为15,前项相当于乘3,根据比的基本性质,比的前项和比的后项同时乘或除以同一个不为0的数,比值不变;所以要使比值不变,比的后项也应乘3,此时比的后项变为27,再减去9,即可求出比的后项应增加的数。
【详解】5+10=15
15÷5=3
所以比的后项也应乘3;
或者增加:
3×9-9
=27-9
=18
所以要使比值不变,比的后项应加上18。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用比的基本性质求解。
2.在3∶7中,比值扩大到原来的5倍,后项不变,前项应增加( )。
【答案】12
【分析】根据比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数,比值不变,通过题意,可知比值扩大到原来的5倍,后项不变,则前项也扩大到原来的5倍,即用前项的具体数值乘5,可得前项的数值,再用该数值减去原来的数值3,即为前项应该增加的数字。
【详解】由分析可得:
3×5=15
15-3=12
综上所述:在3∶7中,比值扩大到原来的5倍,后项不变,前项应增加12。
3.如果的前项增加36,要使比值不变,那么后项应该增加( )。
【答案】24
【分析】根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变,据此确定前项扩大的倍数,进而求出后项的值,最后求出后项应增加多少。
【详解】(18+36)÷18
=54÷18
=3
12×3-12
=36-12
=24
则后项应该增加24。
【点睛】本题考查比的基本性质,熟练运用比的基本性质是解题的关键。
【考点四】化简比。
【典型例题】
1.把下面各比化成最简单的整数比。
12∶8 0.16∶20 ∶
【答案】3∶2;1∶125;2∶3
【分析】化简比根据比的基本性质,化简比的结果还是一个比。
【详解】12∶8=3∶2
0.16∶20=1∶125
∶=2∶3
2.化简比。
∶ 0.45∶0.2 3m∶150cm
【答案】5∶39;9∶4;2∶1
【分析】比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
利用“比的基本性质 ”把比化简成最简单的整数比,即前项和后项是整数,且互质。
【详解】(1)∶
=(×65)∶(×65)
=5∶39
(2)0.45∶0.2
=(0.45×100)∶(0.2×100)
=45∶20
=(45÷5)∶(20÷5)
=9∶4
(3)3m∶150cm
=(3×100)cm∶150cm
=300∶150
=(300÷150)∶(150÷150)
=2∶1
【对应练习】
1.化简比。
【答案】1∶6;1∶2;4∶1
【分析】化简比,可根据比的基本性质作答,即比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外),比值不变。
【详解】
2.化简比。
1.4∶3.5 1.6kg∶640g 15分∶0.45时
【答案】2∶5;5∶2;5∶9
【分析】比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变;依据比的基本性质化简比。
【详解】1.4∶3.5=(1.4÷0.7)∶(3.5÷0.7)=2∶5
1.6kg∶640g=1600g∶640g=1600∶640=(1600÷320)∶(640÷320)=5∶2
15分∶0.45时=15分∶(0.45×60分)=15分∶27分=15∶27=(15÷3)∶(27÷3)=5∶9
3.化简比。
35∶14 ∶ 1.6∶ 100m∶km
【答案】5∶2;9∶10;64∶15;2∶15
【分析】比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
如果比的前项和后项的单位不统一,先根据进率换算单位,再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。
【详解】(1)35∶14
=(35÷7)∶(14÷7)
=5∶2
(2)∶
=(×12)∶(×12)
=9∶10
(3)1.6∶
=∶
=(×40)∶(×40)
=64∶15
(4)100m∶km
=100m∶(×1000)m
=100∶750
=(100÷50)∶(750÷50)
=2∶15
【考点五】化连比。
【典型例题】
已知a:b=2:3,b:c=4:5,求a:b:c。
解析:
a:b=2:3=8:12
b:c=4:5=12:15
所以a:b:c=8:12:15
【对应练习】
已知:a:b=3:4,b:c=:,求:a:b:c。
解析:
a:b=3:4=20:12
b:c=:=15:20
所以a:b:c=15:20:12。
【考点六】比与除法、分数、小数的关系与互化。
【典型例题1】基础型。
∶( )=4 ( )∶=。
【答案】
【分析】比的前项相当于被除数,比的后项相当于除数,比值相当于商,则比的后项=比的前项÷比值,比的前项=比的后项×比值,据此解答。
【详解】(1)÷4=
(2)×=
所以,∶=4,∶=。
【点睛】掌握比与除法之间的关系是解答题目的关键。
【典型例题2】综合型
填入合适的数使算式成立。
6∶( )=0.6==3∶( )=( )。
【答案】10;12;5;0.1
【分析】根据小数与分数的关系,把小数化为分数形式,即0.6=;根据分数与比的关系=3∶5,再根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘2就是3∶5=6∶10;根据分数的基本性质,的分子和分母同时乘4就是=;根据商×除数=被除数,用0.6×即可求出被除数,即0.6×=0.1。
【详解】由分析可知:
6∶10=0.6==3∶5=0.1
【点睛】本题考查小数、比、分数和除法的互化,明确它们之间的关系是解题的关键。
【对应练习】
1.填入合适的数使算式成立。
2∶( )=0.25==( )÷12。
【答案】8;16;3
【分析】把小数0.25化成分母是100的分数,约分后可得;
根据分数与除法的关系,=1÷4,利用商不变的规律,可得1÷4=(1×3)÷(4×3)=3÷12;
根据比与除法的关系1÷4=1∶4,再根据比的基本性质比的前项和比的后项都乘2,可得1∶4=(1×2)∶(4×2)=2∶8;
根据分数的基本性质,把的分子和分母同时乘4,得到分子是4的分数。
【详解】根据分析得,2∶8=0.25==3÷12。
【点睛】此题主要考查小数、分数、比之间的互化,根据比与分数、除法的关系,利用比、分数的基本性质及商的变化规律,求出结果。
2.填入合适的数使算式成立。
=( )∶( )==( )÷10。
【答案】3;5;30;6
【分析】写成比的形式是3∶5;根据分数的基本性质,的分子分母同时乘6,得到;根据分数与除法的关系,=3÷5,被除数和除数同时乘2,得到6÷10;据此解答即可。
【详解】由分析可知,=3∶5==6÷10。
3.填入合适的数使算式成立。
( )÷12=0.75==( )∶( )。
【答案】9;15;3;4
【分析】小数化成分数:原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分;据此可得0.75=;根据分数的基本性质,将的分子和分母同时乘3,可得=;将的分子和分母同时乘5,可得=;根据分数与除法的关系,可得=9÷12;根据分数和比的关系,可得=3∶4。
【详解】9÷12=0.75==3∶4
【第四篇】百分数的认识和计算
【知识总览】
一、百分数的意义。
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
二、百分数的写法。
通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
三、小数化成百分数。
把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
四、百分数化成小数。
把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。
五、百分数化成分数。
先把百分数改写成分母是100的分数,能约分要约成最简分数。
六、分数化成百分数。
1.用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。
2.先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
【考点一】百分数的认识和意义。
【典型例题】
1.10.2%读作( ),百分之零点二写作( )。
【答案】 百分之十点二 0.2%
【分析】百分数的读法:先读百分之,然后读百分号前面的数;
百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
【详解】10.2%读作百分之十点二,百分之零点二写作0.2%。
【点睛】熟练掌握百分数的读法和写法是解答本题的关键。
2.中国旅游研究院发布报告指出,选择国内旅游的人数明显上升。数据显示,前三个季度全年国内旅游总人数约为20.94亿人次,其中省内旅游客流占比达到81%。这里81%表示的含义是( )。
【答案】省内旅游客流占国内旅游总人数的81%
【分析】百分数表示一个数占另一个数的百分比,据此结合题意,填空即可。
【详解】这里81%表示的含义是省内旅游客流占国内旅游总人数的81%。
【点睛】本题考查了百分数,掌握百分数的意义是解题的关键。
【对应练习】
1.(判断)小明画了条56%厘米的线段。( )
【答案】×
【分析】百分数表示一个数是另一个数的百分之几,又叫百分率或百分比。
百分数只表示两个数之间的倍比关系,不表示具体的数量,所以后面不带单位名称。
【详解】小明画了条56厘米的线段。
原题说法错误。
故答案为:×
【点睛】掌握百分数的意义,明确百分数不能表示具体的数量。
2.(判断)去掉37.5%的百分号,它就扩大到原来的100倍。( )
【答案】√
【分析】把37.5%的百分号去掉就变为了37.5,37.5%=0.375,由0.375到37.5,小数点向右移动两位,即扩大到原来的100倍,据此判断即可。
【详解】37.5%=0.375
37.5÷0.375=100
则去掉37.5%的百分号,它就扩大到原来的100倍。原题干说法正确。
故答案为:√
【点睛】百分数去掉百分号后,即将这个数的小数点向右移动两位,所以扩大到原来的100倍。
3.(判断)出油率、出勤率、增长率都不可能大于100%。( )
【答案】×
【分析】××率=要求量(就是××所代表的信息)÷单位“1”的量(总量)×100%,据此分析。
【详解】出油率=榨的油的质量÷花生或其它农作物的质量×100%,不可能大于100%;
出勤率=出勤人数÷总人数×100%,出勤人数不可能大于总人数,出勤率不可能大于100%;
增长率=增长幅度÷原产量×100%,增长幅度有可能超过原产量,增长率有可能大于100%。
出油率、出勤率不可能大于100%,增长率有可能大于100%,所以原题说法错误。
故答案为:×
【点睛】关键是理解百分率的意义,掌握百分率的求法。
【考点二】分数、小数、百分数、除法、比之间的综合转化。
【典型例题1】
=16∶( )=( )÷25=( )%=( )(填小数)。
【答案】 10 40 160 1.6
【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项,分母相当于除数、比的后项;分数的分子和分母,同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。据此根据分数与除法和比的关系,以及它们通用的基本性质进行填空;分数化小数,直接用分子÷分母;小数化百分数,小数点向右移动两位,添上百分号即可。
【详解】16÷8×5=10;25÷5×8=40;8÷5=1.6=160%
=16∶10=40÷25=160%=1.6
【点睛】关键是掌握百分数、分数、小数、比之间相互转化的方法。
【对应练习】
1.。
【答案】15;25;32;62.5
【分析】根据分数的基本性质:分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数,分数的大小不变;===;根据分数与除法的关系:分数的分子做被除数,分母做除数;=25÷40;分数与比的关系:分子做比的前项,分母做比的后项,=20∶32;再根据分数化小数的方法:用分子除以分母,得到的商就是小数;=5÷8=0.625,再根据小数化百分数的方法:小数点向右移动两位,再添上百分号;即0.625=62.5%。
【详解】==25÷40=20∶32=62.5%
【点睛】熟练掌握分数、小数、比、百分数、除法之间的互化以及分数的基本性质是解答本题的关键。
2.9∶4=( )( )÷28=( )%。
【答案】2.25;12;63;225
【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项,分母相当于除数、比的后项;分数的分子和分母,同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。据此根据分数与除法和比的关系,以及它们通用的基本性质进行填空。求比值,直接用比的前项÷后项;小数化百分数,小数点向右移动两位,添上百分号即可。
【详解】9∶4=9÷4=2.25;27÷9×4=12;28÷4×9=63;2.25=225%
9∶4=2.2563÷28=225%
【点睛】关键是掌握百分数、分数、小数、比之间相互转化的方法。
【典型例题2】
在0.323232…、32.3%、0.32和中,最大的数是( ),最小的数是( )。
【答案】 0.323232… 0.32
【分析】将循环小数写成一般形式,将百分数写成小数形式,然后按照小数的大小比较方法,找出其中最大的和最小的数即可。
【详解】=0.322…
32.3%=0.323
0.323232…>32.3%>>0.32
所以,在0.323232…、32.3%、0.32和中,最大的数是0.323232…,最小的数是0.32。
【点睛】比较小数大小时,先比较整数部分,整数部分大的就大。整数部分相同的,再比较小数部分的十分位,十分位大的就大。十分位也相同的,再比较百分位,以此类推。
【对应练习】
1.在、16.7%、、0.16中,最大的是( ),最小的是( )。
【答案】 16.7% 0.16
【分析】把分数和百分数化为小数,多位小数比较大小时,从高位到低位依次比较各个位上的数字,较高位上数字大的小数值大,较高位上数字小的小数值小,据此解答。
【详解】=1÷6=,16.7%=0.167,在、0.167、、0.16中,它们的整数部分和小数点后面前两位数字相同,小数点后面第三位是6,0.167小数点后面第三位是7,小数点后面第三位是1,0.16小数点后面第三位是0,则0.167>>>0.16,16.7%>>>0.16,所以最大的是16.7%,最小的是0.16。
【点睛】小数、分数、百分数比较大小时,通常把分数和百分数转化为小数,再进行比较,最后排序时一定要按照原数排列。
2.在、66.7%、和0.66这四个数中,( )最大,( )最小。
【答案】 66.7%
【分析】根据分数、百分数与小数的关系,把、66.7%、都化为小数形式,再按照小数比较大小的方法进行比较即可。
【详解】=,66.7%=0.667,=
因为0.667>>0.66>,所以66.7%>>0.66>
则这四个数中,66.7%最大,最小。
【点睛】本题考查分数、百分数和小数的互化,明确它们之间的关系是解题的关键。
3.在0.3、0.33、34%、这5个数中,( )最大,( )最小。
【答案】 34% 0.3
【分析】把百分数和分数化成小数,然后再比较这些数的大小即可。
【详解】
所以34%最大,0.3最小。
【点睛】本题考查百分数,解答本题的关键是掌握百分数和分数转化成小数的方法。
【考点三】分数、百分数四则混合运算和简便计算。
【典型例题】
脱式计算,能简算的要简算。
37.5%×120-37.5%×40
【答案】;20
;30
【分析】,先算乘法,再算除法;
,先算小括号里的除法,再算括号外的除法;
,先算乘除法,再算加法;
37.5%×120-37.5%×40,利用乘法分配律进行简算。
【详解】
37.5%×120-37.5%×40
=0.375×(120-40)
=0.375×80
=30
【对应练习】
1.脱式计算,能简算的要简算。
20-35× 78×
×60
【答案】0;16;
6;28;106
【分析】-(+50%),根据减法性质,原式化为:--50%,再进行计算;
20-35×(-),根据乘法分配律,原式化为:20-(35×-35×),再进行计算;
78×,把78化为77+1,原式化为:(77+1)×,再根据乘法分配律,原式化为:77×+1×,再进行计算;
3.7×+1.3÷,把除法换算成乘法,原式化为:3.7×+1.3×,再根据乘法分配律,原式化为:×(3.7+1.3),再进行计算;
(+)÷,把除法换算成乘法,原式化为:(+)×27,再根据乘法分配律,原式化为:×27+×27,再进行计算;
(++)×60,根据乘法分配律,原式化为:×60+×60+×60,再进行计算。
【详解】-(+50%)
=--50%
=0.5-0.5
=0
20-35×(-)
=20-(35×-35×)
=20-(14-10)
=20-4
=16
78×
=(77+1)×
=77×+1×
=19+
=
3.7×+1.3÷
=3.7×+1.3×
=×(3.7+1.3)
=×5
=6
(+)÷
=(+)×27
=×27+×27
=24+4
=28
(++)×60
=×60+×60+×60
=30+40+36
=70+36
=106
2.脱式计算,能简算的要简算。
【答案】;;0.28
;96;
【分析】(1)把除法转化成乘法,然后根据乘法分配律逆运算a×c+b×c=(a+b)×c进行简算;
(2)先把99分解成98+1,然后根据乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c进行简算;
(3)根据减法的性质a-b-c=a-(b+c)进行简算;
(4)从左往右依次计算;
(5)先算小括号里面的减法,再算中括号里面的减法,最后算中括号外面的除法;
(6)先算括号里面的加法,再算括号外面的除法。
【详解】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3.脱式计算,能简算的要简算。
×÷ ÷1.25÷80% 1÷-×
+÷3 ÷(-+) ÷(+)
【答案】;;
;;
【分析】(1)按照从左到右的运算顺序进行计算即可;
(2)运用除法的性质进行计算即可;
(3)化除法为乘法,然后运用乘法分配律进行计算即可;
(4)先算除法,再算加法即可;
(5)运用加法交换律算小括号里面的,再算括号外面的除法即可;
(6)先算小括号里面的加法,再算小括号外面的除法即可。
【详解】×÷
=××
=×
=
÷1.25÷80%
=÷(1.25×80%)
=÷1
=
1÷-×
=1×-×
=×(1-)
=×
=
+÷3
=+×
=+
=
÷(-+)
=÷(+-)
=÷(1-)
=÷
=×
=
÷(+)
=÷
=×
=
【考点四】分数、百分数解方程。
【典型例题】
解方程。
【答案】;;
【分析】(1)先合并方程左边含共同未知数的算式,再根据等式的性质2,方程左右两边同时除以,解出方程;
(2)先合并方程左边含共同未知数的算式,再根据等式的性质2,方程左右两边同时除以46,解出方程;
(3)根据等式的性质2,方程左右两边同时除以,解出方程。
【详解】
解:
解:
解:
【对应练习】
1.解方程。
7.2-2x=3.8 x÷= x+10%x=2.2
【答案】x=1.7;x=;x=2
【分析】7.2-2x=3.8,根据等式的性质1和2,两边同时+2x,再同时-3.8,最后同时÷2即可;
x÷=,根据等式的性质2,两边同时×,再同时×即可;
x+10%x=2.2,先将左边合并成1.1x,再根据等式的性质2,两边同时÷1.1即可。
【详解】7.2-2x=3.8
解:7.2-2x+2x=3.8+2x
3.8+2x=7.2
3.8+2x-3.8=7.2-3.8
2x=3.4
2x÷2=3.4÷2
x=1.7
x÷=
解:x÷×=×
x=
x×=×
x=
x+10%x=2.2
解:1.1x=2.2
1.1x÷1.1=2.2÷1.1
x=2
2.解方程。
x= x-55%x=9 x+x=
【答案】x=;x=20;x=
【分析】(1)利用等式的性质2,在等式的左右两边同时除以即可求解;
(2)先将等式的左边化简为0.45x,再利用等式的性质2,在等式的左右两边同时除以0.45即可求解;
(3)先将等式的左边化简为x,再利用等式的性质2,在等式的左右两边同时除以即可求解。
【详解】(1)x=
解:x÷=÷
x=×
x=
(2)x-55%x=9
解:0.45x=9
0.45x÷0.45=9÷0.45
x=20
(3)x+x=
解:x=
x÷=÷
x=
x=
3.解方程。
【答案】;;
【分析】先把百分数化成小数,方程左边逆用乘法分配律得到0.5x=0.5,方程两边再同时除以0.5解答;
方程两边先同时乘再同时除以3解答;
方程两边先同时乘25%,再同时减去1,最后同时除以解答。
【详解】24%x+26%x=0.5
解:0.24x+0.26x=0.5
(0.24+0.26)x=0.5
0.5x=0.5
0.5x÷0.5=0.5÷0.5
x=1
解:
解:
比
前项
∶(比号)
后项
比值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
比
前项
∶(比号)
后项
比值
分数
分子
—(分数线)
分母
分数值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
小数
小数、百分数可以和分数互化,从而和除法、比产生关系。
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