2023-2024学年广东省东莞高级中学、东莞第六高级中学高二（下）质检数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞高级中学、东莞第六高级中学高二（下）质检数学试卷（5月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下求导正确的是( )
A. (lg2x)′=1xln2B. (csx)′=sinxC. (ln3)′=13D. (3x)′=x⋅3x−1
2.下列说法错误的是( )
A. 决定系数R2越大，模型的拟合效果越好
B. 若变量x和y之间的样本相关系数为r=−0.999，则变量x和y之间的负相关很强
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 在经验回归方程y =−2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
3.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1,2,3,4)，则P(2≤x<4)=( )
A. 12B. 35C. 710D. 910
4.袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A. 29B. 310C. 13D. 710
5.若函数f(x)=kx−6lnx−x2在区间[2,+∞)上单调递减，则实数k的取值范围为( )
A. (4 3,+∞)B. (−∞,4 3]C. (−∞,7]D. (7,+∞)
6.在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同的安排方法总数为( )
A. 20B. 24C. 30D. 36
7.函数y=f(x)的图象如图所示，y=f′(x)为函数y=f(x)的导函数，则不等式xf′(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−3)∪(−1,0)∪(1,+∞)B. (−∞,−3)∪(−1,0)∪(0,1)
C. (−3,−1)∪(1,+∞)D. (−3,−1)∪(0,1)
8.某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X∼B(n,p)，其中n∈N*，0A. 若n=5，p=12，则E(X)=54
B. 若n确定，则当p=12时，D(X)有最小值
C. 若n=9，p=45，则当k=7或k=8时，P(X=k)取得最大值
D. 若n=5，p=13，则P(X≤2)=176243
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量Y的方差D(Y)=2，则D(3Y+2)=8
B. 若随机变量η服从正态分布N(5,σ2)，且P(η<2)=0.1，则P(2<η<8)=0.8
C. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则E(X)=34
D. 若随机变量X服从二项分布B(4,13)，则X的分布列可表示为P(X=k)=C4k(23)k(13)4−k，k=0，1，2，3，4
10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是( )
A. 第n行所有数之和为：2n
B. 第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为5：2
C. C22+C32+C42+C52+…+C122=286
D. 由“除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为：Cn+1r=Cnr−1+Cnr
11.已知函数f(x)=x(1−lnx)，下列选项正确的是( )
A. f(x)的最大值为1
B. f(x)有唯一的零点
C. 若x≥e时，f(x)−a(e−x)≤0恒成立，则a≤1
D. 设x1，x2为两个不相等的正数，且x1lnx1−x2lnx2=x1−x2，则x1+x2<2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.A77−6A66−6A55= ______．
13.已知x，y之间的一组数据：
若y与 x满足经验回归方程y =b x+a，则此曲线必过点______．
14.托马斯⋅贝叶斯(ThmasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai) njP(Aj)P(B|Aj)，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中 nj=1P(Aj)P(B|Aj)称为B的全概率，假设小红口袋中有3个白球和3个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现小红从自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=x3+2x2−4x−8．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[−5,0]上的最大值与最小值．
16.(本小题15分)
已知(x+123x)n的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项．
17.(本小题15分)
高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如表：
数据表明y与x之间有较强的线性相关性．
(1)求y关于x的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；
(2)在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀．若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面的2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析数学优秀与物理优秀有关系？
参考公式及数据：b​=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−，i=15xiyi=54900，i=15(xi−x−)2=1000，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
18.(本小题17分)
某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关.该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为110，19，18，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品.现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．
(1)设A=“任取一件产品为次品”，B=“该产品仅有一个电子元件是次品”，求P(B|A)；
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，求X的分布列和期望；
(3)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个.已知每个质检员每月的工资为3000元，该企业每月生产该产品n件(n∈N*)，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln1x−ax2+x，a>0．
(1)当a=1时，求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)>3−2ln2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：对于A，(lg2x)′=1xln2，A正确；
对于B，(csx)′=−sinx，B错误；
对于C，(ln3)′=0，C错误；
对于D，(3x)′=3xln3，D错误．
故选：A．
利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于选项A：决定系数R2越大，模型的拟合效果越好，故选项A正确；
对于选项B：若变量x和y之间的样本相关系数为r=−0.999，
则变量x和y之间的负相关很强，故选项B正确；
对于选项C：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项C正确；
对于选项D：在经验回归方程y =−2x+0.8中，
当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y​平均减少2个单位，故选项D错误．
故选：D．
由题意，结合相关系数、决定系数、残差平方和及经验回归方程相关知识，对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查相关系数、线性回归方程以及回归分析等，考查了逻辑推理能力．
3.【答案】A
【解析】解：∵随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1,2,3,4)，
∴1a+2a+3a+4a=1，解得a=10，
∴P(2≤X<4)=P(X=2)+P(X=3)=15+310=12．
故选：A．
根据已知条件，利用离散型随机变量的分布列的概率和为1，即可求解a的值，再由P(2≤X<4)=P(X=2)+P(X=3)，即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列的性质，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，设第一次取到白球为事件A，第二次取到黑球为事件B，
则P(A)=0.7，P(A−)=1−P(A)=0.3，
P(B|A)=39，P(B|A−)=29，
则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=710×39+310×29=310．
故选：B．
根据题意，设第一次取到白球为事件A，第二次取到黑球为事件B，求出P(A)、P(A−)、P(B|A)、P(B|A−)，由全概率公式计算可得答案．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=kx−6lnx−x2在[2,+∞)上单调递减，
由题意得，f′(x)=k−6x−2x≤0 在x∈[2,+∞)上恒成立，
整理可知k≤2x+6x对x∈[2,+∞)恒成立，
因为y=2x+6x在[2,+∞)上单调递增，
故x=2时，y=2x+6x取得最小值7．
则k≤7．
故选：C．
根据题意可知f′(x)=k−6x−2x≤0在x∈[2,+∞)上恒成立，参变分离可得k≤2x+6x对x∈[2,+∞)恒成立，结合恒成立与最值关系的转化及对勾函数的单调性即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，②将分好的3组安排到3个学校，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为3组，要求甲乙在同一组，丙丁不在同一组，
若3组的人数为1、1、3，有C31=3种分组方法，
若3组的人数为1、2、2，有C32−1=2种分组方法，
则有3+2=5种分组方法；
②将分好的3组安排到3个学校，有A33=6种情况，
则有6×5=30种不同的安排方法．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：由图可得f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，x∈(−3,−1)时，f′(x)>0，x∈(−1,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，
所以不等式xf′(x)>0的解集为(−∞,−3)∪(−1,0)∪(1,+∞)．
故选：A．
由f(x)的图象得到f(x)的单调区间，从而得到f′(x)的取值情况，从而得解．
本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对于A，在5次射击中击中目标的次数X～B(5,12)，则E(X)=np=5×12=52，故A不正确；
对于B，D(X)=np(1−p)=n[−(p−12)2+14]，当p=12时，D(X)取得最大值，故B不正确；
对于C，在9次射击中击中目标的次数X～B(9,0.8)，
当X=k时对应的概率P(X=k)=9k×0．8k×0．29−k(k=0,1,2...,9)，
因为P(X=k)取最大值，所以P(X=k)≥P(X=k+1)P(X=k)≥P(X=k−1)，
即C9k×0．8k×0．29−k≥C9k+1×0．8k+1×0．29−kC9k×0．8k×0．29−k≥C9k−1×0．8k−1×0．210−k，即k+1≥4(9−k)4(10−k)≥k，解得7≤k≤8，
因为k∈N*且0≤k≤9，所以k=7或k=8，P(X=k)取得最大值，故C正确；
对于D，在5次射击中击中目标的次数X～B(5,13)，
P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C50×(13)0×(23)5+C51×(13)1×(23)4+C52×(13)2×(23)3=192243，故D不正确．
故选：C．
对于A，根据X～B(5,12)直接计算即可；
对于B，根据X～B(n,p)，直接写出D(X)即可判断；
对于C，根据X～B(9,0.8)直接写出P(X=k)，然后根据P(X=k)取最大值列式计算即可判断；
对于D，根据X～B(5,13)直接计算即可．
本题主要考查二项分布，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，因为D(Y)=2，D(3Y+2)=9D(Y)=18，故A错误；
对于B，因为η～N(5,σ2)，且P(η<2)=0.1，
则P(2<η<8)=1−2P(η<2)=0.8，故B正确；
对于C，由题X的取值可能为0，1，2，
则P(X=0)=C52C82=1028，P(X=1)=C51C31C82=1528，P(X=2)=C32C82=328，
所以E(X)=0×1028+1×1528+2×328=34，故C正确；
对于D，因为X～B(4,13)，则X的分布列可表示为P(X=k)=C4k×(13)k×(23)4−k，k=0，1，2，3，4，故D错误．
故选：BC．
由方差的性质即可判断A；由正态分布的特征即可判断B；由超几何分布求出期望可判断C；由二项分布的概率分布列可判断D．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由二项式系数的性质，得第n行所有数之和Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n，A正确；
对于B，第7行中从左到右第5个数与第6个数的比C74C75=3521=53，B错误；
对于C，C22+C32+C42+C52+…+C122=C33+C32+C42+C52…+C122=C43+C42+C52+⋯+C122=C53+C52+⋯+C122=⋯=C123+C122=C133=286，C正确；
对于D，由“杨辉三角”的性质“除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”知Cn+1r=Cnr−1+Cnr，D正确．
故选：ACD．
利用二项式系数的性质判断A；利用二项式系数的性质计算判断BC；由“杨辉三角”的性质判断D．
本题考查二项式系数的性质，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A：由题意可得：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1−lnx−1=−lnx，
令f′(x)>0，解得01；
则函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有最大值f(1)=1，故A正确；
当x∈(0,1)时，f(x)=x(1−lnx)>0，所以f(x)在(0,1)上无零点，
当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减，且f(e)=0，所以f(x)在(1,+∞)上只有一个零点e，
综上，f(x)有唯一的零点，故B正确；
对于选项C：令F(x)=f(x)−a(e−x)，则F′(x)=−lnx+a，
因为F(e)=0，且当x≥e时，F(x)≤0恒成立，则F′(e)=−1+a≤0，解得a≤1，
若a≤1，则当x≥e时，F′(x)=−lnx+a≤0恒成立，则F(x)在[e,+∞)上单调递减，
则F(x)≤F(e)=0，符合题意，
综上所述：a≤1符合题意，故C正确；
对于选项D：因为x1lnx1−x2lnx2=x1−x2，
整理得x1(1−lnx1)=x2(1−lnx2)，即f(x1)=f(x2)，
由选项AB可得f(x)的图象，如图所示，
则不妨设0构建g(x)=f(1+x)−f(1−x)，x∈(0,1)，
因为g′(x)=f′(1+x)+f′(1−x)=−ln(1+x)−ln(1−x)=−ln(1−x2)>0在(0,1)上恒成立，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，
所以f(1+x)>f(1−x)，x∈(0,1)，即f(2−x)>f(x)，x∈(0,1)，
可得f(x2)=f(x1)因为f(x)在(1,+∞)上单调递减，1所以x2>2−x1，即x1+x2>2，故D错误．
故选：ABC．
求导，利用导数判断函数f(x)的单调性与最值，即可判断A；分别判断函数f(x)在(0,1)和(1,+∞)上的零点个数，即可判断B；令F(x)=f(x)−a(e−x)，分析可得F′(e)≤0，可得a≤1，再判断a≤1时，f(x)−a(e−x)≤0在[e,+∞)上恒成立，即可判断C；利用极值点偏离法分析即可判断D．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，函数零点个数的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
12.【答案】0
【解析】解：A77−6A66−6A55=AA77−6A66−A66=0．
故答案为：0．
根据已知条件，结合排列数公式，即可求解．
本题主要考查排列数公式，属于基础题．
13.【答案】(2.5,4)
【解析】解：令z= x，则y =b z+a 恒过点(z−,y−)，
又z−=14( 1+ 4+ 9+ 16)=2.5，y−=14(1+2.98+5.01+7.01)=4，
∴经验回归方程必过(2.5,4)．
故答案为：(2.5,4)．
利用线性回归方程过样本中心(x−,y−)即可求解．
本题考查线性回归方程，属于基础题．
14.【答案】38
【解析】解：设小红取出2个球，其中红球的个数为i=0，1，2个的事件为A，
小兰取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为B，
由题意可得：P(A0)=C32C30C62=15，
P(B|A0)=C40C22C62=115，
P(A1)=C31C31C62=35，
P(B|A1)=C30C32C62=15，
P(A2)=C30C32C62=15，
P(B|A2)=C20C42C62=25，
则P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=15×2515×115+35×15+15×25=38，
所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为38．
故答案为：38．
设从小红取出2个球，其中红球的个数为i个的事件A的概率P(Ai)，再分析小兰取出2个球，其中红球的个数为2个的事件的概率P(B|A0)，P(B|A1)，P(B|A2)，结合题中公式运算求解．
本题考查古典概率模型及条件概率计算公式，是基础题．
15.【答案】解：(1)函数的导数为f′(x)=3x2+4x−4．
令f′(x)=0，解得x1=23，x2=−2．
由f′(x)<0，得−20，得x<−2或x>23，
所以f(x)的单调递减区间为(−2,23)，单调递增区间为(−∞,−2)，(23,+∞)．
(2)当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
f(0)=−8，f(−2)=0，f(−5)=−63．
∴在区间[−5,0]上的最大值为0，最小值为−63．
【解析】(1)求函数的导数，利用函数的导数和单调性之间的关系求解即可；
(2)利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值．
本题主要考查函数的单调性和最值与导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)(x+123x)n的展开式中第r+1项为Tr+1=Cnrxn−r(123x)r=(12)rCnrxn−43r，
所以第五项的二项式系数Cn4，第三项的系数为(12)2Cn2，
所以Cn4=4×(12)2Cn2，
解得n=6或−1(舍去)，
由二项式系数的性质可知，展开式中二项式系数最大的项为第4项，即(12)3C63x6−4=52x2；
(2)由(1)可知，Tr+1=(12)rC6rx6−43r，r=0，1，2，3，4，5，6，
当6−43r∈Z时，r=0，3，
所以展开式中所有的有理项为x6和52x2．
【解析】(1)由二项式定理可得，展开式中第r+1项为Tr+1=(12)rCnrxn−43r，所以Cn4=4×(12)2Cn2，求出n的值，进而求出展开式中二项式系数最大的项；
(2)由(1)可知，Tr+1=(12)rC6rx6−43r，r=0，1，2，3，4，5，6，令6−43r∈Z求出r的值，进而得到展开式中所有的有理项．
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了二项式系数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由表中数据可得，x−=140+130+120+110+1005=120,y−=110+90+100+80+705=90，
∵i=15xiyi=54900，i=15(xi−x−)2=1000，
∴b =i=15xiyi−5x−y−i=15(xi−x−)2=54900−5×120×901000=0.9,a =90−0.9×120=−18，
故线性回归方程为y =0.9x−18，
当x=90时，y =0.9×90−18=63 (分)，
该班某同学的数学成绩为90(分)时的物理成绩63(分)．
(2)2×2列联表如下：
∵χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=60×(24×18−6×12)236×24×30×30=10>6.635，
∴依据小概率值α=0.01的独立性检验，数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过0.01．
【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，将x=90代入上式的线性回归方程中，即可求解．
(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，以及独立性检验公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)记“任取一件产品为次品”为事件A，则P(A)=1−(1−110)×(1−19)×(1−18)=310，
记“该产品仅有一个电子元件是次品”为事件B，P(AB)=110×(1−19)×(1−18)+(1−110)×19×(1−18)+(1−110)×(1−19)×18=191720，
P(A)=310，P(B|A)=P(AB)P(A)=191720×103=191216．
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，则X=0，1，2，3，
P(X=0)=1−310=710，
P(X=1)=191720，
P(X=2)=110×19×(1−18)+110×(1−19)×18+(1−110)×19×18=24720=130，
P(X=3)=110×19×18=1720，
则X的分布列为：
E(X)=0×710+1×191720+2×130+3×1720=121360；
(3)若选方案一，则企业每月支出质检员工资共9000元；
若选方案二，则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计3000+121360×20n=3000+12118n，
若3000+12118n=9000，则n=108000121=89268121，
所以当n≥893，且n∈N时，选方案一；当n≤892，且n∈N*时，选方案二．
【解析】(1)根据事件的意义，结合条件概率公式，即可求解；
(2)求得X的可能取值及对应概率，根据期望公式求解即可；
(3)方案一只需要支付3个质检员的工资费用，方案二需要计算电子元件为次品的个数的期望，再根据题意列式求解需支付分费用，两个方案再比较后，根据n的数值，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题，函数的定义域为(0,+∞)，
当a=1时，f(x)=ln1x−x2+x，则f′(x)=−1x−2x+1，
所以f′(1)=−2，f(1)=0，即切点为(1,0)，
所以函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程为：y=−2(x−1)，
即y=−2x+2；
(2)由题意得：f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=−1x−2ax+1=−2ax2+x−1x(x>0)，
令g(x)=−2ax2+x−1(a>0)，Δ=1−8a，
①当Δ=1−8a≤0，即a≥18时，g(x)≤0恒成立，即f′(x)≤0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，
②当Δ=1−8a>0，即0令g(x)=0，解得：x1=−1+ 1−8a2−4a=1− 1−8a24a,x2=1+ 1−8a24a，
当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时，g(x)<0，即f′(x)<0，
当x∈(x1,x2)时，g(x)>0，即f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1− 1−8a24a),(1+ 1−8a24a,+∞)上单调递减，
在(1− 1−8a24a,1+ 1−8a24a)上单调递增，
综上：当a≥18时，f(x)在(0,+∞)上单调递减，
当0在(1− 1−8a24a,1+ 1−8a24a)上单调递增；
(3)证明：因为f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，
由(2)知0则x1+x2=12a,x1⋅x2=12a，
f(x1)+f(x2)=ln1x1−ax12+x1+ln1x2−ax22+x2=ln1x1x2−a[(x1+x2)2−2x1x2]+(x1+x2)
=ln(2a)−a(14a2−1a)+12a=ln(2a)+14a+1，
设v(a)=ln(2a)+14a+1，则v′(a)=4a−14a2，
因为0则v(a)在(0,18)上为减函数，
所以v(a)>v(18)=ln14+2+1=3−2ln2，
即f(x1)+f(x2)>3−2ln2．
【解析】(1)利用导数的几何意义即可求解．
(2)求导后，将问题转变为研究g(x)=−2ax2+x−1(a>0)在x>0时的正负；当Δ≤0，可知g(x)≤0恒成立，从而可知f′(x)≤0，得到函数单调递减；当a>0时，解方程求出两根，根据g(x)在不同区间内的符号确定原函数的单调性即可；
(3)由(1)可知0v(18)=3−2ln2，从而可证得结论．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于难题．x
1
4
9
16
y
1
2.98
5.01
7.01
数学成绩x
140
130
120
110
100
物理成绩y
110
90
100
80
70
数学成绩
物理成绩
合计
物理优秀
物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
−5
(−5,−2)
−2
(−2,0)
0
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极小值
↘
物理优秀
物理不优秀
合计
数学优秀
24
6
30
数学不优秀
12
18
30
合计
36
24
60
X
0
1
2
3
P
710
191720
130
1720