函数的零点与方程的解课件-2025届高三数学一轮复习

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第10课时　函数的零点与方程的解
理解函数的零点与方程的解的联系.
了解用二分法求方程的近似解．
理解函数零点存在定理，并能简单应用.
1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f (x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有____⇔函数y＝f (x)的图象与___有公共点．
(3)函数零点存在定理如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_________，那么，函数y＝f (x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象________且__________的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．
f (a) f (b)<0
[常用结论]1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，而且f (a) f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点．2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)＜0．(　　)(3)函数y＝f (x)为R上的单调函数，则f (x)有且仅有一个零点．(　　)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)
二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　DA　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．]
2．(多选) (人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为(　　)A．(1，2)　　　　B．(2，3)C．(5，6) 　D．(5，7)BCD　[由所给的函数值表知，f (1) f (2)>0，f (2) f (3)<0，f (5) f (6)<0，f (5) f (7)<0，∴函数f (x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)，(5，7)．故选BCD.]
名师点评　确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
[跟进训练]1．(1)若a0且a≠1)．当2(1)A　(2)2　[(1)函数y＝f (x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f (a) f (b)<0，f (b) f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．(2)对于函数y＝lgax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝lga x，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.]
名师点评　求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
名师点评　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第三步：数形结合当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f (x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解．第四步：归纳总结综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f ( f (x))－a有三个不同的零点．[答案]　[－1，＋∞)名师点评　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数．