2024成都中考数学复习逆袭卷 专题六　圆 (含详细解析)

这是一份2024成都中考数学复习逆袭卷 专题六　圆 (含详细解析)，共62页。
(针对诊断小卷十一第1，8题、小卷十二第3题)
1. (诊断小卷十一 第1题变式练—结合内接三角形)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接CD，若CD＝AO，则∠ABC的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
第1题图
2. (诊断小卷十二 第3题变式练—变为圆心角的倍数关系)如图，△ABC中，∠ABC＝108°，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，若∠AOB＝3∠BOC，则∠BAC的度数为( )
A. 12° B. 15° C. 18° D. 20°

第2题图
3. (结合角平分线)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接CD，若∠BDC＝30°，⊙O的半径为3，则BD 的长为( )
A. eq \f(\r(3),2) B. eq \r(3) C. 2 eq \r(3) D. 3 eq \r(3)
第3题图
4. (诊断小卷十一 第8题变式练—变为求锐角三角函数)如图，AB，AC为⊙O的弦，BD为⊙O的直径，连接OC，若∠A＝60°，则cs ∠DOC的值为________ .
第4题图
5. (结合等腰三角形)如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠BOC＝68°，∠OCA＝20°，则∠ABO＝________°.
第5题图
6. (创新考法·阅读理解)如图①，若AD为△ABC的边BC边上的高，且AD＝BC，则称△ABC是等高底三角形，BC叫作等底．如图②，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，若△ABC是等高底三角形，BC为等底，S△ABC＝24，则⊙O的半径长为________.
第6题图
针对考向2 圆内接四边形性质的相关计算
(针对诊断小卷十一第4题、小卷十二第2题)
7. (诊断小卷十一 第4题变式练—变为求角度)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB，DC的延长线交于点E，连接OA，OC，若∠AOC＝100°，则∠CBE的度数是( )
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
第7题图
8. (诊断小卷十二 第2题变式练—变为求长度)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠C＝3∠A，连接BD，则BD的长为( )
第8题图
A. 4 eq \r(3) B. 4 eq \r(2) C. 6 eq \r(2) D. 3 eq \r(3)
9. (结合角平分线)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，点E在AB的延长线上，且BE＝AD，点F在上(不与点B，C重合)，连接CE，CF，BF，若∠E＝36°，则∠BFC的度数为________．
第9题图
针对考向3 与圆性质有关的证明与计算
(针对诊断小卷十二第10题)
10. (诊断小卷十二 第10题变式练—变图形)如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，交AB于点E，点F是⊙O上一点，连接DF，BF，CF，AD，DF交AB于点G，∠BFD＝60°.
(1)求证：DF平分∠BFC；
(2)若⊙O的半径为1，当DE＝EG时，求CF的长．
第10题图
11. (结合菱形判定)如图，四边形ABCD内接于⊙O，且＝，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接BD，∠C＝∠BED.
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)若⊙O的半径为3， eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(5,3) ，求AD的长．
第11题图
12. (结合锐角三角函数)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC与⊙O分别交于点D，E，且OD∥BC，连接BD，DE.
(1)求证：DE＝DC；
(2)若AC＝6，EC＝2，求sin ∠ODB的值．
第12题图
考点2 与垂径定理有关的计算
(针对诊断小卷十一第2题、小卷十二第5题)
1. (诊断小卷十一 第2题变式练)如图，AB为⊙O的一条弦，点C是BA延长线上一点，连接OC，已知⊙O的半径为3，OC＝4，∠ACO＝30°，则弦AB的长为( )
A. 4 eq \r(5) B. 2 eq \r(5) C. 4 D. 2
第1题图
2. (结论判断)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，连接OA，OB，OC，BC，BC与OA交于点D，BD＝CD，若BD＝ eq \r(3) OD，则下列说法错误的是( )

第2题图
A. OA⊥BC B. ∠AOB＝∠AOC C. AD＝OD D. ∠COD＝3∠C
3. (诊断小卷十二 第5题变式练—变为求锐角三角函数)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，AD，若OE＝1，CE＝2，则tan ∠ADE的值为( )
A. eq \f(\r(5),2) ＋1 B. eq \f(\r(5),2) －1 C. eq \f(\r(5)＋1,2) D. eq \f(\r(5)－1,2)
第3题图
4. (结合线段等量关系)如图，AB是⊙O的直径，C，D是AB异侧⊙O上的两点，连接CD交AB于点E，CD⊥AB.若CD＝BE，⊙O的半径为5，则△BCD的面积为( )
第4题图
A. 32 B. 35 C. 38 D. 40
5. (结合弧相等)如图，AB为⊙O的直径，＝，连接AC，AD，CD，CD交AB于点E，若∠ACD＝22.5°，AB＝4，则AE的长为________．
第5题图
6. (创新考法·数学文化) 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，图①是筒车的实景图，图②是筒车抽象成的平面示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，若运行轨道的最低点C到弦AB的距离为1米，则⊙O的半径为________米．
第6题图
考点3 与切线性质有关的证明与计算
针对考向1 单切线性质有关的证明与计算
(针对诊断小卷十一第3，10题、小卷十二第11题)
1. (诊断小卷十一 第3题变式练—结合垂直关系)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，OD⊥OB交⊙O于点D，连接AD，若∠B＝40°，则∠BAD的度数为( )
A. 110° B. 80° C. 70° D. 40°
第1题图
2. (结合锐角三角函数)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接OA交⊙O于点C，过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，若∠ABC＝30°，则sin ∠ACD的值为( )

第2题图
A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(2),2) C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(\r(3),3)
3. (结合勾股定理)如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝16，点O为AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点C，则⊙O的半径为________．
第3题图
4. (结合平行线)如图，AB为⊙O的直径，AC，CD为⊙O的两条弦，且AB与CD交于点E，连接OD，过点B作⊙O的切线与OD的延长线交于点F，且BF∥CD，若∠ACD＝67.5°，BF＝4，则CD的长为________．
第4题图
5. (诊断小卷十一 第10题变式练)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，CD是⊙O的切线，过点B作BD⊥CD于点D，交⊙O于点E，连接AC，BC.
(1)求证：点C是的；
(2)若BD＝4，cs ∠ABD＝ eq \f(1,3) ，求⊙O的半径．
第5题图
6. (诊断小卷十二 第11题变式练—变为证线段位置关系)如图，AB是⊙O的直径，延长弦BC至点D，使CD＝BC，连接AD，过点C作⊙O的切线，交AD于点E.
(1)求证：CE⊥AD；
(2)若⊙O的半径为4，AE＝2，求BC的长．
第6题图
针对考向2 双切线性质有关的证明与计算
(针对诊断小卷十二第4题)
7. (诊断小卷十二 第4题变式练—变为求角度)如图，AB为⊙O的直径，AC，BD，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，连接OC，OD则∠COD的度数为( )
A. 100° B. 90° C. 85° D. 80°
第7题图
8. (结合切线的判定)如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB于点A，CD与⊙O相切于点D，若∠ACD＝60°，AC＝2 eq \r(3) ，则BD的长为( )
A. 1 B. eq \r(3) C. 2 D. 2 eq \r(3)
第8题图
9. (结合直角三角形)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心作⊙O与直角边BC，AC分别相切于D，E两点，连接OD，OE，若四边形OECD的面积为12，则⊙O的半径为________．
第9题图
10. (结合等边三角形)如图，等边△ABC外切于⊙O，连接OA, 若AO＝6，则△ABC的边长为________．
第10题图
考点4 与切线判定有关的证明与计算
(针对诊断小卷十一第11题)
【典例学方法】
例 (结合全等三角形)如图，AB是⊙O的直径，四边形OBCD是平行四边形，DA与⊙O相切于点A，BC与⊙O相交于点E，连接DE.
例题图
(1)求证：DE是⊙O的切线；
思维模型 解题过程

(2)若sin ∠ODE＝ eq \f(1,2) ，CE＝2，求的长．
【思路引导】要求的长，需要知道圆心角∠BOE的度数和半径的长度，根据sin ∠ODE＝ eq \f(1,2) ，由特殊角的三角函数值，可得到∠ODE＝30°，根据平行四边形和等边三角形的性质，求得∠BOE的度数和半径OB的长即可求解．
针对训练
1. (诊断小卷十一 第11题变式练—变图形)如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，连接CD，DE，DB＝DE，过点D作∠BDF＝∠BCD交CB的延长线于点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若DF＝2 eq \r(2) ，tan F＝ eq \f(\r(2),4) ，求AC的长．
第1题图
2. (结合平行线的性质)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC相交于点E.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，CE＝6，求BC的长．
第2题图
3. (结合相似三角形)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边BC上一点，以OC为半径作⊙O与BC的另一个交点为E. 连接AO，过点O作OD∥AC交AB于点D，且AD＝OD.
(1)判断AB与⊙O的位置关系，并证明；
(2)若 eq \f(OD,AC) ＝ eq \f(2,3) ，BE＝1，求BD的长．
第3题图
考点5 与辅助圆有关的问题
针对考向 利用辅助圆求最值
(针对诊断小卷十一第9题、小卷十二第9题)
类型1 定点定长作辅助圆
典例学方法
例 (结合图形折叠)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，P是边AB的中点，Q是AD边上一动点，将△APQ沿PQ所在直线折叠，得到△A′PQ，连接A′C，A′D，则△A′CD面积的最小值为________．
例题图
思维模型 解题过程
针对训练
1. (诊断小卷十一 第9题变式练—变图形)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点P是以A为圆心，2为半径的圆上一动点，连接PC，若点D是PC的中点，连接BD，则BD的最小值为________．
第1题图
类型2 定弦定角作辅助圆
典例学方法
例 (结合等腰三角形)如图，在△ABC中，BC＝4 eq \r(2) ，∠BAC＝45°，点D是边BA上一点，连接CD，CD＝AD，则△BCD面积的最大值为________．
例题图
思维模型 解题过程

针对训练
1. (诊断小卷十二 第9题变式练—变图形)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，连接AE，CE，点F是射线AE上一点，连接BF，DF，若∠ABF＝∠DCE，AB＝2，则DF的最小值为________．
第1题图
类型3 定角定高作辅助圆
典例学方法
例 (结合矩形)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P是AD的中点，点M，N是直线BC上的两个动点，连接PM，PN，∠MPN＝45°，则MN的最小值为________．
例题图
思维模型 解题过程

针对训练
1. (结合等腰三角形)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是BC边上的高，若AD＝4，则△ABC面积的最小值为________.
第1题图类型4 最大张角作辅助圆
典例学方法
例 (结合平行四边形)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠BAD＝60°.点E是边CD上一点，连接AE，BE，当∠AEB的值最大时，sin ∠AEB的值为________．
例题图
思维模型 解题过程

针对训练
1. (结合直角)如图，已知∠MON＝90°，点A，B是射线ON上两点，OA＝2，AB＝6，点C是射线OM上一点，连接AC，BC，当∠ACB的值最大时，OC的长为________．
第1题图类型5 四点共圆作辅助圆
典例学方法
例 (结合中位线)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，BC＝2，点E，F分别是边BC，DC的中点，则EF的最大值为________．
例题图
思维模型 解题过程

针对训练
1. (结合角平分线)如图，在四边形ABCD中，AC＝4 eq \r(2) ，AC平分∠BAD，若∠BAD与∠BCD互补，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
第1题图类型6 利用阿氏圆转化线段
典例学方法
例 (结合等腰直角三角形)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点D是三角形内部一点，且BD＝2，连接AD，CD，则 eq \f(1,2) AD＋CD的最小值为________．
例题图
思维模型 解题过程

针对训练
1. (结合菱形折叠)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2 eq \r(3) ，点E是AB的中点，点F是AD上一动点，将△AEF沿EF折叠得到△A′EF，连接A′C，A′D，则A′C＋ eq \f(\r(3),3) A′D的最小值为________．
第1题图
拓展考向 与圆有关的最值问题
类型1 点圆最值
典例学方法
例 (结合等腰直角三角形)如图，AB是⊙O的弦，点P是优弧上的动点，且∠APB＝45°，以AB为斜边向AB右侧作等腰直角△ABC，连接CP.若AB＝2 eq \r(2) ，则CP的最大值为________．
例题图
思维模型 解题过程

针对训练
1. (结合轴对称性质)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是对角线AC上一动点，点P是以点B为圆心，2为半径的圆上一点，连接EF，PF，则EF＋PF的最小值为________．
第1题图
类型2 线圆最值
典例学方法
例 (结合面积最值)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°，AB＝5 eq \r(3) ，点O是AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点D，点P是⊙O上一动点，连接PB，PC，若AD＝2 eq \r(3) ，则△PBC面积的最小值为________．
例题图
思维模型 解题过程

针对训练
1. (结合线段最值)如图，在半径为4的⊙O中，BC是⊙O的弦，A是⊙O上一点，连接AB，AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠BAC＝45°，则AD长的最大值为________．
第1题图
考点6 弧长、扇形面积的有关计算
针对考向1 与弧长有关的计算
(针对诊断小卷十一第6题)
1. (诊断小卷十一 第6题变式练—结合弧的中点)如图，在半径为3的⊙O中，点C是的中点，AD是⊙O的直径，连接AC，BC，若∠A＝40°，则劣弧的长为( )
A. 2π B. π C. eq \f(2π,3) D. eq \f(π,3)
第1题图
2. (结合圆周角定理)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，B是的中点，若∠ADB＝30°，的长为 eq \f(4\r(3)π,3) ，则⊙O的半径为( )
第2题图
A. eq \r(3) B. 2 C. 2 eq \r(3) D. 3 eq \r(3)
3. 若扇形的弧长为 eq \f(4,3) π， 圆心角为60°，则该扇形的半径为 ________．
4. (结合图形的旋转)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1.将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB1C1，点B的对应点B1恰好落在BC边的中点处，B1C1交AC于点D， eq \(CC1,\s\up8(︵)) 是点C到点C1所经过的路径，则图中阴影部分的周长为________．
第4题图
针对考向2 与扇形面积有关的计算
(针对诊断小卷十二第1题)
5. (诊断小卷十二 第1题变式练—结合圆周角定理)如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OC，若OA＝6，扇形AOC的面积为6π，则∠ABC的度数为( )
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
第5题图
6. (结合等边三角形)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，OC，若∠A＝60°，S扇形EOC＝ eq \f(2π,3) ，则⊙O的半径为( )
第6题图
A. eq \r(2) B. 2 C. 4 D. 8
7. (结合菱形)如图，菱形ABCD对角线AC，BD的长分别为4，4 eq \r(3) ，以点B为圆心，BA长为半径画弧，则扇形ABC的面积为( )
第7题图
A．π B. eq \f(4π,3) C. 2π D. eq \f(8π,3)
8. (结合弧长)若扇形的半径为4，面积为 eq \f(16π,3) ，则该扇形的弧长为________．
针对考向3 与圆锥有关的计算
(针对诊断小卷十二第6题)
9. (诊断小卷十二 第6题变式练—结合圆柱)如图，以圆柱的上面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥的母线长为5，若圆柱的底面积为9π，则该圆锥的侧面积为 ________．
第9题图
10. (创新考法·跨学科) 锥形漏斗是化学实验中常见的一种仪器，它的主要作用是在其内部放上滤纸以达到过滤的效果．如图，为一个锥形漏斗示意图，若其锥形部分的底面直径AB为12 cm，侧面积为60 πcm2，则该锥形漏斗的锥形部分的高PQ为________cm.

第10题图
考点7 阴影部分面积的计算
针对考向1 添加辅助线构造图形和差求阴影部分面积
(针对诊断小卷十二第8题)
1. (结合三等分点)如图，在扇形AOB中，OA＝2，∠AOB＝135°，以点O为圆心，1为半径作分别交OA，OB于点C，D，点E是的三等分点，且＜，则图中阴影部分的面积是( )
A. eq \f(5π,4) ＋ eq \f(\r(2),2) B. eq \f(5π,8) ＋ eq \f(\r(2),2) C. eq \f(5π,8) ＋ eq \r(2) D. eq \f(5π,4) ＋ eq \r(2)
第1题图
2. (结合平行四边形)如图，在▱ABCD中，AD＝1，∠A＝60°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点E，交CD于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧恰好过点E.则图中阴影部分的面积为( )
第2题图
A. eq \f(π,3) B. eq \f(π,4) C. eq \f(π,6) D. eq \f(π,12)
3. (诊断小卷十二 第8题变式练—变图形)如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，四边形CDEF是内接于⊙O的矩形，将⊙O沿CD，EF分别折叠，使点A，B恰好落在圆心O处，则图中阴影部分的面积为________．
第3题图
针对考向2 等积转化求阴影部分面积
(针对诊断小卷十一第5题)
4. (诊断小卷十一 第5题变式练—变图形)如图，半圆O的直径AB＝4，点C是半圆上一点，连接AC，BC，且AC＝BC，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接OC，则图中阴影部分的面积为( )
A. π－2 B. π＋2 C. 2π－2 D. 4－π
第4题图
5. (结合半圆的三等分点)如图，点C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，点P是直径AB上任一点，若AB＝10，则图中阴影部分的面积为________．
第5题图
6. (结合菱形)如图，在扇形ADC中，已知菱形ABCD的顶点B在上，其两条对角线相交于点O，以点D为圆心，DO长为半径画弧，分别交DC，AD于点E，F，若BD＝2，则图中阴影部分的面积是________．

第6题图
拓展考向 直接图形和差求阴影部分面积
1. (结合实物)折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图是某公司生产的一种扇骨为竹木，扇面为韧纸的折扇，已知整个折扇完全展开(扇形AOB)的面积为300π，外侧两竹木OA，OB之间的夹角为120°，AC长为20 cm，则折扇贴纸部分的面积为( )
A. 100π B. 800π C. eq \f(100,3) π D. eq \f(800,3) π
第1题图
2. (创新考法·数学文化) 我国古代数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”．如图，已知⊙O内切于大正方形ABCD，直角三角形的两直角边AH和DH分别为6和2，则图中阴影部分的面积为( )
第2题图
A. 5π B. 5π－8 C. 8－ eq \f(5,2) π D. 8
3. (结合直角三角形旋转)如图，在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝ eq \r(3) ，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AFE，线段AE与交于点G，连接CG，则图中阴影部分的面积为________．
第3题图
考点8 正多边形与圆
(针对诊断小卷十一第7题、小卷十二第7题)
1. (诊断小卷十一 第7题变式练—变为求边数)如图，AB，AC分别为⊙O的内接正十二边形、正三角形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第1题图
2. (结论判断)如图，正五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，点Q是⊙O上不与点A，B重合的一动点，连接AQ，BQ，下列说法正确的是( )
第2题图
A. 当点Q的位置变化时，∠BQA的度数不变
B. 当点Q在劣弧上时，∠BQA＝144°
C. 当点Q与点D重合时，BQ的长度最大
D. △BQA面积的最大值为正五边形ABCDE面积的三分之一
3. (结合阴影部分面积)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )
A. eq \f(4π,3) B. eq \f(4π,3) － eq \r(3) C. eq \f(2π,3) D. eq \f(2π,3) ＋ eq \r(3)
第3题图
4. (结合三角形面积)如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF，BF，若⊙O的半径为2，则△ABF的面积为( )
A. eq \r(2) B. 2 C. 2 eq \r(2) D. 4
第4题图
5. (诊断小卷十二 第7题变式练—变图形)如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点F，G分别是边AB，BC与⊙O的切点，H，M是⊙O上的两点(不与点F，G重合)，连接FH，MH，若M是的中点，则∠FHM的度数为________．
第5题图
6. (创新考法·填空双空)如图，点F为正六边形OABCDE上的动点，以点O为圆心，OF长为半径作圆．
第6题图
(1)若点F在OE上，⊙O与正六边形OABCDE的边OA交于点H，点G为劣弧的中点，连接GF，GH，且GH＝2 eq \r(2) ，则⊙O的半径为________；
(2)若点F与点D重合，连接BD，此时⊙O的半径为4，则点O到BD的距离为________．
参考答案与解析
考点1 圆周角定理及其推论
针对考向1 圆周角定理及其推论的有关计算
C 【解析】如解图，连接OC，∵CD＝AO，AD是⊙O的直径，∴OA＝OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ABC＝∠ODC＝60°(同弧所对的圆周角相等).
第1题解图
2. C 【解析】∵＝，∴∠AOB＝2∠ACB(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝3∠BOC，∴2∠ACB＝3×2∠BAC，∴∠ACB＝3∠BAC，在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴108°＋∠BAC＋3∠BAC＝180°，∴4∠BAC＝72°，∴∠BAC＝18°.
(一题多解)
如解图，在优弧上任意选取一点D(不与点A，C重合)，连接AD，CD，构造圆内接四边形ABCD，∵∠ABC＝108°，∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－108°＝72°(圆内接四边形的对角互补)，∴∠AOC＝2∠D＝2×72°＝144°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵∠AOB＝3∠BOC，∴∠AOC＝4∠BOC，∴∠BOC＝ eq \f(1,4) ∠AOC＝ eq \f(1,4) ×144°＝36°，∴∠BAC＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝ eq \f(1,2) ×36°＝18°.
第2题解图
3. D 【解析】如解图，连接AD，∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径(90°的圆周角所对的弦是直径)，∠ADB＝90°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∵∠BDC＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝60°(直角三角形两锐角互余)，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴在Rt△ABD中，cs ∠ABD＝ eq \f(BD,AB) ，∴BD＝AB·cs ∠ABD＝6cs 30°＝6× eq \f(\r(3),2) ＝3 eq \r(3) .
第3题解图
4. eq \f(1,2) 【解析】∵∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠DOC＝180°－∠BOC＝180°－120°＝60°，∴cs ∠DOC＝cs 60°＝ eq \f(1,2) .
5. 14 【解析】∵△ABC内接于⊙O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝68°，∴∠OBC＝∠OCB＝ eq \f(1,2) (180°－∠BOC)＝56°，∵∠OCA＝20°，∴∠ACB＝∠OCB＋∠OCA＝76°，∵∠BOC＝68°，∴∠A＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝34°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，在△ABC中，∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－34°－76°＝70°，∴∠ABO＝∠ABC－∠OBC＝70°－56°＝14°.
第5题解图
(一题多解)
如解图，连接AO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∵∠BOC＝68°，∴∠BAC＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝34°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠OAB＝∠BAC－∠OAC＝34°－20°＝14°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝14°.
6. 4 【解析】∵△ABC是等高底三角形，BC为等底，AD⊥BC，∴BC＝AD，∵S△ABC＝24，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) BC2＝24，解得BC＝4 eq \r(3) (负值已舍去)，如解图，连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵OB＝OC，OE⊥BC，∴∠BOE＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝60°，BE＝ eq \f(1,2) BC＝2 eq \r(3) ，在Rt△OBE中，sin ∠BOE＝ eq \f(BE,OB) ，∴OB＝ eq \f(BE,sin 60°) ＝ eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2)) ＝4，即⊙O的半径长为4.
第6题解图
针对考向2 圆内接四边形性质的相关计算
7. A
8. B 【解析】如解图①，连接BO，DO，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∵∠C＝3∠A，∴∠A＝45°，∴∠BOD＝90°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∵⊙O的半径为4，∴在Rt△BOD中，BD＝ eq \f(BO,cs 45°) ＝4 eq \r(2) .
第8题解图①
(一题多解)
如解图②，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE，
第8题解图②
∵DE为⊙O的直径，∴∠DBE＝90°(直径所对的圆周角为90°)，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∵∠C＝3∠A，∴∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°(同弧所对的圆周角相等)，∵⊙O的半径为4，∴DE＝8，在Rt△DBE中，sin E＝ eq \f(BD,DE) ，∴BD＝DE·sin E＝8× eq \f(\r(2),2) ＝4 eq \r(2) .
9. 144° 【解析】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等)，∴BC＝CD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∵∠EBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，∵AD＝EB，∴△ACD≌△ECB(SAS)，∴∠CAD＝∠E＝36°，∴∠BAC＝∠CAD＝36°，∴∠BFC＝180°－∠BAC＝180°－36°＝144°(圆内接四边形的对角互补).
针对考向3 与圆性质有关的证明与计算
10. (1)证明：∵CD⊥AB，
∴＝(垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧)，∠AED＝90°，
∵∠BFD＝∠DAB＝60°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∴∠ADC＝30°，
∵＝2，∴∠CFD＝2∠ADC＝60°，
∴∠CFD＝∠BFD，∴DF平分∠BFC；
(2)解：如解图①，连接OD，CG，
第10题解图①
由(1)得∠OAD＝60°，
∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，
∵CD⊥AB，OA＝1，
∴CE＝DE，AE＝OE＝ eq \f(1,2) ，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴CG＝DG，
∴∠DCG＝∠EDG，
在Rt△ADE中，DE＝AE·tan ∠EAD＝ eq \f(1,2) × eq \r(3) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
∵DE＝EG，CD⊥AB，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠EDG＝45°，DG＝ eq \r(2) DE＝ eq \f(\r(6),2) ，
∴∠DCG＝∠EDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，∠CGD＝90°，
∴CG＝DG＝ eq \f(\r(6),2) ，
∴在Rt△CFG中，sin 60°＝ eq \f(CG,CF) ，
∴CF＝ eq \f(CG,sin 60°) ＝ eq \f(\f(\r(6),2),\f(\r(3),2)) ＝ eq \r(2) .
(一题多解)
由已知条件计算出CD的长为 eq \r(3) ，当DE＝EG时，在Rt△DEG中，易得∠EDG＝45°，由(1)知∠CFD＝60°，则可将CF放在△CFD中通过作CH⊥DF于点H(如解图②)，直接构造含45°和含60°的直角三角形，解直角三角形即可(此时不需连接CG并证明CG⊥DF).
第10题解图②
11. (1)证明：∵DE∥BC，∴∠BED＋∠EBC＝180°，
∵∠C＝∠BED，∴∠EBC＋∠C＝180°，
∴CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形的对角互补)，
∵∠AED＋∠BED＝180°，
∴∠A＝∠AED，∴AD＝ED，
∵＝，∴AD＝CD，∴CD＝ED，
∴四边形BCDE为菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)；
(2)解：如解图，过点D作DF⊥AB交AB于点F，则AF＝EF(等腰三角形三线合一)，连接CE交BD于点G，连接OD，
第11题解图
∵ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(5,3) ，
∴设AB＝5k，AD＝3k，
∴AD＝ED＝BE＝3k，
∴AE＝2k，AF＝EF＝k，
∴BF＝4k，
在Rt△ADF中，
DF＝ eq \r(AD2－AF2) ＝2 eq \r(2) k，
∴在Rt△BDF中，BD＝ eq \r(DF2＋BF2) ＝2 eq \r(6) k，
∵四边形BCDE是菱形，
∴EC垂直平分BD(菱形的对角线互相垂直且平分)，
则点E，O，G，C四点共线，
在Rt△CDG中，CD＝AD＝3k，GD＝ eq \f(1,2) BD＝ eq \r(6) k，
∴CG＝ eq \r(DC2－DG2) ＝ eq \r(3) k，∴OG＝OC－CG＝3－ eq \r(3) k，
在Rt△OGD中，OG2＋DG2＝OD2，
即(3－ eq \r(3) k)2＋( eq \r(6) k)2＝32，
解得k＝ eq \f(2\r(3),3) 或k＝0(舍去)，
∴AD＝3k＝2 eq \r(3) .
12. (1)证明：如解图，连接AE，
第12题解图
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵OD∥BC，OA＝OB，
∴AD＝DC，即点D为AC的中点，
∴ED＝DC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)；
(一题多解)
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
∵OD∥BC，OA＝OB，∴AD＝DC，
∴BD是AC的垂直平分线，∴AB＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，∴AD＝DE，∴DE＝DC；
(2)解：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠DBC，
由(1)知AD＝CD，∵AC＝6，∴CD＝ eq \f(1,2) AC＝3，
∵∠A＋∠BED＝180°，∠DEC＋∠BED＝180°，
∴∠A＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，
∴ eq \f(CD,CB) ＝ eq \f(CE,CA) ，∴ eq \f(3,CB) ＝ eq \f(2,6) ，∴CB＝9，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴sin ∠ODB＝sin ∠DBC＝ eq \f(DC,BC) ＝ eq \f(3,9) ＝ eq \f(1,3) .
考点2 与垂径定理有关的计算
1. B 【解析】如解图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，则AD＝BD(垂直于弦的直径平分弦)，∵OC＝4，∠ACO＝30°，∴OD＝ eq \f(1,2) OC＝2(30°角所对的直角边等于斜边的一半)，∵⊙O的半径为3，∴AD＝ eq \r(OA2－OD2) ＝ eq \r(32－22) ＝ eq \r(5) ，∴AB＝2AD＝2 eq \r(5) .
第1题解图
2. D 【解析】逐项分析如下：
3. C 【解析】∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE＝CE＝2(垂直于弦的直径平分弦)，在Rt△OCE中，OC＝ eq \r(OE2＋CE2) ＝ eq \r(5) ，∴OA＝OC＝ eq \r(5) ，∴AE＝1＋ eq \r(5) ，∴tan ∠ADE＝ eq \f(AE,DE) ＝ eq \f(\r(5)＋1,2) .
4. A 【解析】由CD⊥AB可知S△BCD＝ eq \f(1,2) CD·BE，由CD＝BE，⊙O的半径为5可知，要求△BCD的面积，即结合垂径定理利用勾股定理列方程求解OE即可．如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ eq \f(1,2) CD(垂直于弦的直径平分弦)，∵⊙O的半径为5，则OB＝OC＝5，设OE＝x，则BE＝OB＋OE＝5＋x，∵CD＝BE，∴CE＝ eq \f(1,2) BE＝ eq \f(5＋x,2) ，在Rt△COE中，由勾股定理可得CE2＋OE2＝OC2，即( eq \f(5＋x,2) )2＋x2＝52，解得x＝－5(舍去)或x＝3，∴CD＝BE＝5＋x＝8，∴S△BCD＝ eq \f(1,2) CD·BE＝ eq \f(1,2) ×8×8＝32.
第4题解图
5. 2－ eq \r(2) 【解析】如解图，连接OC，∵AB＝4，∴OC＝OA＝ eq \f(1,2) AB＝2，∵＝，∴∠ADC＝∠ACD＝22.5°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∴∠AOC＝2∠ADC＝45°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵＝，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∴AB⊥CD，∴在Rt△OCE中，cs ∠COE＝ eq \f(OE,OC) ，∴OE＝OC·cs 45°＝2× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \r(2) ，∴AE＝OA－OE＝2－ eq \r(2) .
第5题解图
5 【解析】如解图，设⊙O的半径为R，连接OA，OC，OC交AB于点D，∵点C是的最低点，∴OC垂直平分AB，∴OD＝R－1，AD＝ eq \f(1,2) AB＝3，在Rt△AOD中，R2＝(R－1)2＋32，解得R＝5，∴⊙O的半径为5米．
第6题解图
考点3 与切线性质有关的证明与计算
[逆袭必备]
1. 切线性质：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于经过切点的半径；
2. 切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
3. 切线长定理：从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
针对考向1 单切线性质有关的证明与计算
1. C 【解析】如解图，连接OA，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径).∵∠B＝40°，∴∠AOC＝50°，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝140°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝ eq \f(1,2) (180°－∠AOD)＝20°，∴∠BAD＝∠OAB－∠OAD＝90°－20°＝70°.
第1题解图
2. C 【解析】如解图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∴∠OBC＝∠OBA－∠ABC＝60°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝60°，∵CD⊥AB，∠OBA＝90°，∴CD∥OB，∴∠ACD＝∠BOC＝60°，∴sin ∠ACD＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) .
第2题解图
3. 6 【解析】如解图，连接OC，设OC＝x，则OA＝OC＝x，∵AB＝16，∴OB＝16－x，∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∵BC＝8，∴在Rt△OCB中，x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6，∴⊙O的半径为6.
第3题解图
4. 4 eq \r(2) 【解析】如解图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，BF与⊙O相切于点B，∴AB⊥BF(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∵BF∥CD，∴CD⊥AB，∴CE＝DE，＝(垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧)，∵∠ACD＝67.5°，∴∠A＝90°－∠ACD＝ 22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵＝，∴∠BOD＝∠BOC＝45°，∴△OBF是等腰直角三角形，∴OB＝BF＝4，∴OD＝OB＝4，在Rt△ODE中，sin ∠DOE＝ eq \f(DE,OD) ，∴DE＝OD·sin ∠DOE＝4×sin 45°＝4× eq \f(\r(2),2) ＝2 eq \r(2) ，∴CD＝2DE＝4 eq \r(2) .
第4题解图
5. (1)证明：如解图，连接AE，OC相交于点F，
∵AB是⊙O的直径，
第5题解图
∴∠AEB＝90°，
∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，
∴AE∥CD.
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，∴OC⊥AE.
∵OC是⊙O的半径，
∴点C是的中点(垂径定理)；
(2)解：由(1)可知∠DCF＝∠D＝∠AED＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE，OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOF，
∴cs ∠ABD＝cs ∠AOF＝ eq \f(OF,OA) ＝ eq \f(1,3) .
设OF＝x，则OC＝OA＝3x，∴DE＝CF＝OC－OF＝2x，
∵OA＝OB，OC∥BD，
∴OF是△ABE的中位线，
∴BE＝2OF＝2x，∴BD＝DE＋BE＝4x，
∴4x＝4，解得x＝1，∴OC＝3，即⊙O的半径为3.
6. (1)证明：如解图，连接OC，
第6题解图
∵OA＝OB，BC＝CD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC∥AD.
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥AD；
(2)解：如解图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°.
∵BC＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AD＝AB＝8，∴DE＝AD－AE＝8－2＝6.
由(1)得CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CED∽△ACD，
∴ eq \f(ED,CD) ＝ eq \f(CD,AD) ，
∴ eq \f(6,CD) ＝ eq \f(CD,8) ，解得CD＝4 eq \r(3) (负值已舍去)，
∴BC＝CD＝4 eq \r(3) .
针对考向2 双切线性质有关的证明与计算
7. B 【解析】如解图，连接OE，∵AB为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AC，BD，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，∴∠CAO＝∠DBO＝∠CEO＝∠DEO＝90°，∴OC平分∠ACE，OD平分∠BDE(切线长定理：从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角)，∠CAO＋∠DBO＝180°，∴AC∥BD，∴∠ACE＋∠BDE＝180°.∵OC平分∠ACE，OD平分∠BDE，∴∠OCE＝ eq \f(1,2) ∠ACE，∠ODE＝ eq \f(1,2) ∠BDE，∴∠OCE＋∠ODE＝ eq \f(1,2) ∠ACE＋ eq \f(1,2) ∠BDE＝ eq \f(1,2) (∠ACE＋∠BDE)＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，在△COD中，∠COD＝180°－(∠OCE＋∠ODE)＝180°－90°＝90°.
第7题解图
8. C 【解析】∵AB为⊙O的直径，AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线，∠CAB＝90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴CA＝CD(切线长定理：从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等)，∵∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴∠CAD＝60°，AD＝AC＝2 eq \r(3) ，∴∠DAB＝∠CAB－∠CAD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，tan ∠DAB＝ eq \f(BD,AD) ，∴BD＝AD·tan 30°＝2 eq \r(3) × eq \f(\r(3),3) ＝2.
9. 2 eq \r(3) 【解析】∵⊙O与直角边BC，AC分别相切于D，E两点，∴∠OEC＝∠ODC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∵OE＝OD，∴四边形ODCE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，∵四边形OECD的面积为12，即OE2＝12，∴OE＝2 eq \r(3) (负值已舍去)，即⊙O的半径为2 eq \r(3) .
10. 6 eq \r(3) 【解析】如解图，设AB与⊙O的切点为D，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∵等边△ABC的边AB，AC与⊙O相切，∴∠ADO＝90°，∠DAO＝
eq \f(1,2) ∠BAC＝30°，∵在Rt△ADO中，OA＝6，cs ∠DAO＝ eq \f(AD,OA) ，∴AD＝OA·cs 30°＝6× eq \f(\r(3),2) ＝3 eq \r(3) ，连接OB，∵等边△ABC的边AB，BC与⊙O相切，∴∠DBO＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝30°，∴△ABO为等腰三角形，∴BD＝AD＝3 eq \r(3) ，∴AB＝AD＋BD＝6 eq \r(3) ，∴等边△ABC的边长为6 eq \r(3) .
第10题解图
考点4 与切线判定有关的证明与计算
[逆袭必备]切线判定的两种形式
有公共点，连半径，证垂直：若直线与圆的公共点已知，则先连接过这点到圆心的半径，再证明这条半径与直线垂直即可；
无公共点，作垂线，证相等：若直线与圆的公共点位置未知，则先过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径即可．
例 (1)①∠EOD；
【解法提示】∵四边形OBCD是平行四边形，∴OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠EOD＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠AOD＝∠EOD.
②OA＝OE，OD＝OD；
(2)解：∵在Rt△OED中，sin ∠ODE＝ eq \f(1,2) ，
∴∠ODE＝30°，∴∠AOD＝∠EOD＝60°，
∴∠BOE＝180°－∠AOD－∠EOD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴OD∥BC，OB＝CD，∠C＝∠BOD＝120°，
∴∠CED＝∠ODE＝30°，
∴∠CDE＝180°－∠DEC－∠C＝30°，
∴∠DEC＝∠CDE，
∴CD＝CE＝2，∴OB＝CD＝2，
∴的长为 eq \f(60π×2,180) ＝ eq \f(2,3) π.
1. (1)证明：如解图，连接OD.
∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC.
第1题解图
∵∠BDF＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠BDF.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即∠BDO＋∠ODC＝90°，
∴∠BDO＋∠BDF＝90°，即∠ODF＝90°.
∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵DB＝DE，∴∠BCD＝∠DCE.
∵∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°.
又∵CD＝CD，
∴△ADC≌△BDC(ASA)，∴AC＝BC.
∵在Rt△ODF中，tan F＝ eq \f(OD,DF) ＝ eq \f(\r(2),4) ，
∴OD＝DF·tan F＝2 eq \r(2) × eq \f(\r(2),4) ＝1，
∴BC＝2OD＝2，∴AC＝BC＝2.
2. (1)证明：如解图，连接OA，OC，延长AO交BC于点H，
第2题解图
∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAB≌△OAC(SSS)，
∴∠OAB＝∠OAC，∴AH⊥BC.
∵AD∥BC，∴AH⊥AD.
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知，AH⊥BC，∴HB＝HC，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，
∴ eq \f(AE,CE) ＝ eq \f(AD,CB) ＝ eq \f(4,6) ，
∴ eq \f(AD,BH) ＝ eq \f(AD,\f(1,2)BC) ＝ eq \f(4,3) .
又∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠BHO，
∴△AOD∽△HOB，∴ eq \f(AD,HB) ＝ eq \f(AO,HO) ＝ eq \f(4,3) ，
∴设OA＝4k，则OH＝3k，OB＝4k，
∴BH ＝ eq \r(OB2－OH2) ＝ eq \r(7) k.
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴BH2＋AH2＝AB2，
∵AH＝ OA＋OH＝ 7k，AB＝AC＝AE＋CE＝10，
∴( eq \r(7) k)2＋(7k)2＝102，∴k＝ eq \f(5\r(14),14) (负值已舍去)，
∴BC＝2BH＝2 eq \r(7) k＝5 eq \r(2) .
3. 解：(1)AB与⊙O相切．
证明：如解图，过点O作OM⊥AB于点M，
∵OD∥AC，
第3题解图
∴∠OAC＝∠AOD，
∵AD＝OD，
∴∠OAD＝∠AOD，
∴∠OAC＝∠OAD，
∵∠ACB＝90°，OM⊥AB于点M，
∴OC＝OM，
∵OC为⊙O的半径，
∴OM为⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切；
(2)∵OD∥AC，∴△ODB∽△CAB，
∴ eq \f(OD,CA) ＝ eq \f(BO,BC) ，即 eq \f(BE＋OE,BE＋CE) ＝ eq \f(2,3) ，
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
∴ eq \f(1＋r,1＋2r) ＝ eq \f(2,3) ，解得r＝1，
∴BO＝BE＋OE＝2，OM＝r＝1，
在Rt△OMB中， eq \f(OM,OB) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠B＝30°，
∵OD∥AC，∴∠DOB＝∠ACB＝90°，
在Rt△DOB中，cs B＝ eq \f(OB,BD) ＝ eq \f(\r(3),2) ，即 eq \f(2,BD) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴BD＝ eq \f(4\r(3),3) .
考点5 与辅助圆有关的问题
针对考向 利用辅助圆求最值
类型1 定点定长作辅助圆
例 ①2；②6.
例题解图
【解法提示】如解图，∵AB＝6，点P是AB的中点，∴PA＝PB＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝90°，∴四边形PBCE是矩形，∴PE＝BC＝5，∴EF＝PE－PF＝5－3＝2，∴△A′CD面积的最小值为 eq \f(1,2) CD·EF＝ eq \f(1,2) ×6×2＝6.
1. 4 【解析】第一步：确定动点D的运动轨迹：如解图，取AC的中点O，连接OD，∵点D为PC的中点，∴OD为△APC的中位线，∴OD＝ eq \f(1,2) AP＝1，∴点D在以点O为圆心，1为半径的圆上运动，作⊙O.第二步：确定最值的依据，分析线段取得最小值时的位置，并画出图形：连接BO，则BD≥BO－OD，∴当B，O，D三点共线，且点D位于点B，O之间时，BD取得最小值，为BO－OD(点圆最值).第三步：结合已知条件及图形性质进行计算：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝10，∵点O为AC的中点，∴BO＝ eq \f(1,2) AC＝5，∴BD最小＝BO－OD＝5－1＝4.
第1题解图
类型2 定弦定角作辅助圆
例 ①2 eq \r(2) ；②8.
例题解图
【解法提示】∵CD＝AD，∠BAC＝45°，∴∠DCA＝45°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，如解图，设O为BC的中点，以点O为圆心，BC长为直径作⊙O，过点D作BC的垂线交BC于点E，连接OD，当△BCD的高DE＝DO时，△BCD的面积最大(线圆最值).∵BC＝4 eq \r(2) ，∴DE＝DO＝ eq \f(1,2) BC＝2 eq \r(2) ，∴S△BCD的最大值＝ eq \f(1,2) BC·DE＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(2) ×2 eq \r(2) ＝8.
1. eq \r(5) －1 【解析】∵点E是正方形ABCD对角线BD上一动点，∴∠BAD＝90°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DAE＝∠DCE，又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°，∴∠AFB＝90°，∵AB为定值，∴点F在以AB为直径的圆弧(即AB右侧的)上运动．如解图，设AB的中点为O，以点O为圆心，AB长为直径作⊙O，连接OD，当点F在OD与⊙O的交点处时，DF最小(点圆最值).∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，∴AD＝AB＝2，∴OA＝OF＝1，∴OD＝ eq \r(OA2＋AD2) ＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ，∴DF＝OD－OF＝ eq \r(5) －1，即DF的最小值为 eq \r(5) －1.
第1题解图
类型3 定角定高作辅助圆
例 ① eq \f(\r(2),2) ；② eq \r(2) ；③ eq \f(\r(2),2) ；④6－3 eq \r(2) ；⑤6 eq \r(2) －6.
1. eq \f(16\r(3),3) 【解析】∵S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) ×BC×4＝2BC，∴要求S△ABC的最小值，即求BC的最小值，如解图，作△ABC的外接圆，圆心为点O，设半径为R，连接AO，BO，CO，过点O作BC的垂线交BC于点E，∴AO＝BO＝CO＝R，BE＝CE(垂径定理)，∴△BOC为等腰三角形，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝60°(等腰三角形三线合一)，在Rt△BOE中，BE＝OB·sin ∠BOE＝ eq \f(\r(3),2) R，OE＝OB·cs ∠BOE＝ eq \f(1,2) R，∴BC＝2BE＝ eq \r(3) R，要求BC的最小值，即求R的最小值，∵AO＋OE≥AD，即R＋ eq \f(1,2) R≥4，解得R≥ eq \f(8,3) ，则R的最小值为 eq \f(8,3) ，BC的最小值为 eq \r(3) R＝ eq \r(3) × eq \f(8,3) ＝ eq \f(8\r(3),3) ，∴S△ABC的最小值为2BC＝ eq \f(16\r(3),3) .
第1题解图
类型4 最大张角作辅助圆
例 ① eq \f(1,2) ；② eq \f(1,2) ；③4；④ eq \f(1,2) ；⑤3 eq \r(3) ；⑥3 eq \r(3) －R；⑦ eq \f(43\r(3),18) ；⑧ eq \f(24\r(3),43) ；⑨ eq \f(24\r(3),43) .
1. 4 【解析】如解图，作△ABC的外接圆⊙P.当点C为⊙P与OM相切的切点时，∠ACB的值最大，过点P作AB的垂线交AB于点D，连接PC，PA，∵PD⊥AB，∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝3(垂直于弦的直径平分弦)，∵OM为⊙P的切线，∴∠OCP＝90°，又∵∠MON＝90°，∴四边形OCPD为矩形，∴OC＝DP，CP＝OD＝OA＋AD＝2＋3＝5，∵CP＝AP＝5，在Rt△ADP中，DP＝ eq \r(AP2－AD2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∴OC＝DP＝4.
第1题解图
类型5 四点共圆作辅助圆
例 ① eq \f(1,2) ；② eq \r(5) ；③ eq \r(5) ；④ eq \r(5) ；⑤ eq \f(\r(5),2) .
1. 16 【解析】如解图，∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴A, B，C，D四点共圆，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′DC，使得CB与CD重合，∴∠ADC＋∠B＝∠ADC＋∠A′DC＝180°，即 A，D，A′三点共线，∴ S四边形ABCD＝S△ACA′.∵A′C＝AC＝4 eq \r(2) ，∴当AC⊥A′C时，△ACA′的面积最大，∴四边形ABCD面积的最大值为 eq \f(1,2) ×4 eq \r(2) ×4 eq \r(2) ＝16.
第1题解图
类型6 利用阿氏圆转化线段
例 ① eq \f(1,2) ；② eq \r(17) ；③ eq \r(17) .
【解法提示】∵ eq \f(BD,AB) ＝ eq \f(BE,BD) ＝ eq \f(1,2) ，∠DBE＝∠ABD(公共角)，∴△DBE∽△ABD，∴ eq \f(DE,AD) ＝ eq \f(BE,BD) ＝ eq \f(1,2) ，∴DE＝ eq \f(1,2) AD；如解图，在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝1，∴CE＝ eq \r(BE2＋BC2) ＝ eq \r(17) ，∴DE＋CD的最小值为 eq \r(17) ，即 eq \f(1,2) AD＋CD的最小值为 eq \r(17) .
例题解图
1. 4 【解析】如解图，连接DB，DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2 eq \r(3) ，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，AE＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \r(3) ，∴DE＝AE·tan ∠BAD＝ eq \r(3) × eq \r(3) ＝3，∵△A′EF由△AEF沿EF折叠得到，∴A′E＝AE＝ eq \r(3) ，在线段DE上取一点G，使EG＝ eq \f(\r(3),3) A′E＝1，连接A′G，∵A′E＝ eq \f(\r(3),3) DE，∠A′EG＝∠DEA′，∴△A′EG∽△DEA′，∴A′G＝ eq \f(\r(3),3) A′D，∴A′C＋ eq \f(\r(3),3) A′D＝A′C＋A′G，要求A′C＋ eq \f(\r(3),3) A′D的最小值，即求A′C＋A′G的最小值，连接CG，在△A′CG中，A′C＋A′G≥CG，∴当C，A′，G三点共线时，A′C＋A′G的值最小，最小值为CG的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠CDG＝∠AED＝90°，∵DE＝3，EG＝1，∴DG＝3－1＝2，在Rt△CDG中，CG＝ eq \r(DG2＋CD2) ＝ eq \r(22＋（2\r(3)）2) ＝4，∴A′C＋A′G的最小值为4，即A′C＋ eq \f(\r(3),3) A′D的最小值为4.
第1题解图
拓展考向 与圆有关的最值问题
类型1 点圆最值
[逆袭必备]
已知平面内一定点D和⊙O上一动点E，设点O与点D之间的距离为d，⊙O半径为r.
例 ①2；②90；③ eq \f(1,2) ；④ eq \r(2) ；⑤2 eq \r(2) ；⑥2；⑦2；⑧2＋2 eq \r(2) ；⑨2＋2 eq \r(2) .
1. 3 eq \r(5) －2 【解析】第一步：理清动点与定点，确定最值依据：点F是AC上的动点，要求EF＋PF的最小值，考虑利用轴对称转化线段：如解图，作点E关于AC的对称点E′，∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，点E为BC的中点，∴点E′为DC的中点，连接E′F，E′P，则EF＝E′F，∴EF＋PF＝E′F＋PF≥E′P，∴当E′，F，P三点共线时，EF＋PF＝E′P，此时EF＋PF最小，∴要求EF＋PF的最小值，即求E′P的最小值．第二步：点E′为定点，点P的运动轨迹是圆，考虑点圆最值，确定最值位置：连接E′B，∵点P在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，∴E′P≥E′B－BP，当E′，B，P三点共线时，E′P取得最小值，最小值为E′B－BP.第三步：结合已知条件及图形性质进行计算：∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，E′C＝ eq \f(1,2) ×6＝3，BC＝6，∴E′B＝ eq \r(BC2＋E′C2) ＝3 eq \r(5) ，∴E′P最小＝E′B－BP＝3 eq \r(5) －2，即EF＋PF的最小值为3 eq \r(5) －2.
第1题解图
类型2 线圆最值
[逆袭必备]
已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，圆心O到直线l之间的距离为d，点Q为⊙O上一点．
例 ①4 eq \r(3) ；②2；③4 eq \r(3) －2；④10 eq \r(3) －5.
【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°，AB＝5 eq \r(3) ，∴AC＝ eq \f(AB,cs 30°) ＝ eq \f(5\r(3),\f(\r(3),2)) ＝10，BC＝AC·sin 30°＝10× eq \f(1,2) ＝5，如解图，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵AD＝2 eq \r(3) ，∠A＝30°，∴AE＝ eq \f(AD,cs 30°) ＝ eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2)) ＝4，
例题解图
∴OA＝ eq \f(1,2) AE＝2，∴OC＝AC－OA＝10－2＝8，∵∠ABC＝∠OMC＝90°，∴AB∥OM，∴∠MOC＝∠A＝30°，∴OM＝OC·cs 30°＝8× eq \f(\r(3),2) ＝4 eq \r(3) ，∵OP＝OA＝2，∴点P到BC距离的最小值为OM－OP＝4 eq \r(3) －2，∴△PBC面积的最小值为 eq \f(1,2) ×5×(4 eq \r(3) －2)＝10 eq \r(3) －5.
4＋2 eq \r(2) 【解析】如解图，连接AO，过点O作OD′⊥BC交BC于点D′，延长D′O交⊙O于点A′.∵A′D′＝A′O＋OD′＝AO＋OD′≥AD，∴AD的最大值为A′D′的长，连接OB，OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OD′⊥BC，∴∠BOD′＝45°，∵OB＝4，∴OD′＝2 eq \r(2) ，∴A′D′＝4＋2 eq \r(2) ，∴AD长的最大值为4＋2 eq \r(2) .
第1题解图
考点6 弧长、扇形面积的有关计算
[逆袭必备]
1. 弧长公式：l＝ eq \f(nπr,180) ；
2. 扇形面积公式：S扇形＝ eq \f(nπr2,360) ＝ eq \f(1,2) lr；
针对考向1 与弧长有关的计算
1. D 【解析】如解图，连接OB，OC，∵∠A＝40°，∴∠COD＝2∠A＝80°(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)，∴∠AOC＝180°－∠COD＝100°，∵点C是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝20°，∴由弧长公式： eq \f(nπr,180) 可得，劣弧的长为 eq \f(20π×3,180) ＝ eq \f(π,3) .
第1题解图
2. C 【解析】如解图，连接OA，OB，OC，∵∠ADB＝30°，∴∠AOB＝2∠ADB＝60°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵B是的中点，∴∠AOC＝2∠AOB＝120°，∵的长为 eq \f(4\r(3)π,3) ，∴由弧长公式可得的长为 eq \f(120π·OA,180) ＝ eq \f(4\r(3)π,3) ，解得OA＝2 eq \r(3) ，即⊙O的半径为2 eq \r(3) .
第2题解图
3. 4 【解析】设扇形的半径为r，由题意和弧长公式得 eq \f(60πr,180) ＝ eq \f(4,3) π，解得r＝4，∴该扇形的半径为4.
4. eq \f(\r(3)π,3) ＋3 【解析】∵在Rt△ABC中，点B1是BC的中点，∴AB1＝BB1＝CB1(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，由旋转的性质可得AB1＝AB，∴AB1＝BB1＝CB1＝AB＝1，∴△ABB1是等边三角形(三条边相等的三角形是等边三角形)，BC＝BB1＋CB1＝2，∴∠B＝∠BAB1＝60°(等边三角形的三个内角均为60°)，∴∠DAC1＝∠BAB1＝60°(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等)，在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得AC＝ eq \r(3) ，∴ eq \(CC1,\s\up8(︵)) l＝ eq \f(60π×\r(3),180) ＝ eq \f(\r(3)π,3) (弧长公式： eq \f(nπr,180) )，由旋转的性质得B1C1＝BC＝2，∴图中阴影部分的周长为 eq \(CC1,\s\up8(︵)) l＋CB1＋B1C1＝ eq \f(\r(3)π,3) ＋1＋2＝ eq \f(\r(3)π,3) ＋3.
针对考向2 与扇形面积有关的计算
5. C 【解析】设∠AOC＝n°，∵OA＝6，扇形AOC的面积为6π，则 eq \f(nπ×62,360) ＝6π，解得n＝60，即∠AOC＝60°，∴∠ABC＝ eq \f(1,2) ∠AOC＝30°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).
6. B 【解析】∵∠A＝60°，∴∠E＝60°，∵OE＝OC，∴△EOC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴∠EOC＝60°，设⊙O的半径为r，∵S扇形EOC＝ eq \f(2π,3) ，∴ eq \f(60π·r2,360) ＝ eq \f(2π,3) ，解得r＝2(负值已舍去)，∴⊙O的半径为2.
7. D 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，OA＝ eq \f(1,2) AC＝2，OB＝ eq \f(1,2) BD＝2 eq \r(3) ，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，∴tan ∠ABO＝ eq \f(OA,OB) ＝ eq \f(2,2\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠CBO＝∠ABO＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∴S扇形ABC＝ eq \f(60π×42,360) ＝ eq \f(8π,3) .
8. eq \f(8π,3) 【解析】设扇形的圆心角为n°，∵扇形的半径为4，面积为 eq \f(16π,3) ，∴S扇＝ eq \f(nπ×42,360) ＝ eq \f(16π,3) ，解得n＝120，∴扇形的弧长为 eq \f(4π×120,180) ＝ eq \f(8π,3) .
针对考向3 与圆锥有关的计算
9. 15π 【解析】设圆柱的半径为r，∵圆柱的底面积为9π，∴πr2＝9π，∴r＝3(负值已舍去)，∴圆锥的底面圆周长为2πr＝6π，∵圆锥的侧面展开图为扇形，且该扇形的半径为5(圆锥的母线长)，∴由扇形面积公式可得圆锥的侧面积为 eq \f(1,2) ×6π×5＝15π.
10. 8 【解析】∵其底面直径AB为12 cm，∴其底面半径BQ为6 cm，∵侧面积为60 πcm2，设圆锥的母线长为r，底面圆周长为l，则S侧＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) ×2π×6×r＝60π，解得r＝10，即BP＝10 cm，∴锥形部分的高PQ为 eq \r(BP2－BQ2) ＝ eq \r(102－62) ＝8(cm).
考点7 阴影部分面积的计算
针对考向1 添加辅助线构造图形和差求阴影部分面积
第1题解图
1. B 【解析】如解图，连接OE，过点E作EF⊥OA于点F，∵点E是的三等分点，∠AOB＝135°，∴∠AOE＝45°，∠BOE＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∵OE＝OA＝2，∴EF＝ eq \f(\r(2),2) OE＝ eq \r(2) ，∵OC＝1，∴S阴影＝S扇形BOE＋S△COE－S扇形COD＝ eq \f(90π×22,360) ＋ eq \f(1,2) × eq \r(2) ×1－ eq \f(135π×12,360) ＝ eq \f(5π,8) ＋ eq \f(\r(2),2) .
2. D 【解析】如解图，连接CE，BF.∵在▱ABCD中，∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，BF＝BC＝AD＝1，∴△BCF是等边三角形，∴∠CBF＝∠EBF＝60°，CF＝BC＝BE＝1，∴S△BCF＝S△BCE.∵BC＝BE，∠ABC＝120°，∴∠ECB＝30°，CE＝ eq \r(3) BC＝ eq \r(3) AD＝ eq \r(3) ，∴∠DCE＝∠BCD－∠ECB＝30°.∴S阴影＝S扇形DCE－(S扇形EBF＋S△BCF－S△BCE)＝S扇形DCE－S扇形EBF＝ eq \f(30π×（\r(3)）2,360) － eq \f(60π×12,360) ＝ eq \f(π,4) － eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,12) .
第2题解图
3. eq \f(27\r(3),2) －6π 【解析】如解图，连接OC，OF，设AB交CD于点M，∵AB为⊙O的直径，且AB＝6，∴OA＝OC＝3，由折叠可得，CD垂直平分OA，∴OM＝ eq \f(1,2) OA＝ eq \f(1,2) OC，∴cs ∠AOC＝ eq \f(OM,OC) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠AOC＝60°，∴∠BOF＝∠AOC＝60°，CM＝CO·sin ∠AOC＝ eq \f(3\r(3),2) ，∵∠COF＝180°－∠AOC－∠BOF＝60°，∴△COF是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴CF＝OC＝3，∴S阴影＝2[S扇形COF－3(S扇形COF－S△COF)]＝2(3S△COF－2S扇形COF)＝2×(3× eq \f(1,2) ×3× eq \f(3\r(3),2) －2× eq \f(60π×32,360) )＝ eq \f(27\r(3),2) －6π.
第3题解图
针对考向2 等积转化求阴影部分面积
4. C 【解析】∵AB是半圆O的直径，且AB＝4，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝OC＝2，又∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴CO⊥AB(等腰三角形三线合一)，由AC＝BC可知AC左边的阴影部分面积与BC右边的空白部分面积相等，故将AC左边阴影部分补到BC右边空白处，得S阴影＝S扇形BAD－S△AOC＝ eq \f(45π·AB2,360) － eq \f(1,2) OA·OC＝ eq \f(45π×42,360) － eq \f(1,2) ×2×2＝2π－2.
5. eq \f(25π,6) 【解析】等积转化法，构造S阴影＝S扇形COD，即可求解．如解图，连接OC，OD，CD，∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠BOD＝∠CDO，∴CD∥AB，∴S△CPD＝S△COD，∵AB是直径，AB＝10，∴OC＝OA＝5，∴S阴影＝S扇形COD＝ eq \f(60π×52,360) ＝ eq \f(25π,6) .
第5题解图
6. eq \f(2π,3) 【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝BC，∠CDB＝∠ADB，CO＝AO，∴S△ABO＝S△BOC，S扇形EDO＝S扇形FDO，∵点B在上，∴CD＝BD，∴CD＝BD＝BC＝2，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB＝60°，∴S阴影＝S扇形BDC＝ eq \f(60π×22,360) ＝ eq \f(2π,3) .
拓展考向 直接图形和差求阴影部分面积
1. D 【解析】根据题意可知，S扇形AOB＝300π，∠AOB＝120°，∴S扇形AOB＝ eq \f(120π（AC＋OC）2,360) ＝ eq \f(120π（20＋OC）2,360) ＝300π，解得OC＝10，∴S扇形COD＝ eq \f(120π·OC2,360) ＝ eq \f(100,3) π，∴折扇贴纸部分的面积为S扇形AOB－S扇形COD＝300π－ eq \f(100,3) π＝ eq \f(800,3) π.
2. B 【解析】记阴影部分面积为S，则S＝ eq \f(1,2) (S⊙O－S正方形EFGH).在Rt△ADH中，由勾股定理得AD＝ eq \r(AH2＋DH2) ＝ eq \r(62＋22) ＝2 eq \r(10) ，∵⊙O内切于大正方形ABCD，∴⊙O的直径为2 eq \r(10) ，∴⊙O的半径为 eq \r(10) ，∴S⊙O＝π×( eq \r(10) )2＝10π，∵Rt△ADH与Rt△BAE全等，∴AE＝DH＝2，∴EH＝AH－AE＝6－2＝4，∴S正方形EFGH＝EH2＝42＝16，∴S＝ eq \f(1,2) ×(10π－16)＝5π－8.
3. eq \f(π,2) － eq \f(\r(3),2) 【解析】在Rt△ABC中，∵BC＝1，AB＝ eq \r(3) ，∴tan ∠CAB＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠CAB＝30°，AC＝2.∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AFE，∴∠CAE＝∠BAF＝90°，∴∠BAG＝60°，AG＝AB＝ eq \r(3) ，∴S阴影＝S△ABC＋S扇形BAG－S△ACG＝ eq \f(1,2) × eq \r(3) ×1＋ eq \f(60π×（\r(3)）2,360) － eq \f(1,2) × eq \r(3) ×2＝ eq \f(π,2) － eq \f(\r(3),2) .
考点8 正多边形与圆
1. A 【解析】如解图，连接AO，BO，CO，∵AB，AC分别为⊙O的内接正十二边形、正三角形的一边，∴∠AOB＝360°÷12＝30°，∠AOC＝360°÷3＝120°，∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝90°，∵BC是圆内接正n边形的一边，∴n＝360°÷90°＝4.
第1题解图
2. B 【解析】如解图①，连接OA，OB，正五边形的中心角∠BOA＝ eq \f(360°,5) ＝72°，当点Q在优弧上时，∠BQA＝ eq \f(1,2) ∠BOA＝36°，当点Q在劣弧上时，∠BQA＝180°－36°＝144°，故A选项错误，B选项正确；∵点B，Q都在⊙O上，∴BQ是⊙O的一条弦，当BQ经过圆心O时，BQ的长度最大(直径是圆中最长的弦)，故C选项错误；如解图②，过点Q作AB的垂线交AB于点H，则S△BQA＝ eq \f(1,2) AB·QH，当点Q与点D重合时，QH最长，即S△BQA最大，∵五边形ABCDE是正五边形，∴AE＝QE＝QC＝BC＝AB，∠AEQ＝∠BCQ＝∠BAE＝ eq \f(180°×（5－2）,5) ＝108°，在△AEQ和△BCQ中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(QE＝QC,∠AEQ＝∠BCQ,AE＝BC)) ，∴△AEQ≌△BCQ(SAS)，∴S△AEQ＝S△BCQ，QA＝QB，过点Q作AE的垂线交AE的延长线于点F，∵∠BQA＝36°，∴在等腰△ABQ中，∠BAQ＝ eq \f(1,2) (180°－∠BQA)＝ eq \f(1,2) ×(180°－36°)＝72°，∠QAF＝∠BAE－∠BAQ＝108°－72°＝36°，∵∠QAF＜∠BAQ，∴FQ＜HQ，设S正五边形ABCDE＝1，若S△BQA＝ eq \f(1,3) ，则S△AEQ＋S△BCQ＝ eq \f(2,3) ，∵S△AEQ＝S△BCQ，∴S△AEQ＝ eq \f(1,3) ，∵AE＝AB，FQ＜HQ，∴S△AEQ＝ eq \f(1,2) AE·FQ＝ eq \f(1,2) AB·FQ＜ eq \f(1,2) AB·HQ＝S△BQA，此时S△BQA> eq \f(1,3) ，∴S△BQA＝ eq \f(1,3) 不成立，∴△BQA面积的最大值不是正五边形ABCDE面积的三分之一，故D选项错误．故选B.

图① 图②
第2题解图
3. B 【解析】如解图，连接OA，OC，连接OB交AC于点G，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝ eq \f(1,2) (180°－∠AOC)＝30°，∵OA＝OC，∠AOB＝∠BOC, ∴OB⊥AC，AG＝CG(等腰三角形三线合一)，∵OA＝2，∴OG＝ eq \f(1,2) AO＝1，∴AG＝CG＝ eq \r(3) OG＝ eq \r(3) ，∴AC＝2 eq \r(3) .∵AB＝EF＝BC＝DE，将弓形EF和弓形ED补到弓形AB和弓形BC的位置，则S阴影＝S扇形AOC－S△OAC＝ eq \f(120π×22,360) － eq \f(1,2) ×2 eq \r(3) ×1＝ eq \f(4π,3) － eq \r(3) .
第3题解图
4. C 【解析】如解图，连接OA，过点A作AM⊥OB于点M，∵多边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠BOA＝ eq \f(360°,8) ＝45°，∵⊙O的半径为2，∴OA＝2，∴AM＝OA·sin 45°＝2× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \r(2) ，∵BF是⊙O的直径，∴BF＝4，∴S△ABF＝ eq \f(1,2) BF·AM＝ eq \f(1,2) ×4× eq \r(2) ＝2 eq \r(2) .
第4题解图
5. 18° 【解析】如解图，连接OF，OG，GH，∵点F，G分别是正五边形ABCDE的边AB，BC与⊙O的切点，∴∠OFB＝∠OGB＝90°，∵正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°(n边形的内角和公式为(n－2)×180°)，∠B是正五边形的一个内角，∴∠B＝540°÷5＝108°(正多边形的每个内角都相等)，∵四边形FOGB的内角和为360°，∴∠FOG＝360°－90°－90°－108°＝72°，∴∠FHG
＝ eq \f(1,2) ∠FOG＝36°，∵M是的中点，∴∠FHM＝ eq \f(1,2) ∠FHG＝18°.
第5题解图
6. (1)2 eq \r(2) ；(2)2 eq \r(3) 【解析】如解图①，连接OG，∵六边形OABCDE为正六边形，∴∠FOH＝∠CDE＝∠DEO＝∠BCD＝ eq \f(（6－2）×180°,6) ＝120°，∵点G为劣弧的中点，∴∠GOH＝ eq \f(1,2) ∠FOH＝60°，∵OG＝OH，∴△OGH是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴OG＝OH＝GH＝2 eq \r(2) ，即⊙O的半径为2 eq \r(2) ；如解图②，连接OD，∵点F与点D重合，∴OD＝OF＝4，∵∠DEO＝120°，DE＝EO，∴∠EDO＝∠EOD＝ eq \f(1,2) (180°－∠DEO)＝30°，∵∠CDE＝120°，∴∠CDO＝120°－∠EDO＝120°－30°＝90°，∵∠BCD＝120°，BC＝CD，∴∠CDB＝30°，∴∠ODM＝90°－∠CDB＝90°－30°＝60°，过点O作BD的垂线交BD于点M，在Rt△ODM中，sin ∠ODM＝ eq \f(OM,OD) ，∴OM＝OD·sin ∠ODM＝4×sin 60°＝4× eq \f(\r(3),2) ＝2 eq \r(3) ，即点O到BD的距离为2 eq \r(3) .

图① 图②
第6题解图
选项
逐项分析
正误
A
∵OA是⊙O的半径，BD＝CD，∴OA⊥BC(平分弦(非直径)的直径垂直于弦)，不符合题意
×
B
∵OA是⊙O的半径，BD＝CD，∴＝(平分弦(非直径)的直径平分弦所对的两条弧)，由同圆中相等的弧所对的圆心角相等可得∠AOB＝∠AOC，不符合题意
×
C
∵OA⊥BC，∴∠BDO＝90°，由BD＝ eq \r(3) OD，可设OD＝x(x>0)，则BD＝ eq \r(3) x，在Rt△BOD中，由勾股定理得OB＝ eq \r(（\r(3)x）2＋x2) ＝2x，∴OA＝OB＝2x，∴AD＝OA－OD＝2x－x＝x，∴AD＝OD，不符合题意
×
D
∵BD＝CD，BD＝ eq \r(3) OD，∴CD＝ eq \r(3) OD，在Rt△COD中，tan C＝ eq \f(OD,CD) ＝ eq \f(OD,\r(3)OD) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠C＝30°，由直角三角形两锐角互余可得∠COD＝60°，∴∠COD＝2∠C≠3∠C，符合题意
√
位置关系
点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
图示
DE的最大值
d＋r
2d(或2r)
d＋r
此时点E的位置
连接DO并延长交⊙O于点E
DE的最小值
r－d
0
d－r
此时点E的位置
连接OD并延长交⊙O于点E
点E与点D重合
连接OD交⊙O于点E
位置关系
直线与⊙O相离
直线与⊙O相切
直线与⊙O相交
图示
点Q到直线l距离的最大值
d＋r
2d
(或2r)
d＋r
此时点Q的位置
过点O作直线l的垂线，其反向
延长线与⊙O的交点，即为点Q
点Q到直线l距离的最小值
d－r
0
0
此时点Q的位置
过点O作直线l的垂线，与⊙O的交点即为点Q
l与⊙O的交
点即为点Q的位置