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2024成都中考数学第一轮专题复习之专题五 类型四 特殊四边形存在性问题 教学课件
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这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之专题五 类型四 特殊四边形存在性问题 教学课件，共37页。PPT课件主要包含了第1题图，平行四边形存在性问题，第2题图，备用图，第2题解图①，解题关键点，第2题解图②，菱形存在性问题，第3题图，第3题解图等内容，欢迎下载使用。
类型四 特殊四边形存在性问题(8年2考 )
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，D为平面内一动点．(1)求抛物线的函数表达式；
解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)如图①，若点D的坐标为(2，0)，E，F为抛物线上两点，以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，设点E的横坐标为e，求e的值；
②若EC，FD为对角线，则 解得e＝ ；③若ED，FC为对角线，则 解得e＝ ；综上所述，e的值为 或 或 或 ；
(3)如图②，若D为抛物线第一象限内的一个动点，直线AD，BD分别与y轴交于点E，F，则 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
∴直线AD的表达式为y＝－(m－3)x＋3－m，∴点E的坐标为(0，3－m)，同理可得，点F的坐标为(0，3m＋3)，∴FC＝3m＋3－3＝3m，EC＝3－3＋m＝m，∴ ＝ ＝3.
2. (2016成都B卷28题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－ )，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．(1)求a的值及点A，B的坐标；
解：(1)将点C(0，－ )代入y＝a(x＋1)2－3中，得－ ＝a－3，解得a＝ ，∴y＝ (x＋1)2－3，当y＝0时，即 (x＋1)2－3＝0，解得x1＝2，x2＝－4，∵点A在点B的左侧，∴点A(－4，0)，点B(2，0)；
直线l有两种可能情况：分别为l1和l2，设直线l1与BC交于点E，直线l2与AD交于点F，当x＝－1时，y＝－3，∴D(－1，－3)，∴DH＝3，
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数表达式；
(2)如解图①，连接CH.
∴S四边形ABCD＝S△AHD＋S△HCD＋S△BHC＝ ×3×3＋ ×3×1＋ ×3× ＝10，则S△BHE＝S△AHF＝ S四边形ABCD＝3.∵AH＝BH＝3，∴点E，F的纵坐标为－2，由B(2，0)，C(0，－ )可得直线BC的函数表达式为y＝ x－ ，令 x－ ＝－2，解得x＝ ，∴E( ，－2)，
同理，由A(－4，0)，D(－1，－3)可得直线AD的函数表达式为y＝－x－4，令－x－4＝－2，解得x＝－2，∴F(－2，－2).设直线l1的函数表达式为y＝ax＋b，将H(－1，0)，E( ，－2)代入，得 解得 ∴l1的函数表达式为＝－ x－ ，同理l2的函数表达式为y＝2x＋2.综上所述，直线l的函数表达式为y＝ x－ 或y＝2x＋2；
分直线l与BC相交和直线l与AD相交两种情况求解；
(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
由根与系数的关系得x1＋x2＝3k－2，x1x2＝－3k－8，设点M的坐标为(x，y)，∴x＝ ＝ －1，y＝ ＝ k2，∴M( －1， k2).∵ND∥PQ，∴设lDN：y＝kx＋k－3，联立 解得 (舍去)或 ∴N(3k－1，3k2－3).
∵四边形DMPN是以DP为对角线的菱形，∴由菱形的性质得xP－xN＝xM－xD，即xP＝xM＋xN－xD＝ －1＋3k－1－(－1)＝ k－1，同理yP＝yM＋yN－yD＝ k2，代入二次函数表达式得 k2＝ ( k－1＋1)2－3，解得k＝－ 或k＝ (舍去)，将k＝－ 代入N(3k－1，3k2－3)中，得点N的坐标为(－2 －1，1).
利用菱形的性质表示出点P，Q的横、纵坐标是解题的关键．
3. (2023双流区二诊)如图，对称轴为直线x＝3的抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，7)，P是抛物线上x轴上方的任意一点(不与点A重合)，点P的横坐标为m，抛物线上点A与点P之间的部分(包含端点)记为图象C.(1)求抛物线的表达式；
(2)当m符合什么条件时，图象C的最大值与最小值的差为9?
(2)∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴抛物线的顶点坐标为(3，－2)，当y＝7时，x2－6x＋7＝7，∴x＝0或x＝6.当m≥6时，图象C的最小值为－2，最大值为m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－(－2)＝9，解得m＝0(舍去)或m＝6，
∴当m＝6时，图象C的最大值与最小值的差为9；当3≤m<6时，图象C的最小值为－2，最大值为7，∴图象C的最大值与最小值的差为9；当0≤m＜3时，图象C的最大值为7，最小值为m2－6m＋7，∴7－(m2－6m＋7)＝9，解得m＝3(舍去)；当m＜0时，图象C的最小值为7，最大值为m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－7＝9，解得m＝3－3 或m＝3＋3 (舍去)；综上所述，当3≤m≤6或m＝3－3 时，图象C的最大值与最小值的差为9；
(3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形，已知M为直线y＝ x上的动点，过点P作PN⊥y轴于点N，连接OP，若四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形，求此时点M的坐标．
(3)如解图，当四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形时，必然有∠OM1P＝90°或∠OPM2＝90°，且OP为∠NOM的平分线，连接NM1交OP于点B，过点M1作M1E⊥x轴于点E，过点M2作M2F⊥x轴于点F.
点M1在直线y＝ x上，设点M1的坐标为(4a，3a)，则OM1＝5a.∵OP为∠NOM的平分线，∴PN＝PM1，ON＝OM1＝5a，设P(m，5a)，
∵P ＝(3a－5a)2＋(4a－m)2，∴(3a－5a)2＋(4a－m)2＝m2，解得m＝ a，∴点P( a，5a)，∴直线OP的表达式为y＝2x，联立方程组 解得 或 ∴点P的坐标为(1，2)或(7，14)，①当点P的坐标为(1，2)时，由 a＝1，解得a＝ ，
∴点M1的坐标为( ， ).根据对称性，则OP⊥NM1，又∵PM1⊥OM1，∴△OBM1∽△OM1P，∴ ＝ ＝ ，∵OP＝ ，OM1＝2，PM1＝1，∴BM1＝ ＝ ，∴OB＝ ，∵OP⊥BM1，OP⊥PM2，∴BM1∥PM2，∴ ＝ ，∴OM2＝ .
∵点M2在直线y＝ x上，∴点M2的坐标为(2， )；②当点P的坐标为(7，14)时，由 a＝7，解得a＝ ，∴M1( ， )，方法同①求得点M2的坐标为(14， )，综上所述，点M的坐标为( ， )或(2， )或( ， )或(14， ).
4. (2017成都B卷28题12分)如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0，4)，AB＝ ，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′.(1)求抛物线C的函数表达式；
设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋4，将A(－2 ，0)代入，得0＝8a＋4，解得a＝－ .∴抛物线C的函数表达式为y＝－ x2＋4；
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
∵两抛物线在y轴的右侧有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，即4m2－4(2m2－8)>0，解得－22，∴2＜m＜2 ，∴满足条件的m的取值范围为2
(3)四边形PMP′N能成为正方形．如解图①，连接PP′，MN交于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，过点M作MH⊥x轴于点H.
∵点P到两坐标的距离相等，∴令y＝－ x2＋4＝x，解得x＝2或x＝－4(舍)，∴P(2，2).当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°.∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∠PFE＋∠HFM＝∠PFE＋∠FPE，∴∠FPE＝∠MFH，∴△PFE≌△FMH，
∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2－m，∴M(m＋2，m－2).∵点M在抛物线y＝－ x2＋4上，∴m－2＝－ (m＋2)2＋4，解得m＝ －3或m＝－ －3(舍去)，
如解图②，四边形PMP′N是正方形，同理可得M(m－2，2－m)，
将M(m－2，2－m)代入y＝－ x2＋4中，得2－m＝－ (m－2)2＋4，解得m＝6或m＝0(舍去).综上所述，当m＝ －3或m＝6时，四边形PMP′N能成为正方形．
类型四 特殊四边形存在性问题(8年2考 )
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，D为平面内一动点．(1)求抛物线的函数表达式；
解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)如图①，若点D的坐标为(2，0)，E，F为抛物线上两点，以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，设点E的横坐标为e，求e的值；
②若EC，FD为对角线，则 解得e＝ ；③若ED，FC为对角线，则 解得e＝ ；综上所述，e的值为 或 或 或 ；
(3)如图②，若D为抛物线第一象限内的一个动点，直线AD，BD分别与y轴交于点E，F，则 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
∴直线AD的表达式为y＝－(m－3)x＋3－m，∴点E的坐标为(0，3－m)，同理可得，点F的坐标为(0，3m＋3)，∴FC＝3m＋3－3＝3m，EC＝3－3＋m＝m，∴ ＝ ＝3.
2. (2016成都B卷28题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－ )，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．(1)求a的值及点A，B的坐标；
解：(1)将点C(0，－ )代入y＝a(x＋1)2－3中，得－ ＝a－3，解得a＝ ，∴y＝ (x＋1)2－3，当y＝0时，即 (x＋1)2－3＝0，解得x1＝2，x2＝－4，∵点A在点B的左侧，∴点A(－4，0)，点B(2，0)；
直线l有两种可能情况：分别为l1和l2，设直线l1与BC交于点E，直线l2与AD交于点F，当x＝－1时，y＝－3，∴D(－1，－3)，∴DH＝3，
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数表达式；
(2)如解图①，连接CH.
∴S四边形ABCD＝S△AHD＋S△HCD＋S△BHC＝ ×3×3＋ ×3×1＋ ×3× ＝10，则S△BHE＝S△AHF＝ S四边形ABCD＝3.∵AH＝BH＝3，∴点E，F的纵坐标为－2，由B(2，0)，C(0，－ )可得直线BC的函数表达式为y＝ x－ ，令 x－ ＝－2，解得x＝ ，∴E( ，－2)，
同理，由A(－4，0)，D(－1，－3)可得直线AD的函数表达式为y＝－x－4，令－x－4＝－2，解得x＝－2，∴F(－2，－2).设直线l1的函数表达式为y＝ax＋b，将H(－1，0)，E( ，－2)代入，得 解得 ∴l1的函数表达式为＝－ x－ ，同理l2的函数表达式为y＝2x＋2.综上所述，直线l的函数表达式为y＝ x－ 或y＝2x＋2；
分直线l与BC相交和直线l与AD相交两种情况求解；
(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
由根与系数的关系得x1＋x2＝3k－2，x1x2＝－3k－8，设点M的坐标为(x，y)，∴x＝ ＝ －1，y＝ ＝ k2，∴M( －1， k2).∵ND∥PQ，∴设lDN：y＝kx＋k－3，联立 解得 (舍去)或 ∴N(3k－1，3k2－3).
∵四边形DMPN是以DP为对角线的菱形，∴由菱形的性质得xP－xN＝xM－xD，即xP＝xM＋xN－xD＝ －1＋3k－1－(－1)＝ k－1，同理yP＝yM＋yN－yD＝ k2，代入二次函数表达式得 k2＝ ( k－1＋1)2－3，解得k＝－ 或k＝ (舍去)，将k＝－ 代入N(3k－1，3k2－3)中，得点N的坐标为(－2 －1，1).
利用菱形的性质表示出点P，Q的横、纵坐标是解题的关键．
3. (2023双流区二诊)如图，对称轴为直线x＝3的抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，7)，P是抛物线上x轴上方的任意一点(不与点A重合)，点P的横坐标为m，抛物线上点A与点P之间的部分(包含端点)记为图象C.(1)求抛物线的表达式；
(2)当m符合什么条件时，图象C的最大值与最小值的差为9?
(2)∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴抛物线的顶点坐标为(3，－2)，当y＝7时，x2－6x＋7＝7，∴x＝0或x＝6.当m≥6时，图象C的最小值为－2，最大值为m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－(－2)＝9，解得m＝0(舍去)或m＝6，
∴当m＝6时，图象C的最大值与最小值的差为9；当3≤m<6时，图象C的最小值为－2，最大值为7，∴图象C的最大值与最小值的差为9；当0≤m＜3时，图象C的最大值为7，最小值为m2－6m＋7，∴7－(m2－6m＋7)＝9，解得m＝3(舍去)；当m＜0时，图象C的最小值为7，最大值为m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－7＝9，解得m＝3－3 或m＝3＋3 (舍去)；综上所述，当3≤m≤6或m＝3－3 时，图象C的最大值与最小值的差为9；
(3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形，已知M为直线y＝ x上的动点，过点P作PN⊥y轴于点N，连接OP，若四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形，求此时点M的坐标．
(3)如解图，当四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形时，必然有∠OM1P＝90°或∠OPM2＝90°，且OP为∠NOM的平分线，连接NM1交OP于点B，过点M1作M1E⊥x轴于点E，过点M2作M2F⊥x轴于点F.
点M1在直线y＝ x上，设点M1的坐标为(4a，3a)，则OM1＝5a.∵OP为∠NOM的平分线，∴PN＝PM1，ON＝OM1＝5a，设P(m，5a)，
∵P ＝(3a－5a)2＋(4a－m)2，∴(3a－5a)2＋(4a－m)2＝m2，解得m＝ a，∴点P( a，5a)，∴直线OP的表达式为y＝2x，联立方程组 解得 或 ∴点P的坐标为(1，2)或(7，14)，①当点P的坐标为(1，2)时，由 a＝1，解得a＝ ，
∴点M1的坐标为( ， ).根据对称性，则OP⊥NM1，又∵PM1⊥OM1，∴△OBM1∽△OM1P，∴ ＝ ＝ ，∵OP＝ ，OM1＝2，PM1＝1，∴BM1＝ ＝ ，∴OB＝ ，∵OP⊥BM1，OP⊥PM2，∴BM1∥PM2，∴ ＝ ，∴OM2＝ .
∵点M2在直线y＝ x上，∴点M2的坐标为(2， )；②当点P的坐标为(7，14)时，由 a＝7，解得a＝ ，∴M1( ， )，方法同①求得点M2的坐标为(14， )，综上所述，点M的坐标为( ， )或(2， )或( ， )或(14， ).
4. (2017成都B卷28题12分)如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0，4)，AB＝ ，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′.(1)求抛物线C的函数表达式；
设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋4，将A(－2 ，0)代入，得0＝8a＋4，解得a＝－ .∴抛物线C的函数表达式为y＝－ x2＋4；
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
∵两抛物线在y轴的右侧有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，即4m2－4(2m2－8)>0，解得－2
(3)四边形PMP′N能成为正方形．如解图①，连接PP′，MN交于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，过点M作MH⊥x轴于点H.
∵点P到两坐标的距离相等，∴令y＝－ x2＋4＝x，解得x＝2或x＝－4(舍)，∴P(2，2).当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°.∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∠PFE＋∠HFM＝∠PFE＋∠FPE，∴∠FPE＝∠MFH，∴△PFE≌△FMH，
∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2－m，∴M(m＋2，m－2).∵点M在抛物线y＝－ x2＋4上，∴m－2＝－ (m＋2)2＋4，解得m＝ －3或m＝－ －3(舍去)，
如解图②，四边形PMP′N是正方形，同理可得M(m－2，2－m)，
将M(m－2，2－m)代入y＝－ x2＋4中，得2－m＝－ (m－2)2＋4，解得m＝6或m＝0(舍去).综上所述，当m＝ －3或m＝6时，四边形PMP′N能成为正方形．
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