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高考物理一轮复习10.5磁场--带电粒子在交变电、磁场中的运动(原卷版+解析)
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这是一份高考物理一轮复习10.5磁场--带电粒子在交变电、磁场中的运动(原卷版+解析)，共86页。试卷主要包含了先电场后磁场，先磁场后电场，交变电磁场等内容，欢迎下载使用。
考向一反复进磁场
考向二 先电场后磁场
考向三 先磁场后电场
考向四 交变电磁场
考向一反复进磁场
【典例1】（2022年山东省普通高中学业水平等级性考试17. ）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
【答案】（1）；（2）；（3）（，，）；（4）
【解析】（1）如图所示
将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有
联立解得
（2）如图所示
离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得
离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得
可得
为了使离子在磁场中运动，需满足，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为
离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过平面的坐标为
离子第四次穿过平面的坐标为
故离子第四次穿过平面的位置坐标为（，，）
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲在磁场I中的轨迹半径为
离子甲在磁场II中的轨迹半径为
离子乙在磁场I中的轨迹半径为
离子乙在磁场II中的轨迹半径为
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示
从点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
【典例2】(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图1所示.甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点.已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响.求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷eq \f(q′,m′)可能的最小值.
【答案】(1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0) (3)eq \f(2q,m)
【解析】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)，
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2
解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0)
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有neq \f(m′v,3q′B0)＝d，neq \f(5πm′,6q′B0)＝t1＋t2
解得eq \f(q′,m′)＝neq \f(q,m)
根据题意，n＝1舍去.
当n＝2时，eq \f(q′,m′)有最小值，(eq \f(q′,m′))min＝eq \f(2q,m)
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇.
综上分析，乙的比荷的最小值为eq \f(2q,m).
练习1、(2022·北京市西城区高三下统一测试)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。
(1)求电场强度的大小和方向。
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。
【答案】见解析
【解析】(1)设电场强度大小为E
由题意有mg＝qE
得E＝eq \f(mg,q)，方向竖直向上(2)如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ。
由r＝eq \f(mv,qB)，有r1＝eq \f(mvmin,qB)，r2＝eq \f(1,2)r1
由(r1＋r2)sin φ＝r2
r1＋r1cs φ＝h
vmin＝(9－6eq \r(2))eq \f(qBh,m)。
(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x。
由题意有3nx＝1.8 h(n＝1,2,3，…)
eq \f(3,2)x≥eq \f(9－6\r(2)h,2)
x＝eq \r(r\\al(2,1)－h－r12)得r1＝(1＋eq \f(0.36,n2))eq \f(h,2)，n＜3.5
即n＝1时，v＝eq \f(0.68qBh,m)；n＝2时，v＝eq \f(0.545qBh,m)；n＝3时，
v＝eq \f(0.52qBh,m)。
练习2、(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d。不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0。
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【答案】(1)2 eq \r(\f(qEd,m)) 方向与水平方向成45°角斜向上 (2) eq \r(\f(mE,2qd)) (3)(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))
【解析】第一步：抓关键点
第二步：找突破口
(1)要求过Q点的速度，可以结合平抛运动的知识列方程求解。
(2)要求以垂直y轴的方向进入第二象限时的磁感应强度B0值，可以先画出带电粒子在第一象限的运动轨迹，后结合匀速圆周运动的知识求解。
(3)要求经过一段时间后仍以相同的速度过Q点情况下经历的时间，必须先综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，后结合有关知识列方程求解。
(1)设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿第二定律得
qE＝ma①
由运动学公式得
d＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))⑤
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v＝2 eq \r(\f(qEd,m))⑦
θ＝45°⑧
甲
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图甲所示，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ为等腰直角三角形，得
R1＝2eq \r(2)d⑨
由牛顿第二定律得
qvB0＝meq \f(v2,R1)⑩
联立⑦⑨⑩式得B0＝ eq \r(\f(mE,2qd))⑪
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析[粒子运动的轨迹如图乙所示，O2、O2′是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O2′，由几何关系知，O2FGO2′和O2QHO2′均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF为等腰直角三角形。]可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得
乙
2R2＝2eq \r(2)d⑫
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2⑬
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有
t＝eq \f(FG＋HQ＋2πR2,v)⑭
联立⑦⑫⑬⑭式得
t＝(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))⑮
考向二 先电场后磁场
先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
【典例3】(2020·全国卷Ⅱ)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则( )
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】D
【解析】电子在电场中加速运动，电场力的方向和运动方向相同，而电子所受电场力的方向与电场的方向相反，所以M处的电势低于N处的电势，A错误；增大M、N之间的电压，根据动能定理可知，电子进入磁场时的初速度变大，根据r＝eq \f(mv,eB)知其在磁场中的轨迹半径增大，P点将右移，B错误；根据左手定则可知，磁场的方向应该垂直于纸面向里，C错误；结合B分析，可知增大磁场的磁感应强度，轨迹半径将减小，P点将左移，D正确。
【典例4】(2021·全国甲卷)如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
(1)求粒子发射位置到P点的距离；
(2)求磁感应强度大小的取值范围；
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【答案】(1)eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE) (2)eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql) (3)eq \f(39－10\r(3),44)l
【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
x＝v0t①
y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qEt2,2m)②
已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有tan30°＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(at,v0)＝eq \f(qEt,mv0)③
粒子发射位置到P点的距离s＝ eq \r(x2＋y2)④
由①②③④式解得s＝eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE)。
(2)带电粒子在磁场中运动的速度大小
v＝eq \f(v0,cs30°)＝eq \f(2\r(3)v0,3)⑤
带电粒子在磁场中做圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律可知qvB＝eq \f(mv2,r)⑥
带电粒子在磁场中运动的两个临界轨迹(分别从Q、N点射出)如图甲所示
由几何关系可知，最小轨道半径rmin＝eq \f(\f(l,2),cs30°)＝eq \f(\r(3),3)l⑦
最大轨道半径满足(rmaxcs30°－l)2＋(rmaxsin30°＋l)2＝req \\al(2,max)⑧
解得rmax＝(eq \r(3)＋1)l⑨
当r取rmin时，B有最大值Bmax；当r取rmax时，B有最小值Bmin
由⑤⑥⑦⑨式解得Bmin＝eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)，
Bmax＝eq \f(2mv0,ql)
则磁感应强度大小的取值范围为eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql)。
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示
由几何关系可知，在△O3FK中有
(l－r3cs30°)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)＋r3sin30°))2＝req \\al(2,3)⑩
解得带电粒子的运动轨道半径r3＝eq \f(52\r(3)＋1,22)l⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
dmin＝r3sin30°＋l－r3⑫
由⑪⑫式解得dmin＝eq \f(39－10\r(3),44)l。
练习3、(2022·河北省张家口市高三下三模)如图，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M(2eq \r(3)a，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
(1)电场强度的大小；
(2)N点的坐标．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
2eq \r(3)a＝v0t a＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t2
得E＝eq \f(mv\\al(2,0),6qa)
(2)粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，
则vy＝eq \f(qE,m)t＝eq \f(q,m)·eq \f(mv\\al(2,0),6qa)·eq \f(2\r(3)a,v0)＝eq \f(\r(3),3)v0
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \f(2\r(3),3)v0
tanα＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(\r(3),3)，即α＝30°
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，则
qBv＝meq \f(v2,R)
解得粒子做圆周运动的半径为R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2\r(3)mv0,3qB)
由几何关系知，β＝eq \f(1,2)∠PMN＝30°
所以N点的纵坐标为yN＝eq \f(R,tanβ)＋a＝eq \f(2mv0,qB)＋a
横坐标为xN＝2eq \r(3)a
即N点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)a，\f(2mv0,qB)＋a))
练习4、(2022·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。
【答案】(1)eq \f(mv\\al(2,0),2qh) (2)eq \r(2)v0 方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角 (3)eq \f(2mv0,qL)
【解析】(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有x＝v0t＝2h
y＝eq \f(1,2)at2＝h qE＝ma
联立以上各式可得E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qh)
(2)粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为vy＝at＝v0
所以v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角
(3)粒子在磁场中运动时，有qvB＝meq \f(v2,r)
当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r＝eq \f(\r(2),2)L，所以B＝eq \f(2mv0,qL)
【巧学妙记】
1.求解策略：“各个击破”
2．抓住联系两个场的纽带——速度。
考向三 先磁场后电场
先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。
【典例5】.(2022·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ＝30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上．现有一群质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在纸面内以速度v(0(1)速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间；
(2)磁场区域的最小面积．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1，则
qBv＝meq \f(v2,R)
即R＝eq \f(mv,qB)
由题知：v＝eq \f(E,B)
T＝eq \f(2πm,qB)
t1＝eq \f(1,3)T＝eq \f(2πm,3qB)
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为x，匀速运动的时间为t2，由几何关系知：x＝Rctθ
t2＝eq \f(x,v)＝eq \f(\r(3)m,qB)
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t3，则
eq \f(3,2)R＝eq \f(1,2)eq \f(qE,m)teq \\al(2,3)
解得t3＝eq \f(\r(3)m,qB)
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间t＝t1＋t2＋t3
解得：t＝eq \f(23\r(3)＋π,3)eq \f(m,qB)
(2)
由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积Smin是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积
扇形OO′N的面积S1＝eq \f(1,3)πR2
△OO′N的面积为S2＝R2cs30°sin30°＝eq \f(\r(3),4)R2
∴Smin＝S1－S2
解得：Smin＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),4)))eq \f(m2E2,q2B4)
练习5、(2022·江苏省淮安市高三下第三次调研)如图甲所示,半径r=0.5 m的圆形匀强磁场区域与x轴相切于坐标系的原点O。磁感应强度B=2×10-3 T,方向垂直于纸面向外。在x=1 m和x=2 m 之间的区域内有方向沿y轴正方向的匀强电场,电场强度E=1.5×103 N/C。在x=3 m处的x轴上方有一与y轴平行且足够长的荧光屏,在O点有一个粒子源,能沿纸面各个方向发射质量m=1.6×10-28 kg,带电荷量q=1.6×10-19 C且速率相同的粒子,其中沿y轴正方向射入的粒子恰能从磁场最右侧的A点离开磁场,不计粒子的重力、空气的阻力及粒子间的相互作用力。
甲
(1)求这些粒子在磁场中运动的速度。
(2)求这些粒子打在荧光屏上的范围(用位置坐标表示)。
(3)若没有荧光屏,粒子射出电场后立即进入某种不导电的介质中运动,其所受介质阻力与速率成正比,比例系数k=1.6×10-21 N·s/m。求粒子在该介质中运动的轨迹长度(电荷量不变)。
【答案】(1)1×106 m/s (2)(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m) (3)1320 m
【解析】(1)由题意可知,粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5 m
设粒子在磁场中运动的速度为v,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R
解得v=1×106 m/s。
(2)如图乙所示,因为粒子做圆周运动的轨迹和磁场圆边界的交点O、C与两圆的圆心O1、O2连线组成的是菱形,所以CO2和y轴平行,则所有射出磁场的粒子速度方向都和x轴平行
乙
粒子从O点出发,沿x轴正方向以速度v垂直射入电场,在电场中的加速度大小a=qEm=1.5×1012 m/s2
粒子穿出电场用时t=Δxv=1×10-6 s
则vy=at=1.5×106 m/s,tan α=vyvx=atv=1.5
粒子在电场中的侧位移y1=12at2=0.75 m
飞出电场后粒子做匀速直线运动,y2=Δx'·tan α=1.5 m
故y=y1+y2=2.25 m,则粒子打在屏上的坐标为(3 m,2.25 m)
沿x轴负方向射出的粒子经磁场偏转后从坐标为(0,1 m)的点平行于x轴方向射向电场,直至打在屏上的侧位移大小也为y,故该粒子打在屏上的坐标为(3 m,3.25 m)
则带电粒子打在荧光屏上的区域为(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m)。
(3)粒子在电场中运动的某一瞬间,设粒子的速度为vt,应用牛顿第二定律有kvt=mat,即kvt=mΔvtΔt(Δvt在这里是速度大小的变化)
求和有kΣ(vtΔt)=mΣΔvt
根据动量定理有-kl=0-mvt
且vt=v2+vy2=132×106 m/s
解得l=mvtk=1320 m。
交变电磁场
1.解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
【典例6】（2022年河北省普通高中学业水平选择性考试）14. 两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
【答案】（1）；（2）；（3），
【解析】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向
解得粒子在时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
在时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上
在时间内粒子在水平方向运动的距离为
在时间内，在竖直方向
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
接收器位置为，根据距离的关系可知
解得
此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则
竖直方向需要满足
解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；
若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上
之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即
解得
接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中
粒子要在点被吸收，需要满足
代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。
【典例7】(2022·浙江省温州市高三二模)在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图10甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图像如图乙所示。x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向。在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q。不计重力。在t＝eq \f(τ,2)时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动。
(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0；
(2)求B0应满足的关系；
(3)在t0(0【答案】见解析
【解析】(1)eq \f(τ,2)～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动，电场力F＝qE0
加速度a＝eq \f(F,m)
速度v0＝at，且t＝eq \f(τ,2)
解得v0＝eq \f(qE0τ,2m)
(2)只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示。
设P在磁场中做圆周运动的周期为T。
则(n－eq \f(1,2))T＝τ(n＝1,2,3，…)，
匀速圆周运动qvB0＝meq \f(v2,r)，T＝eq \f(2πr,v)
解得B0＝eq \f(2n－1πm,qτ)(n＝1,2,3，…)，
(3)在t0时刻释放，P在电场中加速度时间为τ t0
在磁场中做匀速圆周运动
v1＝eq \f(qE0τ－t0,m)
圆周运动的半径r1＝eq \f(mv1,qB0)
解得r1＝eq \f(E0τ－t0,B0)
又经(τ－t0)时间P减速为零后向右加速时间为t0
P再进入磁场v2＝eq \f(qE0t0,m)
圆周运动的半径r2＝eq \f(mv2,qB0)
解得r2＝eq \f(E0t0,B0)
综上分析，速度为零时横坐标x＝0
相应的纵坐标为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2[kr1－k－1r2]，,2kr1－r2))(k＝1,2,3，…)。
解得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2E0[kτ－2t0＋t0],B0),\f(2kE0τ－2t0,B0) k＝1，2，3 ...))。
练习6、(2022·山东省日照市高三下二模)如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、d、v0为已知量。
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB，求B0；
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。
【答案】 (1)eq \f(mv0,qd) (2)eq \f(3v\\al(2,0),d) (3)eq \f(πd,3v0)或(eq \f(π,2)＋arcsineq \f(1,4))eq \f(d,2v0)
【解析】
甲
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图甲，半径R1＝d
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图乙，半径R2＝eq \f(d,3)
乙
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，则半径为多大？试画出粒子在一个周期内的运动轨迹，并说明在哪些位置可能击中B板。
提示：如图丙，由R＝eq \f(mv0,qB0)得R＝eq \f(1,4)d
在A、B两点可能击中B板
(1)设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R1)①
据题意由几何关系得
R1＝d②
联立①②式得
B0＝eq \f(mv0,qd)③
(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得
a＝eq \f(v\\al(0, 2),R2)④
据题意由几何关系得
3R2＝d⑤
联立④⑤式得
a＝eq \f(3v\\al(0, 2),d)⑥
(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝eq \f(2πR,v0)⑦
由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R)⑧
由题意知B0＝eq \f(4mv0,qd)，代入⑧式得d＝4R⑨
粒子运动轨迹如图所示，
O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置粒子才有可能垂直击中P板，且均要求0＜θ＜eq \f(π,2)，由题意可知
eq \f(\f(π,2)＋θ,2π)T＝eq \f(TB,2)⑩
设经历完整TB的个数为n(n＝0,1,2,3…)若在A点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑪
当n＝0时，无解⑫
当n＝1时，联立⑨⑪式得
θ＝eq \f(π,6)(或sin θ＝eq \f(1,2))⑬
联立⑦⑨⑩⑬式得
TB＝eq \f(πd,3v0)⑭
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑮
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑯
当n＝0时，无解⑰
当n＝1时，联立⑨⑯式得
θ＝arcsin eq \f(1,4)(或sin θ＝eq \f(1,4))⑱
联立⑦⑨⑩⑱式得
TB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋arcsin \f(1,4)))eq \f(d,2v0)⑲
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑳
【巧学妙记】
在处理带电粒子在交变场中运动时，一般是按照粒子的运动顺序依次分析粒子在不同场中的运动形式，对于电场和磁场交替出现的交变场，其中有几点要特别引起注意：①粒子在磁场中运动时一定要分析粒子做圆周运动的周期与磁场变化周期关系，才能得到粒子的偏转和运动轨迹；②粒子在电场中运动时速度大小有可能会发生变化，再次变化为磁场时一定要注意速度大小的变化引起的半径变化，切忌再轻易套用上一段磁场中的半径
1. (多选)(2022·湖北省武汉市部分学校高三上质量检测)如图所示，虚线MN将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP与弧Pb的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是( )
A．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1
B．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1
C．粒子通过aP、Pb两段弧的时间之比为2∶1
D．弧aP与弧Pb对应的圆心角之比为2∶1
2. (2022·杭州一中模拟)如图所示，两导体板水平放置，两板间的电势差为U，带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化而变化情况为( )
A．d随v0的增大而增大，d与U无关
B．d随v0的增大而增大，d随U的增大而增大
C．d随U的增大而增大，d与v0无关
D．d随v0的增大而增大，d随U的增大而减小
3. (2022·广东省深圳市高三3月第一次调研)如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为( )
A.eq \f(7πd,2v0) B.eq \f(d,v0)(2＋5π)
C.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3π,2))) D.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(7π,2)))
4. (2022·河北省唐山市高三下3月第一次模拟考试)如图甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U构成偏转电场，一束比荷eq \f(q,m)＝106 C/kg的带正电的粒子流(重力和粒子间的相互作用不计)，以速度v0＝104 m/s沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形磁场区域，O为圆心，区域直径AB长度为L＝1 m，AB与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5 T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O点与水平方向成45°角斜向下射入磁场．
(1)两金属极板间的电压U是多大？
(2)若T0＝0.5 s，求t＝0时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置；
(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．
5.(2022山东省济南市高三下模拟考试) 如图所示的平面直角坐标系xOy中，P点在x轴上，已知OP＝eq \f(2\r(3),3)L，Q点在负y轴上某处．第Ⅱ象限内有平行于y轴电场强度E大小未知的匀强电场；第Ⅰ象限内有一个磁感应强度B大小未知的圆形磁场区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，已知OA＝L；第Ⅲ象限内有一位置未知的矩形磁场区域(图中未画出)，磁感应强度为2B；第Ⅳ象限内存在一个磁感应强度Bx未知的圆形磁场区域(图中未画出)；三个区域的磁场方向均垂直于xOy平面．电荷量为＋q、质量为m、速度大小为v0的粒子a从A点沿y轴正方向射入，经过C点和P点，通过矩形磁场后从Q点与y轴负方向成60°进入第Ⅳ象限，并通过圆形磁场后重新回到A点且方向沿y轴正方向．不计粒子的重力和粒子间相互作用力．求：
(1)第Ⅰ象限内圆形区域内磁场磁感应强度B的大小、方向；
(2)第Ⅱ象限内匀强电场的电场强度大小E；
(3)第Ⅲ象限内矩形磁场区域的最小面积S；
(4)第Ⅳ象限内圆形磁场的磁感应强度Bx的取值范围．
6. (2022·山东日照市高三模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，间距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．
(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝eq \f(2mv0,qd)，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．
1.(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，在x轴下方的第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xOy平面方向的匀强磁场，磁感应强度B1＝2B2＝2B，带电粒子a、b分别从x轴上的P、Q两点(图中没有标出)以垂直于x轴方向的速度同时进入匀强磁场B1、B2中，两粒子恰在第一次通过y轴时发生正碰，碰撞前带电粒子a的速度方向与y轴正方向成60°角，若两带电粒子的比荷分别为k1、k2，进入磁场时的速度大小分别为v1、v2，不计粒子重力和两粒子间相互作用，则下列关系正确的是( )
A．k1＝2k2 B．2k1＝k2 C．v1＝2v2 D．2v1＝v2
2.(2022·山东省菏泽市高三下二模)如图所示，平行板电容器所带电荷量为Q，一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子(重力忽略不计)，从A点出发经电场加速后，垂直于磁感应强度方向进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，粒子打到P点，如果适当调整板间距离d，保持其他条件不变，用x表示OP间的距离，则能正确反映x与d之间关系的是( )
A．x与d成反比 B．x与eq \r(d)成反比
C．x与d2成正比D.x与eq \r(d)成正比
3. (多选)(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，两个重心重合的正三角形容器内分别存在着垂直于纸面向里和垂直于纸面向外的匀强磁场，已知内部三角形容器ABC边长为2a，内部磁感应强度大小为B，且每条边的中点开有一个小孔。有一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从AB边中点D垂直AB进入内部磁场。如果要使粒子恰好不经过碰撞在磁场中运动一段时间后又能从D点射入，下列说法正确的是( )
A．容器ABC与A′B′C′之间的磁感应强度大小也为B
B．容器A′B′C′的边长为2eq \r(3)a
C．粒子的速度大小为eq \f(Bqa,m)
D．粒子再次回到D点的最短时间为eq \f(7πm,3Bq)
4. (多选)(2022·北京市朝阳区校际联考) 某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图16甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a―→b―→c―→d―→e―→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)( )
A.若粒子的初始位置在a处，在t＝eq \f(3,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B.若粒子的初始位置在f处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在e处，在t＝eq \f(11,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D.若粒子的初始位置在b处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
5. (2022·安徽省合肥市高三上开学考试)如图甲所示，比荷eq \f(q,m)＝k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB＝eq \r(3)L，宽AD＝L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。
(1)若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？
(2)要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？
6. (2022·江苏省南京市高三下第三次调研)某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图8310甲中由B到C的方向)，电场变化如图乙中Et图像，磁感应强度变化如图丙中Bt图像。在A点，从t＝1 s(即1 s末)开始，每隔2 s，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB方向(垂直于BC)以速度v射出，恰能击中C点，若Aeq \x\t(C)＝2Beq \x\t(C)且粒子在AB间运动的时间小于1 s，求：
(1)图线上E0和B0的比值，磁感应强度B的方向；
(2)若第1个粒子击中C点的时刻已知为(1＋Δt) s，那么第2个粒子击中C点的时刻是多少？
7. (2022·江苏南通市5月第二次模拟)如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1 000 V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8 kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5 C的粒子，从y轴上(0，0.04 m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。
(1)若v0＝200 m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；
(2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；
(3)若粒子恰能经过x轴上x＝100 m的点，求粒子入射的初速度v0。
8.(八省联考·辽宁·15)如图所示，在第一、四象限的0.5d≤y≤1.5d和－1.5d≤y≤－0.5d区域内存在磁感应强度大小可调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场.带电粒子以速度v0从点P(－4d,1.5d)沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场.已知带电粒子的质量为m、电荷量为q(q＞0)，不计粒子的重力.
(1)求匀强电场的电场强度大小E；
(2)若磁感应强度大小均为B1时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线y＝－1.5d相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点(图中未画出)，求B1；
(3)若磁感应强度大小均为B2时，粒子离开O点后，经n(n＞1)次磁偏转仍过第(2)问中的S点.求B2与B1的比值，并确定n的所有可能值.
9.(2022·湖南省永州市高三下第一次适应性测试) 现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图8312所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，求出sin θn；
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。
10. (2022·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的eq \r(3)倍．
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值．
11.(2022·江西高三月考)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy中，第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E.第一象限中有沿y轴正方向的匀强电场(电场强度大小未知)且某未知矩形区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场(磁感应强度大小也为B)．一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成θ＝45°角斜向上做匀速直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即在矩形磁场区域内做匀速圆周运动，离开矩形磁场区域后垂直打在y轴上的P点(图中未标出)，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g(取sin 22.5°＝0.4，cs 22.5°＝0.9)．求：
(1)小球所带电荷量与质量的比值和第一象限内匀强电场的场强大小；
(2)矩形匀强磁场区域面积S的最小值；
(3)小球从M点运动到P点所用的时间．
1.（2021年河北省普通高中学业水平选择性考试14）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（，H、S两点末在图中标出）。对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
2、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试）13.（13分）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
3、(2021·广东卷·14)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为eq \r(3)R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4.
(1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值．
4、(2019·全国卷Ⅰ·24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
5.(2018·全国卷Ⅰ)如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核eq \\al(1,1)H和一个氘核eq \\al(2,1)H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知eq \\al(1,1)H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.eq \\al(1,1)H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求：
(1)eq \\al(1,1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)eq \\al(2,1)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．新课程标准
1.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2．能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
命题趋势
考查的内容主要体现在对科学思维、运动与相互作用观念等物理学科的核心素养的要求。考查频率高，题目综合性强，会综合牛顿运动定律和运动学规律，注重与电场、磁场的渗透，注重生产、生活、当今热点、现代科技的联系。
试题情境
生活实践类
生活和科技等
学习探究类
带电粒子在磁场、组合场、叠加场中的运动
关键点
获取信息
①沿y轴正方向的匀强电场
②自y轴P点沿x轴正方向射入
带电粒子在第四象限内做类平抛运动
在第一、三象限内存在相同的匀强磁场
在第一、三象限内带电粒子做半径相同的匀速圆周运动
以垂直y轴的方向进入第二象限
在第一象限内做圆周运动的圆心在y轴上
改变磁感应强度值，经过一段时间后粒子再次经过Q点，且速度与第一次相同
带电粒子在第一、三象限内运动的轨迹均为半圆
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
考点34磁场--带电粒子在交变电、磁场中的运动
考向一反复进磁场
考向二 先电场后磁场
考向三 先磁场后电场
考向四 交变电磁场
考向一反复进磁场
【典例1】（2022年山东省普通高中学业水平等级性考试17. ）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
【答案】（1）；（2）；（3）（，，）；（4）
【解析】（1）如图所示
将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有
联立解得
（2）如图所示
离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得
离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得
可得
为了使离子在磁场中运动，需满足，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为
离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过平面的坐标为
离子第四次穿过平面的坐标为
故离子第四次穿过平面的位置坐标为（，，）
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲在磁场I中的轨迹半径为
离子甲在磁场II中的轨迹半径为
离子乙在磁场I中的轨迹半径为
离子乙在磁场II中的轨迹半径为
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示
从点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
【典例2】(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图1所示.甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点.已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响.求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷eq \f(q′,m′)可能的最小值.
【答案】(1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0) (3)eq \f(2q,m)
【解析】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)，
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2
解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0)
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有neq \f(m′v,3q′B0)＝d，neq \f(5πm′,6q′B0)＝t1＋t2
解得eq \f(q′,m′)＝neq \f(q,m)
根据题意，n＝1舍去.
当n＝2时，eq \f(q′,m′)有最小值，(eq \f(q′,m′))min＝eq \f(2q,m)
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇.
综上分析，乙的比荷的最小值为eq \f(2q,m).
练习1、(2022·北京市西城区高三下统一测试)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。
(1)求电场强度的大小和方向。
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。
【答案】见解析
【解析】(1)设电场强度大小为E
由题意有mg＝qE
得E＝eq \f(mg,q)，方向竖直向上(2)如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ。
由r＝eq \f(mv,qB)，有r1＝eq \f(mvmin,qB)，r2＝eq \f(1,2)r1
由(r1＋r2)sin φ＝r2
r1＋r1cs φ＝h
vmin＝(9－6eq \r(2))eq \f(qBh,m)。
(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x。
由题意有3nx＝1.8 h(n＝1,2,3，…)
eq \f(3,2)x≥eq \f(9－6\r(2)h,2)
x＝eq \r(r\\al(2,1)－h－r12)得r1＝(1＋eq \f(0.36,n2))eq \f(h,2)，n＜3.5
即n＝1时，v＝eq \f(0.68qBh,m)；n＝2时，v＝eq \f(0.545qBh,m)；n＝3时，
v＝eq \f(0.52qBh,m)。
练习2、(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d。不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0。
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【答案】(1)2 eq \r(\f(qEd,m)) 方向与水平方向成45°角斜向上 (2) eq \r(\f(mE,2qd)) (3)(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))
【解析】第一步：抓关键点
第二步：找突破口
(1)要求过Q点的速度，可以结合平抛运动的知识列方程求解。
(2)要求以垂直y轴的方向进入第二象限时的磁感应强度B0值，可以先画出带电粒子在第一象限的运动轨迹，后结合匀速圆周运动的知识求解。
(3)要求经过一段时间后仍以相同的速度过Q点情况下经历的时间，必须先综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，后结合有关知识列方程求解。
(1)设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿第二定律得
qE＝ma①
由运动学公式得
d＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))⑤
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v＝2 eq \r(\f(qEd,m))⑦
θ＝45°⑧
甲
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图甲所示，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ为等腰直角三角形，得
R1＝2eq \r(2)d⑨
由牛顿第二定律得
qvB0＝meq \f(v2,R1)⑩
联立⑦⑨⑩式得B0＝ eq \r(\f(mE,2qd))⑪
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析[粒子运动的轨迹如图乙所示，O2、O2′是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O2′，由几何关系知，O2FGO2′和O2QHO2′均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF为等腰直角三角形。]可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得
乙
2R2＝2eq \r(2)d⑫
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2⑬
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有
t＝eq \f(FG＋HQ＋2πR2,v)⑭
联立⑦⑫⑬⑭式得
t＝(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))⑮
考向二 先电场后磁场
先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
【典例3】(2020·全国卷Ⅱ)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则( )
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】D
【解析】电子在电场中加速运动，电场力的方向和运动方向相同，而电子所受电场力的方向与电场的方向相反，所以M处的电势低于N处的电势，A错误；增大M、N之间的电压，根据动能定理可知，电子进入磁场时的初速度变大，根据r＝eq \f(mv,eB)知其在磁场中的轨迹半径增大，P点将右移，B错误；根据左手定则可知，磁场的方向应该垂直于纸面向里，C错误；结合B分析，可知增大磁场的磁感应强度，轨迹半径将减小，P点将左移，D正确。
【典例4】(2021·全国甲卷)如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
(1)求粒子发射位置到P点的距离；
(2)求磁感应强度大小的取值范围；
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【答案】(1)eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE) (2)eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql) (3)eq \f(39－10\r(3),44)l
【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
x＝v0t①
y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qEt2,2m)②
已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有tan30°＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(at,v0)＝eq \f(qEt,mv0)③
粒子发射位置到P点的距离s＝ eq \r(x2＋y2)④
由①②③④式解得s＝eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE)。
(2)带电粒子在磁场中运动的速度大小
v＝eq \f(v0,cs30°)＝eq \f(2\r(3)v0,3)⑤
带电粒子在磁场中做圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律可知qvB＝eq \f(mv2,r)⑥
带电粒子在磁场中运动的两个临界轨迹(分别从Q、N点射出)如图甲所示
由几何关系可知，最小轨道半径rmin＝eq \f(\f(l,2),cs30°)＝eq \f(\r(3),3)l⑦
最大轨道半径满足(rmaxcs30°－l)2＋(rmaxsin30°＋l)2＝req \\al(2,max)⑧
解得rmax＝(eq \r(3)＋1)l⑨
当r取rmin时，B有最大值Bmax；当r取rmax时，B有最小值Bmin
由⑤⑥⑦⑨式解得Bmin＝eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)，
Bmax＝eq \f(2mv0,ql)
则磁感应强度大小的取值范围为eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql)。
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示
由几何关系可知，在△O3FK中有
(l－r3cs30°)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)＋r3sin30°))2＝req \\al(2,3)⑩
解得带电粒子的运动轨道半径r3＝eq \f(52\r(3)＋1,22)l⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
dmin＝r3sin30°＋l－r3⑫
由⑪⑫式解得dmin＝eq \f(39－10\r(3),44)l。
练习3、(2022·河北省张家口市高三下三模)如图，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M(2eq \r(3)a，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
(1)电场强度的大小；
(2)N点的坐标．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
2eq \r(3)a＝v0t a＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t2
得E＝eq \f(mv\\al(2,0),6qa)
(2)粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，
则vy＝eq \f(qE,m)t＝eq \f(q,m)·eq \f(mv\\al(2,0),6qa)·eq \f(2\r(3)a,v0)＝eq \f(\r(3),3)v0
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \f(2\r(3),3)v0
tanα＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(\r(3),3)，即α＝30°
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，则
qBv＝meq \f(v2,R)
解得粒子做圆周运动的半径为R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2\r(3)mv0,3qB)
由几何关系知，β＝eq \f(1,2)∠PMN＝30°
所以N点的纵坐标为yN＝eq \f(R,tanβ)＋a＝eq \f(2mv0,qB)＋a
横坐标为xN＝2eq \r(3)a
即N点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)a，\f(2mv0,qB)＋a))
练习4、(2022·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。
【答案】(1)eq \f(mv\\al(2,0),2qh) (2)eq \r(2)v0 方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角 (3)eq \f(2mv0,qL)
【解析】(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有x＝v0t＝2h
y＝eq \f(1,2)at2＝h qE＝ma
联立以上各式可得E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qh)
(2)粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为vy＝at＝v0
所以v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角
(3)粒子在磁场中运动时，有qvB＝meq \f(v2,r)
当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r＝eq \f(\r(2),2)L，所以B＝eq \f(2mv0,qL)
【巧学妙记】
1.求解策略：“各个击破”
2．抓住联系两个场的纽带——速度。
考向三 先磁场后电场
先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。
【典例5】.(2022·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ＝30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上．现有一群质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在纸面内以速度v(0(1)速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间；
(2)磁场区域的最小面积．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1，则
qBv＝meq \f(v2,R)
即R＝eq \f(mv,qB)
由题知：v＝eq \f(E,B)
T＝eq \f(2πm,qB)
t1＝eq \f(1,3)T＝eq \f(2πm,3qB)
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为x，匀速运动的时间为t2，由几何关系知：x＝Rctθ
t2＝eq \f(x,v)＝eq \f(\r(3)m,qB)
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t3，则
eq \f(3,2)R＝eq \f(1,2)eq \f(qE,m)teq \\al(2,3)
解得t3＝eq \f(\r(3)m,qB)
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间t＝t1＋t2＋t3
解得：t＝eq \f(23\r(3)＋π,3)eq \f(m,qB)
(2)
由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积Smin是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积
扇形OO′N的面积S1＝eq \f(1,3)πR2
△OO′N的面积为S2＝R2cs30°sin30°＝eq \f(\r(3),4)R2
∴Smin＝S1－S2
解得：Smin＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),4)))eq \f(m2E2,q2B4)
练习5、(2022·江苏省淮安市高三下第三次调研)如图甲所示,半径r=0.5 m的圆形匀强磁场区域与x轴相切于坐标系的原点O。磁感应强度B=2×10-3 T,方向垂直于纸面向外。在x=1 m和x=2 m 之间的区域内有方向沿y轴正方向的匀强电场,电场强度E=1.5×103 N/C。在x=3 m处的x轴上方有一与y轴平行且足够长的荧光屏,在O点有一个粒子源,能沿纸面各个方向发射质量m=1.6×10-28 kg,带电荷量q=1.6×10-19 C且速率相同的粒子,其中沿y轴正方向射入的粒子恰能从磁场最右侧的A点离开磁场,不计粒子的重力、空气的阻力及粒子间的相互作用力。
甲
(1)求这些粒子在磁场中运动的速度。
(2)求这些粒子打在荧光屏上的范围(用位置坐标表示)。
(3)若没有荧光屏,粒子射出电场后立即进入某种不导电的介质中运动,其所受介质阻力与速率成正比,比例系数k=1.6×10-21 N·s/m。求粒子在该介质中运动的轨迹长度(电荷量不变)。
【答案】(1)1×106 m/s (2)(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m) (3)1320 m
【解析】(1)由题意可知,粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5 m
设粒子在磁场中运动的速度为v,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R
解得v=1×106 m/s。
(2)如图乙所示,因为粒子做圆周运动的轨迹和磁场圆边界的交点O、C与两圆的圆心O1、O2连线组成的是菱形,所以CO2和y轴平行,则所有射出磁场的粒子速度方向都和x轴平行
乙
粒子从O点出发,沿x轴正方向以速度v垂直射入电场,在电场中的加速度大小a=qEm=1.5×1012 m/s2
粒子穿出电场用时t=Δxv=1×10-6 s
则vy=at=1.5×106 m/s,tan α=vyvx=atv=1.5
粒子在电场中的侧位移y1=12at2=0.75 m
飞出电场后粒子做匀速直线运动,y2=Δx'·tan α=1.5 m
故y=y1+y2=2.25 m,则粒子打在屏上的坐标为(3 m,2.25 m)
沿x轴负方向射出的粒子经磁场偏转后从坐标为(0,1 m)的点平行于x轴方向射向电场,直至打在屏上的侧位移大小也为y,故该粒子打在屏上的坐标为(3 m,3.25 m)
则带电粒子打在荧光屏上的区域为(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m)。
(3)粒子在电场中运动的某一瞬间,设粒子的速度为vt,应用牛顿第二定律有kvt=mat,即kvt=mΔvtΔt(Δvt在这里是速度大小的变化)
求和有kΣ(vtΔt)=mΣΔvt
根据动量定理有-kl=0-mvt
且vt=v2+vy2=132×106 m/s
解得l=mvtk=1320 m。
交变电磁场
1.解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
【典例6】（2022年河北省普通高中学业水平选择性考试）14. 两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
【答案】（1）；（2）；（3），
【解析】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向
解得粒子在时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
在时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上
在时间内粒子在水平方向运动的距离为
在时间内，在竖直方向
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
接收器位置为，根据距离的关系可知
解得
此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则
竖直方向需要满足
解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；
若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上
之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即
解得
接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中
粒子要在点被吸收，需要满足
代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。
【典例7】(2022·浙江省温州市高三二模)在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图10甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图像如图乙所示。x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向。在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q。不计重力。在t＝eq \f(τ,2)时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动。
(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0；
(2)求B0应满足的关系；
(3)在t0(0【答案】见解析
【解析】(1)eq \f(τ,2)～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动，电场力F＝qE0
加速度a＝eq \f(F,m)
速度v0＝at，且t＝eq \f(τ,2)
解得v0＝eq \f(qE0τ,2m)
(2)只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示。
设P在磁场中做圆周运动的周期为T。
则(n－eq \f(1,2))T＝τ(n＝1,2,3，…)，
匀速圆周运动qvB0＝meq \f(v2,r)，T＝eq \f(2πr,v)
解得B0＝eq \f(2n－1πm,qτ)(n＝1,2,3，…)，
(3)在t0时刻释放，P在电场中加速度时间为τ t0
在磁场中做匀速圆周运动
v1＝eq \f(qE0τ－t0,m)
圆周运动的半径r1＝eq \f(mv1,qB0)
解得r1＝eq \f(E0τ－t0,B0)
又经(τ－t0)时间P减速为零后向右加速时间为t0
P再进入磁场v2＝eq \f(qE0t0,m)
圆周运动的半径r2＝eq \f(mv2,qB0)
解得r2＝eq \f(E0t0,B0)
综上分析，速度为零时横坐标x＝0
相应的纵坐标为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2[kr1－k－1r2]，,2kr1－r2))(k＝1,2,3，…)。
解得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2E0[kτ－2t0＋t0],B0),\f(2kE0τ－2t0,B0) k＝1，2，3 ...))。
练习6、(2022·山东省日照市高三下二模)如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、d、v0为已知量。
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB，求B0；
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。
【答案】 (1)eq \f(mv0,qd) (2)eq \f(3v\\al(2,0),d) (3)eq \f(πd,3v0)或(eq \f(π,2)＋arcsineq \f(1,4))eq \f(d,2v0)
【解析】
甲
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图甲，半径R1＝d
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图乙，半径R2＝eq \f(d,3)
乙
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，则半径为多大？试画出粒子在一个周期内的运动轨迹，并说明在哪些位置可能击中B板。
提示：如图丙，由R＝eq \f(mv0,qB0)得R＝eq \f(1,4)d
在A、B两点可能击中B板
(1)设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R1)①
据题意由几何关系得
R1＝d②
联立①②式得
B0＝eq \f(mv0,qd)③
(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得
a＝eq \f(v\\al(0, 2),R2)④
据题意由几何关系得
3R2＝d⑤
联立④⑤式得
a＝eq \f(3v\\al(0, 2),d)⑥
(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝eq \f(2πR,v0)⑦
由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R)⑧
由题意知B0＝eq \f(4mv0,qd)，代入⑧式得d＝4R⑨
粒子运动轨迹如图所示，
O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置粒子才有可能垂直击中P板，且均要求0＜θ＜eq \f(π,2)，由题意可知
eq \f(\f(π,2)＋θ,2π)T＝eq \f(TB,2)⑩
设经历完整TB的个数为n(n＝0,1,2,3…)若在A点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑪
当n＝0时，无解⑫
当n＝1时，联立⑨⑪式得
θ＝eq \f(π,6)(或sin θ＝eq \f(1,2))⑬
联立⑦⑨⑩⑬式得
TB＝eq \f(πd,3v0)⑭
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑮
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑯
当n＝0时，无解⑰
当n＝1时，联立⑨⑯式得
θ＝arcsin eq \f(1,4)(或sin θ＝eq \f(1,4))⑱
联立⑦⑨⑩⑱式得
TB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋arcsin \f(1,4)))eq \f(d,2v0)⑲
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑳
【巧学妙记】
在处理带电粒子在交变场中运动时，一般是按照粒子的运动顺序依次分析粒子在不同场中的运动形式，对于电场和磁场交替出现的交变场，其中有几点要特别引起注意：①粒子在磁场中运动时一定要分析粒子做圆周运动的周期与磁场变化周期关系，才能得到粒子的偏转和运动轨迹；②粒子在电场中运动时速度大小有可能会发生变化，再次变化为磁场时一定要注意速度大小的变化引起的半径变化，切忌再轻易套用上一段磁场中的半径
1. (多选)(2022·湖北省武汉市部分学校高三上质量检测)如图所示，虚线MN将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP与弧Pb的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是( )
A．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1
B．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1
C．粒子通过aP、Pb两段弧的时间之比为2∶1
D．弧aP与弧Pb对应的圆心角之比为2∶1
【答案】BC
【解析】粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个磁场的磁感应强度方向相反，根据题中信息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，选项A错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，选项B正确；已知粒子通过aP、Pb两段弧的速度大小不变，而路程之比为2∶1，可求出运动时间之比为2∶1，选项C正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期T＝eq \f(2πm,Bq)也不等，粒子通过弧aP与弧Pb的运动时间之比并不等于弧aP与弧Pb对应的圆心角之比，选项D错误。答案
2. (2022·杭州一中模拟)如图所示，两导体板水平放置，两板间的电势差为U，带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化而变化情况为( )
A．d随v0的增大而增大，d与U无关
B．d随v0的增大而增大，d随U的增大而增大
C．d随U的增大而增大，d与v0无关
D．d随v0的增大而增大，d随U的增大而减小
【答案】 A
【解析】 带电粒子射出电场时速度的偏转角为θ，运动轨迹如图所示，有：cs θ＝eq \f(v0,v)，又R＝eq \f(mv,Bq)，而d＝2Rcs θ＝2eq \f(mv,Bq)cs θ＝eq \f(2mv0,Bq)，选项A正确．
3. (2022·广东省深圳市高三3月第一次调研)如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为( )
A.eq \f(7πd,2v0) B.eq \f(d,v0)(2＋5π)
C.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3π,2))) D.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(7π,2)))
【答案】 D
【解析】带电粒子的运动轨迹如图所示。
由题意知，带电粒子到达y轴时的速度v＝eq \r(2)v0，这一过程的时间t1＝eq \f(d,\f(v0,2))＝eq \f(2d,v0)。
又由题意知，带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝2eq \r(2)d。
故知带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间为：
t2＝eq \f(3πm,4Bq)＝eq \f(3\r(2)πd,2v)＝eq \f(3πd,2v0)
带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间为：t3＝eq \f(2πd,v0)
故t总＝eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(7π,2)))。
4. (2022·河北省唐山市高三下3月第一次模拟考试)如图甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U构成偏转电场，一束比荷eq \f(q,m)＝106 C/kg的带正电的粒子流(重力和粒子间的相互作用不计)，以速度v0＝104 m/s沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形磁场区域，O为圆心，区域直径AB长度为L＝1 m，AB与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5 T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O点与水平方向成45°角斜向下射入磁场．
(1)两金属极板间的电压U是多大？
(2)若T0＝0.5 s，求t＝0时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置；
(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子在电场中做类平抛运动，从O点射出时速度v＝eq \r(2)v0
由动能定理可得qeq \f(U,2)＝eq \f(1,2)m(eq \r(2)v0)2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
代入数据解得U＝100 V
(2)粒子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πm,B0q)
则eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB0)＝2π×10－6 sr＝eq \f(mv,qB0)＝0.02eq \r(2) m
粒子在磁场中经过半周从OB间穿出，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝2π×10－6 s
射出点在OB间离O点2r＝0.04eq \r(2) m
(3)粒子运动周期T＝4π×10－6 s，粒子在t＝0，t＝eq \f(T0,2)，…时刻射入时，粒子最可能从AB间射出，恰好不从AB射出时，如图，由几何关系可得临界角θ＝eq \f(5π,6)
要不从AB边界射出，应满足eq \f(T0,2)得T05.(2022山东省济南市高三下模拟考试) 如图所示的平面直角坐标系xOy中，P点在x轴上，已知OP＝eq \f(2\r(3),3)L，Q点在负y轴上某处．第Ⅱ象限内有平行于y轴电场强度E大小未知的匀强电场；第Ⅰ象限内有一个磁感应强度B大小未知的圆形磁场区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，已知OA＝L；第Ⅲ象限内有一位置未知的矩形磁场区域(图中未画出)，磁感应强度为2B；第Ⅳ象限内存在一个磁感应强度Bx未知的圆形磁场区域(图中未画出)；三个区域的磁场方向均垂直于xOy平面．电荷量为＋q、质量为m、速度大小为v0的粒子a从A点沿y轴正方向射入，经过C点和P点，通过矩形磁场后从Q点与y轴负方向成60°进入第Ⅳ象限，并通过圆形磁场后重新回到A点且方向沿y轴正方向．不计粒子的重力和粒子间相互作用力．求：
(1)第Ⅰ象限内圆形区域内磁场磁感应强度B的大小、方向；
(2)第Ⅱ象限内匀强电场的电场强度大小E；
(3)第Ⅲ象限内矩形磁场区域的最小面积S；
(4)第Ⅳ象限内圆形磁场的磁感应强度Bx的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)设粒子a在第Ⅰ象限圆形匀强磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系得R＝L
根据牛顿第二定律则有qv0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),L)
解得磁场磁感应强度的大小B＝eq \f(mv0,qL)，方向垂直纸面向里
(2)粒子a在第Ⅱ象限内匀强电场中做类平抛运动，
则有L＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qE,2m)t2
eq \f(2\r(3)L,3)＝v0t
解得E＝eq \f(3mveq \\al(2,0),2qL)
(3)设粒子a在P点速度为v，与x轴夹角为θ，y轴方向的速度大小是vy，则有：
vy＝at＝eq \r(3)v0，v＝2v0, θ＝60°
粒子运动轨迹如图所示，设矩形区域内做匀速圆周运动的圆心为O1，半径为R1，矩形区域的最小区域是efgh，对应的长为L1，宽为L2，则有R1＝eq \f(m·2v0,q·2B)＝L
L1＝eq \r(2)R1＝eq \r(2)L
L2＝R1－eq \f(\r(2),2)R1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))L
最小面积S＝L1L2，解得S＝(eq \r(2)－1)L2
(4)同理，在第四象限运动轨迹如图所示，由几何关系得，能恰好返回A点的最大圆轨道半径R2＝eq \f(2,3)L
R2＝eq \f(m·2v0,qBmin)，解得Bmin＝3B，即Bx>eq \f(3mv0,qL)
6. (2022·山东日照市高三模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，间距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．
(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝eq \f(2mv0,qd)，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．
【答案】 (1)eq \r(\f(4md2,nqU0))(n＝1,2,3……) (2)x＝eq \f(\r(3)－1,2)d
【解析】(1)设经时间t粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为a，则a＝eq \f(qU0,md)
半个周期内，粒子向上运动的距离为
y＝eq \f(1,2)a(eq \f(T,2))2
d＝2ny
t＝nT
联立得T＝eq \r(\f(4md2,nqU0))(n＝1,2,3……)
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有qv0B0＝meq \f(v02,r)
解得r＝eq \f(1,2)d
要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半个周期内，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示，由几何关系得
r＋2rsin θ＝d
解得sin θ＝0.5
则粒子打到Q板的位置距出发点的水平距离为
x＝r－2r(1－cs θ)＝eq \f(\r(3)－1,2)d.
1.(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，在x轴下方的第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xOy平面方向的匀强磁场，磁感应强度B1＝2B2＝2B，带电粒子a、b分别从x轴上的P、Q两点(图中没有标出)以垂直于x轴方向的速度同时进入匀强磁场B1、B2中，两粒子恰在第一次通过y轴时发生正碰，碰撞前带电粒子a的速度方向与y轴正方向成60°角，若两带电粒子的比荷分别为k1、k2，进入磁场时的速度大小分别为v1、v2，不计粒子重力和两粒子间相互作用，则下列关系正确的是( )
A．k1＝2k2 B．2k1＝k2 C．v1＝2v2 D．2v1＝v2
【答案】C
【解析】
两粒子在y轴上发生正碰时粒子a的速度与y轴正方向成60°角，则粒子b速度与y轴负方向成60°角，轨迹对应的圆心角分别为120°和60°，如图所示。两粒子同时进入磁场并相撞，则运动时间相等，即t1＝t2，而t1＝eq \f(T1,3)＝eq \f(2πm1,3q1B1)，t2＝eq \f(T2,6)＝eq \f(πm2,3q2B2)，将B1＝2B2＝2B代入得k1＝k2，A、B均错；由于两粒子正碰则轨道半径相等，而R1＝eq \f(m1v1,q1B1)，R2＝eq \f(m2v2,q2B2)，解得v1＝2v2，C正确
2.(2022·山东省菏泽市高三下二模)如图所示，平行板电容器所带电荷量为Q，一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子(重力忽略不计)，从A点出发经电场加速后，垂直于磁感应强度方向进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，粒子打到P点，如果适当调整板间距离d，保持其他条件不变，用x表示OP间的距离，则能正确反映x与d之间关系的是( )
A．x与d成反比 B．x与eq \r(d)成反比
C．x与d2成正比D.x与eq \r(d)成正比
【答案】 D
【解析】 带电粒子通过平行板电容器的过程，qU＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(\f(2qU,m))，进入匀强磁场后做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，有qvB＝meq \f(v2,r)，故有r＝eq \f(mv,qB)，则x＝2r＝eq \f(2,B)eq \r(\f(2mU,q))，当调整板间距离d时，由C＝eq \f(εrS,4πkd)，U＝eq \f(Q,C)＝eq \f(4πkdQ,εrS)，因为电容器所带电荷量保持不变，故可得x∝eq \r(d)，选项D正确．
3. (多选)(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，两个重心重合的正三角形容器内分别存在着垂直于纸面向里和垂直于纸面向外的匀强磁场，已知内部三角形容器ABC边长为2a，内部磁感应强度大小为B，且每条边的中点开有一个小孔。有一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从AB边中点D垂直AB进入内部磁场。如果要使粒子恰好不经过碰撞在磁场中运动一段时间后又能从D点射入，下列说法正确的是( )
A．容器ABC与A′B′C′之间的磁感应强度大小也为B
B．容器A′B′C′的边长为2eq \r(3)a
C．粒子的速度大小为eq \f(Bqa,m)
D．粒子再次回到D点的最短时间为eq \f(7πm,3Bq)
【答案】ACD
【解析】根据题意可画出如图所示粒子运动的轨迹图，要想使粒子恰好不经过碰撞在磁场中运动一段时间后又能从D点射入，容器ABC与A′B′C′之间的磁感应强度大小也为B，选项A正确；利用几何知识可知容器A′B′C′的边长为2a＋2eq \r(3)a，选项B错误；因轨道半径R＝a＝eq \f(mv,Bq)，所以v＝eq \f(Bqa,m)，选项C正确；粒子再次回到D点的最短时间为t＝eq \f(420°,360°)×eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(7πm,3Bq)，选项D正确。
4. (多选)(2022·北京市朝阳区校际联考) 某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图16甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a―→b―→c―→d―→e―→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)( )
A.若粒子的初始位置在a处，在t＝eq \f(3,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B.若粒子的初始位置在f处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在e处，在t＝eq \f(11,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D.若粒子的初始位置在b处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
【答案】AD
【解析】要使粒子的运动轨迹如题图所示，由左手定则知粒子做圆周运动的周期应为T0＝eq \f(T,2)，若粒子的初始位置在a处时，对应时刻应为t＝eq \f(3,4)T0＝eq \f(3,8)T，选项A正确；同理可判断选项D正确。
5. (2022·安徽省合肥市高三上开学考试)如图甲所示，比荷eq \f(q,m)＝k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB＝eq \r(3)L，宽AD＝L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。
(1)若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？
(2)要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？
【答案】(1)eq \f(nv0,kL) eq \f(2πL,3nv0)(n＝1、2、3…) (2)B0T0≤eq \f(5π,3k)
【解析】(1)带电粒子在长方形区域内做匀速圆周运动，设粒子运动轨迹半径为R，周期为T，则可得R＝eq \f(mv0,qB0)＝eq \f(v0,kB0)，T＝eq \f(2πm,qB0)＝eq \f(2π,kB0)
每
经过一个磁场的变化周期，粒子的末速度方向和初速度方向相同，如图所示，要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则经历的时间必须是磁场周期的整数倍，有：
AB方向：eq \r(3)L＝n×2Rsin θ
DC方向：L＝n×2R(1－cs θ)
解得cs θ＝1(舍去)，cs θ＝eq \f(1,2)
所以θ＝60°，R＝eq \f(L,n)
即B0＝eq \f(nv0,kL)，T0＝eq \f(T,3)＝eq \f(2πL,3nv0)(n＝1、2、3…)。
(2)
当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过AD边时运动情形如图所示，由图可知粒子在第一个eq \f(1,2)T0时间内转过的圆心角θ＝eq \f(5π,6)
则T0≤eq \f(5,6)T，即T0≤eq \f(5,6)·eq \f(2πm,qB0)≤eq \f(5π,3kB0)
所以B0T0≤eq \f(5π,3k)。
6. (2022·江苏省南京市高三下第三次调研)某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图8310甲中由B到C的方向)，电场变化如图乙中Et图像，磁感应强度变化如图丙中Bt图像。在A点，从t＝1 s(即1 s末)开始，每隔2 s，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB方向(垂直于BC)以速度v射出，恰能击中C点，若Aeq \x\t(C)＝2Beq \x\t(C)且粒子在AB间运动的时间小于1 s，求：
(1)图线上E0和B0的比值，磁感应强度B的方向；
(2)若第1个粒子击中C点的时刻已知为(1＋Δt) s，那么第2个粒子击中C点的时刻是多少？
【答案】(1)eq \f(E0,B0)＝eq \f(4,3)v，磁场方向垂直纸面向外
(2)第2个粒子击中C点的时刻为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3\r(3),2π)Δt))
【解析】设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R。在第2秒内只有磁场。轨道如图所示。
(1)因为Aeq \x\t(C)＝2Beq \x\t(C)＝2d 所以R＝2d。
第2秒内，仅有磁场：
qvB0＝meq \f(v2,R)＝meq \f(v2,2d)。
第3秒内，仅有电场：d＝eq \f(1,2)·eq \f(qE0,m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)d,v)))2。
所以eq \f(E0,B0)＝eq \f(4,3)v。粒子带正电，故磁场方向垂直纸面向外。
(2)Δt＝eq \f(T,6)＝eq \f(1,6)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(π,3)·eq \f(m,qB)＝eq \f(π,3)·eq \f(2d,v)，Δt′＝eq \f(\r(3)d,v)＝eq \f(3\r(3),2π)Δt。故第2个粒子击中C点的时刻为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3\r(3),2π)Δt)) s。
7. (2022·江苏南通市5月第二次模拟)如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1 000 V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8 kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5 C的粒子，从y轴上(0，0.04 m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。
(1)若v0＝200 m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；
(2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；
(3)若粒子恰能经过x轴上x＝100 m的点，求粒子入射的初速度v0。
【答案】(1)200eq \r(2) m/s 方向与x轴成45°角 (2)0.2 m(3)见解析
【解析】 (1)设粒子第一次在电场中的运动时间为t，根据牛顿第二定律得qE＝ma
粒子做类平抛运动，在竖直方向y＝eq \f(1,2)at2
vy＝at
末速度为v2＝veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y)
tan α＝eq \f(vy,v0)
解得v＝200eq \r(2) m/s
方向与x轴成45°角。
(2)初速度为0的粒子最容易穿过磁场，qvyB＝meq \f(veq \\al(2,y),r)得
r＝0.2 m
要使所有带电粒子都返回电场，磁场的最小宽度
d＝0.2 m。
(3)对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变，x1＝2rsin α＝2eq \f(mvsin α,qB)＝2eq \f(mvy,qB)＝0.4 m
设粒子第n次过x轴经过x＝100 m处，
满足eq \f(n－1,2)x1＋nv0t＝x
其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)，
则初速度v0＝eq \f(104×（50.1－0.1n）,2n) m/s，
其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)
或满足eq \f(n,2)x1＋(n－1)v0t＝x，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)，则初速度v0＝eq \f(104×（50－0.1n）,2（n－1）) m/s，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)。
8.(八省联考·辽宁·15)如图所示，在第一、四象限的0.5d≤y≤1.5d和－1.5d≤y≤－0.5d区域内存在磁感应强度大小可调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场.带电粒子以速度v0从点P(－4d,1.5d)沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场.已知带电粒子的质量为m、电荷量为q(q＞0)，不计粒子的重力.
(1)求匀强电场的电场强度大小E；
(2)若磁感应强度大小均为B1时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线y＝－1.5d相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点(图中未画出)，求B1；
(3)若磁感应强度大小均为B2时，粒子离开O点后，经n(n＞1)次磁偏转仍过第(2)问中的S点.求B2与B1的比值，并确定n的所有可能值.
【答案】(1)eq \f(3mv\\al(02),16qd) (2)eq \f(mv0,4qd) (3)eq \f(9n,11－2n)(n＝2,3,4,5)
【解析】(1)由牛顿第二定律得qE＝ma，
a＝eq \f(qE,m)①
粒子在匀强电场中做类平抛运动
水平方向：4d＝v0t②
竖直方向：1.5d＝eq \f(1,2)at2③
联立①②③式可得：E＝eq \f(3mv\\al(02),16qd).
(2)带电粒子在电场中：vy＝at④
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑤
v2＝v02＋v y2⑥
联立解得θ＝37°，v＝eq \f(5,4)v0
带电粒子在磁场中：qvB1＝meq \f(v2,R)⑦
由几何关系得R＝Rcs θ＋d⑧
解得R＝5d
联立解得B1＝eq \f(mv0,4qd)⑨
(3)第(2)问中，设S点横坐标为x
则x＝2Rsin θ＋2×eq \f(0.5d,tan θ)＝eq \f(22,3)d⑩
若磁感应强度大小均为B2时，仍过S点，则有：
x＝n(eq \f(4d,3)＋2R′sin θ)(n＝2,3,4,5)⑪
联立⑩⑪解得R′＝eq \f(522－4n,18n)d⑫
由qvB2＝meq \f(v2,R′)⑬
联立⑫⑬解得B2＝eq \f(9nmv0,222－4nqd)(n＝2,3,4,5)⑭
联立⑨⑭解得eq \f(B2,B1)＝eq \f(9n,11－2n)(n＝2,3,4,5)
9.(2022·湖南省永州市高三下第一次适应性测试) 现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图8312所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，求出sin θn；
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。
【答案】(1)2 eq \r(\f(qEd,m)) eq \f(2,B) eq \r(\f(mEd,q)) (2)B eq \r(\f(nqd,2mE))(3)见解析
【解析】 (1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功。由动能定理，有
2qEd＝eq \f(1,2)mv22①
由①式解得v2＝2 eq \r(\f(qEd,m))②
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有
qv2B＝meq \f(v22,r2)③
由②③式解得r2＝eq \f(2,B) eq \r(\f(mEd,q))④
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数，下同)。
nqEd＝eq \f(1,2)mvn2⑤
qvnB＝meq \f(vn2,rn)⑥
粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有
vn－1sin θn－1＝vnsin αn⑦
由图甲看出rnsin θn－rnsin αn＝d⑧
由⑥⑦⑧式得
rnsin θn－rn－1sin θn－1＝d⑨
由⑨式看出r1sin θ1，r2sin θ2，…，rnsin θn为一等差数列，公差为d，可得
rnsin θn＝r1sin θ1＋(n－1)d⑩
当n＝1时，由图乙看出r1sin θ1＝d
由⑤⑥⑩⑪式得
sin θn＝B eq \r(\f(nqd,2mE))⑫
甲
乙
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则
θn＝eq \f(π,2)⑬
sin θn＝1⑭
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为eq \f(q′,m′)，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时的速度方向与水平方向的夹角为θn′，由于
eq \f(q′,m′)＞eq \f(q,m)⑮
则导致sin θn′＞1⑯
说明θn′不存在，即原假设不成立。所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。
10. (2022·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的eq \r(3)倍．
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值．
【答案】(1)eq \f(2\r(3)v0,3) (2)eq \f(2\r(3)mv0,3qB1) (3)1.5B1
【解析】(1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝eq \f(LBC,LAB)＝eq \f(\r(3),3)，则θ＝30°
根据速度关系有：v＝eq \f(v0,cs θ)＝eq \f(2\r(3)v0,3)；
(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得：qvB1＝meq \f(v2,r1)，轨迹如图甲所示：
由几何关系得：L＝r1
解得：L＝eq \f(2\r(3)mv0,3qB1)；
(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示：
可得：qvB2m＝meq \f(v2,r2)
根据几何关系有：L＝r2(1＋sin θ)
解得：B2m＝1.5B1.
11.(2022·江西高三月考)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy中，第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E.第一象限中有沿y轴正方向的匀强电场(电场强度大小未知)且某未知矩形区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场(磁感应强度大小也为B)．一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成θ＝45°角斜向上做匀速直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即在矩形磁场区域内做匀速圆周运动，离开矩形磁场区域后垂直打在y轴上的P点(图中未标出)，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g(取sin 22.5°＝0.4，cs 22.5°＝0.9)．求：
(1)小球所带电荷量与质量的比值和第一象限内匀强电场的场强大小；
(2)矩形匀强磁场区域面积S的最小值；
(3)小球从M点运动到P点所用的时间．
【答案】(1)eq \f(g,E) E (2)eq \f(2.16E4,g2B4) (3)eq \f(BL,E)(1＋eq \f(\r(2),2))＋eq \f(E,gB)(eq \f(3,4)π－eq \f(\r(2),2))
【解析】(1)设小球质量为m，电荷量为q，速度为v，小球在MN段受力如图
因为在MN段做匀速直线运动，所以小球受力平衡，由平衡条件得
mgtan 45°＝qE
qvBsin 45°＝qE
解得eq \f(q,m)＝eq \f(g,E)
要使小球进入第一象限后能立即在矩形磁场区城内做匀速圆周运动，则小球受的重力必须与静电力平衡，mg＝qE1
联立解得E1＝E
(2)由(1)可知qvB＝eq \r(2)qE
即v＝eq \f(\r(2)E,B)
由qvB＝meq \f(v2,R)
可知R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(\r(2)E2,gB2)
由图可知矩形的最小面积S＝2Rcs 22.5°×(R－Rsin 22.5°)＝eq \f(2.16E4,g2B4)
(3)在第四象限运动的时间
t1＝eq \f(\r(2)L,v)
在第一象限矩形磁场区域运动的时间
t2＝eq \f(\f(3πR,4),v)
在第一象限做匀速直线运动的时间
t3＝eq \f(L－\f(\r(2),2)R,v)
联立解得小球从M到P的总时间
t＝t1＋t2＋t3＝eq \f(BL,E)(1＋eq \f(\r(2),2))＋eq \f(E,gB)(eq \f(3,4)π－eq \f(\r(2),2))．
1.（2021年河北省普通高中学业水平选择性考试14）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（，H、S两点末在图中标出）。对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
【解析】（1）从O点射出的粒子经电场一次加速，由动能定理
带电粒子正好打在P点处的粒子靶上，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r=L0/2.
洛伦兹力提供向心力，qvB=m
联立解得：U0=。
（2）当电压为最小值时，粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，则
从O点射出的粒子在板间被加速，由动能定理，
粒子在负极板上方的磁场中做匀速圆周运动，
粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则
由几何关系，
联立解得：v=4v0/3，
（3）设粒子第一次经过电场加速，在负极板上方磁场区域偏转的轨迹半径为r0，若粒子在电场中加速电压小于Umin，粒子穿过正极板下方磁场运动时，会被OM板吸收。则第一次出现能吸收两种能量的位置（即H点），为粒子通过极板电压时，粒子第二次从上方打到负极板位置（轨迹如图中蓝色线条所示）。由（2）的计算可知，r1=
则 CH=4r-2r’=
极板电压大于 时，粒子均不会被OM吸收，可以经过正极板下方磁场偏转，回到负极板上方磁场中，偏转后打在负极板上。则H点右方的点的粒子靶都可以接受到n（n≥2）种能量的粒子，即CS→∞。
2、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试）13.（13分）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
【解析】本题考查洛伦兹力和牛顿运动定律及其相关知识点，主要考查灵活运用知识能力.
(1)最上面的粒子绕磁场边界到达O点，即轨迹半径为r1，由qvB1=m，解得B1=
（2）最上面的粒子绕磁场边界到达O点，方向沿着x轴负方向，则需要继续逆时针绕半圈到达矩形边界的最低点，即轨迹半径为r2，由qvB2=m，解得B2=，由左手定则可判断出磁场方向为垂直纸面向里，磁场区域面积为S=πr22.
（3）图b中最下方的粒子绕1/4圆周运动到O，即qvBIII=m，解得BIII=
接着绕1/4圆周运动从第I象限右上角射出磁场，即qvBI=m，解得BI=
在第II象限和第IV象限中磁场区域最小面积为月牙形，即SII=（π/2-1）r32，SIV=（π/2-1）r42。
3、(2021·广东卷·14)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为eq \r(3)R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4.
(1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值．
【答案】 (1)eq \f(5\r(eUm),eR) eq \f(πR\r(meU),4eU) 8eU (2)eq \f(13,6)
【解析】 (1)电子在电场中加速有2eU＝eq \f(1,2)mv2
在Ⅰ区磁场中，由几何关系可得r＝Rtan 22.5°＝0.4R
根据洛伦兹力提供向心力有B1ev＝meq \f(v2,r)
联立解得B1＝eq \f(5\r(eUm),eR)
电子在Ⅰ区磁场中的运动周期为T＝eq \f(2πr,v)
由几何关系可得，电子在Ⅰ区磁场中运动的圆心角为
φ＝eq \f(5,4)π
电子在Ⅰ区磁场中的运动时间为t＝eq \f(φ,2π)T
联立解得t＝eq \f(πR\r(meU),4eU)
电子从P到Q在电场中共加速8次，故在Q点出射时的动能为Ek＝8eU
(2)设电子在Ⅰ区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为rm，此时圆周的轨迹与Ⅰ区磁场边界相切，
由几何关系可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)R－rm))2＝R2＋rm2
解得rm＝eq \f(\r(3),3)R
根据洛伦兹力提供向心力有B1evm＝meq \f(vm2,rm)
2eU＝eq \f(1,2)mvm2－keU
联立解得k＝eq \f(13,6).
4、(2019·全国卷Ⅰ·24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
【答案】 (1)eq \f(4U,B2d2) (2)eq \f(Bd2,4U)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3)))
【解析】(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,r)②
由几何关系知d＝eq \r(2)r③
联立①②③式得eq \f(q,m)＝eq \f(4U,B2d2)④
(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝eq \f(πr,2)＋rtan 30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝eq \f(s,v)⑥
联立②④⑤⑥式得t＝eq \f(Bd2,4U)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3))).⑦
5.(2018·全国卷Ⅰ)如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核eq \\al(1,1)H和一个氘核eq \\al(2,1)H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知eq \\al(1,1)H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.eq \\al(1,1)H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求：
(1)eq \\al(1,1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)eq \\al(2,1)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．
【答案】见解析
【解析】(1)eq \\al(1,1)H在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．设eq \\al(1,1)H在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1，它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1，由运动学公式有s1＝v1t1 ①
h＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1) ②
由题给条件，eq \\al(1,1)H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ1＝60°
eq \\al(1,1)H进入磁场时速度沿y轴方向的分量的大小为
a1t1＝v1tan θ1 ③
联立以上各式得
s1＝eq \f(2\r(3),3)h ④
(2)eq \\al(1,1)H在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE＝ma1 ⑤
设eq \\al(1,1)H进入磁场时速度的大小为v1′，由速度合成法则有
v1′＝eq \r(veq \\al(2,1)＋（a1t1）2) ⑥
设磁感应强度大小为B，eq \\al(1,1)H在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qv1′B＝eq \f(mv1′2,R1) ⑦
由几何关系得
s1＝2R1sin θ1 ⑧
联立以上各式得
B＝eq \r(\f(6mE,qh)) ⑨
(3)设eq \\al(2,1)H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得
eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1) ⑩
由牛顿第二定律有qE＝2ma2 eq \(○,\s\up1(11))
设eq \\al(2,1)H第一次射入磁场时的速度大小为v2′，速度的方向与x轴正方向夹角为θ2，入射点到原点的距离为s2，在电场中运动的时间为t2.
由运动学公式有
s2＝v2t2 eq \(○,\s\up1(12))
h＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2) eq \(○,\s\up1(13))
v2′＝eq \r(veq \\al(2,2)＋（a2t2）2) eq \(○,\s\up1(14))
sin θ2＝eq \f(a2t2,v2′) eq \(○,\s\up1(15))
联立以上各式得s2＝s1，θ2＝θ1，v2′＝eq \f(\r(2),2)v1′ eq \(○,\s\up1(16))
设eq \\al(2,1)H在磁场中做圆周运动的半径为R2，由⑦eq \(○,\s\up1(16))式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
R2＝eq \f(2mv2′,qB)＝eq \r(2)R1 eq \(○,\s\up1(17))
所以出射点在原点左侧．设eq \\al(2,1)H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s2′，由几何关系有
s2′＝2R2sin θ2 eq \(○,\s\up1(18))
联立④⑧eq \(○,\s\up1(16))eq \(○,\s\up1(17))eq \(○,\s\up1(18))式得，eq \\al(2,1)H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为s2′－s2＝eq \f(2\r(3),3)(eq \r(2)－1)h.新课程标准
1.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2．能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
命题趋势
考查的内容主要体现在对科学思维、运动与相互作用观念等物理学科的核心素养的要求。考查频率高，题目综合性强，会综合牛顿运动定律和运动学规律，注重与电场、磁场的渗透，注重生产、生活、当今热点、现代科技的联系。
试题情境
生活实践类
生活和科技等
学习探究类
带电粒子在磁场、组合场、叠加场中的运动
关键点
获取信息
①沿y轴正方向的匀强电场
②自y轴P点沿x轴正方向射入
带电粒子在第四象限内做类平抛运动
在第一、三象限内存在相同的匀强磁场
在第一、三象限内带电粒子做半径相同的匀速圆周运动
以垂直y轴的方向进入第二象限
在第一象限内做圆周运动的圆心在y轴上
改变磁感应强度值，经过一段时间后粒子再次经过Q点，且速度与第一次相同
带电粒子在第一、三象限内运动的轨迹均为半圆
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
考向一反复进磁场
考向二 先电场后磁场
考向三 先磁场后电场
考向四 交变电磁场
考向一反复进磁场
【典例1】（2022年山东省普通高中学业水平等级性考试17. ）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
【答案】（1）；（2）；（3）（，，）；（4）
【解析】（1）如图所示
将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有
联立解得
（2）如图所示
离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得
离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得
可得
为了使离子在磁场中运动，需满足，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为
离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过平面的坐标为
离子第四次穿过平面的坐标为
故离子第四次穿过平面的位置坐标为（，，）
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲在磁场I中的轨迹半径为
离子甲在磁场II中的轨迹半径为
离子乙在磁场I中的轨迹半径为
离子乙在磁场II中的轨迹半径为
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示
从点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
【典例2】(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图1所示.甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点.已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响.求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷eq \f(q′,m′)可能的最小值.
【答案】(1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0) (3)eq \f(2q,m)
【解析】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)，
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2
解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0)
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有neq \f(m′v,3q′B0)＝d，neq \f(5πm′,6q′B0)＝t1＋t2
解得eq \f(q′,m′)＝neq \f(q,m)
根据题意，n＝1舍去.
当n＝2时，eq \f(q′,m′)有最小值，(eq \f(q′,m′))min＝eq \f(2q,m)
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇.
综上分析，乙的比荷的最小值为eq \f(2q,m).
练习1、(2022·北京市西城区高三下统一测试)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。
(1)求电场强度的大小和方向。
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。
【答案】见解析
【解析】(1)设电场强度大小为E
由题意有mg＝qE
得E＝eq \f(mg,q)，方向竖直向上(2)如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ。
由r＝eq \f(mv,qB)，有r1＝eq \f(mvmin,qB)，r2＝eq \f(1,2)r1
由(r1＋r2)sin φ＝r2
r1＋r1cs φ＝h
vmin＝(9－6eq \r(2))eq \f(qBh,m)。
(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x。
由题意有3nx＝1.8 h(n＝1,2,3，…)
eq \f(3,2)x≥eq \f(9－6\r(2)h,2)
x＝eq \r(r\\al(2,1)－h－r12)得r1＝(1＋eq \f(0.36,n2))eq \f(h,2)，n＜3.5
即n＝1时，v＝eq \f(0.68qBh,m)；n＝2时，v＝eq \f(0.545qBh,m)；n＝3时，
v＝eq \f(0.52qBh,m)。
练习2、(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d。不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0。
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【答案】(1)2 eq \r(\f(qEd,m)) 方向与水平方向成45°角斜向上 (2) eq \r(\f(mE,2qd)) (3)(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))
【解析】第一步：抓关键点
第二步：找突破口
(1)要求过Q点的速度，可以结合平抛运动的知识列方程求解。
(2)要求以垂直y轴的方向进入第二象限时的磁感应强度B0值，可以先画出带电粒子在第一象限的运动轨迹，后结合匀速圆周运动的知识求解。
(3)要求经过一段时间后仍以相同的速度过Q点情况下经历的时间，必须先综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，后结合有关知识列方程求解。
(1)设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿第二定律得
qE＝ma①
由运动学公式得
d＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))⑤
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v＝2 eq \r(\f(qEd,m))⑦
θ＝45°⑧
甲
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图甲所示，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ为等腰直角三角形，得
R1＝2eq \r(2)d⑨
由牛顿第二定律得
qvB0＝meq \f(v2,R1)⑩
联立⑦⑨⑩式得B0＝ eq \r(\f(mE,2qd))⑪
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析[粒子运动的轨迹如图乙所示，O2、O2′是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O2′，由几何关系知，O2FGO2′和O2QHO2′均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF为等腰直角三角形。]可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得
乙
2R2＝2eq \r(2)d⑫
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2⑬
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有
t＝eq \f(FG＋HQ＋2πR2,v)⑭
联立⑦⑫⑬⑭式得
t＝(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))⑮
考向二 先电场后磁场
先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
【典例3】(2020·全国卷Ⅱ)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则( )
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】D
【解析】电子在电场中加速运动，电场力的方向和运动方向相同，而电子所受电场力的方向与电场的方向相反，所以M处的电势低于N处的电势，A错误；增大M、N之间的电压，根据动能定理可知，电子进入磁场时的初速度变大，根据r＝eq \f(mv,eB)知其在磁场中的轨迹半径增大，P点将右移，B错误；根据左手定则可知，磁场的方向应该垂直于纸面向里，C错误；结合B分析，可知增大磁场的磁感应强度，轨迹半径将减小，P点将左移，D正确。
【典例4】(2021·全国甲卷)如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
(1)求粒子发射位置到P点的距离；
(2)求磁感应强度大小的取值范围；
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【答案】(1)eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE) (2)eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql) (3)eq \f(39－10\r(3),44)l
【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
x＝v0t①
y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qEt2,2m)②
已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有tan30°＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(at,v0)＝eq \f(qEt,mv0)③
粒子发射位置到P点的距离s＝ eq \r(x2＋y2)④
由①②③④式解得s＝eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE)。
(2)带电粒子在磁场中运动的速度大小
v＝eq \f(v0,cs30°)＝eq \f(2\r(3)v0,3)⑤
带电粒子在磁场中做圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律可知qvB＝eq \f(mv2,r)⑥
带电粒子在磁场中运动的两个临界轨迹(分别从Q、N点射出)如图甲所示
由几何关系可知，最小轨道半径rmin＝eq \f(\f(l,2),cs30°)＝eq \f(\r(3),3)l⑦
最大轨道半径满足(rmaxcs30°－l)2＋(rmaxsin30°＋l)2＝req \\al(2,max)⑧
解得rmax＝(eq \r(3)＋1)l⑨
当r取rmin时，B有最大值Bmax；当r取rmax时，B有最小值Bmin
由⑤⑥⑦⑨式解得Bmin＝eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)，
Bmax＝eq \f(2mv0,ql)
则磁感应强度大小的取值范围为eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql)。
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示
由几何关系可知，在△O3FK中有
(l－r3cs30°)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)＋r3sin30°))2＝req \\al(2,3)⑩
解得带电粒子的运动轨道半径r3＝eq \f(52\r(3)＋1,22)l⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
dmin＝r3sin30°＋l－r3⑫
由⑪⑫式解得dmin＝eq \f(39－10\r(3),44)l。
练习3、(2022·河北省张家口市高三下三模)如图，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M(2eq \r(3)a，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
(1)电场强度的大小；
(2)N点的坐标．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
2eq \r(3)a＝v0t a＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t2
得E＝eq \f(mv\\al(2,0),6qa)
(2)粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，
则vy＝eq \f(qE,m)t＝eq \f(q,m)·eq \f(mv\\al(2,0),6qa)·eq \f(2\r(3)a,v0)＝eq \f(\r(3),3)v0
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \f(2\r(3),3)v0
tanα＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(\r(3),3)，即α＝30°
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，则
qBv＝meq \f(v2,R)
解得粒子做圆周运动的半径为R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2\r(3)mv0,3qB)
由几何关系知，β＝eq \f(1,2)∠PMN＝30°
所以N点的纵坐标为yN＝eq \f(R,tanβ)＋a＝eq \f(2mv0,qB)＋a
横坐标为xN＝2eq \r(3)a
即N点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)a，\f(2mv0,qB)＋a))
练习4、(2022·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。
【答案】(1)eq \f(mv\\al(2,0),2qh) (2)eq \r(2)v0 方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角 (3)eq \f(2mv0,qL)
【解析】(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有x＝v0t＝2h
y＝eq \f(1,2)at2＝h qE＝ma
联立以上各式可得E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qh)
(2)粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为vy＝at＝v0
所以v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角
(3)粒子在磁场中运动时，有qvB＝meq \f(v2,r)
当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r＝eq \f(\r(2),2)L，所以B＝eq \f(2mv0,qL)
【巧学妙记】
1.求解策略：“各个击破”
2．抓住联系两个场的纽带——速度。
考向三 先磁场后电场
先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。
【典例5】.(2022·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ＝30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上．现有一群质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在纸面内以速度v(0
(2)磁场区域的最小面积．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1，则
qBv＝meq \f(v2,R)
即R＝eq \f(mv,qB)
由题知：v＝eq \f(E,B)
T＝eq \f(2πm,qB)
t1＝eq \f(1,3)T＝eq \f(2πm,3qB)
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为x，匀速运动的时间为t2，由几何关系知：x＝Rctθ
t2＝eq \f(x,v)＝eq \f(\r(3)m,qB)
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t3，则
eq \f(3,2)R＝eq \f(1,2)eq \f(qE,m)teq \\al(2,3)
解得t3＝eq \f(\r(3)m,qB)
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间t＝t1＋t2＋t3
解得：t＝eq \f(23\r(3)＋π,3)eq \f(m,qB)
(2)
由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积Smin是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积
扇形OO′N的面积S1＝eq \f(1,3)πR2
△OO′N的面积为S2＝R2cs30°sin30°＝eq \f(\r(3),4)R2
∴Smin＝S1－S2
解得：Smin＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),4)))eq \f(m2E2,q2B4)
练习5、(2022·江苏省淮安市高三下第三次调研)如图甲所示,半径r=0.5 m的圆形匀强磁场区域与x轴相切于坐标系的原点O。磁感应强度B=2×10-3 T,方向垂直于纸面向外。在x=1 m和x=2 m 之间的区域内有方向沿y轴正方向的匀强电场,电场强度E=1.5×103 N/C。在x=3 m处的x轴上方有一与y轴平行且足够长的荧光屏,在O点有一个粒子源,能沿纸面各个方向发射质量m=1.6×10-28 kg,带电荷量q=1.6×10-19 C且速率相同的粒子,其中沿y轴正方向射入的粒子恰能从磁场最右侧的A点离开磁场,不计粒子的重力、空气的阻力及粒子间的相互作用力。
甲
(1)求这些粒子在磁场中运动的速度。
(2)求这些粒子打在荧光屏上的范围(用位置坐标表示)。
(3)若没有荧光屏,粒子射出电场后立即进入某种不导电的介质中运动,其所受介质阻力与速率成正比,比例系数k=1.6×10-21 N·s/m。求粒子在该介质中运动的轨迹长度(电荷量不变)。
【答案】(1)1×106 m/s (2)(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m) (3)1320 m
【解析】(1)由题意可知,粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5 m
设粒子在磁场中运动的速度为v,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R
解得v=1×106 m/s。
(2)如图乙所示,因为粒子做圆周运动的轨迹和磁场圆边界的交点O、C与两圆的圆心O1、O2连线组成的是菱形,所以CO2和y轴平行,则所有射出磁场的粒子速度方向都和x轴平行
乙
粒子从O点出发,沿x轴正方向以速度v垂直射入电场,在电场中的加速度大小a=qEm=1.5×1012 m/s2
粒子穿出电场用时t=Δxv=1×10-6 s
则vy=at=1.5×106 m/s,tan α=vyvx=atv=1.5
粒子在电场中的侧位移y1=12at2=0.75 m
飞出电场后粒子做匀速直线运动,y2=Δx'·tan α=1.5 m
故y=y1+y2=2.25 m,则粒子打在屏上的坐标为(3 m,2.25 m)
沿x轴负方向射出的粒子经磁场偏转后从坐标为(0,1 m)的点平行于x轴方向射向电场,直至打在屏上的侧位移大小也为y,故该粒子打在屏上的坐标为(3 m,3.25 m)
则带电粒子打在荧光屏上的区域为(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m)。
(3)粒子在电场中运动的某一瞬间,设粒子的速度为vt,应用牛顿第二定律有kvt=mat,即kvt=mΔvtΔt(Δvt在这里是速度大小的变化)
求和有kΣ(vtΔt)=mΣΔvt
根据动量定理有-kl=0-mvt
且vt=v2+vy2=132×106 m/s
解得l=mvtk=1320 m。
交变电磁场
1.解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
【典例6】（2022年河北省普通高中学业水平选择性考试）14. 两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
【答案】（1）；（2）；（3），
【解析】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向
解得粒子在时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
在时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上
在时间内粒子在水平方向运动的距离为
在时间内，在竖直方向
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
接收器位置为，根据距离的关系可知
解得
此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则
竖直方向需要满足
解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；
若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上
之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即
解得
接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中
粒子要在点被吸收，需要满足
代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。
【典例7】(2022·浙江省温州市高三二模)在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图10甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图像如图乙所示。x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向。在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q。不计重力。在t＝eq \f(τ,2)时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动。
(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0；
(2)求B0应满足的关系；
(3)在t0(0
【解析】(1)eq \f(τ,2)～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动，电场力F＝qE0
加速度a＝eq \f(F,m)
速度v0＝at，且t＝eq \f(τ,2)
解得v0＝eq \f(qE0τ,2m)
(2)只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示。
设P在磁场中做圆周运动的周期为T。
则(n－eq \f(1,2))T＝τ(n＝1,2,3，…)，
匀速圆周运动qvB0＝meq \f(v2,r)，T＝eq \f(2πr,v)
解得B0＝eq \f(2n－1πm,qτ)(n＝1,2,3，…)，
(3)在t0时刻释放，P在电场中加速度时间为τ t0
在磁场中做匀速圆周运动
v1＝eq \f(qE0τ－t0,m)
圆周运动的半径r1＝eq \f(mv1,qB0)
解得r1＝eq \f(E0τ－t0,B0)
又经(τ－t0)时间P减速为零后向右加速时间为t0
P再进入磁场v2＝eq \f(qE0t0,m)
圆周运动的半径r2＝eq \f(mv2,qB0)
解得r2＝eq \f(E0t0,B0)
综上分析，速度为零时横坐标x＝0
相应的纵坐标为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2[kr1－k－1r2]，,2kr1－r2))(k＝1,2,3，…)。
解得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2E0[kτ－2t0＋t0],B0),\f(2kE0τ－2t0,B0) k＝1，2，3 ...))。
练习6、(2022·山东省日照市高三下二模)如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、d、v0为已知量。
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB，求B0；
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。
【答案】 (1)eq \f(mv0,qd) (2)eq \f(3v\\al(2,0),d) (3)eq \f(πd,3v0)或(eq \f(π,2)＋arcsineq \f(1,4))eq \f(d,2v0)
【解析】
甲
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图甲，半径R1＝d
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图乙，半径R2＝eq \f(d,3)
乙
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，则半径为多大？试画出粒子在一个周期内的运动轨迹，并说明在哪些位置可能击中B板。
提示：如图丙，由R＝eq \f(mv0,qB0)得R＝eq \f(1,4)d
在A、B两点可能击中B板
(1)设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R1)①
据题意由几何关系得
R1＝d②
联立①②式得
B0＝eq \f(mv0,qd)③
(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得
a＝eq \f(v\\al(0, 2),R2)④
据题意由几何关系得
3R2＝d⑤
联立④⑤式得
a＝eq \f(3v\\al(0, 2),d)⑥
(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝eq \f(2πR,v0)⑦
由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R)⑧
由题意知B0＝eq \f(4mv0,qd)，代入⑧式得d＝4R⑨
粒子运动轨迹如图所示，
O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置粒子才有可能垂直击中P板，且均要求0＜θ＜eq \f(π,2)，由题意可知
eq \f(\f(π,2)＋θ,2π)T＝eq \f(TB,2)⑩
设经历完整TB的个数为n(n＝0,1,2,3…)若在A点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑪
当n＝0时，无解⑫
当n＝1时，联立⑨⑪式得
θ＝eq \f(π,6)(或sin θ＝eq \f(1,2))⑬
联立⑦⑨⑩⑬式得
TB＝eq \f(πd,3v0)⑭
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑮
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑯
当n＝0时，无解⑰
当n＝1时，联立⑨⑯式得
θ＝arcsin eq \f(1,4)(或sin θ＝eq \f(1,4))⑱
联立⑦⑨⑩⑱式得
TB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋arcsin \f(1,4)))eq \f(d,2v0)⑲
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑳
【巧学妙记】
在处理带电粒子在交变场中运动时，一般是按照粒子的运动顺序依次分析粒子在不同场中的运动形式，对于电场和磁场交替出现的交变场，其中有几点要特别引起注意：①粒子在磁场中运动时一定要分析粒子做圆周运动的周期与磁场变化周期关系，才能得到粒子的偏转和运动轨迹；②粒子在电场中运动时速度大小有可能会发生变化，再次变化为磁场时一定要注意速度大小的变化引起的半径变化，切忌再轻易套用上一段磁场中的半径
1. (多选)(2022·湖北省武汉市部分学校高三上质量检测)如图所示，虚线MN将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP与弧Pb的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是( )
A．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1
B．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1
C．粒子通过aP、Pb两段弧的时间之比为2∶1
D．弧aP与弧Pb对应的圆心角之比为2∶1
2. (2022·杭州一中模拟)如图所示，两导体板水平放置，两板间的电势差为U，带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化而变化情况为( )
A．d随v0的增大而增大，d与U无关
B．d随v0的增大而增大，d随U的增大而增大
C．d随U的增大而增大，d与v0无关
D．d随v0的增大而增大，d随U的增大而减小
3. (2022·广东省深圳市高三3月第一次调研)如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为( )
A.eq \f(7πd,2v0) B.eq \f(d,v0)(2＋5π)
C.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3π,2))) D.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(7π,2)))
4. (2022·河北省唐山市高三下3月第一次模拟考试)如图甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U构成偏转电场，一束比荷eq \f(q,m)＝106 C/kg的带正电的粒子流(重力和粒子间的相互作用不计)，以速度v0＝104 m/s沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形磁场区域，O为圆心，区域直径AB长度为L＝1 m，AB与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5 T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O点与水平方向成45°角斜向下射入磁场．
(1)两金属极板间的电压U是多大？
(2)若T0＝0.5 s，求t＝0时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置；
(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．
5.(2022山东省济南市高三下模拟考试) 如图所示的平面直角坐标系xOy中，P点在x轴上，已知OP＝eq \f(2\r(3),3)L，Q点在负y轴上某处．第Ⅱ象限内有平行于y轴电场强度E大小未知的匀强电场；第Ⅰ象限内有一个磁感应强度B大小未知的圆形磁场区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，已知OA＝L；第Ⅲ象限内有一位置未知的矩形磁场区域(图中未画出)，磁感应强度为2B；第Ⅳ象限内存在一个磁感应强度Bx未知的圆形磁场区域(图中未画出)；三个区域的磁场方向均垂直于xOy平面．电荷量为＋q、质量为m、速度大小为v0的粒子a从A点沿y轴正方向射入，经过C点和P点，通过矩形磁场后从Q点与y轴负方向成60°进入第Ⅳ象限，并通过圆形磁场后重新回到A点且方向沿y轴正方向．不计粒子的重力和粒子间相互作用力．求：
(1)第Ⅰ象限内圆形区域内磁场磁感应强度B的大小、方向；
(2)第Ⅱ象限内匀强电场的电场强度大小E；
(3)第Ⅲ象限内矩形磁场区域的最小面积S；
(4)第Ⅳ象限内圆形磁场的磁感应强度Bx的取值范围．
6. (2022·山东日照市高三模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，间距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．
(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝eq \f(2mv0,qd)，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．
1.(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，在x轴下方的第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xOy平面方向的匀强磁场，磁感应强度B1＝2B2＝2B，带电粒子a、b分别从x轴上的P、Q两点(图中没有标出)以垂直于x轴方向的速度同时进入匀强磁场B1、B2中，两粒子恰在第一次通过y轴时发生正碰，碰撞前带电粒子a的速度方向与y轴正方向成60°角，若两带电粒子的比荷分别为k1、k2，进入磁场时的速度大小分别为v1、v2，不计粒子重力和两粒子间相互作用，则下列关系正确的是( )
A．k1＝2k2 B．2k1＝k2 C．v1＝2v2 D．2v1＝v2
2.(2022·山东省菏泽市高三下二模)如图所示，平行板电容器所带电荷量为Q，一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子(重力忽略不计)，从A点出发经电场加速后，垂直于磁感应强度方向进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，粒子打到P点，如果适当调整板间距离d，保持其他条件不变，用x表示OP间的距离，则能正确反映x与d之间关系的是( )
A．x与d成反比 B．x与eq \r(d)成反比
C．x与d2成正比D.x与eq \r(d)成正比
3. (多选)(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，两个重心重合的正三角形容器内分别存在着垂直于纸面向里和垂直于纸面向外的匀强磁场，已知内部三角形容器ABC边长为2a，内部磁感应强度大小为B，且每条边的中点开有一个小孔。有一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从AB边中点D垂直AB进入内部磁场。如果要使粒子恰好不经过碰撞在磁场中运动一段时间后又能从D点射入，下列说法正确的是( )
A．容器ABC与A′B′C′之间的磁感应强度大小也为B
B．容器A′B′C′的边长为2eq \r(3)a
C．粒子的速度大小为eq \f(Bqa,m)
D．粒子再次回到D点的最短时间为eq \f(7πm,3Bq)
4. (多选)(2022·北京市朝阳区校际联考) 某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图16甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a―→b―→c―→d―→e―→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)( )
A.若粒子的初始位置在a处，在t＝eq \f(3,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B.若粒子的初始位置在f处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在e处，在t＝eq \f(11,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D.若粒子的初始位置在b处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
5. (2022·安徽省合肥市高三上开学考试)如图甲所示，比荷eq \f(q,m)＝k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB＝eq \r(3)L，宽AD＝L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。
(1)若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？
(2)要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？
6. (2022·江苏省南京市高三下第三次调研)某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图8310甲中由B到C的方向)，电场变化如图乙中Et图像，磁感应强度变化如图丙中Bt图像。在A点，从t＝1 s(即1 s末)开始，每隔2 s，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB方向(垂直于BC)以速度v射出，恰能击中C点，若Aeq \x\t(C)＝2Beq \x\t(C)且粒子在AB间运动的时间小于1 s，求：
(1)图线上E0和B0的比值，磁感应强度B的方向；
(2)若第1个粒子击中C点的时刻已知为(1＋Δt) s，那么第2个粒子击中C点的时刻是多少？
7. (2022·江苏南通市5月第二次模拟)如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1 000 V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8 kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5 C的粒子，从y轴上(0，0.04 m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。
(1)若v0＝200 m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；
(2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；
(3)若粒子恰能经过x轴上x＝100 m的点，求粒子入射的初速度v0。
8.(八省联考·辽宁·15)如图所示，在第一、四象限的0.5d≤y≤1.5d和－1.5d≤y≤－0.5d区域内存在磁感应强度大小可调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场.带电粒子以速度v0从点P(－4d,1.5d)沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场.已知带电粒子的质量为m、电荷量为q(q＞0)，不计粒子的重力.
(1)求匀强电场的电场强度大小E；
(2)若磁感应强度大小均为B1时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线y＝－1.5d相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点(图中未画出)，求B1；
(3)若磁感应强度大小均为B2时，粒子离开O点后，经n(n＞1)次磁偏转仍过第(2)问中的S点.求B2与B1的比值，并确定n的所有可能值.
9.(2022·湖南省永州市高三下第一次适应性测试) 现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图8312所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，求出sin θn；
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。
10. (2022·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的eq \r(3)倍．
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值．
11.(2022·江西高三月考)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy中，第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E.第一象限中有沿y轴正方向的匀强电场(电场强度大小未知)且某未知矩形区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场(磁感应强度大小也为B)．一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成θ＝45°角斜向上做匀速直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即在矩形磁场区域内做匀速圆周运动，离开矩形磁场区域后垂直打在y轴上的P点(图中未标出)，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g(取sin 22.5°＝0.4，cs 22.5°＝0.9)．求：
(1)小球所带电荷量与质量的比值和第一象限内匀强电场的场强大小；
(2)矩形匀强磁场区域面积S的最小值；
(3)小球从M点运动到P点所用的时间．
1.（2021年河北省普通高中学业水平选择性考试14）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（，H、S两点末在图中标出）。对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
2、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试）13.（13分）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
3、(2021·广东卷·14)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为eq \r(3)R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4.
(1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值．
4、(2019·全国卷Ⅰ·24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
5.(2018·全国卷Ⅰ)如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核eq \\al(1,1)H和一个氘核eq \\al(2,1)H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知eq \\al(1,1)H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.eq \\al(1,1)H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求：
(1)eq \\al(1,1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)eq \\al(2,1)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．新课程标准
1.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2．能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
命题趋势
考查的内容主要体现在对科学思维、运动与相互作用观念等物理学科的核心素养的要求。考查频率高，题目综合性强，会综合牛顿运动定律和运动学规律，注重与电场、磁场的渗透，注重生产、生活、当今热点、现代科技的联系。
试题情境
生活实践类
生活和科技等
学习探究类
带电粒子在磁场、组合场、叠加场中的运动
关键点
获取信息
①沿y轴正方向的匀强电场
②自y轴P点沿x轴正方向射入
带电粒子在第四象限内做类平抛运动
在第一、三象限内存在相同的匀强磁场
在第一、三象限内带电粒子做半径相同的匀速圆周运动
以垂直y轴的方向进入第二象限
在第一象限内做圆周运动的圆心在y轴上
改变磁感应强度值，经过一段时间后粒子再次经过Q点，且速度与第一次相同
带电粒子在第一、三象限内运动的轨迹均为半圆
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
考点34磁场--带电粒子在交变电、磁场中的运动
考向一反复进磁场
考向二 先电场后磁场
考向三 先磁场后电场
考向四 交变电磁场
考向一反复进磁场
【典例1】（2022年山东省普通高中学业水平等级性考试17. ）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
【答案】（1）；（2）；（3）（，，）；（4）
【解析】（1）如图所示
将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有
联立解得
（2）如图所示
离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得
离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得
可得
为了使离子在磁场中运动，需满足，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为
离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过平面的坐标为
离子第四次穿过平面的坐标为
故离子第四次穿过平面的位置坐标为（，，）
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲在磁场I中的轨迹半径为
离子甲在磁场II中的轨迹半径为
离子乙在磁场I中的轨迹半径为
离子乙在磁场II中的轨迹半径为
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示
从点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
【典例2】(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图1所示.甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点.已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响.求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷eq \f(q′,m′)可能的最小值.
【答案】(1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0) (3)eq \f(2q,m)
【解析】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)，
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2
解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0)
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有neq \f(m′v,3q′B0)＝d，neq \f(5πm′,6q′B0)＝t1＋t2
解得eq \f(q′,m′)＝neq \f(q,m)
根据题意，n＝1舍去.
当n＝2时，eq \f(q′,m′)有最小值，(eq \f(q′,m′))min＝eq \f(2q,m)
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇.
综上分析，乙的比荷的最小值为eq \f(2q,m).
练习1、(2022·北京市西城区高三下统一测试)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。
(1)求电场强度的大小和方向。
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。
【答案】见解析
【解析】(1)设电场强度大小为E
由题意有mg＝qE
得E＝eq \f(mg,q)，方向竖直向上(2)如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ。
由r＝eq \f(mv,qB)，有r1＝eq \f(mvmin,qB)，r2＝eq \f(1,2)r1
由(r1＋r2)sin φ＝r2
r1＋r1cs φ＝h
vmin＝(9－6eq \r(2))eq \f(qBh,m)。
(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x。
由题意有3nx＝1.8 h(n＝1,2,3，…)
eq \f(3,2)x≥eq \f(9－6\r(2)h,2)
x＝eq \r(r\\al(2,1)－h－r12)得r1＝(1＋eq \f(0.36,n2))eq \f(h,2)，n＜3.5
即n＝1时，v＝eq \f(0.68qBh,m)；n＝2时，v＝eq \f(0.545qBh,m)；n＝3时，
v＝eq \f(0.52qBh,m)。
练习2、(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d。不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0。
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【答案】(1)2 eq \r(\f(qEd,m)) 方向与水平方向成45°角斜向上 (2) eq \r(\f(mE,2qd)) (3)(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))
【解析】第一步：抓关键点
第二步：找突破口
(1)要求过Q点的速度，可以结合平抛运动的知识列方程求解。
(2)要求以垂直y轴的方向进入第二象限时的磁感应强度B0值，可以先画出带电粒子在第一象限的运动轨迹，后结合匀速圆周运动的知识求解。
(3)要求经过一段时间后仍以相同的速度过Q点情况下经历的时间，必须先综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，后结合有关知识列方程求解。
(1)设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿第二定律得
qE＝ma①
由运动学公式得
d＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))⑤
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v＝2 eq \r(\f(qEd,m))⑦
θ＝45°⑧
甲
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图甲所示，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ为等腰直角三角形，得
R1＝2eq \r(2)d⑨
由牛顿第二定律得
qvB0＝meq \f(v2,R1)⑩
联立⑦⑨⑩式得B0＝ eq \r(\f(mE,2qd))⑪
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析[粒子运动的轨迹如图乙所示，O2、O2′是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O2′，由几何关系知，O2FGO2′和O2QHO2′均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF为等腰直角三角形。]可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得
乙
2R2＝2eq \r(2)d⑫
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2⑬
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有
t＝eq \f(FG＋HQ＋2πR2,v)⑭
联立⑦⑫⑬⑭式得
t＝(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))⑮
考向二 先电场后磁场
先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
【典例3】(2020·全国卷Ⅱ)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则( )
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】D
【解析】电子在电场中加速运动，电场力的方向和运动方向相同，而电子所受电场力的方向与电场的方向相反，所以M处的电势低于N处的电势，A错误；增大M、N之间的电压，根据动能定理可知，电子进入磁场时的初速度变大，根据r＝eq \f(mv,eB)知其在磁场中的轨迹半径增大，P点将右移，B错误；根据左手定则可知，磁场的方向应该垂直于纸面向里，C错误；结合B分析，可知增大磁场的磁感应强度，轨迹半径将减小，P点将左移，D正确。
【典例4】(2021·全国甲卷)如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
(1)求粒子发射位置到P点的距离；
(2)求磁感应强度大小的取值范围；
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【答案】(1)eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE) (2)eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql) (3)eq \f(39－10\r(3),44)l
【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
x＝v0t①
y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qEt2,2m)②
已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有tan30°＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(at,v0)＝eq \f(qEt,mv0)③
粒子发射位置到P点的距离s＝ eq \r(x2＋y2)④
由①②③④式解得s＝eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE)。
(2)带电粒子在磁场中运动的速度大小
v＝eq \f(v0,cs30°)＝eq \f(2\r(3)v0,3)⑤
带电粒子在磁场中做圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律可知qvB＝eq \f(mv2,r)⑥
带电粒子在磁场中运动的两个临界轨迹(分别从Q、N点射出)如图甲所示
由几何关系可知，最小轨道半径rmin＝eq \f(\f(l,2),cs30°)＝eq \f(\r(3),3)l⑦
最大轨道半径满足(rmaxcs30°－l)2＋(rmaxsin30°＋l)2＝req \\al(2,max)⑧
解得rmax＝(eq \r(3)＋1)l⑨
当r取rmin时，B有最大值Bmax；当r取rmax时，B有最小值Bmin
由⑤⑥⑦⑨式解得Bmin＝eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)，
Bmax＝eq \f(2mv0,ql)
则磁感应强度大小的取值范围为eq \f(3－\r(3)mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql)。
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示
由几何关系可知，在△O3FK中有
(l－r3cs30°)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)＋r3sin30°))2＝req \\al(2,3)⑩
解得带电粒子的运动轨道半径r3＝eq \f(52\r(3)＋1,22)l⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
dmin＝r3sin30°＋l－r3⑫
由⑪⑫式解得dmin＝eq \f(39－10\r(3),44)l。
练习3、(2022·河北省张家口市高三下三模)如图，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M(2eq \r(3)a，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
(1)电场强度的大小；
(2)N点的坐标．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
2eq \r(3)a＝v0t a＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t2
得E＝eq \f(mv\\al(2,0),6qa)
(2)粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，
则vy＝eq \f(qE,m)t＝eq \f(q,m)·eq \f(mv\\al(2,0),6qa)·eq \f(2\r(3)a,v0)＝eq \f(\r(3),3)v0
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \f(2\r(3),3)v0
tanα＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(\r(3),3)，即α＝30°
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，则
qBv＝meq \f(v2,R)
解得粒子做圆周运动的半径为R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2\r(3)mv0,3qB)
由几何关系知，β＝eq \f(1,2)∠PMN＝30°
所以N点的纵坐标为yN＝eq \f(R,tanβ)＋a＝eq \f(2mv0,qB)＋a
横坐标为xN＝2eq \r(3)a
即N点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)a，\f(2mv0,qB)＋a))
练习4、(2022·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。
【答案】(1)eq \f(mv\\al(2,0),2qh) (2)eq \r(2)v0 方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角 (3)eq \f(2mv0,qL)
【解析】(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有x＝v0t＝2h
y＝eq \f(1,2)at2＝h qE＝ma
联立以上各式可得E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qh)
(2)粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为vy＝at＝v0
所以v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角
(3)粒子在磁场中运动时，有qvB＝meq \f(v2,r)
当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r＝eq \f(\r(2),2)L，所以B＝eq \f(2mv0,qL)
【巧学妙记】
1.求解策略：“各个击破”
2．抓住联系两个场的纽带——速度。
考向三 先磁场后电场
先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。
【典例5】.(2022·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ＝30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上．现有一群质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在纸面内以速度v(0
(2)磁场区域的最小面积．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1，则
qBv＝meq \f(v2,R)
即R＝eq \f(mv,qB)
由题知：v＝eq \f(E,B)
T＝eq \f(2πm,qB)
t1＝eq \f(1,3)T＝eq \f(2πm,3qB)
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为x，匀速运动的时间为t2，由几何关系知：x＝Rctθ
t2＝eq \f(x,v)＝eq \f(\r(3)m,qB)
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t3，则
eq \f(3,2)R＝eq \f(1,2)eq \f(qE,m)teq \\al(2,3)
解得t3＝eq \f(\r(3)m,qB)
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间t＝t1＋t2＋t3
解得：t＝eq \f(23\r(3)＋π,3)eq \f(m,qB)
(2)
由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积Smin是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积
扇形OO′N的面积S1＝eq \f(1,3)πR2
△OO′N的面积为S2＝R2cs30°sin30°＝eq \f(\r(3),4)R2
∴Smin＝S1－S2
解得：Smin＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),4)))eq \f(m2E2,q2B4)
练习5、(2022·江苏省淮安市高三下第三次调研)如图甲所示,半径r=0.5 m的圆形匀强磁场区域与x轴相切于坐标系的原点O。磁感应强度B=2×10-3 T,方向垂直于纸面向外。在x=1 m和x=2 m 之间的区域内有方向沿y轴正方向的匀强电场,电场强度E=1.5×103 N/C。在x=3 m处的x轴上方有一与y轴平行且足够长的荧光屏,在O点有一个粒子源,能沿纸面各个方向发射质量m=1.6×10-28 kg,带电荷量q=1.6×10-19 C且速率相同的粒子,其中沿y轴正方向射入的粒子恰能从磁场最右侧的A点离开磁场,不计粒子的重力、空气的阻力及粒子间的相互作用力。
甲
(1)求这些粒子在磁场中运动的速度。
(2)求这些粒子打在荧光屏上的范围(用位置坐标表示)。
(3)若没有荧光屏,粒子射出电场后立即进入某种不导电的介质中运动,其所受介质阻力与速率成正比,比例系数k=1.6×10-21 N·s/m。求粒子在该介质中运动的轨迹长度(电荷量不变)。
【答案】(1)1×106 m/s (2)(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m) (3)1320 m
【解析】(1)由题意可知,粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5 m
设粒子在磁场中运动的速度为v,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R
解得v=1×106 m/s。
(2)如图乙所示,因为粒子做圆周运动的轨迹和磁场圆边界的交点O、C与两圆的圆心O1、O2连线组成的是菱形,所以CO2和y轴平行,则所有射出磁场的粒子速度方向都和x轴平行
乙
粒子从O点出发,沿x轴正方向以速度v垂直射入电场,在电场中的加速度大小a=qEm=1.5×1012 m/s2
粒子穿出电场用时t=Δxv=1×10-6 s
则vy=at=1.5×106 m/s,tan α=vyvx=atv=1.5
粒子在电场中的侧位移y1=12at2=0.75 m
飞出电场后粒子做匀速直线运动,y2=Δx'·tan α=1.5 m
故y=y1+y2=2.25 m,则粒子打在屏上的坐标为(3 m,2.25 m)
沿x轴负方向射出的粒子经磁场偏转后从坐标为(0,1 m)的点平行于x轴方向射向电场,直至打在屏上的侧位移大小也为y,故该粒子打在屏上的坐标为(3 m,3.25 m)
则带电粒子打在荧光屏上的区域为(3 m,2.25 m)至(3 m,3.25 m)。
(3)粒子在电场中运动的某一瞬间,设粒子的速度为vt,应用牛顿第二定律有kvt=mat,即kvt=mΔvtΔt(Δvt在这里是速度大小的变化)
求和有kΣ(vtΔt)=mΣΔvt
根据动量定理有-kl=0-mvt
且vt=v2+vy2=132×106 m/s
解得l=mvtk=1320 m。
交变电磁场
1.解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
【典例6】（2022年河北省普通高中学业水平选择性考试）14. 两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
【答案】（1）；（2）；（3），
【解析】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向
解得粒子在时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
在时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上
在时间内粒子在水平方向运动的距离为
在时间内，在竖直方向
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
接收器位置为，根据距离的关系可知
解得
此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则
竖直方向需要满足
解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；
若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上
之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即
解得
接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中
粒子要在点被吸收，需要满足
代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。
【典例7】(2022·浙江省温州市高三二模)在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图10甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图像如图乙所示。x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向。在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q。不计重力。在t＝eq \f(τ,2)时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动。
(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0；
(2)求B0应满足的关系；
(3)在t0(0
【解析】(1)eq \f(τ,2)～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动，电场力F＝qE0
加速度a＝eq \f(F,m)
速度v0＝at，且t＝eq \f(τ,2)
解得v0＝eq \f(qE0τ,2m)
(2)只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示。
设P在磁场中做圆周运动的周期为T。
则(n－eq \f(1,2))T＝τ(n＝1,2,3，…)，
匀速圆周运动qvB0＝meq \f(v2,r)，T＝eq \f(2πr,v)
解得B0＝eq \f(2n－1πm,qτ)(n＝1,2,3，…)，
(3)在t0时刻释放，P在电场中加速度时间为τ t0
在磁场中做匀速圆周运动
v1＝eq \f(qE0τ－t0,m)
圆周运动的半径r1＝eq \f(mv1,qB0)
解得r1＝eq \f(E0τ－t0,B0)
又经(τ－t0)时间P减速为零后向右加速时间为t0
P再进入磁场v2＝eq \f(qE0t0,m)
圆周运动的半径r2＝eq \f(mv2,qB0)
解得r2＝eq \f(E0t0,B0)
综上分析，速度为零时横坐标x＝0
相应的纵坐标为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2[kr1－k－1r2]，,2kr1－r2))(k＝1,2,3，…)。
解得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2E0[kτ－2t0＋t0],B0),\f(2kE0τ－2t0,B0) k＝1，2，3 ...))。
练习6、(2022·山东省日照市高三下二模)如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、d、v0为已知量。
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB，求B0；
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。
【答案】 (1)eq \f(mv0,qd) (2)eq \f(3v\\al(2,0),d) (3)eq \f(πd,3v0)或(eq \f(π,2)＋arcsineq \f(1,4))eq \f(d,2v0)
【解析】
甲
(1)若Δt＝eq \f(1,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图甲，半径R1＝d
(2)若Δt＝eq \f(3,2)TB时，试画出粒子在PQ板间运动的轨迹，并确定半径。
提示：如图乙，半径R2＝eq \f(d,3)
乙
(3)若B0＝eq \f(4mv0,qd)，则半径为多大？试画出粒子在一个周期内的运动轨迹，并说明在哪些位置可能击中B板。
提示：如图丙，由R＝eq \f(mv0,qB0)得R＝eq \f(1,4)d
在A、B两点可能击中B板
(1)设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R1)①
据题意由几何关系得
R1＝d②
联立①②式得
B0＝eq \f(mv0,qd)③
(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得
a＝eq \f(v\\al(0, 2),R2)④
据题意由几何关系得
3R2＝d⑤
联立④⑤式得
a＝eq \f(3v\\al(0, 2),d)⑥
(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝eq \f(2πR,v0)⑦
由牛顿第二定律得qv0B0＝eq \f(mv\\al(0, 2),R)⑧
由题意知B0＝eq \f(4mv0,qd)，代入⑧式得d＝4R⑨
粒子运动轨迹如图所示，
O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置粒子才有可能垂直击中P板，且均要求0＜θ＜eq \f(π,2)，由题意可知
eq \f(\f(π,2)＋θ,2π)T＝eq \f(TB,2)⑩
设经历完整TB的个数为n(n＝0,1,2,3…)若在A点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑪
当n＝0时，无解⑫
当n＝1时，联立⑨⑪式得
θ＝eq \f(π,6)(或sin θ＝eq \f(1,2))⑬
联立⑦⑨⑩⑬式得
TB＝eq \f(πd,3v0)⑭
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑮
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑯
当n＝0时，无解⑰
当n＝1时，联立⑨⑯式得
θ＝arcsin eq \f(1,4)(或sin θ＝eq \f(1,4))⑱
联立⑦⑨⑩⑱式得
TB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋arcsin \f(1,4)))eq \f(d,2v0)⑲
当n≥2时，不满足0＜θ＜eq \f(π,2)的要求⑳
【巧学妙记】
在处理带电粒子在交变场中运动时，一般是按照粒子的运动顺序依次分析粒子在不同场中的运动形式，对于电场和磁场交替出现的交变场，其中有几点要特别引起注意：①粒子在磁场中运动时一定要分析粒子做圆周运动的周期与磁场变化周期关系，才能得到粒子的偏转和运动轨迹；②粒子在电场中运动时速度大小有可能会发生变化，再次变化为磁场时一定要注意速度大小的变化引起的半径变化，切忌再轻易套用上一段磁场中的半径
1. (多选)(2022·湖北省武汉市部分学校高三上质量检测)如图所示，虚线MN将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP与弧Pb的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是( )
A．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1
B．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1
C．粒子通过aP、Pb两段弧的时间之比为2∶1
D．弧aP与弧Pb对应的圆心角之比为2∶1
【答案】BC
【解析】粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个磁场的磁感应强度方向相反，根据题中信息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，选项A错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，选项B正确；已知粒子通过aP、Pb两段弧的速度大小不变，而路程之比为2∶1，可求出运动时间之比为2∶1，选项C正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期T＝eq \f(2πm,Bq)也不等，粒子通过弧aP与弧Pb的运动时间之比并不等于弧aP与弧Pb对应的圆心角之比，选项D错误。答案
2. (2022·杭州一中模拟)如图所示，两导体板水平放置，两板间的电势差为U，带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化而变化情况为( )
A．d随v0的增大而增大，d与U无关
B．d随v0的增大而增大，d随U的增大而增大
C．d随U的增大而增大，d与v0无关
D．d随v0的增大而增大，d随U的增大而减小
【答案】 A
【解析】 带电粒子射出电场时速度的偏转角为θ，运动轨迹如图所示，有：cs θ＝eq \f(v0,v)，又R＝eq \f(mv,Bq)，而d＝2Rcs θ＝2eq \f(mv,Bq)cs θ＝eq \f(2mv0,Bq)，选项A正确．
3. (2022·广东省深圳市高三3月第一次调研)如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为( )
A.eq \f(7πd,2v0) B.eq \f(d,v0)(2＋5π)
C.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3π,2))) D.eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(7π,2)))
【答案】 D
【解析】带电粒子的运动轨迹如图所示。
由题意知，带电粒子到达y轴时的速度v＝eq \r(2)v0，这一过程的时间t1＝eq \f(d,\f(v0,2))＝eq \f(2d,v0)。
又由题意知，带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝2eq \r(2)d。
故知带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间为：
t2＝eq \f(3πm,4Bq)＝eq \f(3\r(2)πd,2v)＝eq \f(3πd,2v0)
带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间为：t3＝eq \f(2πd,v0)
故t总＝eq \f(d,v0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(7π,2)))。
4. (2022·河北省唐山市高三下3月第一次模拟考试)如图甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U构成偏转电场，一束比荷eq \f(q,m)＝106 C/kg的带正电的粒子流(重力和粒子间的相互作用不计)，以速度v0＝104 m/s沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形磁场区域，O为圆心，区域直径AB长度为L＝1 m，AB与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5 T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O点与水平方向成45°角斜向下射入磁场．
(1)两金属极板间的电压U是多大？
(2)若T0＝0.5 s，求t＝0时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置；
(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．
【答案】见解析
【解析】(1)粒子在电场中做类平抛运动，从O点射出时速度v＝eq \r(2)v0
由动能定理可得qeq \f(U,2)＝eq \f(1,2)m(eq \r(2)v0)2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
代入数据解得U＝100 V
(2)粒子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πm,B0q)
则eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB0)＝2π×10－6 s
粒子在磁场中经过半周从OB间穿出，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝2π×10－6 s
射出点在OB间离O点2r＝0.04eq \r(2) m
(3)粒子运动周期T＝4π×10－6 s，粒子在t＝0，t＝eq \f(T0,2)，…时刻射入时，粒子最可能从AB间射出，恰好不从AB射出时，如图，由几何关系可得临界角θ＝eq \f(5π,6)
要不从AB边界射出，应满足eq \f(T0,2)
(1)第Ⅰ象限内圆形区域内磁场磁感应强度B的大小、方向；
(2)第Ⅱ象限内匀强电场的电场强度大小E；
(3)第Ⅲ象限内矩形磁场区域的最小面积S；
(4)第Ⅳ象限内圆形磁场的磁感应强度Bx的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)设粒子a在第Ⅰ象限圆形匀强磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系得R＝L
根据牛顿第二定律则有qv0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),L)
解得磁场磁感应强度的大小B＝eq \f(mv0,qL)，方向垂直纸面向里
(2)粒子a在第Ⅱ象限内匀强电场中做类平抛运动，
则有L＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qE,2m)t2
eq \f(2\r(3)L,3)＝v0t
解得E＝eq \f(3mveq \\al(2,0),2qL)
(3)设粒子a在P点速度为v，与x轴夹角为θ，y轴方向的速度大小是vy，则有：
vy＝at＝eq \r(3)v0，v＝2v0, θ＝60°
粒子运动轨迹如图所示，设矩形区域内做匀速圆周运动的圆心为O1，半径为R1，矩形区域的最小区域是efgh，对应的长为L1，宽为L2，则有R1＝eq \f(m·2v0,q·2B)＝L
L1＝eq \r(2)R1＝eq \r(2)L
L2＝R1－eq \f(\r(2),2)R1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))L
最小面积S＝L1L2，解得S＝(eq \r(2)－1)L2
(4)同理，在第四象限运动轨迹如图所示，由几何关系得，能恰好返回A点的最大圆轨道半径R2＝eq \f(2,3)L
R2＝eq \f(m·2v0,qBmin)，解得Bmin＝3B，即Bx>eq \f(3mv0,qL)
6. (2022·山东日照市高三模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，间距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．
(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝eq \f(2mv0,qd)，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．
【答案】 (1)eq \r(\f(4md2,nqU0))(n＝1,2,3……) (2)x＝eq \f(\r(3)－1,2)d
【解析】(1)设经时间t粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为a，则a＝eq \f(qU0,md)
半个周期内，粒子向上运动的距离为
y＝eq \f(1,2)a(eq \f(T,2))2
d＝2ny
t＝nT
联立得T＝eq \r(\f(4md2,nqU0))(n＝1,2,3……)
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有qv0B0＝meq \f(v02,r)
解得r＝eq \f(1,2)d
要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半个周期内，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示，由几何关系得
r＋2rsin θ＝d
解得sin θ＝0.5
则粒子打到Q板的位置距出发点的水平距离为
x＝r－2r(1－cs θ)＝eq \f(\r(3)－1,2)d.
1.(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，在x轴下方的第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xOy平面方向的匀强磁场，磁感应强度B1＝2B2＝2B，带电粒子a、b分别从x轴上的P、Q两点(图中没有标出)以垂直于x轴方向的速度同时进入匀强磁场B1、B2中，两粒子恰在第一次通过y轴时发生正碰，碰撞前带电粒子a的速度方向与y轴正方向成60°角，若两带电粒子的比荷分别为k1、k2，进入磁场时的速度大小分别为v1、v2，不计粒子重力和两粒子间相互作用，则下列关系正确的是( )
A．k1＝2k2 B．2k1＝k2 C．v1＝2v2 D．2v1＝v2
【答案】C
【解析】
两粒子在y轴上发生正碰时粒子a的速度与y轴正方向成60°角，则粒子b速度与y轴负方向成60°角，轨迹对应的圆心角分别为120°和60°，如图所示。两粒子同时进入磁场并相撞，则运动时间相等，即t1＝t2，而t1＝eq \f(T1,3)＝eq \f(2πm1,3q1B1)，t2＝eq \f(T2,6)＝eq \f(πm2,3q2B2)，将B1＝2B2＝2B代入得k1＝k2，A、B均错；由于两粒子正碰则轨道半径相等，而R1＝eq \f(m1v1,q1B1)，R2＝eq \f(m2v2,q2B2)，解得v1＝2v2，C正确
2.(2022·山东省菏泽市高三下二模)如图所示，平行板电容器所带电荷量为Q，一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子(重力忽略不计)，从A点出发经电场加速后，垂直于磁感应强度方向进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，粒子打到P点，如果适当调整板间距离d，保持其他条件不变，用x表示OP间的距离，则能正确反映x与d之间关系的是( )
A．x与d成反比 B．x与eq \r(d)成反比
C．x与d2成正比D.x与eq \r(d)成正比
【答案】 D
【解析】 带电粒子通过平行板电容器的过程，qU＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(\f(2qU,m))，进入匀强磁场后做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，有qvB＝meq \f(v2,r)，故有r＝eq \f(mv,qB)，则x＝2r＝eq \f(2,B)eq \r(\f(2mU,q))，当调整板间距离d时，由C＝eq \f(εrS,4πkd)，U＝eq \f(Q,C)＝eq \f(4πkdQ,εrS)，因为电容器所带电荷量保持不变，故可得x∝eq \r(d)，选项D正确．
3. (多选)(2022·天津市部分区高三上期末)如图所示，两个重心重合的正三角形容器内分别存在着垂直于纸面向里和垂直于纸面向外的匀强磁场，已知内部三角形容器ABC边长为2a，内部磁感应强度大小为B，且每条边的中点开有一个小孔。有一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从AB边中点D垂直AB进入内部磁场。如果要使粒子恰好不经过碰撞在磁场中运动一段时间后又能从D点射入，下列说法正确的是( )
A．容器ABC与A′B′C′之间的磁感应强度大小也为B
B．容器A′B′C′的边长为2eq \r(3)a
C．粒子的速度大小为eq \f(Bqa,m)
D．粒子再次回到D点的最短时间为eq \f(7πm,3Bq)
【答案】ACD
【解析】根据题意可画出如图所示粒子运动的轨迹图，要想使粒子恰好不经过碰撞在磁场中运动一段时间后又能从D点射入，容器ABC与A′B′C′之间的磁感应强度大小也为B，选项A正确；利用几何知识可知容器A′B′C′的边长为2a＋2eq \r(3)a，选项B错误；因轨道半径R＝a＝eq \f(mv,Bq)，所以v＝eq \f(Bqa,m)，选项C正确；粒子再次回到D点的最短时间为t＝eq \f(420°,360°)×eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(7πm,3Bq)，选项D正确。
4. (多选)(2022·北京市朝阳区校际联考) 某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图16甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a―→b―→c―→d―→e―→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)( )
A.若粒子的初始位置在a处，在t＝eq \f(3,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B.若粒子的初始位置在f处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在e处，在t＝eq \f(11,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D.若粒子的初始位置在b处，在t＝eq \f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
【答案】AD
【解析】要使粒子的运动轨迹如题图所示，由左手定则知粒子做圆周运动的周期应为T0＝eq \f(T,2)，若粒子的初始位置在a处时，对应时刻应为t＝eq \f(3,4)T0＝eq \f(3,8)T，选项A正确；同理可判断选项D正确。
5. (2022·安徽省合肥市高三上开学考试)如图甲所示，比荷eq \f(q,m)＝k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB＝eq \r(3)L，宽AD＝L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。
(1)若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？
(2)要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？
【答案】(1)eq \f(nv0,kL) eq \f(2πL,3nv0)(n＝1、2、3…) (2)B0T0≤eq \f(5π,3k)
【解析】(1)带电粒子在长方形区域内做匀速圆周运动，设粒子运动轨迹半径为R，周期为T，则可得R＝eq \f(mv0,qB0)＝eq \f(v0,kB0)，T＝eq \f(2πm,qB0)＝eq \f(2π,kB0)
每
经过一个磁场的变化周期，粒子的末速度方向和初速度方向相同，如图所示，要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则经历的时间必须是磁场周期的整数倍，有：
AB方向：eq \r(3)L＝n×2Rsin θ
DC方向：L＝n×2R(1－cs θ)
解得cs θ＝1(舍去)，cs θ＝eq \f(1,2)
所以θ＝60°，R＝eq \f(L,n)
即B0＝eq \f(nv0,kL)，T0＝eq \f(T,3)＝eq \f(2πL,3nv0)(n＝1、2、3…)。
(2)
当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过AD边时运动情形如图所示，由图可知粒子在第一个eq \f(1,2)T0时间内转过的圆心角θ＝eq \f(5π,6)
则T0≤eq \f(5,6)T，即T0≤eq \f(5,6)·eq \f(2πm,qB0)≤eq \f(5π,3kB0)
所以B0T0≤eq \f(5π,3k)。
6. (2022·江苏省南京市高三下第三次调研)某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图8310甲中由B到C的方向)，电场变化如图乙中Et图像，磁感应强度变化如图丙中Bt图像。在A点，从t＝1 s(即1 s末)开始，每隔2 s，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB方向(垂直于BC)以速度v射出，恰能击中C点，若Aeq \x\t(C)＝2Beq \x\t(C)且粒子在AB间运动的时间小于1 s，求：
(1)图线上E0和B0的比值，磁感应强度B的方向；
(2)若第1个粒子击中C点的时刻已知为(1＋Δt) s，那么第2个粒子击中C点的时刻是多少？
【答案】(1)eq \f(E0,B0)＝eq \f(4,3)v，磁场方向垂直纸面向外
(2)第2个粒子击中C点的时刻为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3\r(3),2π)Δt))
【解析】设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R。在第2秒内只有磁场。轨道如图所示。
(1)因为Aeq \x\t(C)＝2Beq \x\t(C)＝2d 所以R＝2d。
第2秒内，仅有磁场：
qvB0＝meq \f(v2,R)＝meq \f(v2,2d)。
第3秒内，仅有电场：d＝eq \f(1,2)·eq \f(qE0,m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)d,v)))2。
所以eq \f(E0,B0)＝eq \f(4,3)v。粒子带正电，故磁场方向垂直纸面向外。
(2)Δt＝eq \f(T,6)＝eq \f(1,6)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(π,3)·eq \f(m,qB)＝eq \f(π,3)·eq \f(2d,v)，Δt′＝eq \f(\r(3)d,v)＝eq \f(3\r(3),2π)Δt。故第2个粒子击中C点的时刻为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3\r(3),2π)Δt)) s。
7. (2022·江苏南通市5月第二次模拟)如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1 000 V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8 kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5 C的粒子，从y轴上(0，0.04 m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。
(1)若v0＝200 m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；
(2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；
(3)若粒子恰能经过x轴上x＝100 m的点，求粒子入射的初速度v0。
【答案】(1)200eq \r(2) m/s 方向与x轴成45°角 (2)0.2 m(3)见解析
【解析】 (1)设粒子第一次在电场中的运动时间为t，根据牛顿第二定律得qE＝ma
粒子做类平抛运动，在竖直方向y＝eq \f(1,2)at2
vy＝at
末速度为v2＝veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y)
tan α＝eq \f(vy,v0)
解得v＝200eq \r(2) m/s
方向与x轴成45°角。
(2)初速度为0的粒子最容易穿过磁场，qvyB＝meq \f(veq \\al(2,y),r)得
r＝0.2 m
要使所有带电粒子都返回电场，磁场的最小宽度
d＝0.2 m。
(3)对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变，x1＝2rsin α＝2eq \f(mvsin α,qB)＝2eq \f(mvy,qB)＝0.4 m
设粒子第n次过x轴经过x＝100 m处，
满足eq \f(n－1,2)x1＋nv0t＝x
其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)，
则初速度v0＝eq \f(104×（50.1－0.1n）,2n) m/s，
其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)
或满足eq \f(n,2)x1＋(n－1)v0t＝x，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)，则初速度v0＝eq \f(104×（50－0.1n）,2（n－1）) m/s，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)。
8.(八省联考·辽宁·15)如图所示，在第一、四象限的0.5d≤y≤1.5d和－1.5d≤y≤－0.5d区域内存在磁感应强度大小可调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场.带电粒子以速度v0从点P(－4d,1.5d)沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场.已知带电粒子的质量为m、电荷量为q(q＞0)，不计粒子的重力.
(1)求匀强电场的电场强度大小E；
(2)若磁感应强度大小均为B1时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线y＝－1.5d相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点(图中未画出)，求B1；
(3)若磁感应强度大小均为B2时，粒子离开O点后，经n(n＞1)次磁偏转仍过第(2)问中的S点.求B2与B1的比值，并确定n的所有可能值.
【答案】(1)eq \f(3mv\\al(02),16qd) (2)eq \f(mv0,4qd) (3)eq \f(9n,11－2n)(n＝2,3,4,5)
【解析】(1)由牛顿第二定律得qE＝ma，
a＝eq \f(qE,m)①
粒子在匀强电场中做类平抛运动
水平方向：4d＝v0t②
竖直方向：1.5d＝eq \f(1,2)at2③
联立①②③式可得：E＝eq \f(3mv\\al(02),16qd).
(2)带电粒子在电场中：vy＝at④
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑤
v2＝v02＋v y2⑥
联立解得θ＝37°，v＝eq \f(5,4)v0
带电粒子在磁场中：qvB1＝meq \f(v2,R)⑦
由几何关系得R＝Rcs θ＋d⑧
解得R＝5d
联立解得B1＝eq \f(mv0,4qd)⑨
(3)第(2)问中，设S点横坐标为x
则x＝2Rsin θ＋2×eq \f(0.5d,tan θ)＝eq \f(22,3)d⑩
若磁感应强度大小均为B2时，仍过S点，则有：
x＝n(eq \f(4d,3)＋2R′sin θ)(n＝2,3,4,5)⑪
联立⑩⑪解得R′＝eq \f(522－4n,18n)d⑫
由qvB2＝meq \f(v2,R′)⑬
联立⑫⑬解得B2＝eq \f(9nmv0,222－4nqd)(n＝2,3,4,5)⑭
联立⑨⑭解得eq \f(B2,B1)＝eq \f(9n,11－2n)(n＝2,3,4,5)
9.(2022·湖南省永州市高三下第一次适应性测试) 现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图8312所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，求出sin θn；
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。
【答案】(1)2 eq \r(\f(qEd,m)) eq \f(2,B) eq \r(\f(mEd,q)) (2)B eq \r(\f(nqd,2mE))(3)见解析
【解析】 (1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功。由动能定理，有
2qEd＝eq \f(1,2)mv22①
由①式解得v2＝2 eq \r(\f(qEd,m))②
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有
qv2B＝meq \f(v22,r2)③
由②③式解得r2＝eq \f(2,B) eq \r(\f(mEd,q))④
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数，下同)。
nqEd＝eq \f(1,2)mvn2⑤
qvnB＝meq \f(vn2,rn)⑥
粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有
vn－1sin θn－1＝vnsin αn⑦
由图甲看出rnsin θn－rnsin αn＝d⑧
由⑥⑦⑧式得
rnsin θn－rn－1sin θn－1＝d⑨
由⑨式看出r1sin θ1，r2sin θ2，…，rnsin θn为一等差数列，公差为d，可得
rnsin θn＝r1sin θ1＋(n－1)d⑩
当n＝1时，由图乙看出r1sin θ1＝d
由⑤⑥⑩⑪式得
sin θn＝B eq \r(\f(nqd,2mE))⑫
甲
乙
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则
θn＝eq \f(π,2)⑬
sin θn＝1⑭
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为eq \f(q′,m′)，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时的速度方向与水平方向的夹角为θn′，由于
eq \f(q′,m′)＞eq \f(q,m)⑮
则导致sin θn′＞1⑯
说明θn′不存在，即原假设不成立。所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。
10. (2022·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的eq \r(3)倍．
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值．
【答案】(1)eq \f(2\r(3)v0,3) (2)eq \f(2\r(3)mv0,3qB1) (3)1.5B1
【解析】(1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝eq \f(LBC,LAB)＝eq \f(\r(3),3)，则θ＝30°
根据速度关系有：v＝eq \f(v0,cs θ)＝eq \f(2\r(3)v0,3)；
(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得：qvB1＝meq \f(v2,r1)，轨迹如图甲所示：
由几何关系得：L＝r1
解得：L＝eq \f(2\r(3)mv0,3qB1)；
(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示：
可得：qvB2m＝meq \f(v2,r2)
根据几何关系有：L＝r2(1＋sin θ)
解得：B2m＝1.5B1.
11.(2022·江西高三月考)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy中，第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E.第一象限中有沿y轴正方向的匀强电场(电场强度大小未知)且某未知矩形区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场(磁感应强度大小也为B)．一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成θ＝45°角斜向上做匀速直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即在矩形磁场区域内做匀速圆周运动，离开矩形磁场区域后垂直打在y轴上的P点(图中未标出)，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g(取sin 22.5°＝0.4，cs 22.5°＝0.9)．求：
(1)小球所带电荷量与质量的比值和第一象限内匀强电场的场强大小；
(2)矩形匀强磁场区域面积S的最小值；
(3)小球从M点运动到P点所用的时间．
【答案】(1)eq \f(g,E) E (2)eq \f(2.16E4,g2B4) (3)eq \f(BL,E)(1＋eq \f(\r(2),2))＋eq \f(E,gB)(eq \f(3,4)π－eq \f(\r(2),2))
【解析】(1)设小球质量为m，电荷量为q，速度为v，小球在MN段受力如图
因为在MN段做匀速直线运动，所以小球受力平衡，由平衡条件得
mgtan 45°＝qE
qvBsin 45°＝qE
解得eq \f(q,m)＝eq \f(g,E)
要使小球进入第一象限后能立即在矩形磁场区城内做匀速圆周运动，则小球受的重力必须与静电力平衡，mg＝qE1
联立解得E1＝E
(2)由(1)可知qvB＝eq \r(2)qE
即v＝eq \f(\r(2)E,B)
由qvB＝meq \f(v2,R)
可知R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(\r(2)E2,gB2)
由图可知矩形的最小面积S＝2Rcs 22.5°×(R－Rsin 22.5°)＝eq \f(2.16E4,g2B4)
(3)在第四象限运动的时间
t1＝eq \f(\r(2)L,v)
在第一象限矩形磁场区域运动的时间
t2＝eq \f(\f(3πR,4),v)
在第一象限做匀速直线运动的时间
t3＝eq \f(L－\f(\r(2),2)R,v)
联立解得小球从M到P的总时间
t＝t1＋t2＋t3＝eq \f(BL,E)(1＋eq \f(\r(2),2))＋eq \f(E,gB)(eq \f(3,4)π－eq \f(\r(2),2))．
1.（2021年河北省普通高中学业水平选择性考试14）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（，H、S两点末在图中标出）。对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
【解析】（1）从O点射出的粒子经电场一次加速，由动能定理
带电粒子正好打在P点处的粒子靶上，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r=L0/2.
洛伦兹力提供向心力，qvB=m
联立解得：U0=。
（2）当电压为最小值时，粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，则
从O点射出的粒子在板间被加速，由动能定理，
粒子在负极板上方的磁场中做匀速圆周运动，
粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则
由几何关系，
联立解得：v=4v0/3，
（3）设粒子第一次经过电场加速，在负极板上方磁场区域偏转的轨迹半径为r0，若粒子在电场中加速电压小于Umin，粒子穿过正极板下方磁场运动时，会被OM板吸收。则第一次出现能吸收两种能量的位置（即H点），为粒子通过极板电压时，粒子第二次从上方打到负极板位置（轨迹如图中蓝色线条所示）。由（2）的计算可知，r1=
则 CH=4r-2r’=
极板电压大于 时，粒子均不会被OM吸收，可以经过正极板下方磁场偏转，回到负极板上方磁场中，偏转后打在负极板上。则H点右方的点的粒子靶都可以接受到n（n≥2）种能量的粒子，即CS→∞。
2、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试）13.（13分）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
【解析】本题考查洛伦兹力和牛顿运动定律及其相关知识点，主要考查灵活运用知识能力.
(1)最上面的粒子绕磁场边界到达O点，即轨迹半径为r1，由qvB1=m，解得B1=
（2）最上面的粒子绕磁场边界到达O点，方向沿着x轴负方向，则需要继续逆时针绕半圈到达矩形边界的最低点，即轨迹半径为r2，由qvB2=m，解得B2=，由左手定则可判断出磁场方向为垂直纸面向里，磁场区域面积为S=πr22.
（3）图b中最下方的粒子绕1/4圆周运动到O，即qvBIII=m，解得BIII=
接着绕1/4圆周运动从第I象限右上角射出磁场，即qvBI=m，解得BI=
在第II象限和第IV象限中磁场区域最小面积为月牙形，即SII=（π/2-1）r32，SIV=（π/2-1）r42。
3、(2021·广东卷·14)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为eq \r(3)R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4.
(1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值．
【答案】 (1)eq \f(5\r(eUm),eR) eq \f(πR\r(meU),4eU) 8eU (2)eq \f(13,6)
【解析】 (1)电子在电场中加速有2eU＝eq \f(1,2)mv2
在Ⅰ区磁场中，由几何关系可得r＝Rtan 22.5°＝0.4R
根据洛伦兹力提供向心力有B1ev＝meq \f(v2,r)
联立解得B1＝eq \f(5\r(eUm),eR)
电子在Ⅰ区磁场中的运动周期为T＝eq \f(2πr,v)
由几何关系可得，电子在Ⅰ区磁场中运动的圆心角为
φ＝eq \f(5,4)π
电子在Ⅰ区磁场中的运动时间为t＝eq \f(φ,2π)T
联立解得t＝eq \f(πR\r(meU),4eU)
电子从P到Q在电场中共加速8次，故在Q点出射时的动能为Ek＝8eU
(2)设电子在Ⅰ区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为rm，此时圆周的轨迹与Ⅰ区磁场边界相切，
由几何关系可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)R－rm))2＝R2＋rm2
解得rm＝eq \f(\r(3),3)R
根据洛伦兹力提供向心力有B1evm＝meq \f(vm2,rm)
2eU＝eq \f(1,2)mvm2－keU
联立解得k＝eq \f(13,6).
4、(2019·全国卷Ⅰ·24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
【答案】 (1)eq \f(4U,B2d2) (2)eq \f(Bd2,4U)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3)))
【解析】(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,r)②
由几何关系知d＝eq \r(2)r③
联立①②③式得eq \f(q,m)＝eq \f(4U,B2d2)④
(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝eq \f(πr,2)＋rtan 30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝eq \f(s,v)⑥
联立②④⑤⑥式得t＝eq \f(Bd2,4U)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3))).⑦
5.(2018·全国卷Ⅰ)如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核eq \\al(1,1)H和一个氘核eq \\al(2,1)H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知eq \\al(1,1)H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.eq \\al(1,1)H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求：
(1)eq \\al(1,1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)eq \\al(2,1)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．
【答案】见解析
【解析】(1)eq \\al(1,1)H在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．设eq \\al(1,1)H在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1，它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1，由运动学公式有s1＝v1t1 ①
h＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1) ②
由题给条件，eq \\al(1,1)H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ1＝60°
eq \\al(1,1)H进入磁场时速度沿y轴方向的分量的大小为
a1t1＝v1tan θ1 ③
联立以上各式得
s1＝eq \f(2\r(3),3)h ④
(2)eq \\al(1,1)H在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE＝ma1 ⑤
设eq \\al(1,1)H进入磁场时速度的大小为v1′，由速度合成法则有
v1′＝eq \r(veq \\al(2,1)＋（a1t1）2) ⑥
设磁感应强度大小为B，eq \\al(1,1)H在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qv1′B＝eq \f(mv1′2,R1) ⑦
由几何关系得
s1＝2R1sin θ1 ⑧
联立以上各式得
B＝eq \r(\f(6mE,qh)) ⑨
(3)设eq \\al(2,1)H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得
eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1) ⑩
由牛顿第二定律有qE＝2ma2 eq \(○,\s\up1(11))
设eq \\al(2,1)H第一次射入磁场时的速度大小为v2′，速度的方向与x轴正方向夹角为θ2，入射点到原点的距离为s2，在电场中运动的时间为t2.
由运动学公式有
s2＝v2t2 eq \(○,\s\up1(12))
h＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2) eq \(○,\s\up1(13))
v2′＝eq \r(veq \\al(2,2)＋（a2t2）2) eq \(○,\s\up1(14))
sin θ2＝eq \f(a2t2,v2′) eq \(○,\s\up1(15))
联立以上各式得s2＝s1，θ2＝θ1，v2′＝eq \f(\r(2),2)v1′ eq \(○,\s\up1(16))
设eq \\al(2,1)H在磁场中做圆周运动的半径为R2，由⑦eq \(○,\s\up1(16))式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
R2＝eq \f(2mv2′,qB)＝eq \r(2)R1 eq \(○,\s\up1(17))
所以出射点在原点左侧．设eq \\al(2,1)H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s2′，由几何关系有
s2′＝2R2sin θ2 eq \(○,\s\up1(18))
联立④⑧eq \(○,\s\up1(16))eq \(○,\s\up1(17))eq \(○,\s\up1(18))式得，eq \\al(2,1)H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为s2′－s2＝eq \f(2\r(3),3)(eq \r(2)－1)h.新课程标准
1.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2．能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
命题趋势
考查的内容主要体现在对科学思维、运动与相互作用观念等物理学科的核心素养的要求。考查频率高，题目综合性强，会综合牛顿运动定律和运动学规律，注重与电场、磁场的渗透，注重生产、生活、当今热点、现代科技的联系。
试题情境
生活实践类
生活和科技等
学习探究类
带电粒子在磁场、组合场、叠加场中的运动
关键点
获取信息
①沿y轴正方向的匀强电场
②自y轴P点沿x轴正方向射入
带电粒子在第四象限内做类平抛运动
在第一、三象限内存在相同的匀强磁场
在第一、三象限内带电粒子做半径相同的匀速圆周运动
以垂直y轴的方向进入第二象限
在第一象限内做圆周运动的圆心在y轴上
改变磁感应强度值，经过一段时间后粒子再次经过Q点，且速度与第一次相同
带电粒子在第一、三象限内运动的轨迹均为半圆
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
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