2021年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学二模试卷（解析版+原卷版）

这是一份2021年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学二模试卷（解析版+原卷版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣ B．2 C．﹣2 D．
2．“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（　　）

A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
3．下列运算正确的是（　　）
A．﹣a2+2a2＝3a2 B．3a2×（﹣2a）＝﹣6a2
C．a8÷a4＝a2 D．（2a2）2＝4a4
4．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D．40cm2
6．如图，已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按图示位置放置．若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
7．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向下、直线x＝3、（3，5）
B．向上、直线x＝﹣3、（﹣3，5）
C．向上、直线x＝3、（3，5）
D．向下、直线x＝﹣3、（﹣3，﹣5）
8．若△ABC∽△ADE，AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．+＝140 D．﹣140＝
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．有一组数据如下：1，4，2，4，2，3，5，则这组数据的中位数是 　 　．
13．把多项式a3﹣2a2+a分解因式的结果是　 　．
14．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 　 　度．

15．在一次数学课上，数学老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”
操作步骤如下：
第一步：计算这个数与2的和的平方，再减去这个数与2的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以25；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
聪明的孩子们，赶快试一下，猜猜老师说出的结果是 　 　．
16．如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为　 　km．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°+（1﹣）0+．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以大于BC的长为半径作弧，以点C为圆心，同样长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；
②过M、N两点作直线MN分别交AB、BC于点D、E，连接CD．
（1）则直线MN是BC的 　 　．
（2）若CD＝CA，∠A＝50°，求∠ACB的度数．

20．为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 　 　人；
（2）图1中∠α的度数是 　 　度，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该校九年级有学生1000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 　 　人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．

21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AE平分∠BAD，BE＝3，求CD的长．

22．自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：
职工
甲
乙
月销售件数（件）
200
180
月工资（元）
1800
1700
（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？
（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
23．如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．

24．在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标A（x1，y1），B（x2，y2），我们把|x1﹣x2|称为A、B两点的“云距离”，记作＝|x1﹣x2|．例如：A（3，4），B（0，1），则＝|3﹣0|＝3．
（1）①若A（1，2），B（3，4），则＝　 　．
②若点A（x1，2），B（x2，﹣6），当A、B都在函数y＝2x的函数图象上时，＝　 　
③若点A（x1，2），B（x2，﹣4），当A、B都在函数y＝﹣的函数图象上时，＝　 　．
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，在第一象限内交双曲线y＝（k＞0）于C，D两点，且满足＝＝．若k﹣b+≥m恒成立，求m的最大值．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣2bx﹣3c（b≠0）在同一坐标平面内交于A（x1，y1），B（x2，y2），且满足下列两个条件：①a＞2b＞3c，②抛物线过（1，0），试求的取值范围．

25．如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．
（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；
（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；
（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．


2021年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣ B．2 C．﹣2 D．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2．
故选：B．
2．“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（　　）

A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
3．下列运算正确的是（　　）
A．﹣a2+2a2＝3a2 B．3a2×（﹣2a）＝﹣6a2
C．a8÷a4＝a2 D．（2a2）2＝4a4
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘法，同底数幂的除法、积的乘方的运算方法，利用排除法求解．
【解答】解：A、应为﹣a2+2a2＝a2，故本选项错误；
B、应为3a2×（﹣2a）＝﹣6a3，故本选项错误；
C、应为a8÷a4＝a4，故本选项错误；
D、（2a2）2＝4a4，正确．
故选：D．
4．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
5．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D．40cm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×4×5÷2＝20π．
故选：A．
6．如图，已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按图示位置放置．若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】过A作直线AD∥直线a，求出AD∥直线a∥直线b，根据平行线的性质得出∠1＝∠DAC＝30°，∠D＝∠DAB，再求出答案即可．
【解答】解：过A作直线AD∥直线a，

∵直线a∥b，
∴AD∥直线a∥直线b，
∴∠1＝∠DAC＝30°，∠D＝∠DAB，
∵∠1＝30°，∠CAB＝45°，
∴∠2＝∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝30°+45°＝75°，
故选：D．
7．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向下、直线x＝3、（3，5）
B．向上、直线x＝﹣3、（﹣3，5）
C．向上、直线x＝3、（3，5）
D．向下、直线x＝﹣3、（﹣3，﹣5）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【解答】解：由y＝﹣（x﹣3）2+5可知，二次项系数为﹣＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，
顶点坐标为（3，5）．
故选：A．
8．若△ABC∽△ADE，AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用相似三角形的对应边成比例列式计算即可．
【解答】解：设EC＝x，
∵AC＝6，
∴AE＝6﹣x，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
解得：x＝4，
故选：C．
9．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．+＝140 D．﹣140＝
【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程．
【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．
【分析】过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F，证明△ABE≌△BCF（ASA），得BE＝CF，再证明△ABD∽△CFD，列比例式可得结论．
【解答】解：过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F，

∵∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴AB∥CF，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABH+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠BAH，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∵AE是BC边上的中线，AB＝BC＝2，
∴BE＝BC＝1，
∴CF＝1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，
∵AB∥CF，
∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，
∴△ABD∽△CFD，
∴＝，
即＝，
解得：AD＝．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠﹣5　．
【分析】根据分母不为0，求出x的范围即可．
【解答】解：根据题意得：x+5≠0，
解得：x≠﹣5．
故答案为：x≠﹣5
12．有一组数据如下：1，4，2，4，2，3，5，则这组数据的中位数是 　3　．
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是3，因此中位数是3，
故答案为：3．
13．把多项式a3﹣2a2+a分解因式的结果是　a（a﹣1）2　．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式
【解答】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
14．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 　126　度．

【分析】先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°．
故答案是：126．
15．在一次数学课上，数学老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”
操作步骤如下：
第一步：计算这个数与2的和的平方，再减去这个数与2的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以25；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
聪明的孩子们，赶快试一下，猜猜老师说出的结果是 　200　．
【分析】根据三步操作可得出算式[（a+2）2﹣（a﹣2）2]×25÷a，展开化简后即可证出结论．
【解答】解：根据题意得：[（a+2）2﹣（a﹣2）2]×25÷a，
＝（a+2+a﹣2）（a+2﹣a+2）×25÷a，
＝8a×25÷a，
＝200．
∴老师说出的结果是200．
故答案为：200．
16．如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为　40　km．

【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，
∴PC＝2×20×＝40（km），
故答案为：40．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°+（1﹣）0+．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2﹣3×+1+2
＝﹣2﹣+1+2
＝﹣1．
18．先化简，再求值：，其中．
【分析】首先将分式的分子与分母进行因式分解，再正确进行分式的约分，最后准确代值计算．
【解答】解：，
＝+，
＝+1，
＝，
当时，原式＝＝＝﹣6．
19．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以大于BC的长为半径作弧，以点C为圆心，同样长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；
②过M、N两点作直线MN分别交AB、BC于点D、E，连接CD．
（1）则直线MN是BC的 　垂直平分线　．
（2）若CD＝CA，∠A＝50°，求∠ACB的度数．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作法判断即可．
（2）利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质求出∠B，可得结论．
【解答】解：（1）由作图可知，MN垂直平分线段BC．
故答案为：垂直平分线．

（2）∵MN垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB，
∵CD＝CA，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝∠DCB＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣25°﹣50°＝105°．
20．为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 　40　人；
（2）图1中∠α的度数是 　54　度，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该校九年级有学生1000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 　200　人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．

【分析】（1）根据B级的人数是12，所占的百分比是30%，据此即可求得总人数；
（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得α的值，然后利用百分比的意义求得C级的人数，进而补全直方图；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
故本次抽样测试的学生人数是40人；
故答案为：40；

（2）∠α的度数是360°×＝54°，
C级人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
把条形统计图补充完整，如图所示：

故答案为：54．

（3）1000×＝200（人）．
故不及格的人数约有200人，
故答案为：200；

（4）根据题意画树形图如下：

共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）＝＝．
21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AE平分∠BAD，BE＝3，求CD的长．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则利用BE＝DF得到AF＝EC，则可判断四边形AECF为平行四边形，从而利用平行四边形的性质得到结论；
（2）由在▱ABCD中，AE平分∠BAD，易得△ABE是等腰三角形，即可得CD＝AB＝BE＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣AF＝BC﹣BF，即AF＝EC，
而AF∥EC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE＝CF；
（2）解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE＝3，
∴CD＝BA＝3．
22．自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：
职工
甲
乙
月销售件数（件）
200
180
月工资（元）
1800
1700
（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？
（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
【分析】（1）可根据列表中给出的条件来列出方程组求解．
（2）可依照“职工丙今年六月份的工资不低于2000元”，列出不等式，然后判断出符合条件的答案．
【解答】解：
（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元
由题意得：，解这个方程组得：
答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．

（2）设该公司职工丙六月份销售z件产品．
由题意得：800+5z≥2000，
解这个不等式得：z≥240
答：该公司职工丙六月至少销售240件产品．
23．如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠A即可解决问题．
（2）连接BM，证明BG＝BM，BD⊥GM，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠BEC＝∠BAC＝30°．

（2）证明：连接BM．

∵AB＝AC，
∴＝，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM＝15°，
∴∠MBC＝∠CAM＝15°，
∵BE⊥AC，
∴∠BDG＝∠AFG＝90°，
∴∠AGF＝∠BGD＝75°，
∵∠M＝∠ACB＝75°，
∴∠M＝∠BGD＝75°，
∴BG＝BM，
∵BD⊥GM，
∴DG＝DM．
24．在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标A（x1，y1），B（x2，y2），我们把|x1﹣x2|称为A、B两点的“云距离”，记作＝|x1﹣x2|．例如：A（3，4），B（0，1），则＝|3﹣0|＝3．
（1）①若A（1，2），B（3，4），则＝　2　．
②若点A（x1，2），B（x2，﹣6），当A、B都在函数y＝2x的函数图象上时，＝　4　
③若点A（x1，2），B（x2，﹣4），当A、B都在函数y＝﹣的函数图象上时，＝　6　．
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，在第一象限内交双曲线y＝（k＞0）于C，D两点，且满足＝＝．若k﹣b+≥m恒成立，求m的最大值．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣2bx﹣3c（b≠0）在同一坐标平面内交于A（x1，y1），B（x2，y2），且满足下列两个条件：①a＞2b＞3c，②抛物线过（1，0），试求的取值范围．

【分析】（1）①根据定义求；
②将y＝2和y＝﹣6分别代入解析式求出对应的横坐标，然后根据定义求；
③将y＝2和y＝﹣4分别代入解析式求出对应的横坐标，然后根据定义求；
（2）用含有b的式子表示出点A和点B的坐标，利用＝＝表示出点C和点D的坐标，然后得到b和k的关系，然后求出k﹣b+的最小值，从而得到m的最大值；
（3）联立抛物线和直线的解析式，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理得到a、b、c之间的关系，然后根据条件①和条件②列出不等式，再解不等式得到的取值范围．
【解答】解：（1）①∵A（1，2），B（3，4），
∴＝|1﹣3|＝2，
故答案为：2；
②当y＝2时，x1＝1，当y＝﹣6时，x2＝﹣3，
∴＝|1﹣（﹣3）|＝4，
故答案为：4；
③当y＝2时，x1＝﹣4，当y＝﹣4时，x2＝2，
∴＝|﹣4﹣2|＝6，
故答案为：6；
（2）对直线y＝﹣x+b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝b，
∴A（0，b），B（b，0），
∵＝＝，
∴C（b，b），D（b，b），
∵点C和点D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝b•b＝b2，
∴k﹣b+＝b2﹣b+＝（b﹣）2﹣1≥﹣1，
∵k﹣b+≥m恒成立，
∴m≤﹣1，
∴m的最大值为﹣1．
（3）联立，得：ax2+3bx+4c＝0，
∵抛物线与直线交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（﹣）2﹣4×＝，
∵抛物线经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b，
∴2＝＝9（）2+16（）+16，
∵a＞2b＞3c，
∴2b＞3（﹣a﹣b），
∴b＞﹣a，
又∵a＞2b，
∴a＞﹣a，
∴a＞0，
∴﹣＜＜，
令＝t，则﹣＜t＜，
∴2＝9t2+16t+16＝9（t+）2﹣，
∴当﹣＜t＜时，2随t的增大而增大，
当t＝﹣时，2＝，＝，
当t＝时，2＝，＝，
∴的取值范围是：＜＜．
25．如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．
（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；
（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；
（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．

【分析】（1）先根据圆的性质得出A（2，0），C（0，2），D（﹣2，0），E（0，﹣2），设y＝a（x+1）（x﹣2），将C（0，2）代入，即可求得抛物线解析式．
（2）如图2，过点C作CH⊥BP于H，根据MC2＝MN•MB，∠CMN＝∠BMC，可得△MCN∽△MBC，进而可求得CH＝BH＝，再利用三角函数求得CM＝，AM＝，过点M作MG⊥OA于G，即可求得答案．
（3）设抛物线与⊙O的交点坐标为（t，﹣t2+t+2），根据⊙O的半径为2，可得方程（t﹣0）2+（﹣t2+t+2﹣0）2＝22，即可得出H（，），F（﹣，﹣），进而得出H、F关于点O对称，故FH＝CE＝4，，且OC＝OE＝OF＝OH，即可判断四边形CFEH是矩形．
【解答】解：（1）如图1，∵圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，
∴A（2，0），C（0，2），D（﹣2，0），E（0，﹣2），
∵B为OD中点，
∴B（﹣1，0），
∵抛物线经过点A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），
∴设y＝a（x+1）（x﹣2），将C（0，2）代入，得：2＝a（0+1）（0﹣2），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2.
（2）如图2，过点C作CH⊥BP于H，
∵OB＝1，OC＝2，OA＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴BC＝，AC＝2，
∵MC2＝MN•MB，
∴＝，
∵∠CMN＝∠BMC，
∴△MCN∽△MBC，
∴∠MCN＝∠MBC，
∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，
∴∠MCN＝45°，
∴∠MBC＝45°，
∵∠BHC＝90°，
∴CH＝BH＝BC•cos∠MBC＝•cos45°＝，
∵∠BCH＝∠MBC＝45°，
∴∠BCO+∠HCN＝∠MCH+∠HCN，
∴∠BCO＝∠MCH，
∴cos∠BCO＝cos∠MCH，
∴＝，即＝，
∴CM＝，
∴AM＝AC﹣CM＝2﹣＝，
过点M作MG⊥OA于G，则∠AGM＝90°，
∵∠MAG＝45°，
∴AG＝MG＝AM•sin∠MAG＝×sin45°＝，
∴OG＝OA﹣AG＝2﹣＝，
∴M（，）．
（3）四边形CFEH是矩形．理由如下：
设抛物线与⊙O的交点坐标为（t，﹣t2+t+2），
∵⊙O的半径为2，
∴（t﹣0）2+（﹣t2+t+2﹣0）2＝22，
化简，得：t4﹣2t3﹣2t2+4t＝0，
∵t≠0，
∴t3﹣2t2﹣2t+4＝0，
∴（t﹣2）（t2﹣2）＝0，
解得：t1＝2（舍去），t2＝，t3＝﹣，
∴H（，），F（﹣，﹣），
∴H、F关于点O对称，
∴FH＝CE＝4，且OC＝OE＝OF＝OH，
∴四边形CFEH是矩形．