2024年湖南省岳阳市岳阳县中考数学模拟试卷（二）+

这是一份2024年湖南省岳阳市岳阳县中考数学模拟试卷（二）+，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．0C．D．5
2．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2B．3a﹣2a＝1C．a2•a3＝a5D．a÷a2＝a
3．（3分）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ）
A．x≤1B．x＞1C．﹣1＜xD．﹣1＜x≤1
4．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
6．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（ ）
A．5B．6C．D．8
8．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（ ）
A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）分解因式：a2b﹣b＝ ．
12．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，S乙2＝3.5，S丙2＝9，，则成绩最稳定的同学是 ．（填写甲或乙或丙或丁）
15．（3分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
16．（3分）圆锥的底面半径为30cm，母线长为50cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
17．（3分）如果代数式ax3+bx﹣6，当x＝﹣2时代数式的值为8，那么当x＝2时的值为 ．
18．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）
19．（6分）计算|﹣|﹣2sin45°++（2024﹣π）0．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．
22．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
23．（8分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
24．（10分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
25．（10分）如图1，以正方形ABCD的顶点A为圆心，作圆弧，P是上一动点，过点P作的切线交BC于点E，交CD于点F，连接AE，AF．
（1）求∠EAF的大小；
（2）如图2，连接AP，①求证为定值；
②当PE＝2，PF＝3时，求△AEF的面积．
（3）如果△CEF的周长为20，设BE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式．
26．（12分）对于函数y＝f（x），若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，即一个函数图象上存在横坐标与纵坐标相等的点，则称该点是函数y＝f（x）的“不动点”．例如，点（1，1）是函数图象的“不动点”．
（1）分别判断函数y＝x2+5x+3，y＝x+2的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）设函数，y＝﹣x+b（b＞0）的图象的“不动点”分别为点A，B，过B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC为等腰直角三角形时，求a，b的关系式；
（3）若函数y＝x2﹣6（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，此时W2的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣6（x＜m），当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”时，求m的取值范围．
2024年湖南省岳阳市岳阳县中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．0C．D．5
【分析】根据有理数、无理数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、﹣2是有理数，故此选项不符合题意；
B、0是有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、5是有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2B．3a﹣2a＝1C．a2•a3＝a5D．a÷a2＝a
【分析】根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则及合并同类项法则即可解决问题．
【解答】解：因为3a+2a＝5a，所以A选项错误．
因为3a﹣2a＝a，所以B选项错误．
因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以C选项正确．
因为a÷a2＝a1﹣2＝a﹣1，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的运算及合并同类项，熟知同底数幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．
3．（3分）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ）
A．x≤1B．x＞1C．﹣1＜xD．﹣1＜x≤1
【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案．
【解答】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是1﹣＜x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法是正确解答的前提．
4．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，可得选项D的图形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P的坐标是（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1），
故选：C．
【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（ ）
A．5B．6C．D．8
【分析】连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，即四边形OCED为菱形，则可得OF＝EF＝OE＝4，CF＝＝3，则CD＝2CF＝6．
【解答】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，
由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，
∴四边形OCED为菱形，
∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，
由勾股定理得，CF＝＝3，
∴CD＝2CF＝6，
即C，D两点之间的距离为6．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
8．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（ ）
A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
【分析】由“ASA”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解答】解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△BED≌△CDF是本题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）分解因式：a2b﹣b＝ b（a+1）（a﹣1） ．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2b﹣b
＝b（a2﹣1）
＝b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
12．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为 9×109 ．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：9000000000＝9×109．
故答案为：9×109．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，S乙2＝3.5，S丙2＝9，，则成绩最稳定的同学是 丁 ．（填写甲或乙或丙或丁）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵，S乙2＝3.5，S丙2＝9，，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的同学是丁．
故答案为：丁．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．（3分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 8 尺．
【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
整理得：x2﹣12x+20＝0，
解得x＝2（舍去）或x＝10．
则门高：10﹣2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
16．（3分）圆锥的底面半径为30cm，母线长为50cm，则圆锥的侧面积为 1500π cm2．（结果保留π）
【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×30×50÷2＝1500π （cm2）．
故答案为：1500π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
17．（3分）如果代数式ax3+bx﹣6，当x＝﹣2时代数式的值为8，那么当x＝2时的值为 ﹣20 ．
【分析】由题意得﹣8a﹣2b﹣6＝8，则8a+2b＝﹣14，将x＝2代入ax3+bx﹣6中计算后代入数值计算即可．
【解答】解：由题意得﹣8a﹣2b﹣6＝8，
则8a+2b＝﹣14，
当x＝2时，
ax3+bx﹣6
＝8a+2b﹣6
＝﹣14﹣6
＝﹣20，
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查代数式求值，结合已知条件求得8a+2b＝﹣14是解题的关键．
18．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 + ．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝+，即OM的最大值为+；
故答案为．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）
19．（6分）计算|﹣|﹣2sin45°++（2024﹣π）0．
【分析】先算乘方、化简绝对值，再代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减．
【解答】解：|﹣|﹣2sin45°++（2024﹣π）0
＝﹣2×+4+1
＝﹣+4+1
＝5．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的意义，特殊角的函数值及绝对值的意义是解决本题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先化简括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•﹣（x2+2x+1）
＝x（x﹣1）﹣x2﹣2x﹣1
＝x2﹣x﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣3x﹣1，
当x＝﹣时，原式＝﹣3×（﹣）﹣1＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．
【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE＝BF＝DE＝DF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
同理可得△BFC≌△DFC，
所以BF＝DF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
∴四边形BEDF是菱形．
方法二、连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝DO，AO＝CO，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
22．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 80 人，条形统计图中m的值为 16 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 90° ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 40 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【分析】（1）将基本了解的人数除以其所占百分比即可得到接受调查的学生总数；将接受调查的学生总数减去另外三项人数即可求出M的值；将“非常了解”占比乘以360°即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）将该校学生总数乘以样本中该校学生中对心理健康知识“不了解”的占比即可；
（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到2名女生的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人），
条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：＝90°，
故答案为：80，16，90°；
（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×＝40人），
故答案为：40；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴P（恰好抽到2名女生）＝．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．（8分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
【分析】由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，进而求得，利用EG＝EF+FG即可求解．
【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，
则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30cm，BH＝20cm，
则tan∠EAF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，
∵AF＝11m，
则，
∴EF＝，
∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．
答：树EG的高度约为9.1m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，得到∠EAF＝∠BAH是解决问题的关键．
24．（10分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题；
【解答】解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃）
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，
，得，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x＞7时，设y＝，
100＝，得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y＝，
当y＝30时，x＝，
∴y与x的函数关系式为：y＝，y与x的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
∵14﹣2＝12，﹣12＝
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待min；
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
25．（10分）如图1，以正方形ABCD的顶点A为圆心，作圆弧，P是上一动点，过点P作的切线交BC于点E，交CD于点F，连接AE，AF．
（1）求∠EAF的大小；
（2）如图2，连接AP，①求证为定值；
②当PE＝2，PF＝3时，求△AEF的面积．
（3）如果△CEF的周长为20，设BE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）连接AP，根据切线长定理可得∠BAE＝∠PAE，∠PAF＝∠DAF，即可求解；
（2）①正方形ABCD的边长为a，根据切线长定理得出EB＝EP，FD＝FP，则△CEF的周长＝2a，即可进行解答；②根据PE＝2，PF＝3，则CE＝a﹣2，CF＝a﹣3，根据勾股定理求出a的值，最后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据△CEF的周长为20，得出a＝10．设DF＝t，则CE＝10﹣x，CF＝10﹣t，EF＝x+t，根据勾股定理求出，进而得出，根据三角形的面积公式得出．
【解答】（1）解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝∠C＝90°，
∴CB，CD均为圆弧的切线．
∵EF为圆弧的切线，
∴∠BAE＝∠PAE，∠PAF＝∠DAF，
∴∠PAE+∠PAF＝（∠PAB+∠PAD），
∴∠EAF＝∠BAD＝45°；
（2）设正方形ABCD的边长为a．
①证明：∵CB，CD，EF均为圆弧的切线，
∴EB＝EP，FD＝FP，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EP+PF+CF＝CE+EB+FD+CF＝CB+CD＝2a，
∵AP＝a，
∴＝2，
∴为定值；
②解：∵PE＝2，PF＝3，
∴EB＝EP＝2，FD＝FP＝3，
∴CE＝a﹣2，CF＝a﹣3．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（a﹣2）2+（a﹣3）2＝52，
解得a＝6或a＝﹣1（舍去），
∴AP＝a＝6，
∴S△AEF＝EF•AP＝×5×6＝15；
（3）解：∵△CEF的周长为20，
∴2a＝20，
∴a＝10．
设DF＝t，则CE＝10﹣x，CF＝10﹣t，EF＝x+t
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（10﹣x）2+（10﹣t）2＝（x+t）2，
化简整理得xt+10x+10t﹣100＝0，t＝，
∴EF＝x+t＝x+，
∴y＝EF•AP＝＝，
∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜10）．
【点评】本题主要考查了圆的切线长定理，勾股定理，二次函数的性质，掌握从圆外一点可以画两条圆的切线，这条切线长相等，圆心到这点的连线平分两条切线的夹角；以及求二次函数最值的方法和步骤是解题的关键．
26．（12分）对于函数y＝f（x），若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，即一个函数图象上存在横坐标与纵坐标相等的点，则称该点是函数y＝f（x）的“不动点”．例如，点（1，1）是函数图象的“不动点”．
（1）分别判断函数y＝x2+5x+3，y＝x+2的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）设函数，y＝﹣x+b（b＞0）的图象的“不动点”分别为点A，B，过B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC为等腰直角三角形时，求a，b的关系式；
（3）若函数y＝x2﹣6（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，此时W2的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣6（x＜m），当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”时，求m的取值范围．
【分析】（1）在y＝x2+5x+3中，令y＝x得x＝﹣1或x＝﹣3，故函数y＝x2+5x+3图象上的“不动点”坐标为（﹣1，﹣1）和（﹣3，﹣3）；在y＝x+2中，令y＝x得x＝x+2，故函数y＝x+2的图象上不存在“不动点”；
（2）求出A（，），B（，），C（，0），可得AB2＝2（﹣）2＝2a+﹣2b，AC2＝（﹣）2+a＝2a+﹣b，BC2＝；①当AB为斜边时，，可得b2＝4a；②AC为斜边时，，这种情况不存在；③BC为斜边，，可得b2＝16a；
（3）W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”，即是W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点；求出函数y＝x2﹣6的图象上的“不动点”坐标为（3，3）和（﹣2，﹣2）；画出图形可得当﹣2＜m＜3时，W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点，即W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”；当抛物线y＝（x﹣2m）2﹣6与直线y＝x只有一个交点时可得m＝﹣3.125，画出图形可得当m＜﹣3.125时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”．
【解答】解：（1）在y＝x2+5x+3中，令y＝x得x＝x2+5x+3，
解得x＝﹣1或x＝﹣3，
∴函数y＝x2+5x+3图象上的“不动点”坐标为（﹣1，﹣1）和（﹣3，﹣3）；
在y＝x+2中，令y＝x得x＝x+2，方程无解，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“不动点”；
（2）在y＝中，令y＝x得x＝，
解得x＝或x＝﹣，
∵x＞0，
∴A（，），
在y＝﹣x+b中，令y＝x得x＝﹣x+b，
解得x＝，
∴B（，）；
∵过B作BC⊥x轴，垂足为C，
∴C（，0），
∴AB2＝2（﹣）2＝2a+﹣2b，AC2＝（﹣）2+a＝2a+﹣b，BC2＝；
①当AB为斜边时，AC＝BC，且AB2＝2BC2，
∴，
∴b2＝4a；
②AC为斜边时，
∴，
整理得，
∵a＞0，b＞0，
∴这种情况不存在；
③BC为斜边．
∴，
∴b2＝16a；
综上所述，a，b的关系式为b2＝4a或b2＝16a；
（3）W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”，即是W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点；
在y＝x2﹣6中，令y＝x得x＝x2﹣6，
解得x＝3或x＝﹣2，
∴函数y＝x2﹣6的图象上的“不动点”坐标为（3，3）和（﹣2，﹣2）；
如图：
由图可知，当﹣2＜m＜3时，W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点，即W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”；
当抛物线y＝（x﹣2m）2﹣6与直线y＝x只有一个交点时，方程x＝（x﹣2m）2﹣6有两个相等实数根，
∴x2﹣（4m+1）x+4m2﹣6＝0的Δ＝0，即16m2+8m+1﹣16m2＝24＝0，
解得m＝﹣3.125，
如图：
由图可知，当m＜﹣3.125时，W1，W2两部分组成的图象与直线y＝x恰有2个交点，即W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”；
综上所述，当﹣2＜m＜3或m＜3.125时W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“不动点”．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题．