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七年级数学下册专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型(M型)与锯齿模型(原卷版+解析)
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这是一份七年级数学下册专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型(M型)与锯齿模型(原卷版+解析)，共41页。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，为等边三角形，．若，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．
例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．
例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．
(1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，．
①如图2，平分，过点作，若，求的度数；
②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
课后专项训练
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
4．（2023下·吉林·七年级统考期末）如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南信阳·校考三模）已知，如图，一个含30°角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，，点A为射线CF上一点，，，则的度数为 ．
8．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时， （填“增大”或“减小”） 度．
9．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是 ．
10．（2023下·四川南充·七年级校考期末）如图，，，则 ．
11．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，直线，点E在直线上，点H在直线上，点F在直线之间，连接，．则的度数为 度．
12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则 °．
13．（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则 ．
13．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是 .
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，， ．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，直线平分，交于点，过点作平分交于，若，则 度．
16．（2023下·四川德阳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是 （填序号）
17．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）填空，并在后面的括号中填理由：
如图，已知，求证：．
证明：如图，过点C作
∴______（ ），
∵，
即
∴______
∴____________（ ）
又∵（ ）
∴____________（ ）
18．（2023下·福建南平·七年级统考期末）如图，，直线与分别交于M，N，平分，平分．(1)当时，求的大小；(2)设，用含α的式子表示．
19．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；
(3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．
20．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）已知直角三角形．
(1)如图1，直线，且平分，求的度数．(用含x的式子表示)
(2)在（1）的条件下，直线平分交直线于点D，如图2，在x取不同数值时，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请求出变化的范围．
21．（2023下·广东河源·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明；
(2)如图，若，，分别平分和，求的度数；
(3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．
22．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出
（1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________．
（2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由．
问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．
23．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作 ∵
∵，∴∴
∴ ∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，为等边三角形，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形性质．得用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
【详解】解：∵为等边三角形，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，故选：D．
例2．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作，则，由平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作，
∵，∴，
∴，
∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【详解】解：过C作，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．
【答案】
【分析】过作，可得，可得出两对内错角相等，由与分别为角平平分线，利用角平分线定义得到两对角相等，再由与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两对角互补，利用等式的性质求出的度数，即可求出的度数；此类推即可确定出的度数．
【详解】解：如图，过作，可得，，，
、分别为与的平分线，，，
，，即，
，则；
、的平分线相交于点，，，
，即，
，即，
，
归纳总结得：．故答案为：，．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线定义，属于探究型试题，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．
【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，
∴，∴，
过点C作，则有，同理，
∵和分别平分和，∴，
∴，，
即，解得：，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．
例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．
【详解】解：如图所示，过点，，作，，，
．，．，
，，，，
，，，
和是角平分线，，
，，
，，，
，即．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．
例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．
【答案】/度
【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论．
【详解】解：如图，过点，分别作，，
∵，∵，
则，,,
∴,
∴,故答案为．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键．
例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .
（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，
则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．
(1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，．
①如图2，平分，过点作，若，求的度数；
②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①，②，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）①根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可；
②根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）①∵平分，∴，
①由平分，可设，
又∵，∴，
又∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴．
②．理由：设，，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，即，
∴，∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点，利用代数式表示各个角之间的关系．
课后专项训练
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由平行线的性质得到，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴．故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题关键．
2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的性质可得，代入计算即可．
【详解】解：，，，
，，
．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角相等；两直线平行，内错角相等．
3．（2023·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4．（2023下·吉林·七年级统考期末）如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，，，
∴．故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
5．（2023·河南信阳·校考三模）已知，如图，一个含30°角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作，由平行线的传递性可得，由平行线的性质可得，，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，过点B作，
∵，，∴．∴，∵，∴．
∵在中，，∴，∴，
又∵，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查简单的有拐点的平行线，涉及平行线的传递性，平行线的性质及判定，直角三角形两锐角互余的知识，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
6．（2023·哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，求出，再利用角平分线计算即可．
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∵平分，∴,
∴，故选：A．
7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，，点A为射线CF上一点，，，则的度数为 ．
【答案】40
【分析】根据可得，作，得出，从而得出，，，由，得．
【详解】解：∵，∴，
过C作，则，如图：
∴，，
∵，∴，
∴．故答案为：40．
【点睛】本题考查平行的性质，含有平行线中的拐点模型，作出适当的辅助线是解题关键．
8．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时， （填“增大”或“减小”） 度．
【答案】 增大 5
【分析】作，推出，得到，，推出，即，据此即可求解．
【详解】解：作，如图，
∵，∴，∴，，
∵，，
∴，∴，∴当β增大时，增大5度．故答案为：增大，5．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，推出是解题的关键．
9．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是 ．
【答案】8
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质求出即可得到结论．
【详解】解：如图，过B作，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴A地到公路的距离是，故答案为：8．
【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，点到直线的距离，解题的关键是学会添加常用辅助线．
10．（2023下·四川南充·七年级校考期末）如图，，，则 ．
【答案】/35度
【分析】过点A作的平行线，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：过点A作，则．
∴，，∴．
∵，∴．∴．故答案为：．
【点睛】本题考查直线平行的性质，关键在于过点A作平行线，将角进行转化，常考题型．
11．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，直线，点E在直线上，点H在直线上，点F在直线之间，连接，．则的度数为 度．
【答案】150
【分析】过点F作，则有，即，，解题即可求出．
【详解】解：如图，过点F作，∵∴，
∴，，∴，
即，解得：故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质和平行公理，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则 °．
【答案】75
【分析】由可知，又由，由平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，再由计算即可．
【详解】解：，，，，
，，．故答案为：75．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的综合运用，解题关键是据图形合理利用平行线的性质和判定定理．
13．（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则 ．
【答案】/106度
【分析】由得，再由是等边三角形，即可求出结果．
【详解】解：，，，
是等边三角形，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
13．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是 .
【答案】互余
【分析】根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出结论．
【详解】解：∵，∴，
∵、分别是、的平分线，∴，，
∴，∴，∴，∴与互余，故答案为：互余．
【点睛】本题考查平行性的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质得出是解题的关键．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，， ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．故答案为：36
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，直线平分，交于点，过点作平分交于，若，则 度．
【答案】100
【分析】延长交于点，设，根据平行线的性质，角平分线平分角和三角形的外角的性质，求出，即可．
【详解】解：延长交于点，
设，∵平分，∴，
∵，∴，
∴，
∵平分，∴，
∴，
∴；故答案为：100．
【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，以及三角形的外角的性质，正确的识图，理清角度之间的数量关系，设参法表示角的度数，是解题的关键．
16．（2023下·四川德阳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是 （填序号）
【答案】①②④
【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，故①正确；
∴，∴，，∴，
又∵平分，∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，∴不一定成立，故③错误；
∵ ，∴为定值，故④正确．
综上所述，正确的选项①②④，故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
17．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）填空，并在后面的括号中填理由：
如图，已知，求证：．
证明：如图，过点C作
∴______（ ），
∵，
即
∴______
∴____________（ ）
又∵（ ）
∴____________（ ）
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质可得，再根据，即，可得，从而可得，即可得出结论．
【详解】证明：如图，过点C作，
∴（两条直线平行，内错角相等），
∵，即，
∴，∴（内错角相等，两条直线平行），
又∵（已知），
∴（如果两条直线都有第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
18．（2023下·福建南平·七年级统考期末）如图，，直线与分别交于M，N，平分，平分．
(1)当时，求的大小；(2)设，用含α的式子表示．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由角平分线求解即可；（2）根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，∴，
又∵平分， ∴；
（2）∵， ∴，
又∵平分，平分，∴，
∴，
又∵， ∴．
【点睛】题目考查平行线的性质及角平分线的计算，理解题意，结合图形找出各角之间的关系是解题关键．
19．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；
(3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．
【答案】(1)(2)详见解析(3)
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用、三角形的外角的性质：
（1）依据题意，根据三角形的外角的性质，，又，故可得解．
（2）过点B作，由于，从而，则，再结合，，又，可得，进而可以得解．
（3）过点B作，由（2）可得，．设，，则；由，从而；又平分，可得，故，进而可得与的关系．
需要熟练掌握角度之间的转化，并学会借助方程的思想来解题．
【详解】（1）解：由题意，，．，．
又，．故答案为：．
（2）证明：如图1，过点B作，
又，，．
，．．
，．
，．
又．；
（3）如图2，过点B作，
由（2）可得，．
设，，则．
，．
又平分，．
．．．
20．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）已知直角三角形．
(1)如图1，直线，且平分，求的度数．(用含x的式子表示)
(2)在（1）的条件下，直线平分交直线于点D，如图2，在x取不同数值时，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请求出变化的范围．
【答案】(1)(2)的大小不变，求其值为
【分析】（1） 过点A作，由平分得到，，继而求出，再由推出，用求得，利用平行公理推论得到，继而推导；
（2）由得到，利用平分求得，利用得出，从而利用求得，至此得解．
【详解】（1）解：如下图，过点A作，
∵平分，，
∴，，∴．
∵，∴．
又∵，
∴．
又∵，，∴，∴．
（2）的大小不变，求其值为．理由是：依然过点A作，
由（1）得：，∴．
又∵平分，∴．
又∵，，∴，
∴，
∴的大小不变，求其值为．
【点睛】本题考查与角平分线有关的计算，平行线公理的推论，平行线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
21．（2023下·广东河源·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明；
(2)如图，若，，分别平分和，求的度数；
(3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得答案；（2）根据垂直的定义及(1)中的结论可得答案；（3）设的度数为，的度数为，则由(1)得，，由(1)(2)得，、，然后两式相加可得答案．
【详解】（1）如图，过点作，则，
，，，，
，
（2），，
由（1）知，，
，分别平分和，
，
（3）设的度数为，的度数为，则由（1）得，，
由（2）得，，，
由得，．
【点睛】此题考查的是平行线的性质及垂直定义，正确作出辅助线是解决此题关键．
22．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出
（1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________．
（2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由．
问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系即可解答；（2）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后根据角平分线的定义解答即可；（3）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后利用角的和差关系解答即可．
【详解】解：（1），理由如下：过点作，
∵，∴，∴，，
∴，∴，即；
（2），理由如下，如图，过点C作，过点F作．
∵，∴，∴，，
∴，∴，同理：，
∵BF平分，∴，∵DF平分，∴，
∴，即：；
（3）过点C作，过点F作，
∵，∴，∴，，
∴，∴，同理：，
∵，，
∴，∴，∵，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行于同一条直线的两条直线互相平行，平行线的性质，角的和差关系，角平分线的定义，掌握平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
23．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作 ∵
∵，∴∴
∴ ∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴∴，，
∴，
∵，∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，∴，，
∵∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
【答案】（1）110°；（2）80°；（3）
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作,，，，
，，，，
，，∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；
（3）过点P作，
平分，，同理，
∴ ，
同理，故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，为等边三角形，．若，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．
例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．
例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．
(1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，．
①如图2，平分，过点作，若，求的度数；
②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
课后专项训练
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
4．（2023下·吉林·七年级统考期末）如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南信阳·校考三模）已知，如图，一个含30°角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，，点A为射线CF上一点，，，则的度数为 ．
8．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时， （填“增大”或“减小”） 度．
9．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是 ．
10．（2023下·四川南充·七年级校考期末）如图，，，则 ．
11．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，直线，点E在直线上，点H在直线上，点F在直线之间，连接，．则的度数为 度．
12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则 °．
13．（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则 ．
13．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是 .
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，， ．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，直线平分，交于点，过点作平分交于，若，则 度．
16．（2023下·四川德阳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是 （填序号）
17．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）填空，并在后面的括号中填理由：
如图，已知，求证：．
证明：如图，过点C作
∴______（ ），
∵，
即
∴______
∴____________（ ）
又∵（ ）
∴____________（ ）
18．（2023下·福建南平·七年级统考期末）如图，，直线与分别交于M，N，平分，平分．(1)当时，求的大小；(2)设，用含α的式子表示．
19．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；
(3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．
20．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）已知直角三角形．
(1)如图1，直线，且平分，求的度数．(用含x的式子表示)
(2)在（1）的条件下，直线平分交直线于点D，如图2，在x取不同数值时，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请求出变化的范围．
21．（2023下·广东河源·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明；
(2)如图，若，，分别平分和，求的度数；
(3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．
22．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出
（1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________．
（2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由．
问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．
23．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作 ∵
∵，∴∴
∴ ∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，为等边三角形，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形性质．得用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
【详解】解：∵为等边三角形，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，故选：D．
例2．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作，则，由平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作，
∵，∴，
∴，
∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【详解】解：过C作，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．
【答案】
【分析】过作，可得，可得出两对内错角相等，由与分别为角平平分线，利用角平分线定义得到两对角相等，再由与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两对角互补，利用等式的性质求出的度数，即可求出的度数；此类推即可确定出的度数．
【详解】解：如图，过作，可得，，，
、分别为与的平分线，，，
，，即，
，则；
、的平分线相交于点，，，
，即，
，即，
，
归纳总结得：．故答案为：，．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线定义，属于探究型试题，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．
【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，
∴，∴，
过点C作，则有，同理，
∵和分别平分和，∴，
∴，，
即，解得：，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．
例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．
【详解】解：如图所示，过点，，作，，，
．，．，
，，，，
，，，
和是角平分线，，
，，
，，，
，即．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．
例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．
【答案】/度
【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论．
【详解】解：如图，过点，分别作，，
∵，∵，
则，,,
∴,
∴,故答案为．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键．
例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .
（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，
则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．
(1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，．
①如图2，平分，过点作，若，求的度数；
②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①，②，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）①根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可；
②根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）①∵平分，∴，
①由平分，可设，
又∵，∴，
又∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴．
②．理由：设，，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，即，
∴，∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点，利用代数式表示各个角之间的关系．
课后专项训练
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由平行线的性质得到，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴．故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题关键．
2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的性质可得，代入计算即可．
【详解】解：，，，
，，
．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角相等；两直线平行，内错角相等．
3．（2023·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4．（2023下·吉林·七年级统考期末）如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，，，
∴．故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
5．（2023·河南信阳·校考三模）已知，如图，一个含30°角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作，由平行线的传递性可得，由平行线的性质可得，，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，过点B作，
∵，，∴．∴，∵，∴．
∵在中，，∴，∴，
又∵，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查简单的有拐点的平行线，涉及平行线的传递性，平行线的性质及判定，直角三角形两锐角互余的知识，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
6．（2023·哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，求出，再利用角平分线计算即可．
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∵平分，∴,
∴，故选：A．
7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，，点A为射线CF上一点，，，则的度数为 ．
【答案】40
【分析】根据可得，作，得出，从而得出，，，由，得．
【详解】解：∵，∴，
过C作，则，如图：
∴，，
∵，∴，
∴．故答案为：40．
【点睛】本题考查平行的性质，含有平行线中的拐点模型，作出适当的辅助线是解题关键．
8．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时， （填“增大”或“减小”） 度．
【答案】 增大 5
【分析】作，推出，得到，，推出，即，据此即可求解．
【详解】解：作，如图，
∵，∴，∴，，
∵，，
∴，∴，∴当β增大时，增大5度．故答案为：增大，5．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，推出是解题的关键．
9．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是 ．
【答案】8
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质求出即可得到结论．
【详解】解：如图，过B作，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴A地到公路的距离是，故答案为：8．
【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，点到直线的距离，解题的关键是学会添加常用辅助线．
10．（2023下·四川南充·七年级校考期末）如图，，，则 ．
【答案】/35度
【分析】过点A作的平行线，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：过点A作，则．
∴，，∴．
∵，∴．∴．故答案为：．
【点睛】本题考查直线平行的性质，关键在于过点A作平行线，将角进行转化，常考题型．
11．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，直线，点E在直线上，点H在直线上，点F在直线之间，连接，．则的度数为 度．
【答案】150
【分析】过点F作，则有，即，，解题即可求出．
【详解】解：如图，过点F作，∵∴，
∴，，∴，
即，解得：故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质和平行公理，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则 °．
【答案】75
【分析】由可知，又由，由平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，再由计算即可．
【详解】解：，，，，
，，．故答案为：75．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的综合运用，解题关键是据图形合理利用平行线的性质和判定定理．
13．（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则 ．
【答案】/106度
【分析】由得，再由是等边三角形，即可求出结果．
【详解】解：，，，
是等边三角形，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
13．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是 .
【答案】互余
【分析】根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出结论．
【详解】解：∵，∴，
∵、分别是、的平分线，∴，，
∴，∴，∴，∴与互余，故答案为：互余．
【点睛】本题考查平行性的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质得出是解题的关键．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，， ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．故答案为：36
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，直线平分，交于点，过点作平分交于，若，则 度．
【答案】100
【分析】延长交于点，设，根据平行线的性质，角平分线平分角和三角形的外角的性质，求出，即可．
【详解】解：延长交于点，
设，∵平分，∴，
∵，∴，
∴，
∵平分，∴，
∴，
∴；故答案为：100．
【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，以及三角形的外角的性质，正确的识图，理清角度之间的数量关系，设参法表示角的度数，是解题的关键．
16．（2023下·四川德阳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是 （填序号）
【答案】①②④
【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，故①正确；
∴，∴，，∴，
又∵平分，∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，∴不一定成立，故③错误；
∵ ，∴为定值，故④正确．
综上所述，正确的选项①②④，故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
17．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）填空，并在后面的括号中填理由：
如图，已知，求证：．
证明：如图，过点C作
∴______（ ），
∵，
即
∴______
∴____________（ ）
又∵（ ）
∴____________（ ）
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质可得，再根据，即，可得，从而可得，即可得出结论．
【详解】证明：如图，过点C作，
∴（两条直线平行，内错角相等），
∵，即，
∴，∴（内错角相等，两条直线平行），
又∵（已知），
∴（如果两条直线都有第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
18．（2023下·福建南平·七年级统考期末）如图，，直线与分别交于M，N，平分，平分．
(1)当时，求的大小；(2)设，用含α的式子表示．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由角平分线求解即可；（2）根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，∴，
又∵平分， ∴；
（2）∵， ∴，
又∵平分，平分，∴，
∴，
又∵， ∴．
【点睛】题目考查平行线的性质及角平分线的计算，理解题意，结合图形找出各角之间的关系是解题关键．
19．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；
(3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．
【答案】(1)(2)详见解析(3)
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用、三角形的外角的性质：
（1）依据题意，根据三角形的外角的性质，，又，故可得解．
（2）过点B作，由于，从而，则，再结合，，又，可得，进而可以得解．
（3）过点B作，由（2）可得，．设，，则；由，从而；又平分，可得，故，进而可得与的关系．
需要熟练掌握角度之间的转化，并学会借助方程的思想来解题．
【详解】（1）解：由题意，，．，．
又，．故答案为：．
（2）证明：如图1，过点B作，
又，，．
，．．
，．
，．
又．；
（3）如图2，过点B作，
由（2）可得，．
设，，则．
，．
又平分，．
．．．
20．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）已知直角三角形．
(1)如图1，直线，且平分，求的度数．(用含x的式子表示)
(2)在（1）的条件下，直线平分交直线于点D，如图2，在x取不同数值时，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请求出变化的范围．
【答案】(1)(2)的大小不变，求其值为
【分析】（1） 过点A作，由平分得到，，继而求出，再由推出，用求得，利用平行公理推论得到，继而推导；
（2）由得到，利用平分求得，利用得出，从而利用求得，至此得解．
【详解】（1）解：如下图，过点A作，
∵平分，，
∴，，∴．
∵，∴．
又∵，
∴．
又∵，，∴，∴．
（2）的大小不变，求其值为．理由是：依然过点A作，
由（1）得：，∴．
又∵平分，∴．
又∵，，∴，
∴，
∴的大小不变，求其值为．
【点睛】本题考查与角平分线有关的计算，平行线公理的推论，平行线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
21．（2023下·广东河源·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明；
(2)如图，若，，分别平分和，求的度数；
(3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得答案；（2）根据垂直的定义及(1)中的结论可得答案；（3）设的度数为，的度数为，则由(1)得，，由(1)(2)得，、，然后两式相加可得答案．
【详解】（1）如图，过点作，则，
，，，，
，
（2），，
由（1）知，，
，分别平分和，
，
（3）设的度数为，的度数为，则由（1）得，，
由（2）得，，，
由得，．
【点睛】此题考查的是平行线的性质及垂直定义，正确作出辅助线是解决此题关键．
22．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出
（1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________．
（2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由．
问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系即可解答；（2）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后根据角平分线的定义解答即可；（3）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后利用角的和差关系解答即可．
【详解】解：（1），理由如下：过点作，
∵，∴，∴，，
∴，∴，即；
（2），理由如下，如图，过点C作，过点F作．
∵，∴，∴，，
∴，∴，同理：，
∵BF平分，∴，∵DF平分，∴，
∴，即：；
（3）过点C作，过点F作，
∵，∴，∴，，
∴，∴，同理：，
∵，，
∴，∴，∵，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行于同一条直线的两条直线互相平行，平行线的性质，角的和差关系，角平分线的定义，掌握平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
23．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作 ∵
∵，∴∴
∴ ∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴∴，，
∴，
∵，∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，∴，，
∵∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
【答案】（1）110°；（2）80°；（3）
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作,，，，
，，，，
，，∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；
（3）过点P作，
平分，，同理，
∴ ，
同理，故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
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