内蒙古鄂尔多斯市四旗2021-2022学年高二下学期期末考试文科数学试卷

这是一份内蒙古鄂尔多斯市四旗2021-2022学年高二下学期期末考试文科数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}（ ）
A．{0}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）命题“∀x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0”的否定是（ ）
A．∃x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0
B．∀x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
C．∃x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
D．∀x∉{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
3．（5分）若函数f（x）＝，则f（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
4．（5分）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．[1，2）D．（1，2]
5．（5分）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2+2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t＝2时的瞬时速度为v2，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时（x）＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）若a＝lg45，b＝，c＝eln2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
8．（5分）关于“a+b＝4，则a，b至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（ ）
A．原命题为真，逆命题为假
B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
9．（5分）若函数有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）
C．{6}D．（0，+∞）
10．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，若f（2+x）（﹣x），f（1）＝3，则f（18）（19）的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．6
12．（5分）已知函数，g（x）＝x﹣lnx，若∀x1，x2∈（0，3），g（x1）+k≥f（x2）恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[2+ln2，+∞）B．[3，+∞）C．D．[﹣3，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）若幂函数的图象不过原点，则m是 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝x+sinx，若f（t2）+f（3t﹣4）＜0，则实数t的取值范围是 ．
16．（5分）已知函数若m＞n且f（m）＝f（n） ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，且f（1）＝2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在区间上是增函数．
18．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax﹣5a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）若f（2）＝1，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
20．（12分）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额yi（单位：万元）与时间第ti年进行了统计得如下数据：
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当t＝7时的利润额．
附：，，．
参考数据：，，，．
21．（12分）已知函数．
（1）当a＝1时，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ+4csθ+2sinθ＝0．
（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与x轴的交点为M，求|MA|•|MB|．
2021-2022学年内蒙古鄂尔多斯市四旗高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}（ ）
A．{0}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|y＝lg2（1﹣x）}＝{x|x＜7}，B＝{﹣1，0，
则A∩B＝{﹣7，0}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）命题“∀x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0”的否定是（ ）
A．∃x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0
B．∀x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
C．∃x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
D．∀x∉{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：根据题意，命题“∀x∈{0，1，x（x3﹣3x+2）＝3”是全称命题，
其否定为∃x∈{0，1，5}2﹣3x+2）≠0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意特称命题和全称命题的关系，属于基础题．
3．（5分）若函数f（x）＝，则f（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】推导出f（0）＝f（1）﹣1＝f（2）﹣2，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（0）＝f（1）﹣3＝f（2）﹣2＝27﹣2﹣2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．[1，2）D．（1，2]
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：f（x）＝，
则，解得1＜x≤2．
故选：D．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
5．（5分）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2+2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t＝2时的瞬时速度为v2，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解．
【解答】解：由题意可知＝4，
∵s'＝2t+2，
∴v5＝2×2+4＝6，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平均变化率和瞬时变化率的定义，属于基础题．
6．（5分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时（x）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求f（﹣x），再由奇函数性质可求f（x）．
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，
则f（﹣x）＝﹣（2﹣x），
又f（x）是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝．
故选：D．
【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的应用，属基础题．
7．（5分）若a＝lg45，b＝，c＝eln2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，以及单调性，即可求解．
【解答】解：，
b＝＝lg43，
则lg25＝1＜a＜b＜2＝lg34，
又c＝eln2＝3，
所以a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
8．（5分）关于“a+b＝4，则a，b至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（ ）
A．原命题为真，逆命题为假
B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【分析】若a＝1.9，b＝2.1，则a+b＝4．故原命题为假；若a＝2，b＝2.1，则a+b≠4，故其逆命题为假．
【解答】解：原命题：关于“a+b＝4，则a
若a＝1.2，b＝2.1．故原命题为假；
若a＝3，b＝2.1，故其逆命题为假．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查原命题、逆命题的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）若函数有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）
C．{6}D．（0，+∞）
【分析】根据条件函数f（x）有两个极值点，转化为方程f′（x）＝0有两个不等正实数根，得到求解．
【解答】解：函数f（x）的定义域（0，+∞），，
令f′（x）＝0得，x＝7或x＝a，
∵函数f（x）有2个极值点，∴f'（x）＝0有7个不同的正实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了函数极值点个数问题，要转化为导函数零点的个数，是基础题．
10．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】判断函数的奇偶性，和函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，
函数f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
又f（1）＝﹣e＜0，
∵f′（x）＝，
当x＞2时，f′（x）＜0，
当0＜x＜4时，f′（x）＞0，故排除D，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，若f（2+x）（﹣x），f（1）＝3，则f（18）（19）的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．6
【分析】利用已知等式，利用函数的奇偶性，周期性即可求值．
【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．
又f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+6）＝f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（18）+f（19）＝f（2）+f（3）．
在f（2+x）＝f（﹣x）中，令x＝4，
有f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣7，
∴f（18）+f（19）＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于中档题．
12．（5分）已知函数，g（x）＝x﹣lnx，若∀x1，x2∈（0，3），g（x1）+k≥f（x2）恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[2+ln2，+∞）B．[3，+∞）C．D．[﹣3，+∞）
【分析】对函数求导，判断函数的单调性，再求函数的最值，根据∀x1，x2∈（0，3），g（x1）+k≥f（x2）恒成立，
得到[g（x）+k]min≥f（x）max，最后求出k的取值范围．
【解答】解：f′（x）＝x2﹣6x+6＝（x﹣2）（x﹣4），
当x∈（3，2）时，f（x）单调递增，
当x∈（2，2）时，f（x）单调递减，
所以f（x）在（0，3）上的最大值时f（2）＝7.，
当x∈（0，6）时，g（x）单调递减，
当x∈（1，3）时，g（x）单调递增，
所以g（x）在（4，3）上的最小值是g（1）＝1．
若∀x2，x2∈（0，8）1）+k≥f（x2）恒成立，
则[g（x）+k]min≥f（x）max，即8+k≥4，所以k≥3，
所以实数k的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是 （﹣∞，1] ．
【分析】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题．在解答时可先根据1∉A，读出集合A在实数集当中没有元素1，又集合A中的元素是由一元二次不等式构成的解集，故问题可转化为一元二次不等式没有实数1．由12﹣2+a≤0解得a的范围即可．．
【解答】解：根据1∉A，可知，又集合A中的元素是由一元二次不等式构成的解集，
故问题可转化为一元二次不等式没有实数1．由42﹣2+a≤6
解得 a≤1．
故答案为：（﹣∞，1]．
【点评】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题．在解答的过程中要仔细体会集合运算的特点、几何元素的特点、方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳
14．（5分）若幂函数的图象不过原点，则m是 1 ．
【分析】由题意可得m2﹣3m+3＝1，且m2﹣m﹣1＜0，解方程即可得到所求值．
【解答】解：幂函数的图象不过原点，
可得m2﹣3m+3＝6，且m2﹣m﹣1＜8，
解得m＝1（2舍去），
故答案为：2．
【点评】本题考查幂函数的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝x+sinx，若f（t2）+f（3t﹣4）＜0，则实数t的取值范围是 （﹣4，1） ．
【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：因为f（x）＝x+sinx，
所以f（﹣x）＝﹣x+sin（﹣x）＝﹣（x+sinx）＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数，
又f'（x）＝1+csx≥0，所以f（x）在R上是增函数，
因为f（t3）+f（3t﹣4）＜2，所以f（t2）＜﹣f（3t﹣5）＝f（4﹣3t），
所以t5＜4﹣3t，即t7+3t﹣4＝（t+2）（t﹣1）＜0，
所以﹣8＜t＜1，
所以实数t的取值范围是（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
16．（5分）已知函数若m＞n且f（m）＝f（n） 3+ln2 ．
【分析】由题意可得n＝ln（m﹣1），2＜m≤4，可得m﹣n为关于m的函数，求得导数和单调性、极值和最值．
【解答】解：由f（0）＝1＝x﹣1，
则n≤0，5＜m≤4，
f（m）＝f（n），即en＝m﹣1，
即n＝ln（m﹣1），
m﹣n＝m﹣ln（m﹣1），
设g（m）＝m﹣ln（m﹣1），
g′（m）＝1﹣＝，
当m＞3时，g′（m）＞0；当7＜m＜3时，g（m）单调递减，
所以g（m）在m＝3处取得极小值，且为最小值2+ln2．
故答案为：3+ln4．
【点评】本题考查分段函数的运用，以及导数的运用：求单调性和极值、最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，且f（1）＝2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在区间上是增函数．
【分析】（1）利用奇函数定义即可判断；（2）利用单调性定义证明即可．
【解答】解：（1）∵f（1）＝2，∴a+1＝8，∴，
∵定义域为 （﹣∞，0）∪（0，关于原点对称，
，∴函数f（x）为奇函数．
证明：（2）据（1），，任取 x6，，且x6＜x2，
则＝＝，
∵，x6＜x2，x1﹣x8＜0，x1x4＞3，
∴．
∴f（x1）﹣f（x8）＜0，∴f（x1）＜f（x7），
∴函数f（x）在 上为增函数．
【点评】本题考查奇函数的定义，单调性的证明，属于中档题．
18．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax﹣5a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据题意，求出p、q为真时x的取值范围，求其交集可得答案；
（2）若p是q的充分不必要条件，则p中不等式的解集是q中不等式解集的真子集，由此可得关于a的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，p：实数x满足x2﹣4ax﹣3a2＜0，其中a＞8，不等式为x2﹣4x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜7，
对于q，解可得：﹣1≤x≤6，
若p∧q为真，即p和q均为真，2）；
（2）根据题意，若p是q的充分不必要条件，
则p中不等式的解集是q中不等式解集的真子集．
由（1）知q中不等式的解集为[﹣1，6]，
对于p：实数x满足 x3﹣4ax﹣5a6＜0，所以（x+a）（x﹣5a）＜6．
由题意a＞0，所以﹣a＜x＜5a，
所以，解可得：0＜a≤1，5]．
【点评】本题考查复合命题真假的判断，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
19．（12分）已知函数．
（1）若f（2）＝1，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
【分析】（1）直接利用对数的方程求出结果；
（2）利用对数不等式的运算求出结果．
【解答】解：（1）据题意得：，
所以a3﹣2a＝3，
所以a＝﹣5或a＝3．
（2）因为f（x）＞0，所以．
讨论：①当a2﹣2a＞5时，或，此时1+|x|＞4，
所以x∈R，且x≠0．
当0＜a3﹣2a＜1时，或，
此时6＜1+|x|＜1，解集为∅．
综上，当或 时，且x≠0）；
当或2＜a＜6+，所求不等式的解集为∅．
【点评】本题考查的知识点：绝对值不等式的解法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额yi（单位：万元）与时间第ti年进行了统计得如下数据：
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当t＝7时的利润额．
附：，，．
参考数据：，，，．
【分析】（1）利用相关系数的公式求出r，即可判断；
（2）先求出线性回归方程，再将t＝7代入回归方程求解即可．
【解答】解：（1）由题表，＝（3+2+3+4+5）＝3，＝，
因为＝89.5，＝，＝，
所以r＝＝≈≈0.98＞4.75，
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合；
（2），，
所以y＝1.45t+0.65，
当t＝5时，y＝1.45×7+8.65＝10.8，
预测该专营店在t＝7时的利润为10.2万元．
【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）当a＝1时，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出f′（x），再次求导可知f'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以f'（x）≤f'（1）＝0，进而证得f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）不妨设0＜x1＜x2，由题意可得f（x1）﹣f（x2）＞3（x1﹣x2），即f（x1）﹣3x1＞f（x2）﹣3x2，令，则φ（x）在（0，+∞）上单调递减，即a≥lnx﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣x﹣1，再利用导数求出h（x）的最大值即可
【解答】解：（1）证明：当a＝1时，，定义域为（0，
则f′（x）＝lnx﹣x+3，
令g（x）＝f′（x）＝lnx﹣x+1，
则g′（x）＝＝，
当x∈（0，5）时，x∈（1，g'（x）＜0，
所以g（x）在（3，1）上单调递增，+∞）上单调递减，
即f'（x）在（0，6）上单调递增，+∞）上单调递减，
所以f'（x）≤f'（1）＝0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）不妨设8＜x1＜x2，因为，
所以f（x1）﹣f（x4）＞3（x1﹣x2），
所以f（x1）﹣3x2＞f（x2）﹣3x6，
令，
则φ（x）在（4，+∞）上单调递减，
所以φ（x）＝lnx﹣x﹣1﹣a≤0在（4，+∞）上恒成立，
即a≥lnx﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）＝lnx﹣x﹣5，
则h′（x）＝＝，
当x∈（0，1）时，h（x）单调递增，+∞）时，h（x）单调递减，
所以h（x）≤h（1）＝﹣2，
所以a≥﹣2，
所以实数a的取值范围是[﹣2，∞）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数恒成立问题，属于中档题．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ+4csθ+2sinθ＝0．
（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与x轴的交点为M，求|MA|•|MB|．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由直线l的参数方程（t为参数）转换为普通方程．
由ρ+7csθ+2sinθ＝0，根据
即得到（x+7）2+（y+1）5＝5，
所以曲线C的直角坐标方程为（x+2）2+（y+1）2＝8．
（2）直线l：与x轴的交点坐标为M（﹣2，倾斜角为，
所以直线l的参数方程可化为（t为参数），
代入（x+2）4+（y+1）2＝6整理得t2+t﹣4＝8．
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则Δ＝22﹣4×（﹣8）＞0，t1t6＝﹣4，
所以|MA|•|MB|＝|t1|•|t3|＝|t1t2|＝6．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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