内蒙古自治区鄂尔多斯市西四旗2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市西四旗2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是( )
A.B.C.D.
2．下列说法正确的是( )
①已知，，那么事件“”有可能不发生；
②随机试验的频率与概率相等；
③如果一个事件发生的概率为99.9999%，那么说明此事件必然发生；
④只有不确定事件有概率；
⑤若事件A发生的概率为，则
A.⑤B.③⑤C.③④⑤D.②③④⑤
3．若圆的半径为2，则实数m的值为( )
A.-9B.-8C.9D.8
4．已知一组数据6，6，8，8，10，10，则该组数据的方差是( )
A.B.2C.D.4
5．在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，则点D的坐标为( )
A.B.C.D.
6．已知点A，B分别是直线：与直线：上的点，则的最小值为( )
A.0B.C.D.
7．如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，M是AB上一点，，D为BC的中点，N为PD上一点且，则( )
A.5B.3C.D.
8．已知O是坐标原点，若圆C：上有2个点到O的距离为2，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
10．有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则( )
A.这组数据的众数为4
B.这组数据的极差为3
C.这组数据的平均数为1.5
D.这组数据的分位数为1
11．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是( )
A.若点在圆的内部，则
B.若，则圆，的公共弦所在的直线方程是
C.若圆，外切，则
D.过点作圆的切线l，则l的方程是或
12．如图,在棱长为2正方体中,E,F,G,H分别是,,CD,BC的中点,则下列说法正确的有( )
A.E,F,G,H四点共面
B.BD与EF所成角的大小为
C.在线段BD上存在点M,使得平面EFG
D.在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值
三、填空题
13．以点为圆心，且与x轴相切的圆的方程是__________.
14．已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是__________.
15．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是__________.
16．有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长都相等的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点E为线段上一点且,若直线DE与直线AF所成角的余弦值为,则______.
四、解答题
17．已知直线的方程为.
(1)若直线的倾斜角为，求k的值；
(2)已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若，求直线l的方程.
18．已知，，.
(1)求点A到直线BC的距离；
(2)求的外接圆的方程.
19．如图,在直三棱柱中,,,D,E,F分别为,,AB的中点.
（1）证明:平面;
（2）求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.
20．每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：
(1)试补全频率分布直方图，并求a与n的值；
(2)从每天慢走时间在（分钟）内的“H族”中按时间采用比例分配的分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率
21．如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
22．已知m是实数，圆C的方程是.
(1)若过原点O能作出直线与圆C相切，求实数m的取值范围；
(2)若，圆C与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧）.过点M任作一条直线与圆O：相交于点A，B.问：是否存在实数m，使得?若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：设直线，，，的斜率分别为，，，，
由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，
因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，
所以，，
所以，
所以斜率最小的直线是.故选B
2．答案：A
解析：对于①，如果，，那么“”是必然事件；
对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概率，但不一定等于概率；
对于③，如果一事件发生的概率为，那么只能说明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说是必然事件；
对于④，确定事件也有概率；
对于⑤，若事件A发生的概率为，则.故⑤正确.故选A
3．答案：D
解析：由，
得，
所以，解得.故选D
4．答案：C
解析：由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
故选C
5．答案：A
解析：不妨设，由题意可知，
所以，
所以解得
所以点D的坐标为
故选A
6．答案：C
解析：由题意可知直线，
所以当且时，有最小值，
其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，
所以..故选C
7．答案：D
解析：
，
所以
，
所以.故选D
8．答案：B
解析：将圆C的方程化为标准方程得，
所以.
因为圆C上有2个点到O的距离为2，
所以圆C与圆O：相交，
所以，
又，
所以，
即实数a的取值范围为.故选B.
9．答案：BD
解析：对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，
所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；
对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，
但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，符合题意；
对于C中，当从口袋中取出一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，
所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；
对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，
事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件不是对立事件，符合题意.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：对于A，该组数据的众数为1，故A错误；
对于B，极差为，故B正确；
对于C，平均数为，故C错误：
对于D数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4.
因为
所以这组数据的分位数为第4个数1，故D正确.
故选BD
11．答案：BCD
解析：由点在圆的内部，得，
解得，故A错误；
若，则圆：，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；
圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆，外切，则，即，解得，故C正确；
当l的斜率不存在时，l的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当l的斜率存在时，设l的方程为，圆心到的距离，
解得，
所以l的方程是，故D正确
故选BCD
12．答案：AD
解析：以A为原点,以AB,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,,
设,
则,
所以,解得,
故,即E,F,G,H四点共面,故A正确;
因为,,
所以,
所以BD与EF所成角的大小为,故B错误;
假设在线段BD上存在点M,符合题意,
设,则,
若平面EFG,则,,
因为,,
所以,此方程组无解,
所以在线段BD上不存在点M,使得平面EFG,故C错误;
因为,所以,
又平面EFG,平面EFG,所以平面EFG,
故上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离,是定值,
又的面积是定值,
所以在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值,故D正确;
故选：AD.
13．答案：
解析：因为为圆心，且圆与x轴相切，
所以圆的半径，
所求圆的方程为.
14．答案：
解析：从盒中随机取出1校棋子，“是黑棋子”记为事件A，“是白棋子”记为事件B，则，，两枚棋子恰好不同色包含：
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子.这两个事件是互斥事件.
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，
概率为；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，
概率为.
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是.
15．答案：
解析：因为直线与直线交于点A，
所以联立解得，
设点关于直线的对称点坐标为，
则AB的中点坐标为，，
故解得
即点A关于直线的对称点坐标是.
16．答案：
解析：将半正多面体补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系.
设半正多面体的棱长为,则正方体的棱长为2,
所以,,,,,
,,
所以,,
则,.
设直线DE与直线AF所成角为,
则,
即,解得或（舍）.
17．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)由题意可得.
(2)在直线l的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，
即，解得或，
所以直线的方程为或.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)直线BC的方程为，化简，得，
所以点A到直线BC的距离.
(2)设的外接圆的方程为.
将A，B，C的坐标代入，得
即
解得
故所求圆的方程为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取AC的中点G,连接FG,,
因为F,G分别为AB,AC的中点,所以,,
又E为的中点,,,所以,,
所以四边形是平行四边形,所以.
又平面,平面,所以平面.
（2）在直三棱柱中,平面ABC,
又,平面ABC,所以,,
又,故以B为原点,
BA,BC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,
所以,,.
设平面DEF的法向量为,则令,得,,
所以平面DEF的一个法向量为,
设直线CE与平面DEF所成的角为,
则,
即直线CE与平面DEF所成角的正弦值为.
20．答案：(1);
(2)
解析：(1)第二组的频率为，
所以第二组小矩形高为，补全后的频率直方图如下：
第一组的频率为0.04×5=0.2，所以.
第五组的频率为0.02×5=0.1，所以.
(2)因为分钟的“H族”人数为150×0.4=60，分钟的“H族”人数为100×0.3=30，二者比例为，
所以按时间采用比例分配的分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人.
设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，
在分钟内抽取的4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，
则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种不同的抽取方法，
事件Q有，，，，，，，，共8种，
所以
即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，
另一个人在分钟内的概率为
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为图1中，
所以图2中，，
又，
所以分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
.
因为，，，平面BCDE，
所以平面BCDE，
所以是平面BCDE的一个法向量，
设平面MCN的法向量，
由得
取，则，，
所以平面MCN的一个法向量，
设平面MCN与平面BCDE的夹角为，
则，
所以平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值为.
(2)由(1)知是平面MCN的一个法向量，
又，
所以点P到平面MCN的距离.
22．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)因为过原点O能作出直线与圆C相切，所以原点O不在圆C内.
所以
解得，
所以所求实数m的取值范围是.
(2)在中，
令得，
即，解得，或，
因为，点M在点N的左侧，
所以，.
假设存在实数m，
使得，则NA、NB的斜率互为相反数.
当直线AB与x轴垂直时，显然，此时m是大于-4的任意实数.
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，代入，
得，
设，，
则，
，.
，
而
，
令，解得（满足）.
所以时，.
综上所述，存在实数，使得.
组数
分组
人数
本组中“H族”的比例
第一组
200
0.6
第二组
300
0.65
第三组
200
0.5
第四组
150
0.4
第五组
0.3
第六组
50
0.3