数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03（考试及解析）

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本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中,若,且,则（ ）
A．60°B．45°C．30°D．15°
3．已知一组数据3，5，7，x，10的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A．B．6C．D．5
4．已知函数.给出下列结论：①是的最小值；②函数在上单调递增；③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，点为准线与轴的交点，若，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件
C．D．
7．三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
11．已知向量，的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为 D．取得最小值时，
12．已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间是B．有4个零点
C．的图象关于点对称D．曲线与轴不相切
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的图象在点处的切线方程是______．
14．若，则______．
15．已知是等比数列，，，则______．
16．已知函数的最小正周期为T，，且对任意的恒成立，则一个满足题意的的值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知抛物线，点为抛物线焦点．过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点与点，过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于、．
(1)若直线斜率为k，证明抛物线在点处切线斜率为；
(2)过点作直线分别交x轴和抛物线于、，过点作直线分别交x轴和抛物线于、，且，直线斜率与直线斜率互为相反数．证明数列为等差数列．
19．如图，在四棱锥中，，，，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值.
20．记为数列的前n项和，已知．
(1)若数列为等差数列，且，求；
(2)在（1）的条件下，若，求数列的前n项和；
(3)在（1）的条件下，证明：当时，．
21．已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.
22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.