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浙江省杭州学军中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题(无答案)
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这是一份浙江省杭州学军中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题(无答案)，共3页。
一. 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1、．已知集合M={y|y=ln1−x2}，N={x|−1A．M=NB．M∩N=[−1,0]C．M∩N=−1,0D．∁RM∪N=−1,+∞
2、．已知角α的终边上一点A4,3，且tanα+β=2，则tan3π−β=（ ）
A．12B．−12C．52D．−52
3、．函数ln−x2−2x+3的单调递减区间为（ ）
A．−∞,−1B．−1,+∞C．−1,1D．1,+∞
4、．如图图像中，不可能成为函数fx=x3−mx的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
5、．已知向量a，b满足a=1，b=1,1，a+b=5，则a在b上的投影向量的坐标为（ ）
A．12,12B．22,22C．1,1D．−22,22
6、．“欢乐颂”是音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一。以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，假设图中这些点在函数y=4sinωx+φω>0,φ<π2的图象上，且图象过点π24,2，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则是函数的单调递增区间的是（ ）
A．[−π3,−π4]B．[−7π24,5π24]C．[5π24,3π8]D．[5π8,3π4]
7、．已知函数fx=lnx+x,x>12x2−mx+m2,x≤1，若gx=fx−m有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．(1,74]B．(1,2]C．(1,43]D．[1,3]
8、．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形ABCD中，AB=BD=23，将△ABD沿BD进行翻折，使得AC=26. 那么三棱锥A−BCD外接球表面积约为（ ）
A．72B．2410C．2810D．3210
二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9、．在△ABC中，D为边AC上的一点，且满足AD=12DC，若P为边BD上的一点，且满足AP=mAB+nACm>0,n>0，则下列结论正确的是（ ）
A．m+2n=1B．mn的最大值为112
C．4m+1n的最小值为6+42D．m2+9n2的最小值为12
10、．对于数列{an}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有an≤M，则称数列{an}是有界的. 若这样的正数M不存在，则称数列{an}是无界的. 记数列{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的是（ ）
A．若an=1n，则数列{an}是无界的B．若an=12nsinn，则数列{Sn}是有界的
C．若an=−1n，则数列{Sn}是有界的D．若an=2+1n2，则数列{Sn}是有界的
11、．已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，若fx是奇函数，f2=−f1≠0，且对任意x，y∈R，fx+y=fxf′y+f′xfy，则（ ）
A．f′1=12B．f9=0C．∑20k=1fk=1D．∑20k=1f′k=−1
三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、．已知复数z满足z=1+2i1+i（其中i为虚数单位），则z= .
13、．学校一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
14、．已知⊙O1:x2+y−22=1，⊙O2:x−32+y−62=9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，求PM+PN的最小值为 .
四. 解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAccsB+bcsC−csinB=csinC+bsinB.
（1）求角A；
（2）若AD平分∠BAC交线段BC于点D，且AD=2，BD=2CD，求△ABC的周长.
16、．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，A1D1的中点.
（1）证明：B1E⊥平面ACF.
（2）求二面角B−AF−C的余弦值.
17、．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.
（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布N40,4，且X的累积分布函数为Fx=PX≤x，求F44−F38.
（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔。已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为Gt=PT≤t=0,t<01−14t,t≥0.
（ⅰ）设t1>t2>0，证明：PT>t1|T>t2=PT>t1−t2；
（ⅱ）若第n天只有元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的条件概率.
附：若随机变量Y服从正态分布Nμ,σ2，则PY−μ<σ=0.6827，PY−μ<2σ=0.9545，PY−μ<3σ=0.9973.
18、．已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为2，离心率为3，圆O的方程为x2+y2=2，过圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点。
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求证：∠AOB=π2；
（3）若直线l与双曲线的两条渐近线的交点为C，D，且AB=λCD，求实数λ的范围.
19、．给定常数c>0，定义函数fx=2x+c+4−x+c，数列a1，a2，a3，⋯，满足an+1=fan，n∈N∗
（1）若a1=−c−2，求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N∗，an+1−an≥c
（3）是否存在a1，使得a1，a2，⋯，an，⋯成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由
一. 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1、．已知集合M={y|y=ln1−x2}，N={x|−1
2、．已知角α的终边上一点A4,3，且tanα+β=2，则tan3π−β=（ ）
A．12B．−12C．52D．−52
3、．函数ln−x2−2x+3的单调递减区间为（ ）
A．−∞,−1B．−1,+∞C．−1,1D．1,+∞
4、．如图图像中，不可能成为函数fx=x3−mx的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
5、．已知向量a，b满足a=1，b=1,1，a+b=5，则a在b上的投影向量的坐标为（ ）
A．12,12B．22,22C．1,1D．−22,22
6、．“欢乐颂”是音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一。以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，假设图中这些点在函数y=4sinωx+φω>0,φ<π2的图象上，且图象过点π24,2，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则是函数的单调递增区间的是（ ）
A．[−π3,−π4]B．[−7π24,5π24]C．[5π24,3π8]D．[5π8,3π4]
7、．已知函数fx=lnx+x,x>12x2−mx+m2,x≤1，若gx=fx−m有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．(1,74]B．(1,2]C．(1,43]D．[1,3]
8、．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形ABCD中，AB=BD=23，将△ABD沿BD进行翻折，使得AC=26. 那么三棱锥A−BCD外接球表面积约为（ ）
A．72B．2410C．2810D．3210
二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9、．在△ABC中，D为边AC上的一点，且满足AD=12DC，若P为边BD上的一点，且满足AP=mAB+nACm>0,n>0，则下列结论正确的是（ ）
A．m+2n=1B．mn的最大值为112
C．4m+1n的最小值为6+42D．m2+9n2的最小值为12
10、．对于数列{an}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有an≤M，则称数列{an}是有界的. 若这样的正数M不存在，则称数列{an}是无界的. 记数列{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的是（ ）
A．若an=1n，则数列{an}是无界的B．若an=12nsinn，则数列{Sn}是有界的
C．若an=−1n，则数列{Sn}是有界的D．若an=2+1n2，则数列{Sn}是有界的
11、．已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，若fx是奇函数，f2=−f1≠0，且对任意x，y∈R，fx+y=fxf′y+f′xfy，则（ ）
A．f′1=12B．f9=0C．∑20k=1fk=1D．∑20k=1f′k=−1
三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、．已知复数z满足z=1+2i1+i（其中i为虚数单位），则z= .
13、．学校一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
14、．已知⊙O1:x2+y−22=1，⊙O2:x−32+y−62=9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，求PM+PN的最小值为 .
四. 解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAccsB+bcsC−csinB=csinC+bsinB.
（1）求角A；
（2）若AD平分∠BAC交线段BC于点D，且AD=2，BD=2CD，求△ABC的周长.
16、．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，A1D1的中点.
（1）证明：B1E⊥平面ACF.
（2）求二面角B−AF−C的余弦值.
17、．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.
（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布N40,4，且X的累积分布函数为Fx=PX≤x，求F44−F38.
（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔。已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为Gt=PT≤t=0,t<01−14t,t≥0.
（ⅰ）设t1>t2>0，证明：PT>t1|T>t2=PT>t1−t2；
（ⅱ）若第n天只有元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的条件概率.
附：若随机变量Y服从正态分布Nμ,σ2，则PY−μ<σ=0.6827，PY−μ<2σ=0.9545，PY−μ<3σ=0.9973.
18、．已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为2，离心率为3，圆O的方程为x2+y2=2，过圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点。
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求证：∠AOB=π2；
（3）若直线l与双曲线的两条渐近线的交点为C，D，且AB=λCD，求实数λ的范围.
19、．给定常数c>0，定义函数fx=2x+c+4−x+c，数列a1，a2，a3，⋯，满足an+1=fan，n∈N∗
（1）若a1=−c−2，求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N∗，an+1−an≥c
（3）是否存在a1，使得a1，a2，⋯，an，⋯成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由
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