漯河市高级中学2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)

这是一份漯河市高级中学2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，若，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
2．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )
A.至少有一个样本点落在回归直线上
B.若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1
C.当时，x增加1个单位时，y平均增加2个单位
D.若回归直线的斜率，则变量x与y正相关
3．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
4．已知，则的值为( )
A.B.C.D.
5．如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形.图中四边形的对角线相交于点O，若，则( )
A.1B.C.D.
6．已知P是圆上的一个动点，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则的最小值是( )
A.B.C.D.
7．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.B.C.D.
8．设O为原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是( )
A.，是对立事件B.，是独立事件
C.D.
10．如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱上，则下列结论正确的是( )
A.若，C，E，F四点共面，则
B.存在点E，使得平面
C.若，C，E，F四点共面，则四棱锥的体积为定值
D.若E为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
11．已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是( )
A.
B.的图象关于对称
C.的图象关于对称
D.在上单调递增
三、填空题
12．数列满足，则________.
13．设O为坐标原点，双曲线的左焦点为F，过F的直线与C的左、右两支分别交于P，Q两点，且，，则C的渐近线方程为________.
14．已知长方体的底面为边长是2的正方形，，E，F分别为棱，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为________.
15．在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线C：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线l：交双曲线C于、两点，M为直线l上一点且.点P为直线l与x轴的交点.
(1)求双曲线C的方程和焦距；
(2)若线段上一动点N满足，求直线与的斜率之积.
16．某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑雪运动.从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等.
(1)记X表示喜欢滑雪运动的人数，求X的数学期望.
(2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈.抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动.并且规定抽取的次数不超过次，其中n小于当次调查的总人数.设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为Y，求抽到Y名学生不喜欢滑雪运动的概率.
17．已知函数.
(1)求证：；
(2)若,是的两个相异零点，求证：.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，M为的中点，Q为PA上一点，且.
(1)证明：平面BDQ；
(2)若二面角为，求三棱锥的体积.
19．对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的.
(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的.
(2)记，，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列.
(3)设数列的前n项和为，如果和都是“优分解”的，并且，，，求的通项公式.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意知，又且，
故，即a的取值范围为.
2．答案：D
解析：回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；
当时，x增加1个单位时，y平均减少2个单位，故C错误；若回归直线的斜率，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确.
3．答案：B
解析：设，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
4．答案：D
解析：
，
5．答案：B
解析：延长、交于点E，取的中点F，连接，
易知为等腰直角三角形，则，，
所以，，，，
故为等腰直角三角形，且，则，
因为B、F分别为、的中点，则，且，
所以，，故.
6．答案：B
解析：已知圆的圆心为，半径，
若直线上存在两点A，B，使得恒成立，
则以为直径的圆要内含或内切圆，
因为点到直线l的距离，
所以长度的最小值为，
7．答案：A
解析：由图象可得函数为偶函数，且，，当且仅当时，，
对于A，因为，，所以函数是偶函数，又，，
则，所以函数在上单调递增，
所以，故解析式可能为A，故A正确；
对于B，由，不合题意，故B错误；
对于C，因为，所以且，
所以函数是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由，不合题意，故D错误.
8．答案：B
解析：设,，由双曲线的定义知，
在中，由余弦定理得：，
所以，
再由，O为的中点，延长至Q，使，
所以四边形为平行四边形，且，
在中，由余弦定理知：，
在中，由余弦定理知：，
因为，则，
可知，
所以③，
由得，把代入得，
化简得，，，
所以渐近线方程为.
9．答案：AD
解析：A：由题意知，每次只摸出一个球，，，，
则，所以，对立，故A正确；
B：，，，
则，所以，不相互独立，故B错误；
C：，故C错误；
D：，，
所以，故D正确.
10．答案：BCD
解析：对A，由，C，E，F四点共面，得，则，
若E不是棱的中点，则，故A错误.
对B，当E是棱的中点时，取的中点G，连接，，则G为的中点.
因为E为的中点，则.
因为平面，平面，所以平面，则B正确.
根据长方体性质知，且平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
则点E，F到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值，
则四棱锥的体积为定值，故C正确.
取棱的中点，由题中数据可得，，
则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心，
外接圆的半径.设三棱锥的外按球的球心为O，
半径为R，设，则，
即，解得，则，此时O点位于中点，
从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.
11．答案：BCD
解析：，故A错误；
由，故B正确；
由，得C正确；
由，令，，得，,
当时，，故D正确.
12．答案：
解析：因为，
当时，
当时，
所以，
所以，
当时不成立，所以.
故答案为：
13．答案：
解析：如图所示，由，不妨设，则，
双曲线C的右焦点为，由双曲线的定义可知，，，
由得，，则，①
在中，，②
在中，，③
由①②得，，所以，④
由①③得，，所以，⑤
由④⑤得，故，
故C的渐近线方程为.
故答案为：
14．答案：
解析：在长方体中，连接并延长与的延长线交于点N，直线交于H，交的延长线于M，
连接交于G，连接，，则五边形即为过点，E，F的长方体的截面，
由，F为的中点，得C是中点，，，
由，E是中点，得，则，
则，
等腰底边上的高，
的面积，
平面平面，平面平面，平面平面，
则，于是，同理，，
，，
因此，
所以所得截面的面积为.
故答案为：.
15．答案：(1)，；
(2)
解析：（1）由题意知得，，，，
双曲线C的方程为，焦距为.
（2）由，可得，
则，
所以，.
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的A、B两点，
所以，解得，
所以，，
所以，所以，由，
可得，解得，
所以，所以，
所以，于是.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意，，
，
.
（2）由题意，Y的可能取值为，
，，
，，
，
，
综上，.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析
解析：（1）令，，则.
令，得；令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以.
（2）易知函数的定义域是.
由，可得.
令得；令得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
①当，即时，至多有1个零点，故不满足题意.
②当，即时，.
因为在上单调递增，且.所以，
所以在上有且只有1个零点，不妨记为，且.
由（1）知，所以.
因为在上单调递减，，
所以在上有且只有1个零点，记为，且.
所以，所以.
同理，若记，
则有，
综上所述，.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）证明：因为平面，平面ABCD，
所以，则.
设，
则，
，
因为，所以，即
则，解得，
所以Q为AP的中点.
连结AC，与BD交于点O，连结QO，
由于底面ABCD是矩形，所以O为AC的中点，则OQ为的中位线，
所以，
又平面，平面BDQ，
所以平面BDQ
（2）易知DA，DC，DP两两互相垂直，
以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面BDQ的法向量为，
由，得，
取，则，
设平面CDQ的法向量为，
由，得，
取，则，
于是，解得，
故三棱锥的体积为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）是等差数列，设，
令，，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的.
（2）因为数列是“优分解”的，设，
其中，，
则，.
当时，
当时，是首项为，公比为q的等比数列.
（3）一方面，数列是“优分解”的，设，
其中，由（2）知
因为，，所以.
，，是首项为2，公比为的等比数列.
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，，
，
是首项为2，公比为的等比数列，
，，且，
化简得，，，，，，
即数列是首项，公比为q的等比数列.
又，，
又，，，，解得，，
综上所述，.