数学丨河南省漯河市高级中学2024届高三上学期８月开学摸底考试数学试卷及答案

这是一份数学丨河南省漯河市高级中学2024届高三上学期８月开学摸底考试数学试卷及答案，共16页。试卷主要包含了函数的图象大致是等内容，欢迎下载使用。

漯河市高级中学 2023—2024 学年高三（上）摸底考试
数 学

考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。


一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下面四个命题正确的是( )
A.10以内的质数集合是
B.0与表示同一个集合
C.方程的解集是
D.由1，2，3组成的集合可表示为或
2.若复数z所对应的点在第四象限，且满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则等于( )
A. B. C. D.
4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？( )
A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天
5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
6.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n.若，则直线l与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
7.若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.


二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知集合有且仅有两个子集，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若不等式的解集为，则
D.若不等式的解集为，且，则
10.双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A.点斜式适用于不垂直于x轴的任何直线
B.斜截式适用于不垂直于x轴的任何直线
C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线
D.截距式适用于不过原点的任何直线
12.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数在处取得极大值
B.方程有两个不同的实数根
C.
D.若不等式在上恒成立，则

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是______.
14.已知函数 在 上是增函数, 则a 的取值范围是__________.
15.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，P，Q，M，N分别是棱，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是___________.

16.在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前n项和.







18.（12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在l上.

（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围.







19.（12分）
已知函数，且，.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.







20.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温






天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.





21.（12分）
已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l与圆相切，与椭圆C交于A，B两点，且满足(O为坐标原点)?若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.






22.（12分）
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？


参 考 答 案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：D
解析：10以内的质数有2，3，5，7，故A错误；0是集合中的一个元素，故B错误；由集合元素的互异性可知错误，故C错误；由集合元素的无序性可知D正确.故选D.
2.答案：C
解析：根据已知有：因为复数z满足：，即，故或，因为复数z所对应的点在第四象限，故复数，所以.故选C.
3.答案：D
解析：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以，所以.因为，
，
，所以.故选D.
4.答案：B
解析：第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；
第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5
第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇
5.答案：D
解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则
由题意可知，，
因此有
，
即，
解得，
因为，
所以.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.
故选：D.
6.答案：A
解析：由题意，设直线l与平面所成的角为，则.由，得.故选A.
7.答案：A
解析：因为，
所以，设，，则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故所以，得到.
8.答案：C
解析：由，得.
令，则，
所以在上单调递减.
又，，
所以存在，使得，
所以当时，，；
当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.答案：ABD
解析：由于集合有且仅有两个子集，所以，.因为，所以.，当且仅当，时等号成立，故A正确.，当且仅当，即，时等号成立，故B正确.不等式的解集为，则，故C错误.不等式的解集为，即不等式的解集为，且，又因为，，所以，所以，故D正确.选ABD.
10.答案：AB
解析：当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率；当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率，故选AB.
11.答案：ABC
解析：A，B，C均正确，D中，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示.
12.答案：AC
解析：易知函数的定义域为，，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有极大值，选项A正确；因为，且当时，，当时，所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；因为函数在上单调递增，且，所以，选项C正确；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，则，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有最大值，，所以，选项D错误.故选AC.
三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.
13.答案：
解析：求导函数，可得，，，，

在上单调递增，
，
对任意的，，都有成立，
，
，
故答案为：.
14.答案：
解析：函数在上是增函数，可得解得，所以a的取值范围函数，可得为.
15.答案：
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.因为，，所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形.又平面与平面均与x轴垂直，所以，.又P，Q，M，N分别是，，，的中点，所以，，，，所以，，所以，所以直线PQ与直线MN所成角的余弦值为.
16.答案：
解析：由题意知当且仅当时有最大值，可得即解得.

四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）答案：（1）
（2）
解析：（1），
，，解得，；
（2）由题可知，，
，

18.（12分）答案：（1）或，即或
（2）
解析：（1）由得则圆心.
又圆C的半径为1，圆C的方程为.
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即.
，，
，或.
所求圆C的切线方程为或，即或.
（2）设，则由，得，即，故点M的轨迹方程为，记为圆D.
根据题意只要保证圆D与圆C有公共点即可.
设，则，即，解得.
圆心C的横坐标a的取值范围为.
19.（12分）答案：（1）
（2）单调递增，证明见解析
解析：（1）由题意，得，即，
解得：，.故.
（2）方法一：在上单调递增.
证明：，且，则.
由，得，，，
所以，即.故在上单调递增.
方法二：在上单调递增.
证明：，且，则
.
由，得，，所以.故在上单调递增.
20.（12分）答案：（1）概率的估计值为0.6
（2）概率的估计值为0.8
解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，
则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温不低于25，测，所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为.
因此Y大于零的90概率的估计值为0.8.
21.（12分）答案：（1）
（2）不存在直线l满足题意，理由见解析
解析：（1）设椭圆C的方程为.因为过，两点，故解得，所以椭圆C的方程为.
（2）假设存在直线l满足题意.
(i)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为.
当时，，，，
同理可得，当时，.
(ii)当直线l的斜率存在时，设l的方程为，设，，
因为直线l与圆O相切，所以，即①，
联立方程组整理得，，
由根与系数的关系得
因为，所以.
所以，
所以，
整理得②，
联立①②，得，此时方程无解.
由(i)(ii)可知，不存在直线l满足题意.
22.（12分）答案：（1），
（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大
解析：（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，，
所以，解得，故该段抛物线的方程为，.
（2）由（1）可设，所以梯形ABCD的面积，，设，，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.