[数学]浙江省湖州市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]浙江省湖州市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由得，解得，所以，
又，所以.
故选：A.
2. 角的终边过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.
故选：B.
3. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以可化为
所以，所以.
故选：C.
4. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】若，，，则或异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，可能有，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确.
故选：D.
5. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
因为圆柱表面积为，所以，解得，
所以圆柱的体积为，球的体积为，
则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为.
故选：C.
6. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，
则在上的投影向量为.
故选：A．
7. “忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是（ ）（参考数据：，，）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
【答案】C
【解析】，
由题设得，在△中，
所以，
则米．
故选：C．
8. 三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接，
因为，，中点为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，
则，平面，
因为，，
所以，，，，
设，，过作交于点，连接，
则，，
又平面，，
在中，有，
又在中，有，
所以，有，解得，
所以，，
所以，三棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 某中学为了解大数据提供的个性化作业的质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，，…，，（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.006
B. 估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为0.04
C. 从评分在的受访学生中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率为
D. 受访学生对个性化作业评分的第40百分位数为72.6
【答案】AC
【解析】由题意得，解得，
故A正确；
由频率分布直方图知，不低于80分频率之和为，
因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于80的概率为0.4，故B错误；
受访学生评分在的有人，依次为、、，
受访学生评分在的有人，依次为、，
从这5名受访学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：
、、、、、、、、
、，
因为所抽取2人的评分都在的结果有1种，，
因此2人评分都在的概率为，故C正确；
因为，
故第40百分位数在内，设为，
则，解得，故D错误.
故选：AC.
10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A. 事件A与C互斥B.
C. 事件B与D对立D. 事件B与C相互独立
【答案】ABD
【解析】用实数对表示试验结果，共有36种结果，
事件A：；
事件B：，，
；
事件C：，
因为A与C不可能同时发生，所以A与C互斥，故A正确；
记 “两次点数均为偶数” 为事件E：，，
，则，故，故B正确；
因为B与D可能同时发生，如事件B：，事件D：，所以B与D不对立，
故C错误；
事件BC：，则，
所以，所以B，C独立，故D正确．
故选：ABD.
11. 设函数，则（ ）
A. 函数是偶函数
B. 函数是奇函数
C. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D. 函数在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】因为
，
对于A项，因为，
所以函数是奇函数，故A项错误；
对于B项，由A可知，函数是奇函数，故B项正确；
对于C项，函数的图象向左平移个单位得到
，故C项正确；
对于D项，由可得，，
所以，函数的单调递增区间为，
同理可得，函数单调递减区间为，
由可得，，所以，
由可得，，所以，
当且单调递增时，函数单调递增，
此时有，即，
当且单调递减时，函数单调递增，
此时有，即，
综上所述，当时，函数单调递增，故D项错误.
故选：BC.
12. 已知正四棱台的所有顶点都在球O的球面上，，，为内部（含边界）的动点，则（ ）
A. 直线与平面相交
B. 球O的体积为
C. 直线与平面所成角的最大值为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A，如图1，
由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故四点共面，
又面∥面，而面∩面＝，面∩面＝，
故∥，即∥；
由平面几何易得，，即=；
所以四边形是平行四边形，故，
而面，面，故∥平面，即直线与平面不相交，
故A错误；
对于B，如图2，
设O1为的中点，O为正四棱台外接球的球心，则AO＝EO＝R，
在等腰梯形中，易得，
即，
为方便计算，不妨设O1O＝a，由，
若在正四棱台外，即面外侧，，则，
所以，不合；
若在正四棱台内，即，则，所以，
综上，O与O2重合，故，故球O体积为，
故B正确；
对于C，由图2易得BD⊥O1O2，BD⊥AC，O1O2∩AC＝O2，O1O2、AC⊂面ACGE，
故BD⊥面ACGE，BD⊂面BDG，故面ACGE⊥面BDG，
在面ACGE内过A作AP⊥O2G交O2G于P，如图3，
则AP⊂面ACGE，面ACGE∩面BDG＝O2G，故AP⊥面BDG，
故∠AMP为AM与平面BDG所成角，
在Rt△APM中，，故当AM取得最小值时，sin∠AMP取得最大值，
即∠AMP取得最大值；
显然，动点M与O2重合时，AM取得最小值，即∠AMP取得最大值，且∠AMP＝∠CO2G，
在△O2GC中，，，，
故△O2GC为正三角形，即∠CO2G＝60°，即AM与平面BDG所成角的最大值为，
故C正确；
对于D，由C知，BD⊥面ACGE，
不妨设M落在图4的M处，过M作MN∥BD，交O2G于点N，则MN⊥面ACGE，
NA在面ACGE中，故MN⊥NA，在Rt△AMN'中，NA＜MA（勾股边小于斜边）；
同理EN＜EM，
所以NA+NE＜MA+ME，故动点M只有落在O2G上，EM+MA才有可能取得最小值；
再看图5，由E关于O2G对称点为C知，；
当在边界时，取得最大值，
当与点重合时，，
，
即，，此时；
当点与点或点重合时，，
所以的范围为，故D正确.
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设向量，为单位正交基底，若，，且，则______．
【答案】2
【解析】因为向量，为单位正交基底，，，，
所以，即，
所以，即.
故答案为：2.
14. 已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是______.
【答案】132.25
【解析】设男生样本平均数为，方差为，女生样本平均数为，方差为，
总体平均数为，总体方差为，则由已知可得，，，，
所以，总体平均数，
根据分层抽样总体的方差公式可知，
总体样本方差
.
故答案为：.
15. 在锐角三角形ABC中，已知，则______，的最小值是______.
【答案】3
【解析】因为，
由正弦定理得，
从而，则，
所以，
即有，即，
，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案：3 .
16. 对任意的，不等式恒成立，求正实数t的取值范围是______.（其中是自然对数的底数）
【答案】
【解析】，则对任意的恒成立，
令，，
当时，，单调递增，
而，
所以，即对任意恒成立，
所以，又，解得或，
故正实数t的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
解：（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
18. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
解：（1）∵是直三棱柱，∴平面，
又∵平面，∴，
又∵平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
（2）∵，为的中点，∴，
又∵平面，且平面，∴，
又∵平面，，∴平面，
由（1）知，平面，∴∥，
又∵平面平面，∴直线平面.
19. 在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．
解：（1）∵，
∴由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，∵，∴.
（2）∵B=60°，∴，即A=120°-C，
又∵，
∴由正弦定理得，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，
从而，∴．
20. 已知函数的图象过点，且对，恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.（其中是自然对数的底数）
解：（1）由题意知的对称轴为，得，
又得，∴.
（2）令，
原不等式等价于，即在上恒成立，
下面分三种情况讨论：
①当时，不等式等价于，
而，当且仅当取等号，
故；
②当时，；
③当时，不等式等价于，
而，当且仅当取等号，故；
综上所述，
所以的最小值为.
21. 已知面积为的菱形ABCD如图①所示，其中，E是线段AD的中点．现将沿AC折起，使得点D到达点S的位置.
（1）若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积；
（2）若二面角的平面角，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点F的轨迹长度的取值范围.
解：（1）因为菱形ABCD的面积为，
得，，，
又因为二面角的平面角为，且大小为，所以，
故点S到平面ABC的距离为，
由于的面积为，
则三棱锥的体积为.
（2）取AC边上靠近点A的四等分点G，取AB的中点为H，连接EH，EG，GH，
∵EG∥SO，SO⊥AC，∴AC⊥EG，同理AC⊥GH，
∵，平面EGH，所以平面EGH，
故点F的轨迹长度即为的周长，
由于，，，
且二面角的大小平面角，
，
∵，∴，，
则，，
所以点F的轨迹长度的取值范围为.
22. 如图，在中，，，D，E，F分别在线段AC，AB，BC上，满足且，记.
（1）用含的代数式表示；
（2）求面积的最小值.
解：（1）由题意知，，
故，其中，，
所以，在中，
.
（2）中，，
在中，由正弦定理得，
即，
得，
∵，
∴，
设
，
其中，当时，，
此时，
当，即，
即取等号，
故面积的最小值为.调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀