2022-2023学年浙江省湖州市高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年浙江省湖州市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把方程化为标准方程后得，从而可得长轴长、短轴长、离心率．

【详解】由已知，可得椭圆标准方程为，

则，，，

所以长轴长为、短轴长为、离心率为.

故选：D.

2．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．

【详解】∵，

∴，又平面的一个法向量为，

∴点A到平面的距离为

故选：B

3．在等差数列中，首项，前3项和为6，则等于（    ）

A．0 B．6 C．12 D．18

【答案】A

【分析】根据题意求出公差，从而可得出答案.

【详解】设公差为，

则，解得，

所以.

故选：A.

4．已知点到直线的距离为1，则m的值为（    ）

A．或 B．或15 C．5或 D．5或15

【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式即可得出.

【详解】解：点到直线的距离为1，

解得：m=15或5．

故选：D.

5．已知圆，直线与交于两点，则当最小时，实数的值是（    ）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】C

【分析】由直线方程得直线所过定点坐标，由几何性质知当与直线垂直时，弦长最小，由斜率关系可得．

【详解】直线方程为知直线过定点，

圆标准方程为，圆心为，半径为5，

，在圆内部，

因此当直线与垂直时，最小，

，∴，．

故选：C．

6．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.

【详解】由题可知，△ABC的重心为，

可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，

直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，

联立方程可得△ABC的垂心为，

则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，

故△ABC的欧拉线方程为.

故选：C.

7．已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案.

【详解】当时，，故，，

当时，，分以下几种情况，

当时，，此时；

当时，，此时，

当时，，此时；

当时，，此时；

故当时，与可正可负，故排除A、C.

当时， ，故， ；

当时，，由于与同号，故，

所以符号随正负变化，故D不正确，B正确；

故选：B

8．双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（    ）

A． B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值.

【详解】由焦半径公式得，，则当时，.

故选：C.

二、多选题

9．已知曲线的方程为，则（    ）

A．曲线可以表示圆

B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆

C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆

D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线

【答案】CD

【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.

【详解】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错；

对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错；

对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对.

故选：CD.

10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，则

【答案】BC

【分析】由前项和求得后判断AB，根据等差数列、等比数列的性质判断CD．

【详解】选项A，时，，

，，，，不是等差数列，A错；

选项B，，

时，，，，

，是等比数列，B正确；

选项C，若是等差数列，则，C正确；

选项D，若，则，

，而，D错误，

故选：BC．

11．已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（    ）

A．的周长为 B．双曲线的离心率为

C．椭圆的离心率为 D．

【答案】BCD

【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．

【详解】设，则，，，

中由余弦定理，得

，化简得，

，D正确；

又，所以，又，

的周长为，A错误；

中，，由余弦定理得，所以，

因此双曲线的离心率为，B正确；

椭圆的离心率为，C正确，

故选：BCD．

12．在棱长为1的正方体中，点满足，，则以下说法正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，线段长度的范围是

C．当时，直线与平面所成角的最大值为

D．当时，存在唯一点使得直线与直线所成的角为

【答案】ABD

【分析】以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断直线垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项．

【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

由得，即，

选项A，时，，，，，A正确；

选项B，，，

，所以，，B正确；

选项C，平面的一个法向量是，

，

设直线与平面所成角为，则，由选项B得，，

，，C错误；

选项D，，，，，

，，

又，∴，即点唯一，D正确，

故选：ABD．

.

三、填空题

13．已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是__________.

【答案】##

【分析】根据给定条件，结合平行线间距离的意义，求出圆C的圆心到直线的距离作答.

【详解】因为直线平分圆，于是直线过圆心，

所以的距离.

故答案为：

14．在等比数列中，，则数列的前5项和是__________.（用具体数字作答）

【答案】3968

【分析】利用求出通项公式，结合等比数列求和公式可得答案.

【详解】设公比为，因为，所以，解得；

所以数列的前5项和为.

故答案为：3968.

15．已知抛物线，其焦点为是过点的一条弦，定点的坐标是，当取最小值时，则弦的长是__________.

【答案】

【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，由图可知当三点共线时，取最小值，由此可得点的坐标，从而可得直线的方程，联立方程求出点的坐标，即可得解.

【详解】抛物线的焦点，准线为，

如图，过点作准线的垂线，垂足为，

则，

所以，当且仅当三点共线时，取等号，

所以当取最小值时，点的横坐标为，

当时，，即，

所以，

所以直线的方程为，

联立，消得，解得或，

当时，，即，

所以.

故答案为：.

16．已知平面四边形中，，现将沿折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时，异面直线与所成角的余弦值是__________.

【答案】

【分析】由外接球的性质及外接球表面积最小确定球心在AD中点上，则可由半径确定C的位置，最后建系由向量法求线线角的余弦值.

【详解】设AD的中点为E，BD的中点为F，∴.

∵，

∴，，，.

四面体的外接球心在过E且垂直于面ABD的直线上，又四面体的外接球表面积最小，即外接球的半径最小，则当球心为E时，半径最小.

∵，∴，由平面ABD，∴平面ABD，

则可建立空间直角坐标系如图所示，则，，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知圆经过点，且圆心在直线上.

(1)求圆的标准方程；

(2)求过点与圆相切的直线方程.

【答案】(1)

(2)和

【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意利用待定系数法求出，即可得解；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得解.

【详解】（1）设圆的标准方程为，

由题意得，

所以圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，符合题意，

当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为，

即，圆心到该直线的距离为，

即，解得，

此时直线方程为，

故所求直线方程为和.

18．已知等差数列的前项和为，且，设数列的前项和为，且.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和为.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由条件求等差数列基本量，即可求通项公式，由与的关系求得；

（2）由错位相减法求和.

【详解】（1）等差数列中，∴.

当，，又，故；

（2），

①，

②，

则①-②得.

∴.

19．在四棱柱中，底面为平行四边形，且，.

(1)用表示，并求的长；

(2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；

（2）用表示，计算，由向量法求异面直线所成的角．

【详解】（1），

，

，

，

即，解得；

（2）由（1）知

设异面直线与所成角为，则.

20．西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年（2023年）起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面积）的植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的以创收.记2023年为第一年，为第年末林区面积（单位：千平方公里）.

(1)确定与的递推关系（即把用表示）；

(2)证明：数列是等比数列，并求；

(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？

【答案】(1)

(2)证明见解析，

(3)经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里

【分析】（1）根据题意分析即可得出答案；

（2）由（1）得，证明为定值即可，再根据等比数列的通项即可得出答案；

（3）由题意可得，解不等式即可.

【详解】（1），

，

；

（2），

且，

所以数列是以为公比的等比数列，

，

所以；

（3）由（2）知，

解得，

当时，，

当时，，

经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.

21．已知梯形中，，，，.现沿将折起至（平面）.

(1)若（如图1），求的值；

(2)当且二面角的平面角为时（如图2），求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由线面垂直，线线垂直相互转化，寻求得到点的位置，进而由平面几何知识得到.

（2）首先确定点位置，然后建系，利用题中已知二面角，求得所需点的坐标，进而求得平面的法向量，代入线面角公式即得结果.

【详解】（1）由题意知在平面的射影落在折痕的垂线上，记为，则平面，又平面，∴.

又，∴平面

又平面.

在平面中，，

∵，∴四边形为平行四边形，即有，

∵，，

∴.

（2）连接和，交于点，由题意可知四边形为菱形；

折起后，，

∵二面角的平面角为，∴.

以所在直线分别为轴，为原点，如图建系，

不妨设，则.

;

设平面的法向量为

则

可取.

又,

设与平面所成角为,

则,

故与平面所成角的正弦值.

22．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，其左右顶点分别为为椭圆的短轴端点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上异于的任意一点，设直线与直线交于点，过作直线的垂线交椭圆于两点.

（i）设直线与的斜率分别为，证明：为定值，并求出该定值；

（ii）求（为坐标原点）面积的最大值.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析，定值为（ii）

【分析】（1）列出关于的方程组，解之可得椭圆方程；

（2）（i）设，分别求出，与的积即得证；

（ii）直线，得，得出直线方程后可得直线过定点，求出，由定点重新设出其方程为，代入椭圆方程后由韦达定理得，然后由基本不等式得面积的最大值．

【详解】（1）由题意得，

由，解得，即椭圆的方程为.

（2）（i）设，则，

又

故为定值为

（ii）直线，此时，此时直线，即过定点

不妨设直线代入，

得.

当且仅当，即取等号.

即当时，

综上可得面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交中的最值问题处理方法：

（1）设直线方程为（或），设交点坐标；

（2）联立直线方程与圆锥曲线方程消元得一元二次方程（判别式确定直线与圆锥曲线相交得参数范围），由韦达定理得（或）；

（3）用坐标表示出欲求最值的量，代入韦达定理的结论后得函数式，利用不等式的知识或函数的知识求得最值．