[数学]江苏省南通市启东市2023-2024学年八年级下学期4月期中试题（解析版）

这是一份[数学]江苏省南通市启东市2023-2024学年八年级下学期4月期中试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，6B. 12，18，22
C. ，，D. 8，15，17
【答案】D
【解析】A.，故不是直角三角形，不符合题意；
B.，故不是直角三角形，不符合题意；
C.，故不是直角三角形，不符合题意；
D.，故是直角三角形，符合题意．
故选：D．
2. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN＝8米，则A、B两点间的距离为（ ）
A. 4米B. 24米C. 16米D. 48米
【答案】C
【解析】∵点M、N分别为AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN＝16（米），
故选：C．
3. 下列对于一次函数的描述错误的是（ ）
A. y随x的增大而减小
B. 图像经过点
C. 图像与直线相交
D. 图像可由直线向上平移2个单位得到
【答案】B
【解析】A.∵-3＜0，∴y随x的增大而减小，故选项正确，不合题意；
B.当x=2时，y=-3×2+2=-4，则图像经过点，故选项错误，符合题意；
C.令-3x+2=3x，则x=，则图像与直线相交，故选项正确，不合题意；
D.图像可由直线向上平移2个单位得到，故选项正确，不合题意；
故选B．
4. 如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴中，
，
∴的长为．
故选：A．
5. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ）
A. 82﹢x2 = (x﹣3)2B. 82﹢(x+3)2= x2
C. 82﹢(x﹣3)2= x2D. x2﹢(x﹣3)2= 82
【答案】C
【解析】设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+82=x2，
故选C．
6. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=AD，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，
在直角三角形ADE中，根据勾股定理，得AE==，
在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得BE==．
故选A．
7. 小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是
A. 5B. 2C. D.
【答案】C
【解析】设一次函数的表达式为：，
由表得：，
解得：，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
这个错误的函数值为，
故选C．
8. 如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程（千米）与计费（元）之间的函数关系图象．有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；③点A的坐标是；④甲、乙两地之间的路程是15千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，其中正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】①根据“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系图象可知：行驶里程不超过5公里计费8元，即①正确；
②“滴滴顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为（元），故②正确；
③设时，“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为，
将，代入函数解析式得：
，
解得：
“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为；
当时，设“滴滴顺风车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为，
将、代入函数解析式得：
，
解得：
“滴滴顺风车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为
联立、得：
，
解得：
点的坐标为，故③正确；
④将分别代入，，

即甲、乙两地之间的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用元，故④正确．
综上可知，正确的结论个数为4个．
故选D．
9. 如图，在正方形外侧作直线，点C关于直线的对称点为M，连接，．其中交直线于点N．若，则当时，正方形的边长为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接、、，
∵点C关于直线的对称点为M，
∴CN=MN，CD=DM，
∴∠NCM=∠NMC，∠DCM=∠DMC，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴正方形的边长．
故选：D．
10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形点，点，点，则对角线的最小值是（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】B
【解析】设点D的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴与的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴，
∴

，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴对角线的最小值为，
故选：B．
二、填空题
11. 木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面______．（填“合格”或“不合格”）
【答案】不合格
【解析】不合格，
理由：∵802+1002=16400≠1302，
即：AB2+BC2≠AC2，
∴∠B≠90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格．
故答案为：不合格．
12. 若直线与直线平行，且过点，则该直线的解析式为 ___________．
【答案】
【解析】∵直线与直线平行，
∴．
又∵直线过点，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为4cm，则其面积为_______ cm2．
【答案】或
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AB=AD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，
∴△ABD是等边三角形，
①BD=4cm，则OB=2cm，
∴AB=BD=4cm；
∴OA==（cm），
∴AC=2OA=4（cm），
∴S菱形ABCD=AC•BD=（cm2）；
②AC=4cm．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=2cm，∠BAO=30°，
∴AB= 2OB，
∴，即，
∴OB=（cm），BD= cm
∴S菱形ABCD=AC•BD=（cm2）；
综上可得：其面积为 cm2或 cm2．
故答案为：或 ．
14. 若直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是 _____．
【答案】
【解析】当时，，，
∴直线过原点，直线过，
把代入得，则Q的坐标是，
画出函数图象如图：
对不等式变形得：，
根据图象，得：不等式的解集是，
即不等式的解集是，
故答案为：．
15. 如图，有一个矩形纸片沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则的长为______．

【答案】6
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，，
在中，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故答案为：6．
16. 如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．若点P为x轴上一点，且△ABP的面积为3，则点P的坐标为 ___．
【答案】（4，0）或（-2，0）
【解析】如图：
在y=-2x+2中，令x=0得y=2，令y=0得-2x+2=0，x=1，
∴A（1，0），B（0，2），
设x轴上的点P（m，0），
则AP=|m-1|，
∵△ABP的面积为3，
∴AP•|yB|=3，即|m-1|×2=3，
∴|m-1|=3，
解得m=4或m=-2，
∴P（4，0）或（-2，0），
故答案为：（4，0）或（-2，0）．
17. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，的面积为y，请结合如图的函数图象计算：当时，y的值为______．
【答案】
【解析】P在正方形的边上每运动一周，则的值增加16，
（周）（单位长度），
当时，点位于点处，即，
，
故答案为：．
18. 如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_____．
【答案】
【解析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM=AB=1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，∠DAB=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE=AD=×2=1，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'=DE=1，PE=PE'，
∴AE'=AD+DE'=2+1=3，
在Rt△AOE'中，，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM
=．
故答案为：．
三、解答题
19. 如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
证明：连接CE，如图所示．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴，
∵中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
又∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∴是直角三角形．
20. 已知与成正比例，且当时，．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当时，求y的值；
（3）若y的取值范围是，求x的取值范围．
（1）解：由题知，设，
将，代入函数解析式得，
，
解得，
所以，
则与之间的函数关系式为：．
（2）解：将代入得，
，
故的值为9．
（3）解：因为，且，
所以，
解得．
21. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
22. 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地3米、与宿舍外墙的距离是6米．请问云梯够长吗？说明理由．

解：够长，理由如下：
连接，由题意，得：，

∴，
∴，
∵，
∴云梯够长．
23. 在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC中点．
求证： ．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
（1）补全求证；
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程．
解：（1）求证：DE//BC，且DE＝BC，
故答案为：DE//BC，且DE＝BC；
（2）∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD//CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DE//BC，DF＝BC，
∵DE＝FE，
∴DE//BC，且DE＝BC．
24. 某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进果汁饮料x箱（x为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为W元（注：总利润=总售价﹣总进价）．
（1）设商场购进碳酸饮料y箱，直接写出y与x的函数关系式；
（2）求总利润w关于x的函数关系式；
（3）如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．
解：（1）y与x的函数关系式为：y=50﹣x；
（2）总利润w关于x的函数关系式为：w=（61﹣51）x+（43﹣36）（50﹣x）=3x+350；
（3）由题意，得51x+36（50﹣x）≤2100，解得x≤20，
∵y=3x+350，y随x的增大而增大，
∴当x=20时，y最大值=3×20+350=410元，此时购进B品牌的饮料50﹣20=30箱，
∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为20箱、30箱时，能获得最大利润410元．
25. 【问题原型】人教版教材八年级下册有这样一道题：
如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“中点E”改为“直线上任意一点（B，C两点除外）时”，结论都能成立．现请你证明下面这种情况：
如图（2），四边形是正方形，点E为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点F，求证：．
【拓展迁移】
如图3，在正方形中，，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在上方作等腰直角三角形，，连接．则在点E的运动过程中，周长的最小值为______．
【问题原型】证明：如图1，取的中点G，连接，
，
点E是的中点，，
，
，
，
是正方形的外角的平分线，
，，
，
，，
，，
【问题应用】
证明：如图2，
在延长线上截取，连接．
四边形是正方形，
，．
又，
．
，，为正方形外角平分线
，
，
又，，
在和中，，
，
．
【拓展迁移】
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在上取点H，使，连接，
，
，
，
，，，
，
，
，
作点D关于的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，此时的最小值即为的长，
在中，由勾股定理得，
以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为
26. 某同学在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
（1）如图所示，这位同学分别画出了函数，，的图象（网格中每个小方格边长为1）．通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现：（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______；
【深入探究】
（2）归纳：函数（其中k，m，n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______；（用含m，n的字母表示）
【实践运用】
（3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定会经过点N，且与y轴相交于点M，点O为坐标原点，若的面积为6，求k的值．
解：（1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现为常数，且的图象一定会经过的点的坐标是，
故答案为：；
（2）函数其中k、m、n为常数，且的图象一定会经过的点的坐标是（m,n），
故答案为：；
（3）将代入得，
∴点N坐标为，
将代入得，
∴点M坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，或．
∴k的值为或．
…
0
1
2
…
…
8
5
2
…
饮料
果汁饮料
碳酸饮料
进价（元/箱）
51
36
售价（元/箱）
61
43