中考数学（贵州卷）-2024年中考数学第三次模考试

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试（贵州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．﹣2D．3.14
【解答】解：A．＝3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．如图用一个平面去截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：用如图所示的平面去截圆锥，截面的形状是椭圆．
故选：B．
3．2月18日，据国家电影局最新数据显示，2024年春节假期全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，均创造了同档期新的纪录，将数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）
A．80.16×108B．0.8016×1011
C．8.016×109D．8.016×1010
【解答】解：80.16亿＝80.16×108＝8.016×109．
故选：C．
4．如图，直线a∥b，若∠1＝135°，则∠2等于（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠3，∠1＝135°
∴∠3＝135°，
∴∠2＝45°，
故选：B．
5．将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：圆形靶子被分成8个面积相等的区域，其中阴影部分区域为5个，
故飞镖落在阴影部分的概率是．
故选：A．
6．下列多项式分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．a2+b2＝（a+b）2
C．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3D．2a﹣4＝2（a﹣2）
【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故本选项不符合题意；
B、a2+b2不能因式分解，故本选项不符合题意；
C、a2+2a﹣3＝（a+3）（a﹣1），故本选项不符合题意；
D、2a﹣4＝2（a﹣2），故本选项符合题意；
故选：D．
7．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①②④
【解答】解：③∵BE＝CF，
∴BC＝EF．
A、①②③根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF；
B、②③④根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
C、③④⑤根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF；
D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断△ABC≌△DEF；
故选：D．
8．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≠2C．x＞0且x≠2D．x＞2
【解答】解：由题可知，
x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：B．
9．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC＝BC．下面找法正确的是（ ）
A．以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B．以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C．作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D．作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故选项D正确，故选：D．
10．如图，已知小红的坐标为（2，1），小亮的坐标为（1，﹣1），那么小华的坐标为（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）
【解答】解：∵小红的坐标为（2，1），小亮的坐标为（1，﹣1），
∵平面直角坐标系如图所示：
∴小华的坐标为（﹣1，2），
故选：D．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则sin∠OCE等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AB＝10，
∴OC＝AB＝5，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O的直径，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝CD＝4，
∴OE＝＝3，
∴sin∠OCE＝＝．
故选：A．
12．已知A，B两地间有汽车站C，客车由A地驶向C站，货车由B地经过C站去A地（客货车在A，C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶（中间不停留），货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系图象，小明由图象信息得出如下结论：
①货车速度为60千米/时；
②B、C两地相距120千米；
③货车由B地到A地用12小时；
④客车行驶240千米时与货车相遇．
你认为正确的结论有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由题意得，客车由A地驶向C站共需9小时，行驶路程为720千米，
∴客车的速度为＝80（千米/小时），
∵货车的速度是客车速度的，
∴货车的速度为＝60（千米/小时），故①正确；
由图象可知，货车由B地驶向C站花费了2小时，
∴B、C两地间的距离为60×2＝120（千米），故②正确；
由题意可知，A、C两地之间的距离为720千米，
∴A、B两地之间的距离为720+120＝840千米，
∴货车由B地驶向A地所需时间为＝14（小时），故③错误；
设两车a小时后相遇，
由题意得：（80+60）x＝840，
解得：x＝6，
此时，客车行驶的路程为80×6＝480（千米），故④错误．
综上，正确的结论有①②，共2个．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．若分式有意义，则a的取值范围是 a≠﹣1 ．
【解答】解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，
解得a≠﹣1．
故答案为：a≠﹣1．
14．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为 4 ．
【解答】解：由题意可得：摸到白球的频率之和为：1﹣0.4＝0.6，
∴总的球数为：6÷0.6＝10，
∴红球有：10﹣6＝4（个），
故答案为：4．
15．如图，直线y＝kx+b和y＝mx+n交于点P（1，1），直线y＝mx+n交x轴于点（2，0），那么不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集是 1＜x＜2 ．
【解答】解：∵直线y＝kx+b和y＝mx+n交于点P（1，1），直线y＝mx+n交x轴于点（2，0），
∴不等式0＜mx+n的解集是：x＜2，不等式mx+n＜kx+b的解集是：x＞1，
∴不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集是1＜x＜2，
故答案为：1＜x＜2．
16．一个较大水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水平桌面平行（AB，CD分别为杯底圆和杯口圆的直径），已知水杯底部宽AB＝6cm，水杯高为16cm，当杯内水面高为6cm时，水面宽为12cm．如图2，先把水杯盛满水，再将水杯绕点A倾斜倒出部分水，如图3，当tan∠BAF＝时，杯中水面CE平行于水平桌面AF，则此时CE＝ cm．
【解答】解：如图，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意得：A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣6，6），N（6，6），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
将B（3，0），N（6，6）代入，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2，
当y＝16时，16＝x2﹣2，
解得x1＝9，x2＝﹣9，
∴C（﹣9，16），D（9，16），
根据题意可知，∠DCE＝∠BAF，设CE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q，
在Rt△CPQ中，
CQ＝9，tan∠DCE＝tan∠BAF＝时，
∴PQ＝3cm．
∴PO＝13cm．
∴P（0，13）．
设直线CE的解析式为：y＝kx+m，
将C（﹣9，16），P（0，13），代入，
得，
解得，
∴直线CE的解析式为：y＝﹣x+13．
令x2﹣2＝﹣x+13，
解得x＝或x＝﹣9（不合题意，舍去），
∴点E的横坐标为．
当x＝时，y＝﹣×+13＝．
∴E（，）．
∴CE＝＝（cm），
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）解方程：3（x+4）2＝x（x+4）．
【解答】解：（1）原式＝2﹣5+1+2﹣
＝﹣；
（2）3（x+4）2＝x（x+4），
3（x+4）2﹣x（x+4）＝0，
（x+4）（3x+12﹣x）＝0，
∴x+4＝0或3x+12﹣x＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣6．
18．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，F分别在BC，AD上，EF经过点O，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若E为BC的中点，AE＝3，AC＝4，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，AE＝3，AC＝4，
∴CE＝AE＝3，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝AE＝3，
∴BC＝2BE＝6，∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，
∴∠BAC＝∠EAC+∠EAB＝×180°＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴AB的长是2．
19．为落实国家“双减”政策，学校在课后托管时间里开展了“A．音乐、B．体育、C．文学、D．美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查（每人必选且只选一种），并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查的学生共有 60 人；条形统计图中m的值为 11 ；扇形统计图中α的度数为 90° ；根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有 200 人；
（2）现从“文学”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【解答】解：（1）24÷40%＝60（人），
m＝60﹣10﹣24﹣15＝11，
α＝360°×＝90°，
1200×＝200（人），
∴参加调查的学生共有60人；条形统计图中m的值为11；扇形统计图中α的度数为90°；根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有200人；
故答案为：60，11，90°，200．
（2）画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
20．邓州彩虹大桥（如图①横跨湍河两岸，是我市标志性建筑之一，晚上灯火璀璨，形如彩虹，给我市增添了一道亮丽的风景．周末，小亮在爸爸的帮助下，测量彩虹大桥弓顶距水面的高度AB（如图②），先在水岸C处测得弓顶A的仰角为45°，然后沿BC方向后退8米至D处后（CD＝8米），又走上观光台的点E处，DE＝3米，且DE⊥BC；接着在点E处测得弓顶A的仰角为40°，根据以上小亮的测量数据，请你帮助他算出彩虹大桥弓顶距水面的高度AB．（结果精确到1米，参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
由题意得：BF＝DE＝3米，EF＝BD，
设BC＝x米，
∵CD＝8米，
∴EF＝BD＝BC+CD＝（8+x）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC•tan45°＝x（米），
在Rt△AEF中，∠AEF＝40°，
∴AF＝EF•tan40°≈0.84（x+8）米，
∵AF+BF＝AB，
∴0.84（x+8）+3＝x，
解得：x＝60.75，
∴AB＝60.75≈61（米），
∴彩虹大桥弓顶距水面的高度AB约为61米．
21．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高50%后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？
【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元；
（2）设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品（80﹣m）件，
依题意得：120m+100（80﹣m）＝9000，
解得：m＝50，
则80﹣m＝80﹣50＝30，
∴120×（1+50%）×0.8×50﹣120×50+30×30＝2100（元），
答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元．
22．如图，在直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y2＝（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA＝AD．
（1）求k的值；
（2）过点M（4，0）作y轴的平行线，分别交直线y1，双曲线y2于点E，F，求EF的长；
（3）直接写出不等式组的解集．
【解答】解：（1）在 y1＝2x﹣2 中，令 y1＝0，得 0＝2x﹣2，解得 x＝1，
∴OA＝1，点A的坐标为（1，0），
∵OA＝AD，点C在直线 y1＝2x﹣2 上，CD⊥x轴，
∴将 x＝2 代入 y1＝2x﹣2，得 y1＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
将C（2，2），代入
解得：k＝4．
（2）将x＝4代入 y1＝2x﹣2，得 y1＝6，
E（4，6），
将x＝4代入 ，得 ，
F（4，1），
∴EF＝6﹣1＝5．
（3）根据函数图象和交点坐标，不等式组的解集为：x＞2．
23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．点O为斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若OA＝2．
①求CD的长度；
②求阴影部分的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）连接OD．
∵BC是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BC．
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠ADO＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠OAD＝30°．
（2）①连接OE，ED．
∵∠BAC＝60°，OE＝OA，
∴△OAE为等边三角形．
∵以OA为半径的⊙O与BC切于点D，
∴OD∥AC，
∴∠DOE＝60°，
∴△DOE为等边三角形，
∴DE＝OE＝OA＝2，
∴∠AOE＝60°，
∴∠ADE＝30°．
又∵∠CAB＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠DAO＝30°，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴ED∥AO，
∴∠CED＝60°，
∴sin∠CED＝＝，
∴CD＝；
②∵ED∥AO，
∴S△AED＝S△EDO．
∴阴影部分的面积＝S扇形EOD＝＝π．
24．某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD，这个大棚用了400根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC′＝1米，求GG′的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
【解答】解：（1）①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：A（0，1），E（4，3.4），C（6，3.4），
设改造前的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后C与E上升相同的高度，且CC′＝1，
∴对称轴为直线x＝5，则有，
当x＝6时，y＝4.4，
∴36c+6d+1＝4.4，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当x＝2时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴GG′的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为y＝ax2﹣10ax+1，
∵当x＝2时，y＝a×22﹣10a×2+1＝﹣16a+1，
当x＝4时，y＝a×42﹣10a×4+1＝﹣24a+1，
∴G′（2，﹣16a+1），E′（4，﹣24a+1），
∴，
由题意可列不等式：（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，
解得：，
∵CC'＝EE'＝﹣24a+1﹣3.4，
要使最大，需a最小，
∴当时，CC′的值最大，最大值为1.6米．
25．在△ABC中，已知∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于E、F．
（1）图1中写出等腰三角形，并找出EF与BE、CF间的关系；
（2）图2中∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，这时图中还有等腰三角形吗？如果有写出来，此时EF与BE、CF间的关系如何？说明理由．
【解答】解：（1）图中的等腰三角形有△BEO和△CFO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∵∠EBO＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴△BEO是等腰三角形；
同理可证：△CFO是等腰三角形；
（2）EF＝BE﹣CF．
理由：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC．
又∵EO∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC；
∴∠ABO＝∠EOB，
∴BE＝EO；
同理可证：CF＝FO；
∵EF＝EO﹣FO，
∴EF＝BE﹣CF．