2024年云南省曲靖市高考数学第二次质检试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年云南省曲靖市高考数学第二次质检试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=2x−1(x∈{1,2,3})的值域为( )
A. [1,5]B. {1,3,5}C. [2,6]D. {2,4,6}
2.小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是( )
A. 25元B. 18元C. 20元D. 16元
3.曲线x2+y2+2x−4y−4=0所围成的区域的面积为( )
A. 7πB. 7πC. 3πD. 9π
4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a3=3，S3=9，则数列{an}的公比是( )
A. −12或1B. 12或1C. −12D. 12
5.大年初一，爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、读高中的姐姐以及刚满周岁的小弟弟一家六口外出游玩，到某处景点时站成一排拍照，小弟弟由其中任意一人抱着，则不同的站法共有( )
A. 120种B. 480种C. 600种D. 720种
6.在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2，则直线OB与平面ABC所成角的正切值等于( )
A. 132B. 2 1313C. 2 23D. 3 24
7.已知O是△ABC的外心，AB+AC=2AO，|OA|=|AB|，则向量AC在向量BC上的投影向量为( )
A. −14BCB. − 24BCC. 34BCD. 34BC
8.设点A，B的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，M是平面内的动点，直线MA，MB的斜率之积为λ，动点M的轨迹C与曲线y2=2|x|相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于48 3，则轨迹C的离心率等于( )
A. 25411B. 25311C. 1211D. 1311
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是( )
A. (x−1x)6展开式中x6的系数为1B. (x+1x)6展开式的常数项等于20
C. (x+1x)6展开式的二项式系数之和为64D. (x−1x)6展开式的系数之和为64
10.已知集合S，T，定义ST={xy|x∈S,y∈T}，则下列命题正确的是( )
A. 若S={1921,1949}，T={0,1}，则ST与TS的全部元素之和等于3874
B. 若S={2021}，R表示实数集，R+表示正实数集，则SR=R+
C. 若S={2024}，R表示实数集，则RS=R
D. 若S={2049}，R+表示正实数集，函数f(x)=lg2024x,x∈(R+)S，则2049属于函数f(x)的值域
11.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，水面在筒车圆弧内的宽度为3m.记筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m，在水面以下时d0，y0>0，
且y02=2x0，由对称性可知所求矩形的面积S=2x0⋅2y0=y02⋅2y0=48 3，
解得y0=2 3，x0=6，故P(6,2 3).
因为P(6,2 3)在曲线C上，所以λ=y02x02−25=(2 3)236−25=1211，
轨迹C的方程可化为x225−y225λ=1，所以轨迹C是双曲线，且a2=25，b2=25λ，
离心率e满足：e2=c2a2=25+25λ25=1+1211=2311，所以e= 25311.
故选：B.
首先求点M的轨迹方程，再根据对称性，利用坐标表示四边形的面积，并求双曲线方程，即可求解．
本题主要考查了点的轨迹方程的求解，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A：由(x−1x)6展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r(−1x)r=(−1)rC6rx6−2r,(r=0,1,2,⋯,6)，
令6−2r=6，解得r=0，所以含x6的项为T1=(−1)0C60x6=x6，此时系数为1，故A正确；
对于选项B：由(x+1x)6展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r(1x)r=C6rx6−2r,(r=0,1,2,⋯,6)，
令6−2r=0，解得r=3，所以常数项为T4=C63x0=20，故B正确；
对于选项C：由(x+1x)6可知n=6，所以二项式系数之和为26=64，故C正确；
对于选项D：令x=1，可得所有项系数之和为(1−1)6=0，故D错误．
故选：ABC.
根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算可判断选项A，B；根据二项式系数之和为2n可判断选项C；令x=1，可得所有项系数之和进而判断选项D.
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于选项A：因为S={1921,1949}，T={0,1}，
根据所给定义可得TS={0,1}，ST={1,1921,1949}，
则ST与TS的全部元素之和等于3872，故选项A错误；
对于选项B：SR={y|y=2021x,x∈R}=R+，故选项B正确；
对于选项C：RS={y|y=x2024,x∈R}，表示幂函数y=x2024(x∈R)的值域，
可知幂函数y=x2024(x∈R)的值域为[0,+∞),即RS=[0,+∞),故选项C错误；
对于选项D：因为x∈(R+)S={x|x=t2049,t>0}，
当t=2024时，则x=20242049，
可得f(20242049)=lg202420242049=2049，故选项D正确．
故选：BD.
对于A：根据题意可得TS={0,1}，ST={1,1921,1949}，即可得结果；对于B：根据题意结合指数函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于D：根据题意取特值检验即可．
本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的判断，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：筒车上的盛水筒P做匀速圆周运动，设d与t之间的函数关系式为：d=3sin(ωt+φ)+h0(t≥0)，
因为筒车每分钟转1.5圈，所以函数的周期为40s，所以ω=2π40=π20.
因为AB=OA=OB=r=3，所以D到筒车轴心的距离为h0=OD=3 32,∠COB=π3.
已知在盛水筒P某次刚出水面时开始计时，则初相φ=−π3，
所以d与t之间的函数关系为：d=3sin(π20t−π3)+3 32(t≥0)，选项B正确．
由诱导公式得：sin(π20t−π3)=cs(π2−π20t+π3)=cs(π20t−5π6)，所以选项A正确．
当t=1h=3600s时，d=3sin(π20×3600−π3)+3 32=0，选项C错误．
筒车旋转1周，盛水筒P离开水面的时段所对应的圆心角大小为：2π−π3=5π3，
对应时长为5π3×20π=1003(s)，则筒车旋转3周盛水筒P离开水面的时间总和等于100s，
所以选项D正确．
故选：ABD.
设函数关系为d=3sin(ωt+φ)+h0(t≥0)，根据周期和振幅、初相求出解析式，即可判断AB，代入求值判断C，根据周期性求出1周内盛水筒离开水面的时间求解即可判断D.
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12.【答案】159
【解析】解：根据题意，某班8名女生的身高分别为160，155，157，155.5，154，158，155，162，
从小到大排列为：154，155，155，155.5，157，158，160，162，
由8×75%=6，则该组数据的第75百分位数是12(158+160)=159.
故答案为：159.
根据题意，将数据由小到大排列，结合百分位数计算公式计算可得答案．
本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
13.【答案】 3
【解析】解：x2+x+1=0⇒(x+12)2=−34⇒x=−12± 32i，
x−=−12± 32i,−1+x−=−32± 32i,|−1+x−|= (−32)2+(± 32)2= 3.
故答案为： 3.
配方求出一元二次方程的根，得出共轭复数，由模的定义求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
14.【答案】2025 2
【解析】解：方法一：d(M,N)表示函数y=ex+2024图象上的动点P与函数y=ln(x−2024)图象上动点Q的距离的最小值，即|PQ|min.
由y=ex+2024，得ex=y−2024，所以x=ln(y−2024)，互换x，y得y=ln(x−2024)，
因此y=ex+2024与y=ln(x−2024)互为反函数，
它们的图象关于直线y=x对称，
则|PQ|min恰好等于函数y=ex+2024图象上的动点P(x,y)到直线y=x的距离的最小值的2倍．
点P(x,y)到直线y=x的距离d(x)=|x−y| 2= 22|ex−x+2024|，
设f(x)=ex−x+2024，则f′(x)=ex−1，
当x0；
函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(0)=2025，
所以d(x)min=2025 22,|PQ|min=2025 2，所以d(M,N)=2025 2.
方法二：函数y=ex与y=lnx互为反函数，
函数y=ex图象上任意点与y=lnx图象上任意点之间的最小值恰好等于点(0,1)与(1,0)之间的距离，
y=ex图象向上平移2024个单位得到y=ex+2024的图象，
y=lnx图象向右平移2024个单位得到y=ln(x−2024)的图象．
从而d(M,N)就等于点(0,2025)与点(2025,0)的距离，故d(M,N)=2025 2.
故答案为：2025 2.
方法一：d(M,N)表示函数y=ex+2024图象上的动点P与函数y=ln(x−2024)图象上动点Q的距离的最小值，利用互为反函数和点到直线的距离和构造函数的最小值，即|PQ|min.
方法二：函数y=ex与y=lnx互为反函数，函数y=ex图象上任意点与y=lnx图象上任意点之间的最小值恰好等于点(0,1)与(1,0)之间的距离，再平移后求解最小值．
本题考查了新定义题的解法与应用问题，是中档题．
15.【答案】解：(1)设A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”，
则P(A)=25，P(AB)=2×15×4=110，
所以所求概率P=P(B|A)=P(AB)P(A)=110×52=14；
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，则X∼B(3,25)，
P(X=0)=(35)3=27125，P(X=1)=C31⋅25⋅(35)2=54125，
P(X=2)=C32⋅(25)2⋅35⋅=36125，P(X=3)=(25)3=8125，
所以X的分布列为：
则E(X)=3×25=65.
【解析】(1)设A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”，然后根据条件概率即可求解；
(2)首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望．
本题考查了条件概率的求解及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵f(x)=(x+a)ex，∴f(0)=a，
又∵f′(x)=(x+a+1)ex，k=f′(0)=a+1，
∴函数f(x)的图象在点T(0,f(0))处的切线方程为y−a=(a+1)x，
即y=(a+1)x+a.
(2)∵函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=(x+a+1)ex，
∴x0，
∴f(x)在(−∞,−a−1)上单调递减，在(−a−1,+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(x)极小=f(−a−1)=−1ea+1