还剩14页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2024年云南省昆明一中高考数学第九次考前适应性试卷（含详细答案解析）
展开
这是一份2024年云南省昆明一中高考数学第九次考前适应性试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3}，B={x|x<2}，则A∩(∁UB)=( )
A. {2,3}B. {3}C. [2,+∞)D. (2,+∞)
2.复数z=a+bi(a,b∈R)，满足z(1+i)=(1−2i)2，则a−b=( )
A. −72B. 12C. −3D. −4
3.已知点F是抛物线y2=8x的焦点，A，B，C在该抛物线上，若点F恰好是△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
4.已知PA是圆C：x2+(y−1)2=1的切线，点A为切点，若|PA|=2，则点P的轨迹方程是( )
A. (x−1)2+y2=5B. x2+(y−1)2=5
C. y2=2xD. x2=2y
5.若甲组样本数据x1，x2，…，xn(数据各不相同)的平均数为4，方差为2，乙组样本数据3x1−a，3x2−a，…，3xn−a的平均数为5，则下列说法错误的是( )
A. a的值为7B. 乙组样本数据的方差为18
C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同
6.已知函数f(x)=asinx+csx，x∈(π4,π3)，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. [ 3,+∞)C. (1, 3)D. [1, 3]
7.对于定义域为D的函数y=f(x)，若存在区间[a,b]⊂D，使得f(x)同时满足：
①f(x)在区间[a,b]上是单调函数；
②当f(x)的定义域为[a,b]时，f(x)的值域也为[a,b]，则称区间[a,b]为该函数的一个“和谐区间”.
已知定义在(1,k)上的函数f(x)=m2−2x有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是( )
A. (4,4 2)B. (4 2,6)C. (4,6)D. (6,8)
8.作边长为6的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积之和为( )
A. (1−14n−1)πB. (1−14n)πC. (4−14n−1)πD. (4−14n+1)π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A. AF//CNB. BM⊥DEC. CN与BM成60∘角D. NE与BM是异面直线
10.设直线l：y=kx−1(k∈R)与圆C：x2+y2=6，则下列结论正确的为( )
A. 直线l与圆C可能相离
B. 直线l不可能将圆C的周长平分
C. 当k=2时，直线l被圆C截得的弦长为2 1305
D. 直线l被圆C截得的最短弦长为2 5
11.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短？在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为2x−y=0，y=0，将军的出发点是点A(3,1)，军营所在位置为B(6,3)，则下列说法错误的是( )
A. 若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为(1,2)
B. 将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 5
C. 将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 85
D. 将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是2 13
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知角α的终边过点P(4,3)，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cs(α−β)=______.
13.设O为坐标原点，直线y=b与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为10，则双曲线C的焦距的最小值为______.
14.两个三口之家(父母两人，小孩一人)共6人去旅游，有红旗和比亚迪两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为______.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1=A1C.
(1)证明：A1C1⊥A1B；
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为3，且二面角A1−BC−A的余弦值为 55，求直线AA1与平面ABC所成角的正弦值.
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b=2，a2=(c−1)2+3.
(1)求A；
(2)若asinAsinB=4，求csC的值．
17.(本小题15分)
某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量N，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，X表示捕获的有标识的成年鸡的数目.
(1)若N=10000，求X的数学期望；
(2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求N的估计值(以使得P(X=20)最大的N的值作为N的估计值).
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，点M在椭圆E外，线段MF1与E相交于P，满足|MF1|=2a，点T在线段MF2上，|TF2|≠0，且∠PTF1=π2.
(1)若点P的坐标为(x,y)，证明：|PF1|=a+cax；
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)在曲线C上是否存在点N，使得△F1NF2的面积为b2，若存在，求∠F1NF2的正切值，若不存在请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lgaxxa.
(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1a2有且仅有两个交点，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：U=R，集合A={0,1,2,3}，B={x|x<2}，
则∁UB={x|x≥2}，则A∩(∁UB)={2,3}.
故选：A.
根据集合的运算即可得．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：z=a+bi(a,b∈R)，满足z(1+i)=(1−2i)2=−3−4i，
则(a+bi)(1+i)=a−b+(a+b)i=−3−4i，
故a−b=−3.
故选：C.
结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的重心，抛物线等知识，属于中档题.
本题采用取特殊位置的方法求解，设点A是抛物线y2=8x的顶点，根据抛物线的对称性，设B(x1,y1)，C(x1,−y1)，进而根据三角形的重心的性质可求得x1，把B，C点代入抛物线方程，从而得出B，C的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求得．
【解答】
解：设点A是抛物线y2=8x的顶点，因为点F恰好是△ABC的重心，
所以可以设B(x1,y1)，C(x1,−y1)，令y1>0，
∵抛物线y2=8x，
∴F(2,0)，
∵△ABC的重心与抛物线的焦点F重合，
∴0+x1+x13=2，x1=3，
代入抛物线y2=8x的方程，求得B(3,2 6)，C(3,−2 6).
利用两点间的距离公式得：|AF|+|BF|+|CF|=12.
故选C.
4.【答案】B
【解析】解：因为|PA|=2，圆的半径为1，
所以P点到圆心的距离为 22+12= 5，
所以点P的轨迹方程是以(0,1)为圆心， 5为半径的圆，即x2+(y−1)2=5.
故选：B.
由题意得P点到圆心的距离为 5，结合两点间的距离公式即可求解．
本题主要考查了直线与圆相切性质的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，若甲组样本数据x1，x2，…，xn，设x1依次分析选项：
对于A，乙组样本数据的平均数为3×4−a=5，解可得a=7，A正确；
对于B，乙组样本数据的方差为32×2=18，B正确；
对于C，若n为奇数，则甲组样本数据的中位数为xn+12，乙组样本数据的中位数为3xn+12−7，
若n为偶数，则甲组样本数据的中位数为12(xn2+xn+22)，乙组样本数据的中位数为32(xn2+xn+22)−7，
故两组样本数据的样本中位数不同，C错误；
对于D，甲组样本数据的极差为xn−x1，乙组样本数据的极差为3xn−3x1=3(xn−x1)，两者不同，D正确．
故选：C.
根据题意，由数据平均数、方差、中位数和极差的定义分析选项，综合可得答案．
本题考查数据的平均数、方差、中位数、极差的计算，涉及方差的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则等价为函数f(x)在x∈(π4,π3)上不是单调函数，即存在对称轴，
因为f′(x)=acsx−sinx，
若函数为单调递增函数，则f′(x)≥0恒成立，即acsx−sinx≥0，得a≥sinxcsx=tanx在x∈(π4,π3)上恒成立，
当x∈(π4,π3)时，1若函数为单调递减函数，则f′(x)≤0恒成立，即acsx−sinx≤0，得a≤sinxcsx=tanx在x∈(π4,π3)上恒成立，
当x∈(π4,π3)时，则此时a≤1，即若函数f(x)为单调递增，则a≥ 3或a≤1，
若函数在x∈(π4,π3)上不是单调函数，则1故选：C.
问题等价为函数f(x)在x∈(π4,π3)上不是单调函数，即存在对称轴，结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题，
7.【答案】B
【解析】解：由题意得，存在区间[a,b]⊆(1,k)，使得f(x)在[a,b]上单调且值域为[a,b]，
因为f(x)在(1,k)上单调递增，
故m2−2a=am2−2b=b，即a，b是方程m2−2x=x的两不同的实根，
故m=2x+4x在(1,k)上有两个不同实数根，
令h(x)=2x+4x，x∈(1,k)，h(1)=h(2)=6，
若使y=m与y=h(x)在(1,k)上有两个交点，则k的最小值为2，
因为h( 2)=4 2，h(1)=h(2)=6，
所以4 2故选：B.
由题意得，m2−2a=am2−2b=b，即a，b是方程m2−2x=x的两不同的实根，问题转化为m=2x+4x在(1,k)上有两个不同实数根，结合对勾函数单调性即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了由函数零点个数求解参数范围，还考查了对勾函数单调性的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设第n个正三角形的内切圆半径为an，第n个正三角形的边长为bn，
则tan30∘=anbn2，所以an= 36bn，
如图，半径为an的圆内接三角形的边长bn+1满足：
sin60∘=bn+12an，即bn+1= 3an，
所以bn+1= 3an=12bn，an+1= 36bn+1=12an，
所以从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的12，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的12，
又a1= 36×6= 3，所以数列{an}是以 3为首项，12为公比的等比数列，
所以an= 3×(12)n−1，则an2=3×(14)n−1，
设前n个内切圆的面积和为Sn，
则Sn=πa12+πa22+⋅⋅⋅+πan2=3π×1×[1−(14)n]1−14=4×[1−(14)n]π=(4−14n−1)π.
故选：C.
先设第n个正三角形的内切圆半径为an和第n个正三角形的边长为bn，结合正三角形边长与其内切圆半径的关系，以及圆半径与其内切正三角形的边长关系即可研究求解出an，进而利用等比数列前n项和公式即可求解．
本题考查了正三角形中内切圆半径与边长之间的关系，数列在处理实际问题上的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：如图，展开图翻折成正方体，BM与ED分别在正方体平行的两个侧面上，
AF与CN是异面直线，故A错误；
∵DE//CF，CF与BM垂直，∴BM与DE垂直，故B正确；
∵CN//BE，∴∠MBE是CN与BM所成角(或所成角的补角)，
∵BM=BE=ME，∴∠MBE=60∘，
∴CN与BM成60∘角，故C正确；
NE与BM是异面直线，故D正确．
故选：BCD.
由展开图翻折成正方体，根据正方体的性质判断直线间的位置关系．
本题考查正方体结构特征、展开图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，直线l过定点(0,−1)，圆C的圆心为(0,0)，半径为 6，则点(0,−1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，故A错误；
对于B，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，故B正确；
对于C，当k=2时，直线l的方程为2x−y−1=0，圆心C到直线l的距离为|−1| 5= 55，
所以直线l被圆C截得的弦长为2 6−15=2 1455，故C错误；
对于D，定点(0,−1)与圆心(0,0)的距离为1，所以直线l被圆C截得的最短弦长为2 6−1=2 5，故D正确．
故选：BD.
求出直线所过定点，由定点在圆内可判断A；由直线不会过圆心可判断B；由圆的弦长公式计算可判断C；由圆的弦长公式计算可判断D.
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的弦长公式，直线过定点等，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解对于A，如图①所示，设点A(3,1)关于直线y=2x的对称点为A1(x1,y1)，
由y1−1x1−3×2=−1y1+12=2×x1+32，解得A1(−1,3)，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为C(32,3)，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点A(3,1)关于直线y=0的对称点为A2(3,−1)，
将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是|BA2|= (6−3)2+(3+1)2=5，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点B(6,3)关于直线y=0的对称点为B1(6,−3)；
点A(3,1)关于直线y=2x的对称点为A1(−1,3)，
所以将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，
最后返回军营的最短路程|A1B1|= (6+1)2+(−3−3)2= 85，故C正确；
对于D，如图④所示，设点B(6,3)关于直线y=2x的对称点分别为B2(x2,y2)，
由y2−3x2−6×2=−1y2+32=2×x2+62，解得B2(−65,335)；
点A(3,1)关于直线y=0的对称点为A2(3,−1)，
将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，
最后返回军营的最短路程是|A2B2|= (3+65)2+(335+1)2= 18855，故D错误．
故选：ABD.
确定A(3,1)关于直线m，n对称点A1，A2，确定B(6,3)关于直线m，n对称点B1，B2，利用两点之间距离最小来判断．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了求点关于线的对称点及两点间的距离公式，考查了数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】−725
【解析】解：由题意得，csα=45，sinα=35，sinβ=35，csβ=−45，
故cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−45×45+35×35=−725.
故答案为：−725.
由已知结合同角基本关系及两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
13.【答案】4 5
【解析】解：易知双曲线的渐近线方程为y=±bax，
因为D，E分别为直线y=b与双曲线C的两条渐近线的交点，
不妨设D(a,b)，E(−a,b)，
此时S△ODE=12⋅b⋅|DE|=ab=10，
又c2=a2+b2≥2ab=20，
当且仅当a=b时，等号成立，
所以c≥2 5，
则双曲线C的焦距的最小值为4 5.
故答案为：4 5.
由题意，设出D，E两点的坐标，结合三角形面积公式以及a，b，c之间的关系再进行求解即可．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
14.【答案】48
【解析】解：6人乘坐的所有情况有44C62CA22+C63=50种，
两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C21=2种，
所以两个小孩不单独乘坐一辆车的不同的乘车方式有50−2=48种．
故答案为：48.
利用间接法，结合排列组合知识求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15.【答案】解：(1)证明：如图，取AC中点O，连接OB，OA1，因为△ABC是等边三角形，
所以AC⊥OB，又AA1=A1C，所以AC⊥OA1，
所以AC⊥平面A1OB，
所以AC⊥A1B，
又A1C1//AC，
所以A1C1⊥A1B；
(2)在平面A1OB中，作A1D⊥OB，垂足为D，
由(1)知，AC⊥平面A1OB，所以A1D⊥AC，
所以A1D⊥平面ABC，
如图建立空间直角坐标系O−xyz，
因为三棱柱ABC−A1B1C1的体积为3，
所以12×2×2× 32×A1D=3，
故A1D= 3，
则A1(0,t, 3)，B(0, 3,0)，C(−1,0,0)，A(1,0,0)，
所以CA1=(1,t, 3)，CB=(1, 3,0)，
设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CA1=0m⋅CB=0，即x+ty+ 3z=0x+ 3y=0，
所以m=(3,− 3,t− 3)，
设平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，
因为二面角A1−BC−A的余弦值为 55，
故|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m|⋅|n|=|t− 3| 12+(t− 3)2=1 5，
化简得(t− 3)2=3，即t− 3=± 3，
可得t=0，
此时A1(0,0, 3)，CA1=(1,0, 3)，
所以|cs⟨CA1,n⟩|=|CA1⋅n||CA1|⋅|n|= 32，
所以直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为 32，
可得t=2 3，此时A1(0,2 3, 3)，CA1=(1,2 3, 3)，
设直线AA1与平面ABC所成角为θ，
所以sinθ=|cs⟨CA1,n⟩|=|CA1⋅n||CA1|⋅|n|=| 3| 1+12+3×1= 34，
所以直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为 34.
【解析】(1)根据已知得出AC⊥平面A1OB，再利用线面垂直性质定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线线垂直的判定以及线面角的计算，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由a2=(c−1)2+3.得a2=c2−2c+4，
又b=2，得csA=b2+c2−a22bc=4+c2−a24c=2c4c=12，
又因为0(2)∵asinAsinB=4，∴asinB=2 3，在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB得2 3sinBsinπ3=2sinB，
解得sinB= 22，由A=π3，得B<2π3，所以B=π4，
因为在△ABC中，A+B+C=π，
所以csC=−cs(A+B)=sinAsinB−csAcsB= 32× 22−12× 22= 6− 24.
【解析】(1)由已知结合余弦定理而且csA，进而可求A；
(2)由已知结合正弦定理可求sinB，进而可求B，然后结合和差角公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属中档题．
17.【答案】解：(1)以X服从超几何分布，且N=10000，M=400，
故E(X)=1000×40010000=40.
(2)当N<1380时，P(X=20)=0；
当N≥1380时，P(X=20)=C40020⋅CN−400980CN1000，
令f(N)=C40020⋅CN−4001000CN1000，则f(N+1)f(N)=C40020⋅CN+1−400980CN+11000C40020⋅CN−400980CN1000=(N+1−1000)(N+1−400)(N+1)(N+1−400−980)
=N2−1398N+999×399N2−1378N−1379，
N2−1398N+999×399≥N2−1378N−1379，∴N≤19999，
当1380≤N≤19999时，f(N)≤f(N+1)；当N≥20000时，f(N)>f(N+1)，
∴当N=19999或20000时，f(N)最大，∴N的值为19999或20000.
【解析】(1)首先分析题意，利用超几何分布知识进行解答．
(2)分N<1380和N≥1380两种情况讨论，求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：由题意知，|PF1|= (x+c)2+y2，|PF2|= (x−c)2+y2，
所以|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2−|PF2|2=4cx，
所以 |PF1|2−(2a−|PF1|)2=4cx，即4a|PF1|=4a2+4cx，
所以|PF1|=a+cax；
解：(2)设T的坐标为(x,y)，原点坐标为O，
因为|PF1|+|PF2|=2a，|MF1|=2a，所以|PM|=|PF2|，
因为∠PTF2=π2，|TF2|≠0，所以T为线段MF2的中点，
所以在△MF1F2中，OT是中位线，则|OT|=12|MF1|=a，
所以 (x−0)2+(y−0)2=a，即x2+y2=a2，
所以点T的轨迹C的方程为：x2+y2=a2；
(3)假设存在点N(x0,y0)，使得△F1NF2的面积为b2，
则x02+y02=a2，则|y0|≤a，
因为S△F1NF2=12×2c×|y0|=b2，所以|y0|=b2c，
所以a≥b2c，又因为NF1=(−c−x0,−y0)，NF2=(c−x0,−y0)，
所以NF1⋅NF2=x02−c2+y02=a2−c2=b2，
又因为NF1⋅NF2=|NF1|⋅|NF2|cs∠F1NF2，所以|NF1|⋅|NF2|=b2cs∠F1NF2，
又因为S△F1NF2=12|NF1|⋅|NF2|sin∠F1NF2=b2，
所以12b2cs∠F1NF2sin∠F1NF2=b2，
所以tan∠F1NF2=2.
【解析】(1)利用椭圆的性质即可得证；
(2)由题意分析可得出OT是△MF1F2中位线，则|OT|=a，然后用T点的坐标表示出来即可求解；
(3)假设存在点N(x0,y0)，由S△F1NF2=12×2c×|y0|=b2，可得|y0|=b2c，进一步可得NF1⋅NF2=x02−c2+y02=a2−c2=b2，然后由数量积的性质可得|NF1|⋅|NF2|=b2cs∠F1NF2，再由S△F1NF2=12|NF1|⋅|NF2|sin∠F1NF2=b2即可求解．
本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系的应用，属于难题．
19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=lg2xx2，f(x)的定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=1ln2⋅xx2−2x⋅lg2xx4=1−2lnxln2⋅x3，
所以当x∈(0, e)时，f′(x)>0，当x∈( e,+∞)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0, e)内单调递增，在( e,+∞)单调递减，
即f(x)的单调增区间为(0, e)，单调减区间为( e,+∞)；
(2)因为曲线y=f(x)与直线y=1a2有且仅有两个交点，
所以方程f(x)=lgaxxa=1a2有且仅有两个不同的实数根，
即方程alnxlna⋅xa=1a，即ln(xa)xa=lnaa有且仅有两个不同的实数根，
构造F(x)=lnxx，则F′(x)=1−lnxx2，
所以当x∈(0,e)时，F′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，F′(x)<0，
故F(x)在(0,e)内单调递增，在(e,+∞)单调递减，
所以F(x)max=F(e)=1e，又F(1)=0，当x→+∞时，则F(x)→0，
令t=xa∈(0,+∞)，
故F(t)=F(a)有且仅有两个不同的实数根的充要条件为0即F(1)故实数a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).
【解析】(1)当a=2时，f(x)=lg2xx2，然后求出f′(x)=1ln2⋅xx2−2x⋅lg2xx4=1−2lnxln2⋅x3，再利用函数单调性和导数的关系即可求解；
(2)将曲线y=f(x)与直线y=1a2有且仅有两个交点，转化为方程ln(xa)xa=lnaa有且仅有两个不同的实数根，然后构造F(x)=lnxx，并判断出函数F(x)的单调性及最值，然后结合题意即可求解．
本题考查了导数在研究函数性质上的综合应用，属于中档题．
1.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3}，B={x|x<2}，则A∩(∁UB)=( )
A. {2,3}B. {3}C. [2,+∞)D. (2,+∞)
2.复数z=a+bi(a,b∈R)，满足z(1+i)=(1−2i)2，则a−b=( )
A. −72B. 12C. −3D. −4
3.已知点F是抛物线y2=8x的焦点，A，B，C在该抛物线上，若点F恰好是△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
4.已知PA是圆C：x2+(y−1)2=1的切线，点A为切点，若|PA|=2，则点P的轨迹方程是( )
A. (x−1)2+y2=5B. x2+(y−1)2=5
C. y2=2xD. x2=2y
5.若甲组样本数据x1，x2，…，xn(数据各不相同)的平均数为4，方差为2，乙组样本数据3x1−a，3x2−a，…，3xn−a的平均数为5，则下列说法错误的是( )
A. a的值为7B. 乙组样本数据的方差为18
C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同
6.已知函数f(x)=asinx+csx，x∈(π4,π3)，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. [ 3,+∞)C. (1, 3)D. [1, 3]
7.对于定义域为D的函数y=f(x)，若存在区间[a,b]⊂D，使得f(x)同时满足：
①f(x)在区间[a,b]上是单调函数；
②当f(x)的定义域为[a,b]时，f(x)的值域也为[a,b]，则称区间[a,b]为该函数的一个“和谐区间”.
已知定义在(1,k)上的函数f(x)=m2−2x有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是( )
A. (4,4 2)B. (4 2,6)C. (4,6)D. (6,8)
8.作边长为6的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积之和为( )
A. (1−14n−1)πB. (1−14n)πC. (4−14n−1)πD. (4−14n+1)π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A. AF//CNB. BM⊥DEC. CN与BM成60∘角D. NE与BM是异面直线
10.设直线l：y=kx−1(k∈R)与圆C：x2+y2=6，则下列结论正确的为( )
A. 直线l与圆C可能相离
B. 直线l不可能将圆C的周长平分
C. 当k=2时，直线l被圆C截得的弦长为2 1305
D. 直线l被圆C截得的最短弦长为2 5
11.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短？在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为2x−y=0，y=0，将军的出发点是点A(3,1)，军营所在位置为B(6,3)，则下列说法错误的是( )
A. 若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为(1,2)
B. 将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 5
C. 将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 85
D. 将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是2 13
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知角α的终边过点P(4,3)，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cs(α−β)=______.
13.设O为坐标原点，直线y=b与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为10，则双曲线C的焦距的最小值为______.
14.两个三口之家(父母两人，小孩一人)共6人去旅游，有红旗和比亚迪两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为______.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1=A1C.
(1)证明：A1C1⊥A1B；
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为3，且二面角A1−BC−A的余弦值为 55，求直线AA1与平面ABC所成角的正弦值.
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b=2，a2=(c−1)2+3.
(1)求A；
(2)若asinAsinB=4，求csC的值．
17.(本小题15分)
某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量N，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，X表示捕获的有标识的成年鸡的数目.
(1)若N=10000，求X的数学期望；
(2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求N的估计值(以使得P(X=20)最大的N的值作为N的估计值).
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，点M在椭圆E外，线段MF1与E相交于P，满足|MF1|=2a，点T在线段MF2上，|TF2|≠0，且∠PTF1=π2.
(1)若点P的坐标为(x,y)，证明：|PF1|=a+cax；
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)在曲线C上是否存在点N，使得△F1NF2的面积为b2，若存在，求∠F1NF2的正切值，若不存在请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lgaxxa.
(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1a2有且仅有两个交点，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：U=R，集合A={0,1,2,3}，B={x|x<2}，
则∁UB={x|x≥2}，则A∩(∁UB)={2,3}.
故选：A.
根据集合的运算即可得．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：z=a+bi(a,b∈R)，满足z(1+i)=(1−2i)2=−3−4i，
则(a+bi)(1+i)=a−b+(a+b)i=−3−4i，
故a−b=−3.
故选：C.
结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的重心，抛物线等知识，属于中档题.
本题采用取特殊位置的方法求解，设点A是抛物线y2=8x的顶点，根据抛物线的对称性，设B(x1,y1)，C(x1,−y1)，进而根据三角形的重心的性质可求得x1，把B，C点代入抛物线方程，从而得出B，C的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求得．
【解答】
解：设点A是抛物线y2=8x的顶点，因为点F恰好是△ABC的重心，
所以可以设B(x1,y1)，C(x1,−y1)，令y1>0，
∵抛物线y2=8x，
∴F(2,0)，
∵△ABC的重心与抛物线的焦点F重合，
∴0+x1+x13=2，x1=3，
代入抛物线y2=8x的方程，求得B(3,2 6)，C(3,−2 6).
利用两点间的距离公式得：|AF|+|BF|+|CF|=12.
故选C.
4.【答案】B
【解析】解：因为|PA|=2，圆的半径为1，
所以P点到圆心的距离为 22+12= 5，
所以点P的轨迹方程是以(0,1)为圆心， 5为半径的圆，即x2+(y−1)2=5.
故选：B.
由题意得P点到圆心的距离为 5，结合两点间的距离公式即可求解．
本题主要考查了直线与圆相切性质的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，若甲组样本数据x1，x2，…，xn，设x1
对于A，乙组样本数据的平均数为3×4−a=5，解可得a=7，A正确；
对于B，乙组样本数据的方差为32×2=18，B正确；
对于C，若n为奇数，则甲组样本数据的中位数为xn+12，乙组样本数据的中位数为3xn+12−7，
若n为偶数，则甲组样本数据的中位数为12(xn2+xn+22)，乙组样本数据的中位数为32(xn2+xn+22)−7，
故两组样本数据的样本中位数不同，C错误；
对于D，甲组样本数据的极差为xn−x1，乙组样本数据的极差为3xn−3x1=3(xn−x1)，两者不同，D正确．
故选：C.
根据题意，由数据平均数、方差、中位数和极差的定义分析选项，综合可得答案．
本题考查数据的平均数、方差、中位数、极差的计算，涉及方差的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则等价为函数f(x)在x∈(π4,π3)上不是单调函数，即存在对称轴，
因为f′(x)=acsx−sinx，
若函数为单调递增函数，则f′(x)≥0恒成立，即acsx−sinx≥0，得a≥sinxcsx=tanx在x∈(π4,π3)上恒成立，
当x∈(π4,π3)时，1
当x∈(π4,π3)时，则此时a≤1，即若函数f(x)为单调递增，则a≥ 3或a≤1，
若函数在x∈(π4,π3)上不是单调函数，则1
问题等价为函数f(x)在x∈(π4,π3)上不是单调函数，即存在对称轴，结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题，
7.【答案】B
【解析】解：由题意得，存在区间[a,b]⊆(1,k)，使得f(x)在[a,b]上单调且值域为[a,b]，
因为f(x)在(1,k)上单调递增，
故m2−2a=am2−2b=b，即a，b是方程m2−2x=x的两不同的实根，
故m=2x+4x在(1,k)上有两个不同实数根，
令h(x)=2x+4x，x∈(1,k)，h(1)=h(2)=6，
若使y=m与y=h(x)在(1,k)上有两个交点，则k的最小值为2，
因为h( 2)=4 2，h(1)=h(2)=6，
所以4 2
由题意得，m2−2a=am2−2b=b，即a，b是方程m2−2x=x的两不同的实根，问题转化为m=2x+4x在(1,k)上有两个不同实数根，结合对勾函数单调性即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了由函数零点个数求解参数范围，还考查了对勾函数单调性的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设第n个正三角形的内切圆半径为an，第n个正三角形的边长为bn，
则tan30∘=anbn2，所以an= 36bn，
如图，半径为an的圆内接三角形的边长bn+1满足：
sin60∘=bn+12an，即bn+1= 3an，
所以bn+1= 3an=12bn，an+1= 36bn+1=12an，
所以从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的12，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的12，
又a1= 36×6= 3，所以数列{an}是以 3为首项，12为公比的等比数列，
所以an= 3×(12)n−1，则an2=3×(14)n−1，
设前n个内切圆的面积和为Sn，
则Sn=πa12+πa22+⋅⋅⋅+πan2=3π×1×[1−(14)n]1−14=4×[1−(14)n]π=(4−14n−1)π.
故选：C.
先设第n个正三角形的内切圆半径为an和第n个正三角形的边长为bn，结合正三角形边长与其内切圆半径的关系，以及圆半径与其内切正三角形的边长关系即可研究求解出an，进而利用等比数列前n项和公式即可求解．
本题考查了正三角形中内切圆半径与边长之间的关系，数列在处理实际问题上的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：如图，展开图翻折成正方体，BM与ED分别在正方体平行的两个侧面上，
AF与CN是异面直线，故A错误；
∵DE//CF，CF与BM垂直，∴BM与DE垂直，故B正确；
∵CN//BE，∴∠MBE是CN与BM所成角(或所成角的补角)，
∵BM=BE=ME，∴∠MBE=60∘，
∴CN与BM成60∘角，故C正确；
NE与BM是异面直线，故D正确．
故选：BCD.
由展开图翻折成正方体，根据正方体的性质判断直线间的位置关系．
本题考查正方体结构特征、展开图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，直线l过定点(0,−1)，圆C的圆心为(0,0)，半径为 6，则点(0,−1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，故A错误；
对于B，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，故B正确；
对于C，当k=2时，直线l的方程为2x−y−1=0，圆心C到直线l的距离为|−1| 5= 55，
所以直线l被圆C截得的弦长为2 6−15=2 1455，故C错误；
对于D，定点(0,−1)与圆心(0,0)的距离为1，所以直线l被圆C截得的最短弦长为2 6−1=2 5，故D正确．
故选：BD.
求出直线所过定点，由定点在圆内可判断A；由直线不会过圆心可判断B；由圆的弦长公式计算可判断C；由圆的弦长公式计算可判断D.
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的弦长公式，直线过定点等，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解对于A，如图①所示，设点A(3,1)关于直线y=2x的对称点为A1(x1,y1)，
由y1−1x1−3×2=−1y1+12=2×x1+32，解得A1(−1,3)，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为C(32,3)，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点A(3,1)关于直线y=0的对称点为A2(3,−1)，
将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是|BA2|= (6−3)2+(3+1)2=5，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点B(6,3)关于直线y=0的对称点为B1(6,−3)；
点A(3,1)关于直线y=2x的对称点为A1(−1,3)，
所以将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，
最后返回军营的最短路程|A1B1|= (6+1)2+(−3−3)2= 85，故C正确；
对于D，如图④所示，设点B(6,3)关于直线y=2x的对称点分别为B2(x2,y2)，
由y2−3x2−6×2=−1y2+32=2×x2+62，解得B2(−65,335)；
点A(3,1)关于直线y=0的对称点为A2(3,−1)，
将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，
最后返回军营的最短路程是|A2B2|= (3+65)2+(335+1)2= 18855，故D错误．
故选：ABD.
确定A(3,1)关于直线m，n对称点A1，A2，确定B(6,3)关于直线m，n对称点B1，B2，利用两点之间距离最小来判断．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了求点关于线的对称点及两点间的距离公式，考查了数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】−725
【解析】解：由题意得，csα=45，sinα=35，sinβ=35，csβ=−45，
故cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−45×45+35×35=−725.
故答案为：−725.
由已知结合同角基本关系及两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
13.【答案】4 5
【解析】解：易知双曲线的渐近线方程为y=±bax，
因为D，E分别为直线y=b与双曲线C的两条渐近线的交点，
不妨设D(a,b)，E(−a,b)，
此时S△ODE=12⋅b⋅|DE|=ab=10，
又c2=a2+b2≥2ab=20，
当且仅当a=b时，等号成立，
所以c≥2 5，
则双曲线C的焦距的最小值为4 5.
故答案为：4 5.
由题意，设出D，E两点的坐标，结合三角形面积公式以及a，b，c之间的关系再进行求解即可．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
14.【答案】48
【解析】解：6人乘坐的所有情况有44C62CA22+C63=50种，
两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C21=2种，
所以两个小孩不单独乘坐一辆车的不同的乘车方式有50−2=48种．
故答案为：48.
利用间接法，结合排列组合知识求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15.【答案】解：(1)证明：如图，取AC中点O，连接OB，OA1，因为△ABC是等边三角形，
所以AC⊥OB，又AA1=A1C，所以AC⊥OA1，
所以AC⊥平面A1OB，
所以AC⊥A1B，
又A1C1//AC，
所以A1C1⊥A1B；
(2)在平面A1OB中，作A1D⊥OB，垂足为D，
由(1)知，AC⊥平面A1OB，所以A1D⊥AC，
所以A1D⊥平面ABC，
如图建立空间直角坐标系O−xyz，
因为三棱柱ABC−A1B1C1的体积为3，
所以12×2×2× 32×A1D=3，
故A1D= 3，
则A1(0,t, 3)，B(0, 3,0)，C(−1,0,0)，A(1,0,0)，
所以CA1=(1,t, 3)，CB=(1, 3,0)，
设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CA1=0m⋅CB=0，即x+ty+ 3z=0x+ 3y=0，
所以m=(3,− 3,t− 3)，
设平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，
因为二面角A1−BC−A的余弦值为 55，
故|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m|⋅|n|=|t− 3| 12+(t− 3)2=1 5，
化简得(t− 3)2=3，即t− 3=± 3，
可得t=0，
此时A1(0,0, 3)，CA1=(1,0, 3)，
所以|cs⟨CA1,n⟩|=|CA1⋅n||CA1|⋅|n|= 32，
所以直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为 32，
可得t=2 3，此时A1(0,2 3, 3)，CA1=(1,2 3, 3)，
设直线AA1与平面ABC所成角为θ，
所以sinθ=|cs⟨CA1,n⟩|=|CA1⋅n||CA1|⋅|n|=| 3| 1+12+3×1= 34，
所以直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为 34.
【解析】(1)根据已知得出AC⊥平面A1OB，再利用线面垂直性质定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线线垂直的判定以及线面角的计算，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由a2=(c−1)2+3.得a2=c2−2c+4，
又b=2，得csA=b2+c2−a22bc=4+c2−a24c=2c4c=12，
又因为0
解得sinB= 22，由A=π3，得B<2π3，所以B=π4，
因为在△ABC中，A+B+C=π，
所以csC=−cs(A+B)=sinAsinB−csAcsB= 32× 22−12× 22= 6− 24.
【解析】(1)由已知结合余弦定理而且csA，进而可求A；
(2)由已知结合正弦定理可求sinB，进而可求B，然后结合和差角公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属中档题．
17.【答案】解：(1)以X服从超几何分布，且N=10000，M=400，
故E(X)=1000×40010000=40.
(2)当N<1380时，P(X=20)=0；
当N≥1380时，P(X=20)=C40020⋅CN−400980CN1000，
令f(N)=C40020⋅CN−4001000CN1000，则f(N+1)f(N)=C40020⋅CN+1−400980CN+11000C40020⋅CN−400980CN1000=(N+1−1000)(N+1−400)(N+1)(N+1−400−980)
=N2−1398N+999×399N2−1378N−1379，
N2−1398N+999×399≥N2−1378N−1379，∴N≤19999，
当1380≤N≤19999时，f(N)≤f(N+1)；当N≥20000时，f(N)>f(N+1)，
∴当N=19999或20000时，f(N)最大，∴N的值为19999或20000.
【解析】(1)首先分析题意，利用超几何分布知识进行解答．
(2)分N<1380和N≥1380两种情况讨论，求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：由题意知，|PF1|= (x+c)2+y2，|PF2|= (x−c)2+y2，
所以|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2−|PF2|2=4cx，
所以 |PF1|2−(2a−|PF1|)2=4cx，即4a|PF1|=4a2+4cx，
所以|PF1|=a+cax；
解：(2)设T的坐标为(x,y)，原点坐标为O，
因为|PF1|+|PF2|=2a，|MF1|=2a，所以|PM|=|PF2|，
因为∠PTF2=π2，|TF2|≠0，所以T为线段MF2的中点，
所以在△MF1F2中，OT是中位线，则|OT|=12|MF1|=a，
所以 (x−0)2+(y−0)2=a，即x2+y2=a2，
所以点T的轨迹C的方程为：x2+y2=a2；
(3)假设存在点N(x0,y0)，使得△F1NF2的面积为b2，
则x02+y02=a2，则|y0|≤a，
因为S△F1NF2=12×2c×|y0|=b2，所以|y0|=b2c，
所以a≥b2c，又因为NF1=(−c−x0,−y0)，NF2=(c−x0,−y0)，
所以NF1⋅NF2=x02−c2+y02=a2−c2=b2，
又因为NF1⋅NF2=|NF1|⋅|NF2|cs∠F1NF2，所以|NF1|⋅|NF2|=b2cs∠F1NF2，
又因为S△F1NF2=12|NF1|⋅|NF2|sin∠F1NF2=b2，
所以12b2cs∠F1NF2sin∠F1NF2=b2，
所以tan∠F1NF2=2.
【解析】(1)利用椭圆的性质即可得证；
(2)由题意分析可得出OT是△MF1F2中位线，则|OT|=a，然后用T点的坐标表示出来即可求解；
(3)假设存在点N(x0,y0)，由S△F1NF2=12×2c×|y0|=b2，可得|y0|=b2c，进一步可得NF1⋅NF2=x02−c2+y02=a2−c2=b2，然后由数量积的性质可得|NF1|⋅|NF2|=b2cs∠F1NF2，再由S△F1NF2=12|NF1|⋅|NF2|sin∠F1NF2=b2即可求解．
本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系的应用，属于难题．
19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=lg2xx2，f(x)的定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=1ln2⋅xx2−2x⋅lg2xx4=1−2lnxln2⋅x3，
所以当x∈(0, e)时，f′(x)>0，当x∈( e,+∞)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0, e)内单调递增，在( e,+∞)单调递减，
即f(x)的单调增区间为(0, e)，单调减区间为( e,+∞)；
(2)因为曲线y=f(x)与直线y=1a2有且仅有两个交点，
所以方程f(x)=lgaxxa=1a2有且仅有两个不同的实数根，
即方程alnxlna⋅xa=1a，即ln(xa)xa=lnaa有且仅有两个不同的实数根，
构造F(x)=lnxx，则F′(x)=1−lnxx2，
所以当x∈(0,e)时，F′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，F′(x)<0，
故F(x)在(0,e)内单调递增，在(e,+∞)单调递减，
所以F(x)max=F(e)=1e，又F(1)=0，当x→+∞时，则F(x)→0，
令t=xa∈(0,+∞)，
故F(t)=F(a)有且仅有两个不同的实数根的充要条件为0
【解析】(1)当a=2时，f(x)=lg2xx2，然后求出f′(x)=1ln2⋅xx2−2x⋅lg2xx4=1−2lnxln2⋅x3，再利用函数单调性和导数的关系即可求解；
(2)将曲线y=f(x)与直线y=1a2有且仅有两个交点，转化为方程ln(xa)xa=lnaa有且仅有两个不同的实数根，然后构造F(x)=lnxx，并判断出函数F(x)的单调性及最值，然后结合题意即可求解．
本题考查了导数在研究函数性质上的综合应用，属于中档题．
相关试卷
云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷： 这是一份云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷，文件包含云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前训练数学试卷pdf、数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷（原卷版+解析版）： 这是一份云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷（原卷版+解析版），文件包含云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷原卷版docx、云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷： 这是一份云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷，文件包含云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前训练数学试卷pdf、数学答案docx、数学答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
