2023-2024学年甘肃省张掖市某校高三下学期模拟考试数学试题(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年甘肃省张掖市某校高三下学期模拟考试数学试题(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合P=0,1,2,4,Q={x∣ab>0)的焦距为2c(b>c),P是C上的任意一点，过点P作两条直线与圆x2+y2=c2相切，切点分别为A,B.若当∠APB最大时，AB=c，则C的离心率为( )
A. 217B. 33C. 55D. 77
12.已知实数x,y满足ex+ex=21+yey=2e，则x+y=( )
A. 1B. 12C. 1eD. 13
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=3,−λ,b=λ−1,−2，且a−b−b=a，则实数λ=__________.
14.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有__________种．
15.对给定的实数b，总存在两个实数a，使直线y=ax−b与曲线y=lnx−b相切，则b的取值范围为__________.
16.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1，且存在一个半径为r的球，与该正四棱台的各个面均相切.设该正四棱台的外接球半径为R，则Rr=__________.
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}对任意的n∈N*都满足a13+a232+a333+⋯+an3n=n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=1lg3a4n−1lg3a4n+3，求数列{bn}的前n项和为Tn.
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bsin2A2+acsB=c.
(1)求A；
(2)D为线段BC上一点，AD平分∠BAC，若AD=2，求a的最小值.
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥平面PAD，
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若PA⊥AD,M是PB的中点，平面MAC与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 63，求直线PC与平面PAB所成角的余弦值.
20.(本小题12分)
自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间x(单位：小时)变化的函数为u=−256x+4−x+64,0≤x0,b>0)的离心率为 2，实轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标．
22.(本小题12分)
已知函数fx=xax+lnx−2,gx=xlnx−x−a，
(1)若fx与gx有相同的单调区间，求实数a的值；
(2)若方程fx=3gx+x+3a−1有两个不同的实根x1,x2，证明：x1x2>ea.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】分a=−1，a=0，a=1，a=2分别说明即可.
【详解】因为a∈Z，所以当a=−1时，P∩Q=0,1，符合题意，
当a=0时，P∩Q=1,2，符合题意，
当a=1时，P∩Q=2，不符合题意，
当a=2时，P∩Q=4，不符合题意，
故a的取值集合为−1,0.
故选：C.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握存在量词命题的否定方法“∃x∈A，p(x)”的否定是“∀x∈A，¬p(x)”，是解答本题的关键．
根据存在量词命题“∃x∈A，p(x)”的否定是“∀x∈A，¬p(x)”，结合已知命题，即可得到答案．
【解答】
解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是存在量词命题，
而存在量词命题的否定是全称量词命题，
则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，
故选：B.
3.【答案】B
【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解.
【详解】设等差数列an的公差为d，
因为a1a2=3a2a3=15，所以a1a1+d=3a1+da1+2d=15，
解得a1=1d=2或a1=−1d=−2(舍去)，
所以a4a5=1+3×2×1+4×2=63.
故选：B.
4.【答案】C
【解析】【分析】由题意可得(12)1h=1011，代入45−25=(12)th(75−25)，得1011t=25，两边取常用对数得：tlg1011=lg25，再利用对数的运算性质即可求出t的值．
【详解】解：根据题意得：75−25=121h(80−25)，
∴121h=1011，
∴45−25=(12)th75−25，
∴20=50×(12)1ht，
∴1011t=25，
两边取常用对数得：tlg1011=lg25，
∴t=lg25lg1011=lg2−lg51−lg11=2lg2−11−lg11≈2×0.3−11−1.04=10，
∴水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟，
故选：C.
5.【答案】B
【解析】【分析】联立直线与抛物线方程求得点M的坐标，然后根据焦半径公式求得，从而求出抛物线方程，直接求出准线方程即可.
【详解】联立y=xy2=2px，解得x=2py=2p或x=0y=0(舍去)，所以M2p,2p.
因为MF=10，所以2p+p2=10，解得p=4，
所以C的方程为y2=8x，准线方程为x=−2.
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】根据线面、面面的垂直、平行关系和充分必要条件的定义即可判断.
【详解】解：充分性：若a⊥α,a//b，则b⊥α，又b⊥β，所以α//β，所以“a//b”是“α//β”的充分条件；
必要性：若α//β,a⊥α，则a⊥β，又b⊥β，所以a//b，所以“a//b”是“α//β”的必要条件，
所以“a//b”是“α//β”的充要条件，
故选：C.
7.【答案】A
【解析】【分析】利用三角函数的倍角公式，结合正切函数的和差公式，逆用正余弦的和差公式即可得解.
【详解】因为sin2α−2cs2α=1，
所以−2cs2α=1−sin2α，则−2csα+sinαcsα−sinα=(csα−sinα)2，
因为α∈π4,3π4，所以csα−sinα≠0,csα+sinα≠0，
则tanπ4−α=1−tanα1+tanα=csα−sinαcsα+sinα=−2.
故选：A.
8.【答案】A
【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，由AB//CD，可得∠CDE即为异面直线DE与AB所成角的平面角，求出CE,DE，再利用余弦定理即可得解.
【详解】解：设圆柱的底面圆的半径为r，则AD=BC= 3r,
因为AB//CD，
所以∠CDE即为异面直线DE与AB所成角的平面角，
因为点E为上底面圆弧AB⌢的靠近B点的三等分点，
所以∠BOE=π3，故△OBE为等边三角形，
所以BE=r，
故AE= 3r，
则CE=2r，DE= 6r，
所以cs∠EDC= 6r2+2r2−2r22× 6r×2r= 64，
即异面直线DE与AB所成角的余弦值为 64.
故选：A.
9.【答案】D
【解析】【分析】先求得g(x)的解析式，在同一坐标系内作出f(x)、g(x)图像，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，分别求得当C位于不同位置时，△ABC的面积，根据规律，分析即可得答案.
【详解】由题意得gx=sin2x+π4=sin2x+π2=cs2x，
在同一坐标系内作出f(x)、g(x)图像，如下图所示
令sin2x=cs2x，解得x=π8+kπ2,k∈Z，
不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，
所以Aπ8, 22,B5π8,− 22
若C点位于C19π8, 22时，△ABC的面积S=12×9π8−π8× 2= 22π，故C正确
当C点位于C213π8,− 22时，△ABC的面积S=12×13π8−5π8× 2= 22π，
当C点位于C317π8, 22时，△ABC的面积S=12×17π8−π8× 2= 2π，故B正确，
因为AC3=2AC1，此时△ABC3为△ABC1面积的2倍，
以此类推，当C位于不同位置时，△ABC的面积应为 22π的整数倍，故A正确，D错误，
故选：D
10.【答案】A
【解析】【分析】先由题给条件求得函数f(x)的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得f(2022)的值.
【详解】根据题意，函数f(x−1)(x∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x=−1，
则有f(x)=f(−2−x)，又由函数f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，
则f(x)=−f(2−x)，则有f(−2−x)=−f(2−x)，则f(x+4)=−f(x)，
则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数，
则f(2022)=f(−2+253×8)=f(−2)=f(0)=−1
故选：A.
11.【答案】A
【解析】【分析】根据切线性质可得垂直关系，进而根据锐角三角函数得sin∠APO=cOP，即可求解P为短轴端点时，OP最小，根据三角形边角关系即可求解 32=cb，进而根据齐次式即可求解离心率.
【详解】设坐标原点为O，由题意知OA⊥PA，OB⊥PB，故sin∠APO=OAOP=cOP.
因为∠APB=2∠APO，当∠APB最大时，∠APO最大，
即sin∠APO最大，故只需OP最小，
当P为短轴端点时，OP最小，此时AB=OA=OB=c，∠AOP=π6，
所以∠APO=π3，所以 32=cb，即4c2=3b2=3a2−c2，
化简得7c2=3a2，得e2=37，故e= 217.
故选：A
12.【答案】A
【解析】【分析】根据题意可得x+ex=2,1+yey=e，换元得et+t=2，进而利用ft=et+t的单调性可得t=1−y=x即可求解.
【详解】由ex+ex=21+yey=2e，得x+ex=2,1+yey=e，所以1+y=e1−y，
令t=1−y，则2−t=et,et+t=2.
令ft=et+t，由于y=et,y=t均为单调递增函数，则ft单调递增，
因为f0=12,f1=e+12，
所以存在唯一的实数t使ft=et+t=2，所以t=1−y=x，即x+y=1.
故选：A
13.【答案】−2
【解析】【分析】依题意可得a−b=b+a，将两边平方可得−a⋅b=ab，设a与b的夹角为θ，根据数量积的定义得到θ=π，即可得到a与b共线且反向，根据平面向量共线的坐标表示求出λ，再检验即可.
【详解】由a−b−b=a，得a−b=b+a，两边平方得−a⋅b=ab，
设a与b的夹角为θ，则−abcsθ=ab，因为a、b均不为0，
所以csθ=−1，又θ∈0,π，所以θ=π，
所以a与b共线且反向，所以−λλ−1=−6，解得λ=3或λ=−2.
当λ=3时，a=3,−3,b=2,−2，即a=32b，则a与b同向，舍去；
当λ=−2时，a=3,2,b=−3,−2，即a=−b，则a与b反向，符合题意，
所以λ=−2.
故答案为：−2
14.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查排列组合的综合运用，
分类计算可得结果.
【解答】
解：从四个城市选择三个城市，每个城市投资1个项目有C43A33种;
从四个城市选择两个城市，有一个城市投资2个有C42C21C32种，
故投资方案共C43A33+C42C21C32=24+36=60种.
故答案为60.
15.【答案】−∞,0
【解析】【分析】求出导函数，然后利用导数的几何意义列方程消元得b=1+lna1−a，构造函数fa=1+lna1−a，利用导数法研究函数单调性，数形结合求得值域即可求解.
【详解】由y=lnx−b得y′=1x−b，设切点坐标为x0,y0，则x0>b,1x0−b=a,y0=ax0−b,y0=lnx0−b,，
消去x0,y0可得b1−a=1+lna,a≠1，所以b=1+lna1−a,a≠1，
令fa=1+lna1−a,a≠1，则f′a=1a+lna(1−a)2，当a>1时，f′a>0,fa单调递增；
当0