湖北省黄石市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份湖北省黄石市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了 如图，在正方体中，，分别是， 已知，则等于， 已知关于的不等式等内容，欢迎下载使用。

数 学
注意：1.本试卷分选择题、填空题、解答题三种题型，共22题．满分150分，考试时间120
分钟；
2.考生答题前，请将姓名、考号、班级（学校）等填在答题卡指定位置，所有答案填涂、书写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分, 共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 设集合，，，则
A. B. C. D.
2. 要完成下列2项调查，应采用的抽样方法是
①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；
②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.
A. ①用简单随机抽样法 ②用分层抽样法 B. ①用分层抽样法 ②用简单随机抽样法
C. ①、②都用简单随机抽样法 D. ①、②都用分层抽样法
3．已知一个奇函数的定义域为，则
A． B．3 C． D．1
第4题图
4. 如图，在正方体中，，分别是
，的中点，则下列说法错误的是
A. 与垂直
B. 与平面垂直
C. 与平面平行
D. 与平面平行
5. 华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式,孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为
A. B. C. D.
6. 设是两条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④
1 B. 2 C. 3 D. 4
7．已知，则
A. -2 B. 2 C. D.
第8题图
8. 已知函数的部分图象如图所示，则
A. B.
C. D.
9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
（1）BM∥ED （2）CN与BE是异面直线
N
D
C
M
E
B
A
F
第9题图
（3）CN与BM成角
（4）DM⊥BN
（5）BN⊥平面DEM
以上五个命题中，正确命题的序号是
A. (3)(4)(5) B. (2)(4)(5)
C. (1)(2)(3) D. (2) (3) (4)
10. 已知，则等于
A． B． C． D．
11．函数(e为自然对数的底数)，则不等式解集为
A. B. C. D.
12．在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，与平面所成的角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知则在方向上的投影为 ▲ .
14．一支医疗队有男医生45人，女医生人，用分层抽样抽出一个容量为的样本，在这个样本中随机取一人担任队长，每个个体被抽到的概率为，且样本中的男医生比女医
生多5人，则＝ ▲ .
如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P
为BE上一点，且满足，则
的最小值为 ▲ ．
16. 已知，若方程有四个根且，则的取值范围是 ▲ .
三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. (本小题满分10分) 已知关于的不等式：
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知
（1）求函数取最大值时x的取值集合；
（2）设锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求△ABC的面积S的最大值.
19. （本小题满分12分）如图，已知是边长为4的正三角形，D，E分别为AC，AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE平面BCDE.
（1）求PB与平面BCDE所成角的正弦值；
（2）求点E到平面PBC的距离.
20. (本小题满分12分)“己亥末，庚子春，荆楚大疫，染者数万。众惶恐，举国防，皆闭户，道无车舟，万巷空寂。幸，医无私，警无畏，民齐心，能者竭力，万民同心。”为了响应教育部门“停课不停学”的号召，各学校纷纷开展网络授课活动。某学校为了解该校高一年级学生“停课不停学”期间学习情况，对某次考试成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计。该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．
（1）求和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）在选取的样本中，从[60，70）和[130，140）两个分数段的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽取的两名学生的分数都在[130，140）内的概率.
O
N
B
P
A
y
M
x
21. (本小题满分12分) 如图，是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于，轴于，的两边交正方形的边PM，PN于，两点，且，设，
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
22. (本小题满分12分)一块边长为8的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长为2x的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD (注：底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心的四棱锥），F为底边CD的中点.
（1）过棱锥的高及点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y, 求y的最大值及y取最大值时对应的x值；
（2）在（1）中y取最大值时，是否存在动点Q，它在该棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FQSC?若存在，计算其运动轨迹的长度；若不存在，说明理由.
2019—2020学年度下学期期末
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数学参考答案与评分标准
选择题：（每小题5分，共60分）
DBACB CBCAA DB
12．【解析】如图，取的中点，连接，根据，，得，又，所以平面，又平面，则平面平面，可得是与平面所成的角，即.又在中，，，所以，
，所以，设三棱锥外接球的球心为，过点作于，于，则点分别是的外接圆的圆心，则
,在中，
设外接圆半径为r,则,故，
因此，
则三棱锥的外接球的表面积为.故选B．
填空题：（每小题5分，共20分）
13. 14.30 15. 16.
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解：（1）因为关于的不等式：的解集为，
所以和1是方程的两个实数根，…………………………………3分
由韦达定理可得:，得． ……………………………………………5分
（2）因为关于的不等式的解集为．
当时，-3<0恒成立. ……………………………………………7分
当时，由，解得： ……………………………9分
故的取值范围为． …………………………………10分
18. 解（1）. ……3分
令，k∈Z，即时，取最大值. ………………5分
所以，所求的取值集合是； ………………………………6分
（2）由，得，
因为，所以，所以， …………8分
在中，由余弦定理，
得，即，当且仅当时取等号，
……………………10分
所以的面积
因此的面积的最大值为.………………………………………………12分
（利用正弦定理亦可酌情给分）
19.解：（1）如图，设DE的中点为O,BC的中点为F,连接OP,OF,OB,则OPDE.
平面PDE平面BCDE，平面PDE平面BCDE=DE，
OP平面BCDE …………………………………………………………2分
故即为PB与平面BCDE所成的角. ……………………………………3分
又OB平面BCDE, OPOB
在中，OP=OF=,OB=, 故PB=
sin=……………………………………………………………6分
(2) 如图，因为D,E分别为AC,AB边的中点，故DE//BC
又 DE平面PBC，BC平面PBC
DE//平面PBC,故E到平面PBC的距离即为O到平面PBC的距离. ………………7分
PODE, OFDE, DE 平面POF
又DE//BC, BC平面POF
又 BC平面PBC, 平面PBC平面POF且交线为PF，
过O做OGPF,则OG平面PBC,故OG即为O到平面PBC的距离. …………9分
在中，PO=OF=,PF=，……………………………………………11分
故OG==, 故点E到平面PBC的距离为. ……………12分
20解:（1）由题意可知，的人数为3人，频率为：0.00610=0.06，
故样本容量， ……………………………………………………2分
解得， ……………………………………………………………4分
． …………………………6分
（2）在选取的样本中，分数在的人数为：500.00410=2人，记为：A,B, …7分
分数在的人数为：500.00610=3人，记为：a,b,c, ……………………8分
从这5个人中抽取2人的所有情况有：
其中，两名学生的分数都在的所有情况有：………10分
故两名学生的分数都在内的概率为 ………………………………12分
21解：（1）由得，， ……………………………………………………………2分
故
……………………………………………………4分
故时，…………………………………………………6分
（2）法1： 由（1）得：
…………8分
又 …………10分
故． ………………………………………………12分
法2：由（1）得：
令，则，
故=………8分
…………………………10分
故 ……………………………………………………12分
法3：
（下同法1）
22解：（1）由题意，平面ABCD,故EF…………………………………………1分
………3分
S
A
B
C
D
O
G
F
T
当且仅当即时等号成立. …………………………………4分
(2) ABCD为正方形， BDAC
又平面ABCD，BD平面ABCD，故BD
又SOAC=O, 平面SAC，…………………………………………………6分
过F作FG//BD则平面SAC，
又SC平面SAC，故SC
过F作SC则SC平面FGT …………………………………………………8分
故只要Q在平面FGT内运动，都有FQSC
Q点的轨迹即为平面FGT与棱锥表面的交线，即 .……………………10分
在中，,
的周长即点Q的轨迹长度为4+.………………………………………12分