重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期半期考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期半期考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知i为虚数单位,复数z满足,则( )
A.-1B.1C.D.i
2．用斜二测画法画水平放置的的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点,且,则的面积为( )
A.B.C.D.
3．当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度v、音速c满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为( )
A.B.C.D.
4．在中,,,,则( )
A.12B.6C.-6D.-12
5．某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别，两次观测时镜子间的距离为a，人的“眼高”为h，则建筑物的高度为( )
A.B.C.D.
6．在中，为边上的中线，，则( )
A.B.
C.D.
7．已知,函数满足,且在区间上单调,则为( )
A.B.C.4D.
8．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为的面积,且,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．用一个平面去截一个三棱柱,可以得到的几何体是( )
A.四棱台B.四棱柱C.三棱柱D.三棱锥
10．设,为复数,则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.若为虚数,则也为虚数
D.若,则的最大值为
11．在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,其外接圆半径为R,内切圆半径为,满足,的面积,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知,是两个不共线的向量,若与共线,则实数k的值为____________.
13．如图所示,已知,,,将这个三角形以AB所在直线为轴旋转得到一个几何体,则该几何体的表面积为____________．
14．在中,,,其内切圆半径为,则其外接圆半径为____________．
四、解答题
15．已知（且）是指数函数．
（1）求关于x的不等式的解集;
（2）函数在区间上的值域．
16．在直角梯形ABCD中,已知,,,,,动点E,F分别在线段BC和DC上,线段AE和BF相交于点M,且,,．
（1）当时,求的值;
（2）当时,求的值;
17．重庆是我国著名的“火炉”城市之一,如图,重庆某避暑山庄O为吸引游客,准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园,使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感,已知,弓形花园的弦长,记弓形花园的顶点为M,,设.

（1）将,用含有的关系式表示出来;
（2）该山庄准备在M点处修建喷泉,为获取更好的观景视野,如何设计,的长度,才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？
18．已知函数（,）的图像两相邻对称轴之间的距离是,若将的图像上每个点先向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得函数为偶函数．
（1）求的解析式;
（2）若对任意,恒成立,求实数m的取值范围;
（3）若函数的图像在区间（a,且）至少有10个零点,在所有满足条件的区间中,求的最小值．
19．已知a,b,c分别是对边,且．点P为三角形内部一点,且满足．
（1）求角B;
（2）若,求的值;
（3）若,求的最小值．
参考答案
1．答案：B
解析：由题意,,
可得,
则.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为为等腰直角三角形且,所以,,
由斜二测画法可知,,且三角形为直角三角形,,

所以三角形ABC的面积为．
故选：B.
3．答案：B
解析：如图所示：
该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆圆心为O，为马赫锥的母线，
由题意，
而是锐角，所以，
又，所以，
该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为.
故选：B.
4．答案：C
解析：中,,,,与的夹角为角B的补角,
则.
故选：C.
5．答案：A
解析：设所求建筑物的高为x，如图，
在 中,,因为,
所以在 中,,
所以，因为,
所以,
则，所以,解得.
故选A.
6．答案：A
解析：因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
7．答案：B
解析：因为,所以,即对称中心为,
所以,即,,解得,
又因为在区间上单调,所以,即,
所以,又且,,
所以.
故选：B．
8．答案：A
解析：在中,由余弦定理得,且的面积,
由,得,化简得,
又,,联立解得,,
所以,
为锐角三角形,有,,得,
则有,可得,所以.
故知：A.
9．答案：BCD
解析：如图三棱柱,连接,,则可得平面截三棱柱,得到一个三棱锥,所以D正确,
若用一个平行于平面的平面去截三棱柱,如图平面,则得到一个三棱柱和一个四棱柱,所以BC正确,
因为四棱台的上下底面要平行,所以要得到四棱台,则截面要与三棱柱的上下底面相交,而四棱台的侧棱延长后交与一点,棱柱的侧棱是相互平行的,所以用一个平面去截一个三棱柱,不可能得到一个四棱台,所以A错误,
故选：BCD.
10．答案：ABC
解析：设,
则,
,
得,
,
所以,故A正确,
设,对应的向量分别为,,则由向量三角不等式得,
所以恒成立,所以B正确,
因为为虚数,为实数,所以为虚数,则也为虚数,故C正确;
设,由,则在复平面内点表示以为圆心,1为半径的圆,则,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：AD
解析：在中,内切圆半径为,,
得,故A选项正确;
又,由正弦定理得,
整理得,故B选项错误;
,又,
得,
则,故,
又,
故,C选项不正确.
因为,,由正弦定理,故,D选项正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：由题意,向量与共线,可得,
即,可得,解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：,,,
过C作直线的垂线,与延长线相交于点D,,
则,,可得,
将这个以AB所在直线为轴旋转得到一个几何体,
该几何体的表面积为两个半圆锥的侧面积和两个三角形的面积,
则表面积为.
故答案为：.
14．答案：
解析：在中,由余弦定理得,
又,所以,即,
由得,,
解得,所以,
则外接圆半径为：
故答案为：．
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由指数函数定义,得,而且且,
解得,则,
不等式,即,
而函数在R上递增,因此,即,
则,解得,所以原不等式的解集为.
（2）,
当,令,则,所以,,
由二次函数的性质可知,在上单调递减,在上单调递增,
,,
函数在区间上的值域为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知：,则,且,,,,
动点E,F分别在线段BC和DC上,且,,则,
,
,
,
即,解得.
（2）当时,,设,,
则,,
,不共线,由平面向量基本定理,,解得,
则有,
以A为原点,为x轴,为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则,,,,,,
,,
所以.
17．答案：（1）,
（2）答案见解析
解析：（1）因为,,,,
所以,.
（2）因为,
所以,
在中,由余弦定理易得,
因为,所以,,
当,即时,
取最大值,取最大值,
此时,
,
故当时,取最大值.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题意可得,得,则
则为偶函数,
则,,解得,,
又因为,可知,,
所以.
（2）因为,则,可知
可得,,
而恒成立,
即,
整理可得.
令,,
设,,
设,且,
则,
由于,,则,所以,
即区间上单调递增,故,
故,即实数m的取值范围是.
（3）由题意知,
由得,
故或,,
解得或,,
故的零点为或,,
所以相邻两个零点之间的距离为或,
若最小,则a和b都是零点,
此时在区间,,,,分别恰有3,5,,个零点,
所以在区间上恰有9个零点,
从而在区间上至少有一个零点,
所以,解得,
另一方面,在区间上恰有10个零点,
所以的最小值为.
19．答案：（1）
（2）-3
（3）1
解析：（1）,
因为,
所以,即,
又,所以,
因为,
所以．
（2）由得,,即,
由余弦定理得,,解得,
所以,
又
,
所以,
所以
．
（3）如图所示,根据题意,设,,,
则,,
在中,由余弦定理得,所以,
在中,由正弦定理得,
在中,由正弦定理得,
联立方程组,可得,所以,
代入上式,可得且,
所以,
设,则,
由,可得,所以,
又由,由对勾函数的性质,可得,
所以,
由,可得,
又由函数在上为单调递减函数,
所以,
故最小值为1．