腾冲市第八中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份腾冲市第八中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为( )
A.26B.28C.30D.32
2．如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为的半球形的冰淇淋,若冰淇淋融化后正好盛满杯子,则杯子的高( )
A.B.C.D.
3．若集合,,则( )
A.B.C.D.
4．、、是平面,a、b、c是直线,以下说法中正确的是( )
A.,B.,
C.,,D.,
5．若集合,,则集合的真子集的个数为( )
A.6B.8C.3D.7
6．已知复数z满足,其中i为虚数单位,则的共轭复数在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
7．设奇函数的定义域为,当时,函数的图象如图所示,则使的x的取值集合为( )
A.B.
C.D.
8．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
9．已知a、b是两条不重合的直线,、是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则a与一定相交
C.若,,则a与b是异面直线
D.若,,则直线a平行于平面内的无数条直线
10．在正三棱锥中,底面是边长为6的正三角形,侧棱,且棱,,,的中点分别为E,F,G,H,则下列结论正确的有( )
A.直线平面B.四边形是矩形
C.直线与底面所成的角为D.底面与侧面所成的角为
11．已知在边长为6的菱形中,,点E,F分别是线段,上的点,且.将四边形沿翻折,当折起后得到的几何体的体积最大时,下列说法其中正确的是( )
A.B.平面
C.平面平面D.平面平面
三、填空题
12．与向量方向相同的单位向量的坐标是____________.
13．已知函数,则的解集是_____________.
14．已知A,B,C,D为空间四点,在中,,,等边三角形以为轴运动,则当平面平面时,___________.
四、解答题
15．在平面直角坐标系中,向量,其中.
（1）判断向量,是否垂直？
（2）若,且,求的值.
16．如图,在几何体中,四边形为菱形,对角线与的交点为O,四边形为梯形,.
（1）若,求证：平面;
（2）若,求证：平面平面.
17．已知幂函数()的图像关于y轴对称,且.
（1）求m的值及函数的解析式;
（2）若,求实数a的取值范围.
18．已知函数,直线是函数的图象的一条对称轴.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若,,求的值.
19．在①;②;③;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.问题：在中,角、、的对边分别为a,b,c,且______.
（1）求角B的大小;
（2）边上的中线,求的面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：所求棱台的体积为
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意可得,,
解得.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为,
,
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：对于A,,可以平行,也可以相交,
对于B,a,c可以平行,可以相交,也可以异面,
对于D,,可以平行,也可以相交,
对于C,不妨设,,在平面内作,
因为,则,同理在平面内作,则,
所以,
又,,则,而,所以,所以,即C正确.
故选：C.
5．答案：D
解析：集合,,则集合
集合中有3个元素,则其真子集有个,
故选：D.
6．答案：D
解析：由复数,可得
可得复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
7．答案：B
解析：因为函数是奇函数,所以在上的图象关于坐标原点对称,
由在上的图象,知它在上的图象,如图所示,

所以使的x的取值集合为.
故选：B.
8．答案：A
解析：证充分性：
因为,所以,,则,
所以,故是的充分条件;
排除必要性：
令,则,,
满足,但不满足,所以不是的必要条件;
综上：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9．答案：AD
解析：对于A,若,,则,故A正确;
对于B,若,,则或a与相交,故B错误;
对于C,若,,,则或a与b是异面直线,故C错误;
对于D,若,,则因为在内存在无数条直线和b平行,故直线a平行于平面内的无数条直线,故D正确.
故选：AD.
10．答案：ABC
解析：如图所示：
由于在正三棱锥中,底面是边长为6的正三角形,侧棱,且棱,,,的中点分别为E,F,G,H,
所以,
由于平面,平面,
所以平面,故A正确;
过点A作平面,
点O为平面的中心,
所以,
所以,
故直线与平面所成的角为,
,解得,故C正确;
延长交于点G,故点G为的中点,连接,
所以,
所以为斜面与底面的夹角,
由于,,所以,,
所以,故D错误;
对于B：过点E作,
由于,
所以,,所以,
故,
,
故,由于四边形为平行四边形,且,
故四边形为矩形,故B正确;
故选：ABC.
11．答案：BC
解析：折起后得到的几何体中,
,平面,平面,
,平面,平面,
所以,平面,平面
因为,,平面,
所以平面平面,
因为平面,
所以平面,故B选项正确;
过点D作,交于H,过H作,交于G,
过点C作,交的延长线于N,过N作,交的延长线于M,
因为是边长为6的菱形,,,
所以,,,,,,
所以,四棱锥与是两个全等的四棱锥,
因为,
所以
因为,,,平面,
所以,平面
同理,平面,
因为平面,平面,
所以,与不垂直,故A选项错误;
三棱柱为直三棱柱,
几何体与三棱柱的体积相同,
三棱柱的体积为,
所以,当的面积最大时,几何体的体积最大,
因为时,面积取得最大值,
因为,,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面,故C选项正确;
因为平面平面,平面平面,,平面,
所以平面,
若平面平面,
因为平面平面,
所以,过D作,垂足为,平面
所以,平面,
此时,过点D有两条垂直于平面的直线,与过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直矛盾,故D选项错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：因为,故与向量方向相同的单位向量坐标是.
故答案为：.
13．答案：
解析：当时,,可得,解得,此时;
当时,,可得,此时.
综上所述,不等式的解集.
故答案为：.
14．答案：2
解析：取AB的中点E,连接DE,CE（图略）.
由题意知,当平面平面ABC时,平面平面,平面ADB,
则平面ABC.因为平面ABC,所以.由已知可得,,
所以在中,.
15．答案：（1）不垂直;
（2）.
解析：（1）因为,
所以不垂直.
（2）,
又,,
整理得,,
即,, ,有.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：取的中点G,连接,,
是菱形的对角线,的交点,
,且,
又,且,
,且,
从而为平行四边形,
,
又平面,平面,
平面.
（2）证明：连接,
四边形为菱形, ,
,O是的中点,,
又,,平面,
平面,又平面,
平面平面.
17．答案：（1）;
（2）.
解析:（1）由题意,函数()的图像关于y轴对称,且,
所以在区间为单调递增函数,
所以,解得,
由,,2,3.
又函数的图像关于y轴对称,
所以为偶数,
所以,
所以.
（2）因为函数图象关于y轴对称,且在区间为单调递增函数,
所以不等式,等价于,
解得或,
所以实数a的取值范围是.
18．答案：(1),
(2)
解析：（1）,
当时,,,得,,
,
,
即,
令,,
解得：,,
函数的单调递增区间是,;
（2）,
,得,
,,
.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）若选①在中,因为,
故由可得
由正弦定理得,即.
则,又,故.
选②,, , , .
选③由及正弦定理..
又,所以.
即,因为,,所以.
又,得.
综上所述：选择①②③,都有.
（2）.
又（当且仅当时取等）
的面积的最大值为.