浙江省温州市十校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省温州市十校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则复数z的虚部为( )
A.2B.-2C.D.
2．若向量,,则与共线的向量可以是( )
A.B.C.D.
3．若的外接圆的半径,,则( )
A.1B.C.2D.
4．已知单位向量,满足,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
5．设是给定的平面,M、N是不在内的任意两点,则下列命题中正确的是( )
A.在内一定存在直线与直线相交B.在内一定存在直线与直线异面
C.一定存在过直线的平面与平行D.存在无数过直线的平面与垂直
6．在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( )
A.B.C.D.
8．在三棱锥中,底面,,,的面积为,则三棱锥的外接球表面积的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.
B.若,则
C.
D.若是关于x的方程的根,则
10．对于任意的两个平面向量、,下列关系式恒成立的是( )
A.B.
C.D.
11．如图所示,在等腰梯形中,已知,,将沿直线翻折成,则( )
A.翻折过程中存在某个位置,使得
B.当二面角为时,点C到平面的距离为
C.直线与所成角的取值范围为
D.当三棱锥的体积最大时,以为直径的球被平面所截的截面面积为
三、填空题
12．若向量,则与垂直的一个单位向量____________.
13．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4,侧棱长为,则该棱台的体积为___________.
14．已知平面向量,,满足,,,且,则的最大值为_________.
四、解答题
15．已知复数,,满足：,且的实部为正.
（1）若在复平面内对应的点在第二象限,求m的取值范围;
（2）当时,、对应复平面内的点分别为A、B,O为复平面原点,求证：.
16．如图,和都垂直于平面,且,F是的中点.
（1）求证：平面;
（2）若是正三角形,且,求直线与平面所成角的正弦值.
17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知,
（1）求角A;
（2）若的面积为,D为的中点,求的最小值.
条件①：;
条件②：.
18．如图,在平行四边形中,M,N分别是线段,的中点,记,,且,,.
（1）试用向量,表示,;
（2）①求,的值;
②设O为的内心,若,求的值.
19．在三棱锥中,,,,,的中点为M,点D在线段上,且满足.
（1）求证：;
（2）当平面平面时,
①求点P到平面的距离;
②若N为的中点,求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为, 所以,
所以复数z的虚部为-2,
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意可得
A.,所以向量与共线, 所以正确;
B., 所以向量与不共线,所以不正确;
C.,所以向量与 不共线, 所以不正确;
D.,所以向量与不共线,所以不正确.
综上所述,答案选择:A.
3．答案：C
解析：的外接圆的半径,,
又由正弦定理,所以,
解得.
故选:C.
4．答案：D
解析：
5．答案：B
解析：当直线与平行时,在内不存在直线与直线相交,故A错误;
与的位置关系是平行或相交, 在内一定存在直线与直线异面, 故B正确;
若直线与平面相交时,不存在过直线的平面与平行,故C错误;
只有当与平面垂直时,才存在无数过直线的平面与垂直,
当与平面平行或斜交时,存在唯一的过直线的平面与垂直,故D错误.
故选：B.
6．答案：C
解析：连接,因为,所以等于异面直线与所成的角,
因为,,,所以,
,
在中,由余弦定理可得,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:C.
7．答案：C
解析：在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由正弦定理得，.故选C.
8．答案：B
解析：如图,取的外接圆圆心H,过点H作平面的垂线,
则三棱锥的外接球的球心O在该垂线上,且.
在中,,即.
,即.
（当且仅当时取等号）
设外接圆半径为r,由正弦定理得,即.
外接球的半径,故三棱锥的外接球表面积的最小值为.
9．答案：ACD
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：BD
解析：由条件易得,.
对于选项A：假设翻折过程中存在某个位置,使得.又因为,,可得平面,所以,即.显然与不垂直,所以假设不成立,即翻折过程中不存在某个位置,使得.故选项A错误.
对于选项B：取的中点N,的中点M,连接,,过点M作直线的垂线交直线于点H.易说明为二面角的平面角,即.线段的长即为点M到平面的距离,.因为M为的中点,所以点C到平面的距离等于点M到平面的距离的2倍,即.故选项B正确.
对于选项C：连接,易得四边形是平行四边形,所以.直线与所成角即为直线与所成角.在翻折过程中,绕着旋转,可以看成以B为顶点、为轴的圆锥的母线,为底面圆的直径.原问题转化为母线与底面直径所成角的取值范围.母线与轴的夹角为,结合最小角定理,可得母线与底面直线所成角的取值范围是,故选项C错误.
对于选项D：当平面平面时,三棱锥的体积最大.又因为,
平面平面,所以平面.的中点O为球心,取的中点E,
则为的中位线,所以,平面.以为直径的球被平面所截的截面为圆面,由以上分析可知点为该圆的圆心,其半径,该圆面面积为.故选项D正确
12．答案：或
解析：设,
由题意可知,
解得或
故或.
故答案为：.
13．答案：
解析：正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4,
上下底面正方形的对角线长分别为,,又正四棱台的侧棱长为,
正四棱台的高为,
该棱台的体积为,
故答案为：.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意得
解得.
（2）设,则,
展开得
则解得
所以
当时,,故在复平面内,
则,,,,
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：证明：（1）取的中点G,连接,,
是的中点,,,
和都垂直于平面,
,,,
四边形为平行四边形,从而,
平面,平面,
平面.
（2）为正三角形,G为中点,
.
平面,平面,,,
又,平面,
平面.
又,则平面,
得为在面上的射影,
为直线与平面所成角.
在中,,,,
得,
直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）若选①由正弦定理得,
,,
,
若选②：由正弦定理得,
,
即,
又,有,,
由,得.
（2）,又,,
在中由余弦定理
,（由余弦定理得出边的关系就给2分）
当且仅当时取等号,
的最小值为.
18．答案：（1）
（2）①②
解析：（1）;
（2）①由（1）知：,则,
又,
②为的内心,,
.
19．答案：（1）见解析
（2）①②
解析：（1）取的中点M,连接,,
,M为的中点,.
,M为的中点,
平面,
又平面,
（2）①过点P作于O,连,
平面平面,,平面.
令,则,
.
平面,.
在中,由,得,,
,
故点P到平面的距离为.
②记平面与平面的夹角为,作交于点Q,连接,
易证平面为平面与平面的公共垂面,故,
在中,,,可求得,
又,,则.