广东省江门市某校2023-2024学年高二下学期期末热身模拟数学试题

这是一份广东省江门市某校2023-2024学年高二下学期期末热身模拟数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（1-8题，每题5分，共40分）
1．若随机变量，则（ ）
A．2B．4C．8D．32
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为：
则当取下面何值时，与的关系最弱（ ）
A．8B．9
C．14D．19
4．小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（ ）
A．25元B．18元C．20元D．16元
5．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ）
A．6种B．3种C．20种D．12种
6．下列说法正确的有（ ）
①回归分析中，常用，来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越好，反之拟合效果越差；
②在线性回归模型中，随机误差的方差越小，用预报真实值的精度越高；
③独立性检验的原理是:在假设“：两个分类变量没有关系”下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且推断犯错误的概率不超过这个小概率.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．根据近五年的资料显示，某村庄月光照量（小时）的统计数据（注：月光照量指的是当月的阳光照射总时长）以及在适合温度下，月光照量与草莓花芽分化的概率的关系，表格如下：
该村庄现有一批草莓，根据上表，试估计在适合温度下，草莓花芽分化的概率为（ ）
A．0.85B．0.89C．0.91D．0.95
8．若是函数的极小值点,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（9--11，每题6分，共18分）
9．为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为（单位：千克），当季该种作物的亩产量为（单位：百千克）.
现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型II为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型I的决定系数和模型II的决定系数，则（ ）
A．
B．模型II的拟合效果比较好
C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量一定增加0.17个单位
D．若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上
10．在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（ ）
A．以这8个点中的2个点为端点的线段有28条
B．以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条
C．以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个
D．以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个
11．已知 ， ，且 则以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（12--14题，每题5分，共15分）
12．随机变量服从正态分布，若，则 .
13．若的展开式中的系数为40，则实数 ．
14．A、B、C、D、E五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻的人．游戏开始时，球在A手里，则经过5次传球，传到D手中，不同的传球方案共有 种．
四、解答题（15--19题，共77分，请把答案写到对应答题卡的序号！！！！）
15．（13分）已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，
(1)求抛物线方程；
(2)求弦的长度；
16．（15分）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
18．（17分）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
(2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中．
19．（17分）已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
10
18
26
（小时）



月份数
27
18
15
草莓花芽分化的概率
0.90
0.95
0.80
1
2
4
6
11
13
19
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
场次编号
1
2
3
4
5
观众人数
0.7
0.8
1
1.2
1.3
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
开侨中学2023---2024年度下学期高二期末模拟考数学试题
参考答案：
1．B 2．C 3．C【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令，得，解得，所以当时，与的关系最弱，故A，B，D错误.
4．C【详解】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列，所以该数列为非零常数列，
则每本书的单价为元.
5．A【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法.
6．D【详解】①：用相关指数来刻画回归效果，的值越大越接近1，线性回归模型的拟合效果越好，故命题①正确；②：随机误差是衡量预报精确的一个量，它的均值为，它的方差越小，预报真实值的精度越高，故命题②正确；③：独立性检验的原理：在假设下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，
就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.故命题③正确.
7．B【详解】根据题意，草莓花芽分化的概率为.
8．C【详解】由题意得,当,则或,
因为是函数的极小值点,所以,解得.
9．AB【详解】A选项，由题意得，，
模型的经验回归方程为，所以，即，故A正确；B选项，因为越大，拟合效果越好，所以模型II的拟合效果比较好，故B正确；C选项，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.17个单位，故C错误；D选项，因为有可能没有数据点在经验回归直线上，所以D错误.
10．ACD【详解】以这8个点中的2个点为端点的线段有条，正确.轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误.以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确.先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确.
11．ABD【详解】由因式分解可得：，又因为，可知，即，又由函数，求导，当时，，可知在上递减，当时，，可知在上递增，所以在时取到最小值为0，有即不等式成立，所以，由可得：，即，
对于选项A，，所以选项A的正确的；对于选项B，，构造函数，求导，由时，，所以在上递增，
即，因为，所以，所以选项B是正确的；对于选项C，与不可能等价，所以选项C是错误的；对于选项D，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，由时，，所以在上递减，
所以的最大值是，即，所以选项D是正确的；故选：ABD.
12．/【详解】因为且，所以，
则.
13．3【详解】多项式的展开式中含的项为，所以，解得.
14．【详解】依题意，由于球只能不与自己相邻的人，所以推得第二次传球后，球只能在①，②，③，④情况中的一种；又第五次传球要传到D手中，故后三次传球仅能在⑤，⑥，⑦，⑧情况中的一种；由于球只能传给不相邻的人，故只有①⑤，①⑥，①⑧，②⑤，②⑦，②⑧，③⑤，③⑥，③⑧，④⑥，共10个组合可传球，所以不同的传球方案共有10种.
15．【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点，所以，则抛物线方程为.（2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线，
代入抛物线消去y，得，则，显然，
所以，，则.
16．【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，所以，解得，
因为，所以，解得，因为，所以，所以，
故数列的通项公式为；（2）由题知，即
所以
，故数列的前20项和为.
17【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，，四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为正方形，所以，因为，，，
所以平面，所以，因为，所以，又因为平面所以平面.（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，，所以，设二面角的大小为，则，解得，所以，平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.
18．【详解】（1）由表格可知，
，，所以，则；
（2）根据数据补全表格如下：
所以，故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
19．【详解】（1）因为，则，依题意，有，即．
所以，，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以满足题意，同时，的单调增区间为和；
（2）猜想如下：因为表示的两端点连线的斜率，而由题可知，上必然存在点，使得其切线的斜率为，即，所以一定定存在，使得；
证明如下：
因为，
则．
由猜想可知，对于函数图象上任意两点，
在之间一定存在一点，使得，
又，故有.
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
40
50
90
女性观众
60
50
110
总计
100
100
200