2024年宁夏回族自治区石嘴山市第六中学中考数学一模试卷

这是一份2024年宁夏回族自治区石嘴山市第六中学中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）某种速冻水饺适宜的储藏温度是﹣18±2℃，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是（ ）
A．﹣15℃B．﹣17℃C．﹣18℃D．﹣20℃
2．（3分）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
3．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
4．（3分）某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成如表：
对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ）
A．众数和平均数相等
B．中位数和平均数相等
C．中位数和众数相等
D．中位数、众数和平均数都相等
5．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝24°，∠A＝42°，则∠2等于（ ）
A．66°B．70°C．42°D．30°
6．（3分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
7．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小
B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转 45° 到 OA1，扫过的面积记为 S1，A1A2⊥OA1 交x轴于点A2；将 OA2 绕点O顺时针旋转 45°到 OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3 交y轴于点A4；将 OA4 绕点O顺时针旋转 45°到 OA5扫过的面积记为 S3；…；按此规律，则 S2023 为（ ）
A．22019πB．22020πC．22021πD．22022π
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）下列实数：① ②，③ ④0，⑤﹣1.010010001，其中无理数有 个．
10．（3分）已知方程x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝ ．
11．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 ．
12．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 ．
13．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 nmile．（结果保留根号）
14．（3分）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB为 ．
15．（3分）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程组是 ．
16．（3分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．（6分）解方程：．
18．（6分）在方格纸中，线段AB和直线l的位置如图所示：
（1）画出线段AB关于直线l的对称线段A1B1；
（2）若小方格的边长为1，连接A1B，画出线段A1B绕点A1顺时针方向旋转90°所得到的线段A1B2，并求出线段A1B扫过的面积．
19．（6分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：
原式＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
任务一：填空
（1）以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：
（3）直接写出该分式化简后的正确结果．
20．（6分）裕华酒店有104间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的空调一台，已知甲工程队每天比乙工程队多安装4台，甲工程队的安装任务有60台，两队同时安装．
（1）甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）裕华酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电2度．据预估，每天至少有90间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.9元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（元）的范围．
21．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
22．（6分）中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读过几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）请补全条形分布直方图，本次调查一共抽取了 名学生；
（2）扇形统计图中“1部”对应扇形的圆心角为 度．
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C．
（1）求证：∠M＝∠D；
（2）若BC＝4，，求⊙O的直径．
24．（8分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与x轴，y轴分别交于D，A两点，与反比例函数的图象交于点B（﹣1，4）和点C（﹣2，a）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）连接OB，OC，求△BOC的面积．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
26．（10分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
（1）①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ；
②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ；
【猜想论证】
（2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形）
【拓展应用】
如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）某种速冻水饺适宜的储藏温度是﹣18±2℃，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是（ ）
A．﹣15℃B．﹣17℃C．﹣18℃D．﹣20℃
【解答】解：∵﹣18﹣2＝﹣20，﹣18+2＝﹣16，
∴速冻水饺的储藏温度是在﹣20℃与﹣16℃之间，包括﹣20℃与﹣16℃，
∴四个选项中A选项不符合要求．
故选：A．
2．（3分）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
3．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成如表：
对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ）
A．众数和平均数相等
B．中位数和平均数相等
C．中位数和众数相等
D．中位数、众数和平均数都相等
【解答】解：这组数据的众数是3（本），平均数是×（10+2×10+3×20+4×5+5×5）＝2.7（本），
中位数是＝3（本），
故中位数和众数相等，
故选：C．
5．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝24°，∠A＝42°，则∠2等于（ ）
A．66°B．70°C．42°D．30°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠DBC＝∠2，
∵∠ADB＝∠1，∠DCB＝∠A+∠D，∠1＝24°，∠A＝42°，
∴∠2＝∠CBD＝∠A+∠ADB＝∠A+∠1＝24°+42°＝66°，
故选：A．
6．（3分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OA，
设圆的半径是r cm，
∵CD＝2cm，
∴OC＝（r﹣2）cm，
∵OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×8＝4（cm），
∵OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
∴该输水管的半径为5cm．
故选：A．
7．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小
B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态
【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；
由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；
由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL），
∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；
由图2知，当R1＝20时，K＝40，
∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），
∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转 45° 到 OA1，扫过的面积记为 S1，A1A2⊥OA1 交x轴于点A2；将 OA2 绕点O顺时针旋转 45°到 OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3 交y轴于点A4；将 OA4 绕点O顺时针旋转 45°到 OA5扫过的面积记为 S3；…；按此规律，则 S2023 为（ ）
A．22019πB．22020πC．22021πD．22022π
【解答】解：由题意△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、…、都是等腰直角三角形，
∴OA2＝，OA4＝2，OA6＝2，…，
∴S1＝＝π，S2＝＝π，S3＝＝π，S4＝，
…；
∴Sn＝2n﹣4π，
∴S2023＝22019π，
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）下列实数：① ②，③ ④0，⑤﹣1.010010001，其中无理数有 2 个．
【解答】解：下列实数：① ②，③ ④0，⑤﹣1.010010001，其中是无理数的为：②③，共计2个．
故答案为：2．
10．（3分）已知方程x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝ ﹣4 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，
所以（1﹣x1）（1﹣x2）＝1﹣（x1+x2）+x1x2＝1﹣4+（﹣1）＝﹣4．
故答案为﹣4．
11．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 7 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
故答案为：7．
12．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 3 ．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，
∴A'C＝3，
故答案为：3．
13．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 43 nmile．（结果保留根号）
【解答】解：作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，cs∠APC＝，
则PC＝PA•cs∠APC＝86×＝43，
在Rt△BCP中，cs∠BPC＝，
则PB＝＝43（nmile），
故答案为：43．
14．（3分）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB为 0.8米 ．
【解答】解：由题意知，＝＝，＝＝，
解得OA＝1，，
∴＝0.8（米），
故答案为：0.8米．
15．（3分）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程组是 x+2y＝32 ．
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
故答案为：x+2y＝32．
16．（3分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 6.3 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．
三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．（6分）解方程：．
【解答】解：，
方程两边都乘x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
﹣x﹣x＝﹣3﹣2+1，
﹣2x＝﹣4，
x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
所以分式方程的解是x＝2．
18．（6分）在方格纸中，线段AB和直线l的位置如图所示：
（1）画出线段AB关于直线l的对称线段A1B1；
（2）若小方格的边长为1，连接A1B，画出线段A1B绕点A1顺时针方向旋转90°所得到的线段A1B2，并求出线段A1B扫过的面积．
【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B2即为所求，
∵，
∴线段A1B扫过的面积为．
19．（6分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：
原式＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
任务一：填空
（1）以上化简步骤中，第 二 步是通分，通分的依据是 分式的基本性质 ．
（2）第 三 步开始出现错误，错误的原因是 没有添括号 ．
任务二：
（3）直接写出该分式化简后的正确结果．
【解答】解：（1）以上化简步骤中，第二步是通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：二、分式的基本性质．
（2）第三步开始出现错误，错误的原因是没有添括号，
故答案为：三、没有添括号．
（3）
＝[]•
＝[]•
＝•
＝•
＝．
20．（6分）裕华酒店有104间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的空调一台，已知甲工程队每天比乙工程队多安装4台，甲工程队的安装任务有60台，两队同时安装．
（1）甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）裕华酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电2度．据预估，每天至少有90间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.9元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（元）的范围．
【解答】解：（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+4）台空调，
依题意得：＝，
解得：x＝11，
经检验，x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝11+4＝15．
答：甲工程队每天安装11台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务．
（2）设每天有m（90≤m≤104）间客房有旅客住宿，则W＝0.9×2×8m＝14.4m．
∵14.4＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴14.4×90≤W≤14.4×104，
即1296≤W≤1497.6．
答：该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围为不少于1296元且不超过1497.6元．
21．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且BC＝2DE．
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC．
∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC，
∴∠EBC＝60°．
∴△EBC是等边三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
过点E作EG⊥BC于点G．
∴BG＝2．
∴EG＝＝2．
∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×2＝8．
22．（6分）中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读过几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）请补全条形分布直方图，本次调查一共抽取了 1 名学生；
（2）扇形统计图中“1部”对应扇形的圆心角为 72 度．
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：10÷25%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）读2部的学生有：40﹣2﹣14﹣10﹣8＝6（人），
补全的条形统计图如图所示；
（4）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如图所示：
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是＝．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C．
（1）求证：∠M＝∠D；
（2）若BC＝4，，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠C，
∴，
∴∠M＝∠D．
（2）解：连接AC，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠CAB＝∠M，
∵，
∴，
∵BC＝4，
∴AB＝6．
24．（8分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与x轴，y轴分别交于D，A两点，与反比例函数的图象交于点B（﹣1，4）和点C（﹣2，a）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）连接OB，OC，求△BOC的面积．
【解答】解：（1）∵B（﹣1，4）在反比例函数图象上，
∴，
∴k＝﹣4，
∴，
∴当x＝﹣2时，
，
∴C（﹣2，2），
∵B、C在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴y1＝2x+6．
（2）解：如图，
当x＝0时，y＝6，
∴A（0，6），
∴，
，
∴S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB
＝6﹣3
＝3．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+h，
将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣，
即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝，y＝﹣＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF＝﹣1＝，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，
又∵AC＝＝3，
∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，）．
26．（10分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
（1）①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ 2 ；
②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ 3 ；
【猜想论证】
（2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形）
【拓展应用】
（3）如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，BC＝4，
∴AB＝AC＝4，∠BAC＝60°，
∴AB′＝AC′＝4，∠B′AC′＝120°．
∵AD为等腰△AB′C′的中线，
∴AD⊥B′C′，∠C′＝30°，
∴∠ADC′＝90°．
在Rt△ADC′中，∠ADC′＝90°，AC′＝4，∠C′＝30°，
∴AD＝AC′＝2．
②∵∠BAC＝90°，
∴∠B′AC′＝90°．
在△ABC和△AB′C′中，
，
∴△ABC≌△AB′C′（SAS），
∴B′C′＝BC＝6，
∴AD＝B′C′＝3．
故答案为：①2；②3；
（2）AD＝BC．
证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、AE，则四边形ACEB′为平行四边形，
∴AE与B'C'互相平分，
∵点D是B'C'的中点，
∴点D也是AE的中点，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′E．
在△BAC和△AB′E中，
，
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC＝AE．
∵AD＝AE，
∴AD＝BC；
（3）在图4中，过点P作PF⊥BC于点F．
∵PB＝PC，
∴PF为△PBC的中线，
∴PF＝AD＝3．
在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，PB＝5，PF＝3，
∴BF＝＝4，
∴BC＝2BF＝8．
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