四川省乐山市峨眉第二中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省乐山市峨眉第二中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A＝{－1，0}，B＝{0，1}，C＝{1，2}，则(A∩B)∪C等于（ ）
A. ∅B. {1}
C. {0，1，2}D. {－1，0，1，2}
【答案】C
【解析】
【分析】先求交集，再求得与的并集．
【详解】A∩B＝{0}，所以(A∩B)∪C＝{0}∪{1，2}＝{0，1，2}．
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于基础题．
2. 下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，结合对数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，
解得，所以函数的定义域为.
故选：B.
4. 一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.
【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的弧长为6，面积为6，
可得，解得，即扇形的圆心角为.
故选C.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5. 方程的根所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算各个区间的端点的函数值，根据零点存在性定理可得结果.
【详解】设，
因为，。
，，，
因为，
所以根据零点存在性定理可得函数在区间内存在零点，
所以方程根所在的区间为.
故选：B
6. 设，，，则，，三个数的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的范围，结合，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得，
又由对数函数性质，可得，
因为，所以.
故选：A.
7. 设定义在区间上的函数是奇函数（，，且），则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意，所以，，因为，所以，由得，所以，，故选A．
考点：函数的奇偶性．
【名师点晴】已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f（x）±f（－x）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
8. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点，，连结，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.
【详解】因为，，，所以，，
不妨设，，分别过，，
则，，
则，所以．
故选：D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. B. 所有的正方形都是矩形
C. D. 至少有一个实数，使
【答案】AC
【解析】
【分析】若该命题是真命题，则其否定为假命题，若该命题为全称量词命题，则其否定为特称量词命题.
【详解】对A：该命题的否定为，是全称量词命题，
又，故为真命题，故A符合要求；
对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求；
对C：该命题的否定为，是全称量词命题，
又，故为真命题，故C符合要求；
对D：存在实数，使，故该命题为真命题，则其否定为假命题，
故D不符合要求.
故选：AC.
10. 已知且则函数与函数的图像不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据题干讨论的取值范围，然后根指对函数图像的性质判断即可.
【详解】且，分类讨论有：
情况一：时：
先讨论，当单减，
此时C选项满足，此时D选项不满足；
现在讨论，当单减，
此时C选项不满足，此时D选项满足；
综上所述：CD选项不可能；
情况二：时：这种情况直接舍去，因对且；
情况三：时：
先讨论，当单增，此时AB选项满足，
现在讨论，当单增，此时B选项满足，
综上所述：B选项是有可能正确的；
对于A选项的对数图像显然不在定义域内，故也是不可能的.
综上所述：图像不可能是ACD选项.
故选：ACD.
11. 若在区间上递减，则的取值可以是（ ）
A 1B. 1.5C. 2D. 3
【答案】AB
【解析】
【分析】利用复合函数同增异减的性质，求出参数需要满足的不等式，解不等式即可求得结果.
【详解】设，可知函数在上单调递减，
又函数在定义域内单调递增；
由复合函数单调性可知需满足，解得；
所以的取值可以是1或1.5.
故选：AB
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最小值是
C. 的最小值是2D. 的最大值是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据均值不等式判断A，根据判断B，根据均值不等式判断C，取特殊值判断D.
【详解】因，所以，当且仅当时，即时等号成立，故A正确；
因为，当时等号成立，故最小值是，故B正确；
因为，当且仅当时，即，无解，等号不成立，故C错误；
因为中，令时，，所以的最大值不是，故D错误.
故选：AB
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数（且）的图象恒过点__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数图象过定点求解即得.
【详解】函数中，当，即时，的值恒为0，即恒有，
所以函数（且）的图象恒过点.
故答案为：
14. 计算的结果是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据三角函数的诱导公式，可得：
原式
.
故答案为：.
15. 已知，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】令，利用换元法可得，进而可得出的解析式.
【详解】令，则，
由，
得()，
即().
故答案为：.
16. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】结合分段函数、指数函数与二次函数性质即可得.
【详解】由函数是上的单调递增函数，
故在时单调递增，即，
在时单调递增，即，解得，
且，即或，
综上可得，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17. 计算求值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）以实数指数幂的运算规则解之即可；
（2）以对数运算规则解之即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
18. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）化简集合A，B,利用并集运算求解；’
（2）分和两种情况，利用集合间关系列不等式求解.
【小问1详解】
由题意，
当时，，
【小问2详解】
，当时，，解得，满足题意
当时，得或解得
综上所述：或
19. 若不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为R．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，
（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围
【小问1详解】
由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，
所以不等式的解集为或
【小问2详解】
由（1）可知的解集为R，
所以，解得，
所以的取值范围为
20. 科学家发现某种特别物质的温度（单位：摄氏度）随时间（时间：分钟）的变化规律满足关系式：（，）.
（1）若，求经过多少分钟，该物质的温度为摄氏度；
（2）如果该物质温度总不低于摄氏度，求的取值范围.
【答案】（1）经过分钟，该物质的温度为摄氏度；（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式，令，结合解出的值；
（2）令，换元，于是得出，由参变量分离法得出，然后求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，当，令，
时，解得，因此，经过分钟时间，该物质的温度为摄氏度；
（2）由题意得对一切恒成立，
则由，得出，令，则，且，
构造函数，
所以当时，函数取得最大值，则.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查给定函数模型的应用，考查指数方程的求解以及指数不等式恒成立问题的求解，在含单一参数的不等式问题中，通常利用参变量分离法转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
21. 已知函数是奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）判断函数的单调性；
（3）若方程有三个不同的根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）的单调递减区间是，单调递增区间是，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用函数为奇函数，结合，即可求解；
（2）作出函数的图象，结合图象，即可得到函数的单调区间；
（3）根据题意，转化为函数与的图象有三个不同的交点，结合图象，即可求解.
【小问1详解】
解：设，则，因为时，，
可得，
又因为函数是奇函数，所以，即，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：作出函数的图象，如图所示：
可得的单调递减区间是，单调递增区间是，
【小问3详解】
解：要使得方程有三个不同的根，
即函数与的图象有三个不同的交点，
如图所示，可得，即的取值范围是．
22. 已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又．
（1）求证为奇函数；
（2）求证：为上的减函数；
（3）解关于的不等式：．（其中）
【答案】22. 证明见解析
23. 证明见解析 24.
【解析】
【分析】（1）由赋值法利用奇函数定义即可证明函数为奇函数；
（2）利用函数单调性定义由即可得出证明；
（3）由将不等式化简可得，再由函数单调性以及即可得.
【小问1详解】
由题意，
令得，可得；
再令得，
即对于任意都满足，
所以为奇函数
【小问2详解】
令，则，
因此，
可得
所以为上的减函数；
【小问3详解】
不等式化为：
即可得，
又为上的减函数，所以，
整理的，又，即，
解得．则不等式的解集为.