2024年湖南省益阳市大通湖管理区三校联考中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省益阳市大通湖管理区三校联考中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中既中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 平行四边形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 菱形
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a+b)2=a2+b2
C. (−2a)3=−8a3D. 3a3−2a2=a
3.某校开展了“书香校园”的活动，小腾班长统计了本学期全班40名同学课外图书的阅读数量(单位：本)，绘制了折线统计图(如图所示)，在这40名学生的图书阅读数量中，中位数是( )
A. 22B. 23C. 21D. 24
4.下列函数中，y随x的增大而增大的函数有( )
A. y=−3x−2B. y=−2xC. y=3x2D. y=−3x(x<0)
5.坐标平面内，将点A(a,1)向右平移两个单位长度后恰好与点B(−4,b)关于原点对称，则a+b的值为( )
A. 5B. −5C. 3D. 1
6.如图，∠B+∠DCB=180°，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAC=4：1，则∠D的度数是( )
A. 120°B. 110°C. 105°D. 100°
7.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是( )
A. 900x=4001.5x+20B. 400x=9001.5x+20C. 9001.5x=400x+20D. 4001.5x=900x+20
8.四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H.图2中，四分仪为正方形ABCD.方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5.则井深BG为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
9.如图，已知A(1,0)，B为双曲线y=6x(x>0)上的一点，cs∠1= 22，C为y轴的正半轴上一动点，当ACBC=( )时，∠ACB最大．
A. 33
B. 55
C. 62
D. 1
10.如图，在矩形ABCD中，AD= 2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②OE=12DE；③HE=DF；④AB=FH.其中正确的结论有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解：4x2−1= ．
12.当x= ______时，分式x2−1(x−1)⋅(3x+4)的值为0．
13.幺米是公认的最小长度单位，1幺米=10−24米，24幺米用科学记数法表示为______米.
14.某校学生期末评价从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面依次按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他的期末成绩为______分.
15.如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，这棵树AB的高度为______米．
16.某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个.为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元.
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A(− 5,0)，B(0,2 5)，⊙O的半径为1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______．
18.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD=4，DE=1，则S△DFGS△BGC= ______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(π−1)0− 16+| 3−2|−3−8．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+1x−2)÷x−1x2−2x，其中x取满足−1≤x<3的整数．
21.(本小题8分)
“校园手机”现象越来越受到社会的关注．九(1)班学生在“统计实习”实践活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
(1)在图②中，AB是⊙O的直径，求这次调查的家长总人数，并补全图①；
(2)求图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数；
(3)从这次接受调查的家长中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是多少？
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=2∠B，点D是AC的中点．
(1)求∠B的度数；
(2)求证：四边形AOCD是菱形．
23.(本小题9分)
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：43，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
(1)真空管上端B到水平线AD的距离．
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度(结果精确到0.1米)．
(参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈0.4)
24.(本小题9分)
为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元．
(1)求a，b的值；
(2)若购买该批设备的资金不超过7200元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
25.(本小题10分)
如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°．

(1)观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的关系是______；
(2)探究证明：把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内转动一周，若AC=BC=10，CE=CD=5，AE、BD交于点P时，连接CP，直接写出△BCP最大面积______．
26.(本小题10分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,−3)，连接AB．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，若点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，当点D是CP的三等分点时，求点P坐标；
(3)如图2，将抛物线y=x2+bx+c向右平移得到新抛物线，直线AB与新抛物线交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求新抛物线的解析式．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：a2⋅a3=a6，故A错误，不符合题意；
(a+b)2=a2+2ab+b2，故B错误，不符合题意；
(−2a)3=−8a3，故C正确，符合题意；
3a3与2a2不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意；
故选：C．
根据幂的运算性质、完全平方公式和同类项的定义逐项分析可得答案．
本题考查幂的运算性质、完全平方公式和同类项的定义，熟练掌握这些性质是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：由折线统计图可知，阅读20本的有4人，21本的有8人，23本的有20人，24本的有8人，共40人，
∴其中位数是第20、21个数据的平均数，即23+232=23，
故选：B．
根据中位数的定义求解即可．
本题考查了折线统计图及中位数的知识，关键是掌握寻找中位数的方法，一定不要忘记将所有数据从小到大依此排列再计算．
4.【答案】D
【解析】解：∵y=−3x−2，
∴y随x增大而减小，
∵y=−2x，
∴y随x增大而减小，
∵y=3x2，
∴x>0时，y随x增大而增大，x<0时，y随x增大而减小，
∵y=−3x(x<0)，
∴在第二象限内，y随x增大而增大，
故选：D．
由一次函数，反比例函数，二次函数的性质判断各选项．
本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，函数图象与系数的关系．
5.【答案】D
【解析】解：将点A(a,1)向右平移两个单位长度后的坐标是(a+2,1)，
∵点(a+2,1)与点B(−4,b)关于原点对称，
∴a+2=4，1=−b，
∴a=2，b=−1．
∴a+b=2−1=1．
故选：D．
根据“左加右减”的变换规律和关于原点对称的点的坐标的特征解答．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，以及关于原点对称的点的坐标的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
6.【答案】A
【解析】解：因为∠B+∠DCB=180°，
所以AB/​/CD，
所以∠D+∠DAB=180°，
设∠D=4x，则∠DAC=x，
因为AC平分∠DAB，
所以∠DAB=2∠DAC=2x，
因为AB/​/CD，
所以∠D+∠DAB=180°，
所以4x+2x=180°，
所以x=30°，
所以∠D=4x=4×30°=120°．
故选：A．
由于∠B+∠DCB=180°，得AB/​/CD，故∠D+∠DAB=180°.根据角平分线的定义，∠DAB=2∠DAC.再根据∠D：∠DAC=4：1可求得∠D．
本题主要考查平行线的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是1.5x个，
根据题意，得9001.5x=400x+20．
故选：C．
设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是1.5x个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵BE=2.5，BH=0.5，
∴HE=BE−BH=2.5−0.5=2，
∵四边形BEFG是矩形，
∴BG=EF，∠BEF=90°，
∴∠ABH=∠FEH=90°，
∵∠AHB=∠EHF，
∴△ABH∽△FEH，
∴ABEF=BHEH，
∴1EF=0.52，
∴EF=4，
∴BG=EF=4，
故选：A．
根据正方形的性质可得∠ABC=90°，再根据矩形的性质可得BG=EF，∠BEF=90°，从而可得∠ABH=∠FEH=90°，然后证明8字模型相似三角形△ABH∽△FEH，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】设AB的中点为M，作MH⊥x轴于点H，作BG⊥x轴于点G，
∵cs∠1= 22，
∴∠1=45°
∴BG=AG，
设BG=a，则B(1+a,a)，
∴(1+a)a=6，
∴a=2，
∴B(3,2)，G(3,0)，
∴MH=12BG=1，AH=12AG=1，
∴M(2,1)，
设MG：y=kx+6，
得2k+b=13k+b=0，
∴k=−1b=3，
∴y=−x+3，
设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为N(m,n)，切点为Q，
∵y=−x+3是AB的中垂线，
∴n=−m+3，
∴m=3−n，
∵NA=NQ，
∴(m−1)2+n2=m2，
∴(3−n−1)2+n2=(3−n)2
∴n2+2n−5=0
∴n2=5−2n，
当C与Q重合时，∠ACB最大，
∵AC2=n2+12，BC2=(2−n)2+32，
∴AC2BC2=n2+1n2−4n+13
=5−2n+15−2n−4n+13
=−2n+6−6n+18
=−2(n−3)−6(n−3)
=13，
∴ACBC= 33，
故选：A．
作圆过A，B且与y轴相切点为Q，当C与Q重合时，∠ACB最大，设圆心N(m,n)，用n的代数式表示出AQ，BQ，即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的特征，以及圆周角定理推论的应用，是一道综合性较强的题目，关键是构造过A，B且与y轴相切的圆，找到切点的位置．
10.【答案】B
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= 2AB，
∵AD= 2AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
∠BAE=∠DAE∠ABE=∠AHD=90°AE=AD，
∴△ABE≌△AHD(AAS)，
∴B E=D H，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=(180°−45°)=67.5°，
∴∠CED=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，
∴ED平分∠AEC，故①正确；
∵∠AHB=(180°−45°)=67.5°，∠OHE=∠AHB，
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠OHD=90°−67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°−45°=22.5°，
∴∠OHD=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，
OE=12DE，故②正确；
∵∠EBH=90°−67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又∵BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°，
在△BEH和△HDF中，
∠EBH=∠OHDBE=DH∠AEB=∠HDF，
∴△BEH≌△HDF(ASA)，
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
故选：B．
根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE=AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE=DH，求出∠ADE=∠AED=∠CED=67.5°，从而判断出①正确；求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH=HF，判断出③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】(2x+1)(2x−1)
【解析】【分析】
由于多项式有二项，没有公因式，考虑运用平方差公式分解．
本题考查了因式分解的平方差公式，两项若没有公因式，一般考虑平方差公式
【解答】
解：4x2−1
=(2x)2−1
=(2x+1)(2x−1)
12.【答案】−1
【解析】解：∵分式x2−1(x−1)⋅(3x+4)的值为0，
∴x2−1=0且(x−1)(3x+4)≠0，
解得：x=±1且x≠1，x≠−43，
∴x=−1，
故答案为：−1．
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13.【答案】2.4×10−23
【解析】解：24幺米=24×10−24米=2.4×10−23米．
故答案为：2.4×10−23．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】9
【解析】解：由题意可得，10×2+9×3+8×2+9×2+9×12+3+2+2+1=9(分)，
故答案为：9．
根据加权平均数的计算公式计算即可得解．
本题考查了求平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键．
15.【答案】(1.5+4 3)
【解析】【解答】解：由题意，四边形CDFE、四边形FEBG、四边形CDGB均为矩形，
△ADG、△AFG均为直角三角形，
所以CD=BG=1.5米，CE=DF=8米．
在Rt△ADG中，∵tan∠ADG=AGDG，
即DG=AGtan30∘= 3AG，
在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=AGFG，
即FG=AGtan60∘= 33AG，
又∵DG−FG=DF=8，
∴ 3AG− 33AG=8，
即2 33AG=8，
∴AG=4 3，
∴AB=AG+GB=1.5+4 3(米)，
故答案为：1.5+4 3．
【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含AG的代数式表示出FG、DG，由于DG−FG=DF，得到关于AG的方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．
16.【答案】50
【解析】解：设售价为x元，
根据题意得：(x−30)[600−10(x−40)]=10000，
解得：x=50或x=80，
从消费者的角度考虑，
x=80舍去，
答：这种台灯的售价应定为50元．
故答案为：50．
设售价为x元，根据总利润=单件利润×销售量列方程求解，结合“从消费者的角度考虑”取舍后可得．
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
17.【答案】 3
【解析】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A(− 5,0)、B(0,2 5)，
∴OA= 5，OB=2 5，
∴AB= OA2+OB2=5，
∵S△AOB=12AB×OP=12OA×OB，
∴OP=OA×OBAB= 5×2 55=2，
∴PQ= OP2−OQ2= 22−12= 3；
故答案为： 3．
连接OP.根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
18.【答案】625
【解析】解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，
∴∠ABE=∠EBC，AF=EF，
在▱ABCD中，AD//BC，AD=BC，AB=CD=4，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=CD=4，
∴AF=EF=2，
∴FD=3DE，BC=AD=5，
S△DEG=x，则S△EFG=2x，S△FDG=3x，
∵AD/​/BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴S△EFGS△BCG=(EFBC)2=(25)2=425，
S△BCG=12.5x，
∴S△DFGS△BGC=3x12.5x=625，
故答案为：625．
先由作图得出BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根据三角形的面积公式求出△EFG和△DEG的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形的面积公式和相似三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=1−4+2− 3+2
=1− 3．
【解析】直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：原式=x−1x−2⋅x(x−2)x−1
=x，
由分式有意义的条件可知：x=−1，
∴原式=−1．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)由于AB是⊙O的直径，所以“不赞成”占调查总人数的50%，
200÷50%=400(人)，
样本中“非常赞成”的人数：400×26%=104(人)，
“基本赞成”的人数为：400−200−104−16=80(人)，
补全的统计图如下：

(2)360°×80400=72°，
答：图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数为72°；
(3)样本中，被调查的400名家长中，“无所谓”的有16名，
所以随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是16400=125，
答：随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是125．
【解析】(1)根据两个统计图可知，“不赞成”的有200人，占调查人数的50%，可求出调查人数，再求出“基本赞成”的人数，补全统计图；
(2)求出“基本赞成”所占的百分比，进而求出相应圆心角的度数；
(3)根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、概率的计算方法，理解两个统计图中数量之间的关系以及概率的定义是解决问题的关键．
22.【答案】(1)解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=60°；
(2)证明：连结OD，

∵点D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠AOD=∠COD，
∵∠B=60°，∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∵AO=DO=CO，
∴△AOD，△COD为等边三角形，
∴AO=CO=AD=CD，
∴四边形AOCD为菱形．
【解析】(1)根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可；
(2)连结OD，根据等弧对等角，和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到△AOD，△COD为等边三角形，进而得到AO=CO=AD=CD，即可得证．
本题考查圆内接四边形，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系和菱形的判定．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，等弧对等角是解题的关键．
23.【答案】解：(1)过点B作BF⊥AD于点F，如图：

在Rt△ABF中，BF：AF=1：43=3：4，AB=3米，
设BF=3x米，则AF=4x米
∴(3x)2+(4x)2=32，
解得x=0.6，
∴BF=3×0.6=1.8(米)．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
(2)在Rt△ABF中，cs∠BAF=AFAB，
则AF=AB⋅cs∠BAF=3×cs37°≈2.4(米)，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC//FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF=CD，BC=FD，
∵EC=0.5米，
∴DE=CD−CE=1.3米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD=DEAD，
则AD=DEtan∠EAD≈(米)，
∴BC=DF=AD−AF=3.25−2.4≈0.9(米)，
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【解析】(1)过点B作BF⊥AD于点F，根据AB的坡度计算，得到答案；
(2)根据余弦的定义求出AF，再根据正切的定义求出AD，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)依题意，得：b−a=1503a−2b=150，
解得：a=450b=600．
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15−x)台，
依题意，得：15−x≥1450x+600(15−x)≤7200，
解得：12≤x≤14．
∵x为整数，
∴x=12，13，14．
答：学校有三种购买方案，方案1：购进甲型设备12台，乙型设备3台；方案2：购进甲型设备13台，乙型设备2台；方案3：购进甲型设备14台，乙型设备1台．
(3)依题意，得：100x+150(15−x)≥1600，
解得：x≤13，
∴12≤x≤13，
∴x=12或13．
当x=12时，所需资金为：450×12+600×3=7200(元)，
当x=13时，所需资金为：450×13+600×2=7050(元)．
∵7200>7050，
∴方案2省钱．
答：最省钱的购买方案为购买甲型设备13台，乙型设备2台．
【解析】(1)根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15−x)台，根据总价=单价×数量结合购买该批设备的资金不超过7200元且两种型号的设备均要至少买一台，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出各购买方案；
(3)由(2)的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价=单价×数量可求出当x=12和x=13时购买费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】AE=BD，AE⊥BD 25+25 32
【解析】解：(1)AE=BD，AE⊥BD，理由如下：
如图1，延长AE交BD于H，
由题意得：AC=BC，∠ACE=∠BCD=90°，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠AHD=180°−(∠EAC+∠BDC)=90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE=BD，AE⊥BD；
(2)结论仍成立，仍有：AE=BD，AE⊥BD；理由如下：
如图2，延长AE交BD于H，交BC于O，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB−∠BCE=∠ECD−∠BCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠AOC=90°，
∵∠AOC=∠BOH，
∴∠DBC+∠BOH=90°，即∠OBH+∠BOH=90°，
∴∠OHB=180°−(∠OBH+∠BOH)=90°，即AE⊥BD．
(3)∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上运动．
∵CD=CE=5，
∴点D在⊙C上运动，
观察图形，可知当BP与⊙C相切时，△BCP面积最大．
此时，四边形CDPE为正方形，PD=CD=5．
在Rt△BDC中，BD= BC2−CD2=5 3．
当△BCP的面积最大时，BP=BD+DP=5 3+5，S=12BP⋅CD=25+25 32．
故答案为：25+25 32．
(1)先根据等腰三角形的定义可得AC=BC，CE=CD，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE=BD，∠EAC=∠DBC，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得∠AHD=90°即可；
(2)先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE=BD，∠EAC=∠DBC，再根据直角三角形两锐角互余可得∠EAC+∠AOC=90°，然后根据对顶角相等、等量代换可得∠DBC+∠BOH=90°，从而可得∠OHB=90°即可；
(3)如图：由题意可知点P在以AB为直径的⊙O上运动，点D在⊙C上运动，观察图形，可知当BP与⊙C相切时，△BCP面积最大；此时，四边形CDPE为正方形，PD=CD=5；然后在Rt△BDC运用勾股定理求出BD，进而求出BP的最大值，最后运用三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等、旋转变换以及几点共圆等知识点，正确作出辅助线并能综合应用所学知识是解答本题的关键．
26.【答案】解：(1)由题意得，c=−39+3b+c=0，
∴c=−3b=−2，
∴y=x2−2x−3；
(2)∵B(0,−3)，A(3,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入得：b=−33k+b=0，解得：b=−3k=1，
∴直线AB的解析式为：y=x−3，
设点P(m,m2−2m−3)，D(m,m−3)，
∵D为CP的三等分点，
∴−(m−3)−(m2−2m−3)=13或−(m−3)−(m2−2m−3)=23，
解得m1=2，m2=12，
∴P1(2,−3)或P2(12,−154)；
(3)∵抛物线解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
设平移后的抛物线解析式为y=(x−m)2−4，
联立方程组可得：y=x−3y=(x−m)2−4，
∴x2−2(m+12)x+m2−1=0，
设点M(x1,y1)，点N(x2,y2)，
∵直线AB与新抛物线交于M，N两点，
∴x1，x2是方程x2−2(m+12)x+m2−1=0的两根，
∴x1+x2=2(m+12)，
∵点A是MN的中点，A(3,0)，
∴x1+x2=6，
∴2(m+12)=6，
∴m=52，
∴新抛物线解析式为y=(x−52)2−4．
【解析】(1)将点A(3,0)，B(0,−3)代入抛物线解析式求解即可；
(2)先确定直线AB的解析式为：y=x−3，设点P(m,m2−2m−3)，D(m,m−3)，根据题意得出−(m−3)−(m2−2m−3)=13或−(m−3)−(m2−2m−3)=23，求解即可；
(3)设平移后的抛物线解析式为y=(x−m)2−4，然后联立方程组设点M(x1,y1)，点N(x2,y2)，由根与系数的关系得出x1+x2=6，即可求解确定新的解析式．
本题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，交点问题，线段问题及二次函数的平移，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．甲型
乙型
价格(元/台)
a
b
有效半径(米/台)
100
150