[数学]湖南省益阳市大通湖管理区三校联考2024年中考二模试题(解析版)

这是一份[数学]湖南省益阳市大通湖管理区三校联考2024年中考二模试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中既中心对称图形又是轴对称图形的是的是（ ）
A. 平行四边形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 菱形
【答案】D
【解析】A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、等腰直角三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
3. 我校开展了“书香校园”的活动，小腾班长统计了本学期全班40名同学课外图书的阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），在这40名学生的图书阅读数量中，中位数是（ ）
A. 22B. 23C. 21D. 24
【答案】B
【解析】由折线统计图可知，阅读20本的有4人，21本的有8人，23本的有20人，24本的有8人，共40人，
∴其中位数是第20、21个数据的平均数，即23．
4. 下列函数中，随的增大而增大的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A. ，，随的增大而减小，故A选项不符合题意；
B. ，， ，的图像位于第二象限，随的增大而增大，故B选项符合题意；
C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大，故C选项不符合题意；
D. ，，随的增大而减小，故D选项不符合题意．
故选B．
5. 坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知点平移后的坐标为，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∴；
故选D．
6. 如图，，平分，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
7. 我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，
根据题意得： ，
故选：C．
8. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴
故选：A．
9. 如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（ ）时，最大．
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】设的中点为M，作轴于点H，作轴于点G，
∵，
∴
∴，
设，则，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得，
∴，
∴直线的解析式为：，
设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为，切点为Q，
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
当C与Q重合时，最大，
∵，，
∴



，
∴，
故选：A．
10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
平分，故①正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
又，，
在和中，，
，
，，故③正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故④错误；
故选：．
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】．
12. 当______时，分式的值为0．
【答案】
【解析】∵分式的值为0，
∴且，
解得：且，，
∴，
故答案为：．
13. 幺米是公认的最小长度单位，1幺米米，24幺米用科学记数法表示为__________米
【答案】
【解析】∵1幺米米，
24幺米用科学记数法表示为米．
故答案为：．
14. 某校学生期末评价从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面依次按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示（说明：由图可知第一方面“德”，得分为10分），则他的期末成绩为______分．
【答案】9
【解析】由题意可得，（分），
故答案为：9．
15. 如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为__________．

【答案】米
【解析】由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形，
、均为直角三角形，
所以米，米．
在中，，
即，
在中，，
即，
又，
，
即，
，
（米），
故答案为：米．

16. 某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元．
【答案】50
【解析】设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（，0），B（0，），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______．

【答案】
【解析】连接OP，OQ．

∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PO最短，∴此时线段PQ最短．
∵A（，0），B（0，），
∴OA=，OB=，
∴，
当OP⊥AB时，，∴OP==2，
∴PQ=，
故答案为：．
18. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G，连接．若，，则_______．

【答案】
【解析】由作图得平分，垂直平分，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
解：原式＝=．
20. 先化简，再求值：，其中x取满足的整数．
解：原式，
由分式有意义的条件可知：，
当时，原式．（答案不唯一）
21. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．九（1）班学生在“统计实习”实践活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：

（1）在图②中，是的直径，求这次调查的家长总人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数；
（3）从这次接受调查的家长中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是多少？
解：（1）由于是⊙O的直径，所以“不赞成”占调查总人数的，
（人），
样本中“非常赞成”的人数：（人），
“基本赞成”的人数为：（人），
补全的统计图如下：

（2），
答：图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数为；
（3）样本中，被调查的400名家长中，“无所谓”的有16名，
所以随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度家长的概率是，
答：随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是．
22. 如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
（1）解：∵
∵
∴
（2）证明：连结
∵点为的中点
∴弧弧
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形．
23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
（1）真空管上端B到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
解：（1）过点作交于点，

由题意，得：，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴
∴真空管上端B到水平线的距离为；
（2）由题意，得：，，

∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
答：安装热水器的铁架水平横管的长度为．
24. 为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元.
（）求，的值；
（）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？
（）在（）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案.
解：（1）由题意得,解得;
（2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台,
由题意得，
解得
∵取整数，∴，，共三种方案，
答：学校有三种购买方案：方案一甲台乙台；方案二甲台乙台；
方案三甲台乙台．
（3）由题意
解得∴
的取值为或
当时，所需资金为：（元），
当时，所需资金为：（元），
∵，
∴方案二省钱
答：最省钱的购买方法为购买甲台，乙台．
25. 如图，在等腰和等腰中，．

（1）观察猜想：如图1，点在上，线段与的关系是_________；
（2）探究证明：把绕直角顶点旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内转动一周，若，，、交于点时，连接，直接写出最大面积_________．
解：（1），，理由如下：
如图1，延长AE交BD于H，
由题意得：，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：，．
（2）结论仍成立，仍有：，；理由如下：
如图2，延长AE交BD于H，交BC于O，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即．
（3）如图：∵，
∴点在以为直径的上运动.
∵，
∴点在上运动，
观察图形，可知当与相切时，面积最大.
此时，四边形为正方形，.
在中，.
当的面积最大时，，．
26. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到新抛物线，直线与新抛物线交于，两点，若点A是线段的中点，求新抛物线的解析式．
解：（1）由题意得，，，
；
（2），，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
设点，，
∴，，
为的三等分点，
或，
解得（不合题意舍去）或（不合题意舍去），
或；
（3）抛物线解析式为，
设平移后的抛物线解析式为，
联立方程组可得：，
，
设点，点，
直线与新抛物线交于，两点，
，是方程的两根，
，
点A是的中点，，
，，，
新抛物线解析式为．甲型
乙型
价格（元/台）
有效半径（米/台）