[数学]福建省漳州市龙文区2024届高三下学期6月模拟预测试题(解析版)

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1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，
因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则，
故选：A.
2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，则，所以，
所以.
故选：B.
3. 等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A.
4. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】D
【解析】由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是，
根据六个数的中位数是：，解得，
故选：D.
5. 已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】，，且，
而三点共线，，即，
，
所以.
故选：A.
6. 已知复数满足，且，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则由，得，
由，得，即，
所以，化简整理得，得，
所以，得，
所以，
故选：D.
7. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】设分别切内切圆交于，
则由双曲线的定义可得，即，
根据内切圆的性质可得，
故，
两式相加化简可得，即，故.
故双曲线的离心率为，
故选：A.
8. 已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令函数，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，
于是函数，则，
令函数，由，得，
因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，
当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，
当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以函数有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若和都为递增数列，则
【答案】BC
【解析】对于A中，由，，
可得，所以，
又由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，
又因为，则，所以C正确；
对于D中，因为为递增数列，可得公差，
因为为递增数列，可得，
所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．
故选：BC.
10. 存在函数满足：对于任意的，都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ，
令，所以，故A正确.
对于B，，取和得，，故B错误；
对于C，令，所以，即符合题设，故C正确；
对于D，取，；取，，故D错误.故选：AC.
11. 如图，棱长为2的正方体的内切球为球，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（ ）

A. 对于任意点，平面
B. 直线被球截得的弦长为
C. 过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D. 当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】BC
【解析】对于A：因为在棱上移动，当与重合时，平面即平面，
因为在直线上，所以平面，所以与平面平面相交，A说法错误；
对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
则，，，
设直线与直线的夹角为，则，
所以，
连接，过作直线的垂线，垂足为，
则在中由解得，
设直线被球截得弦长为，则，B说法正确；
对于C，过直线的平面截球所得的所有截面圆半径最小时，垂直与于过的平面，
此时圆的半径，圆的面积为，C说法正确；
对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D说法错误；
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为_____________.
【答案】1
【解析】因为，由正弦定理可得，且,
所以，则.
13. 已知随机事件，，若，，，则_________.
【答案】
【解析】由题意可得，，且，则，
又因为，则，
且，所以.
14. 已知函数，则不等式的解集为_________________.
【答案】
【解析】由已知得：，
所以，即
则不等式等价于，
再由，
可得在上单调递增，所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若对任意的恒成立，求的范围.
解：（1），
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，符合题意，此时；
当时，因为恒成立，即恒成立，
令，则，
再令，则恒成立，
则在单调递增，所以，所以在上单调递增，
所以当时，，所以.
16. 如图，在直三棱柱中，，，，.
（1）当时，求证：平面；
（2）设二面角的大小为，求的取值范围.
（1）证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
当时，，所以，
可得，所以，
又因为，平面，平面，所以平面.
（2）解：由（1）可得，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
又因为，可得，所以，
因为二面角为锐二面角，所以，
所以的取值范围.
17. 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
（1）若，求的数学期望；
（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．
解：（1）依题意X服从超几何分布，且，
故．
（2）当时，，
当时，，记，
则
．
由，
当且仅当，
则可知当时，；
当时，，
故时，最大，所以N的估计值为6666．
18. 已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.
（1）求曲线的标准方程;
（2）已知是定值，求该定值;
（3）求面积的范围.
解：（1）令且，因为，所以，
整理可得，
所以的标准方程为.
（2）设，，，
设直线和直线的方程分别为，，
联立直线与椭圆方程，整理可得，
则，，
联立直线与椭圆方程，整理可得，
可得，，
又因为，，
所以，
所以，即，
同理可得，，即，
所以.
设，，，
设，则有，
又，
可得，
同理可得，
所以
（3）不妨设，于是，
因此，
又因为，所以，
设，，
则，，
，
所以在单调递增，则.
19. 定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
（1）若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
（2）若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
解：（1）是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
所以区间上单调递减，
所以，
所以，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得当时，是“上凸数列”，
由题意可知，当时，．
因为，
即．
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以．
综上所述，的最小值为．