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人教版八年级数学上册第十三章轴对称压轴题考点训练(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册第十三章轴对称压轴题考点训练(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了如图，C为线段AE上一动点，如图，已知，点A等内容，欢迎下载使用。
A．1+B．1+C．2-D．-1
2．已知点M(2,2)，且OM=2，在坐标轴上求作一点P，使△OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．(2,0)B．(0,4)C．(4,0)D．(0,8)
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣）C．（﹣，﹣9）D．（﹣2，﹣1）
5．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（ ）
A．19B．28C．29D．38
6．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
8．如图，已知，点A（0，0）、B（4，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
11．如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为 ．
12．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ADC=45°，若△BCD的面积是18，则CD长为 ．
13．如图，点是等边内部一点，以为边，在的左边作等边，为的中点，连接，若，，则的长为 ．
14．如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为 ．
15．如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为 ．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E在线段AD上，∠ACE＝45°，∠ABC＝2∠ECB，若BD﹣CD＝2，AE＝6，则AB＝ ．
17．如图1，是等边三角形内一点，，连结．
（1）证明．
（2）如图2，以为斜边在外作等腰直角，连结．请判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，求点到的距离．
18．已知在等腰中，，点D在的延长线上，过点C作于点E与交于点F．
(1)如图1，若，求证：；
(2)在（1）的条件下，如图2，点G为内一点，，，若，求证：．
19．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；
(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．
20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
21．在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)如图1，连接EC，求证：是等边三角形；
(2)点M是AC边上一个动点（不与点D重合），以BM为一边，在BM的下方作，MG交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
22．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
23．已知AB∥CD，且CB⊥AB于点B，AN⊥DC于点N，M是线段NC上的一点，点P是CB延长线上的动点，连接AM，AP，
(1)如图1，若CB=PB，且C、P两点不重合，∠APB=60°，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在一个等边三角形，并说明理由．
(2)如图2，若∠NAP=2∠AMN，
①请猜想此时∠APC与∠NAM的数量关系，并进行证明．
②若点M为NC的中点，且AN=BC，请探究BC、BP、AP之间的数量关系，并进行证明．
24．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将直角三角尺绕直角顶点进行旋转，两条直角边分别与轴和轴交于点A、点．
(1)如图，当与原点重合时，试说明：；
(2)在旋转的过程中，当两条直角边分别相交于轴、轴正半轴时，这个结论还成立吗？请说明理由；
(3)在旋转的过程中，设的坐标是、的坐标是，请用含的代数式表示．
第十三章 轴对称压轴题考点训练
1．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（ ）
A．1+B．1+C．2-D．-1
【答案】B
【详解】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.
故答案为B.
2．已知点M(2,2)，且OM=2，在坐标轴上求作一点P，使△OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．(2,0)B．(0,4)C．(4,0)D．(0,8)
【答案】D
【分析】分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO，分别计算出相应的P点，从而得出答案．
【详解】∵M(2,2),且OM=2,且点P在坐标轴上
当 时
P点坐标为： ，A满足；
当时：
P点坐标为：，B满足；
当时：
P点坐标为：，C满足
故答案选：D
【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，则可得DB=DH，从而BH=2BE，又可证明△HGB≌△FGD， 则DF=BH，从而可求得DF的长．
【详解】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，如图所示
∵DH∥AC
∴∠BDH=∠ACB
∵∠EDB＝∠ACB
∴∠EDB＝∠BDH
∴∠EDB=∠EDH
∵BE⊥DE
∴∠DEB=∠DEH
∴∠DBE=∠DHE
∴DB=DH
即△DBH是等腰三角形
∴BH=2BE=2×4=8
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠EDB=∠EDH=∠ACB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=90°-∠EDB=67.5°
∴∠HBG=∠EBD-∠ABC=22.5°
∴∠HBG=∠EDH
∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°
∴GB=GD，∠BGD=90°
在Rt△HGB和Rt△FGD中
∴△HGB≌△FGD
∴DF=BH=8
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形是问题的关键．
4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣）C．（﹣，﹣9）D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．
【详解】解：∵A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，
∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．
5．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（ ）
A．19B．28C．29D．38
【答案】B
【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长．
【详解】解：连接BD、DC，
∵AD平分∠ BAC，，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=9，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．
6．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质，证明；即可得①正确；证明，，再由，即可得②正确；先证，得，再证，即可得③正确；先证，得，再证，由，即可得④正确；
【详解】解：是等边三角形，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于边上的点G，
，
，
，故②正确；
如下图，过点G作于T，于J，于K，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上：正确的有4个；
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等．
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴ ，
即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
8．如图，已知，点A（0，0）、B（4，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcs∠CAA1=，B1A2=，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：.
故选A.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.
9．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
【答案】45
【分析】由三角形面积关系得出点在与平行，且到的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交于点，则，，此时点到两点距离之和最小，作于，则，证明是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而即可得到答案．
【详解】解：，
点在与平行，且到的距离为的直线上，
，
作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，
，
则，，此时点到两点距离之和最小，
作于，则，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
【答案】9
【分析】如图所示，在x轴上取，连接，证明是等边三角形，得到，则，再证明，得到，则点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，当点C运动到点时，的长有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，在x轴上取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），
设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，
∴当点C运动到点时，的长有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形，从而得到点C的运动轨迹是直线是解题的关键．
11．如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】2
【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出 ，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半求得时的 的值，即可求得线段的最小值．
【详解】解：取的中点为点，连接，
，
，
即，
，为中点，
，
在和中，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，最小，
是等腰三角形，
，
，
，
线段的最小值是为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题．
12．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ADC=45°，若△BCD的面积是18，则CD长为 ．
【答案】6
【分析】过点A作AE⊥AD，交DC延长线于点E，连接BE；可证△ACD≌△ABE，可得BE＝CD， BE⊥CD，垂足为E，由三角形面积公式可求BE×CD＝36，可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥AD，交DC延长线于点E，连接BE；
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠DAE＝90°，∠ADC＝45°，
∴∠AED=∠ADC＝45°，
∴AE=AD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC=45º，
∵∠AED＝45°，
∴∠BEC=∠AEB+∠AED＝90°，
∴S△BCD＝BE×CD＝18，
∵BE＝CD，
∴CD2＝36，
∵CD＞0
∴CD＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13．如图，点是等边内部一点，以为边，在的左边作等边，为的中点，连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】将△ABE旋转至△ACF处， 延长EM至EM=MG，连接CG，通过依次证明△ABE≌△△AFC、△BME≌△CMG、△EGC≌△ECF即可得出．
【详解】解：将△ABE旋转至△ACF处， 延长EM至EM=MG，连接CG
∴△ABE≌△△AFC，
∴AF=AE，∠BAC=∠CAF，∠ABE=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°=∠BAE+∠EAC，
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC，
又∵EM=MG，∠EMB=∠GMC，
∴△BME≌△CMG（SAS），
∴∠EBC=∠BCG，BE=CG
∵∠BEC=120°，
∴∠EBC+∠ECB=60°，
∴∠ECG=60°，∠ACE=∠BCG=∠EBC，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ABE+∠EBC=60°，
∵CF=BE=CG，∠ECF=∠ECG=60°，EC=EC，
∴△EGC≌△ECF（SAS），
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转综合题，全等三角形的性质和判定，三角形内角定理等．正确作出辅助，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
14．如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为 ．
【答案】或或或
【分析】根据题意，分为点P在上和点P在上两种情况，根据等腰三角形的定义，点P在上有两种情况，点P在有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求解．
【详解】解：①当点P在上，时，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴；
②当点P在上，时，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴；
③当点P在上，时，
连接，过点D作于点M，于点N，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
④当点P在上，时，
由③可得，，
∴，
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为．
15．如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图（见解析），过点P作，交AC于点D，先根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得出，从而得出，再根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，然后根据角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质得出，从而得出，最后联立求解即可得．
【详解】由题意得：
为的角平分线，
过点P作，交AC于点D
为的角平分线
在和中，
联立，解得
即的长为8
故答案为：8．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E在线段AD上，∠ACE＝45°，∠ABC＝2∠ECB，若BD﹣CD＝2，AE＝6，则AB＝ ．
【答案】8
【分析】延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设∠ECB＝α，则∠B＝2α，根据题意可求出∠DEC＝90°-α．根据作图结合线段垂直平分线的性质可证明AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∠B＝∠F＝2α．由三角形外角性质可求出∠DAC＝45°-α．由∠DAF＝90°-2α，从而得出∠CAF＝45°-α，即证明∠DAC＝∠FAC，从而易证△GAC≌△FAC（SAS），得出∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝2．再根据∠GCE＝180°-∠G-∠DEC，即可求出∠GCE=90°-α，即得出∠GCE＝∠GEC，从而得出GC＝GE＝2，即可求出AG＝AB＝8．
【详解】解：延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．
设∠ECB＝α，则∠B＝2α，
∵AD⊥BC，∴∠DEC＝90°-α，
∵BD＝DF，∴AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∴∠B＝∠F＝2α，
∵∠DEC＝90°-α，∠ACE＝45°，∴∠DAC＝90°-α-45°＝45°-α，
∵∠DAF＝90°-∠F＝90°-2α，∴∠CAF＝90°-2α-(45°-α)＝45°-α，∴∠DAC＝∠FAC，
在△△GAC和△FAC中，，∴△GAC≌△FAC（SAS），
∴∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝DF-CD＝BD-CD＝2，
∵∠GCE＝180°-∠G-∠DEC＝180°-2α- (90°-α)＝90°-α，∴∠GCE＝∠GEC，
∴GC＝GE＝2，∴AG＝AF=AB＝2+6=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键．
17．如图1，是等边三角形内一点，，连结．
（1）证明．
（2）如图2，以为斜边在外作等腰直角，连结．请判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，求点到的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，证明见解析；（3）．
【分析】（1）依据题意先求出，得出，即可求出；
（2）先求出，得到是等边三角形，求出，即可判断三角形的形状；
（3）过作于点，过作于点，延长交于点，由题意得由得再根据△是等边三角形、和是等腰直角三角形，得，从而求得，
再根据等积法即可求得EH．
【详解】是等边三角形，
，
在和中，
，
．
，
是等腰直角三角形，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
由得
，
，
是等腰三角形．
是等腰直角三角形，是等腰三角形，
，
由得，
如图，过作于点，过作于点，延长交于点
是等边三角形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得，
点到的距离为．
【点睛】此题考查等边三角形及等腰三角形的性质和判定，熟记概念是解题的关键，重点是辅助线的正确添加．
18．已知在等腰中，，点D在的延长线上，过点C作于点E与交于点F．
(1)如图1，若，求证：；
(2)在（1）的条件下，如图2，点G为内一点，，，若，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥CD于H，先根据三角形的内角和定理得，由等腰三角形三线合一的性质得，由8字 形可知∠BAH＝∠DCF，由三角形的外角的性质和角和和可得：∠CAF=∠AFC，由等腰三 角形的判定可得结论；
（2）如图2，连接FG并延长交CD于P，连接AP ，证明△ABG≅△CFG和△AGP≅△CGB， 并得△BGH是等腰直角三角形，由三角形的中位线定理知：BP＝BD，最后由等腰三角形的三线合一的性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点A作AH⊥CD于H，
∴，
∵，
∴，
∵，AH⊥CD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，连接FG并延长，交CD于P，连接AP，AG与CF交于点N，
∵∠AEC＝∠AGC＝90°，∠ANE=∠CNG，
∴∠BAN＝∠GCF，
∵AB=CF，AG=CG，
∴△ABG≅△CFG(SAS)，
∴FG=BG，∠CFG=∠ABG,，
∴∠BGF＝∠BEF＝90°，
∴∠BGP＝90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBG+∠ABG=∠BCG+∠ACG，
∵∠ABG＝∠BCG，
∴∠CBG＝∠ACG＝45° ，
∴∠CBG＝∠D，
∴AD∥BG，
∵△BGP是等腰直角三角形，
∴BG＝GP，
∴FG＝GP，
∴BD＝BP，
∵∠BGP＝∠AGC＝90° ，
∴∠BGC＝∠AGP，
∵AG＝CG，BG＝GP，
∴△AGP≅△CGB(SAS)，
∴∠APG=∠CBG=45°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC，
∴BC＝2BP，
∴BC＝2BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形全等解决问题．
19．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；
(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；
（2）过点作轴于，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．
【详解】（1）解：，
，，
，，
、，
故答案为：，；
（2）证明：过点作轴于，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
；
取点，连接，，
，，
与关于直线对称，连接交于，连接，则，
此时最小，，
到，的距离相等，，，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②：ME=BD，证明详见解析；③∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
【分析】（1）根据中垂线的判定定理“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”可得出结论.
（2）①由∠CAD=15°，BD=AD与直角等腰三角形的性质可知，∠DBA=∠DAB=30°，则可得∠BDE=30°+30°=60°，又根据SSS可证△ADC≌△BDC，则∠ACD=∠BCD=45°，可知∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，故DE平分∠BDC.
②连接MC，由DC=DM，∠CDE=60°，可知△MCD为等边三角形，∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°则根据SAS可证△BDC≌△EMC，得出结论ME=BD.
③根据题意可知，分类：当EN=EC时；当EN=CN时；当CE=CN时三种情况求出∠CNE的度数.
【详解】（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB，
故答案为CD⊥AB.
（2）①证明：∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE平分∠BDC；
故答案为DE平分∠BDC.
②结论：ME=BD，
理由：连接MC，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，∠CMD=60°，
又∵EC=CA，∠CAD=15°，
∴∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°,
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD，
故答案为ME=BD.
③当EN=EC时，∠ENC=7.5°或82.5°；
当EN=CN时，∠ENC=150°；
当CE=CN时，∠CNE=15°，
故答案为∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
【点睛】本题考查了中垂线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、外角的性质运用及动点问题.（1）熟悉垂直平分线的判定定理是解题关键.（2）灵活运用等腰三角形的性质与外角的性质是解题关键.如果不确定等腰三角形的腰与底边（顶角与底角）的情况下，要注意分类讨论.
21．在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)如图1，连接EC，求证：是等边三角形；
(2)点M是AC边上一个动点（不与点D重合），以BM为一边，在BM的下方作，MG交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)画图见详解，当分M点在线段上时，；当M点在线段上时，．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得，，根据是的角平分线，可得，即有可得是等腰三角形，结合和是的中线，可得，问题随之得解；
（2）分M点在线段上和M点在线段上两种情况来补全图形：当分M点在线段上时，延长至N点，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，即可得解；当M点在线段上时，延长至H，使得，连接，与交于点Q，先证明是等边三角形，再证明，即可得解．
【详解】（1）∵在中，，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）补全图形如下：（分M点在线段上和M点在线段上两种情况）
当分M点在线段上时，延长至N点，使得，连接，如图，
在（1）中求得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可知，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴；
当M点在线段上时，延长至H，使得，连接，与交于点Q，如图，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上：当分M点在线段上时，；当M点在线段上时，．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键．
22．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】（1）证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
（2）证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
（3）解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
23．已知AB∥CD，且CB⊥AB于点B，AN⊥DC于点N，M是线段NC上的一点，点P是CB延长线上的动点，连接AM，AP，
(1)如图1，若CB=PB，且C、P两点不重合，∠APB=60°，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在一个等边三角形，并说明理由．
(2)如图2，若∠NAP=2∠AMN，
①请猜想此时∠APC与∠NAM的数量关系，并进行证明．
②若点M为NC的中点，且AN=BC，请探究BC、BP、AP之间的数量关系，并进行证明．
【答案】(1)图见解析，理由见解析
(2)①，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得；
（2）①设，从而可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据平行线的性质即可得出结论；
②延长、，相交于点，延长，截取，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，根据三角形全等的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，结合（2）①的结论可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据线段和差、等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，则是等边三角形．理由如下：
，
，
又，
是等边三角形．
（2）解：①猜想，证明如下：
设，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
；
②如图，延长、，相交于点，延长，截取，连接，
点为的中点，
，
由（2）①已得：，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）①已证：，
，即，
又，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
24．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将直角三角尺绕直角顶点进行旋转，两条直角边分别与轴和轴交于点A、点．
(1)如图，当与原点重合时，试说明：；
(2)在旋转的过程中，当两条直角边分别相交于轴、轴正半轴时，这个结论还成立吗？请说明理由；
(3)在旋转的过程中，设的坐标是、的坐标是，请用含的代数式表示．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】过点作轴于点，知，由点坐标可得，继而可得，即可得答案；
过点作轴于点，轴于点，根据点坐标可得四边形为正方形，从而知、，再证≌即可；
由可知，即，即可得．
【详解】（1）如图，过点作轴于点，
由题意可知，
，
，
，
，
；
（2）如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，轴于点，
，
又，
四边形为正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，；
如图，当点在轴负半轴时，与以上同理可得；
（3）由知，，即，．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
A．1+B．1+C．2-D．-1
2．已知点M(2,2)，且OM=2，在坐标轴上求作一点P，使△OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．(2,0)B．(0,4)C．(4,0)D．(0,8)
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣）C．（﹣，﹣9）D．（﹣2，﹣1）
5．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（ ）
A．19B．28C．29D．38
6．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
8．如图，已知，点A（0，0）、B（4，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
11．如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为 ．
12．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ADC=45°，若△BCD的面积是18，则CD长为 ．
13．如图，点是等边内部一点，以为边，在的左边作等边，为的中点，连接，若，，则的长为 ．
14．如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为 ．
15．如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为 ．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E在线段AD上，∠ACE＝45°，∠ABC＝2∠ECB，若BD﹣CD＝2，AE＝6，则AB＝ ．
17．如图1，是等边三角形内一点，，连结．
（1）证明．
（2）如图2，以为斜边在外作等腰直角，连结．请判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，求点到的距离．
18．已知在等腰中，，点D在的延长线上，过点C作于点E与交于点F．
(1)如图1，若，求证：；
(2)在（1）的条件下，如图2，点G为内一点，，，若，求证：．
19．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；
(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．
20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
21．在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)如图1，连接EC，求证：是等边三角形；
(2)点M是AC边上一个动点（不与点D重合），以BM为一边，在BM的下方作，MG交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
22．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
23．已知AB∥CD，且CB⊥AB于点B，AN⊥DC于点N，M是线段NC上的一点，点P是CB延长线上的动点，连接AM，AP，
(1)如图1，若CB=PB，且C、P两点不重合，∠APB=60°，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在一个等边三角形，并说明理由．
(2)如图2，若∠NAP=2∠AMN，
①请猜想此时∠APC与∠NAM的数量关系，并进行证明．
②若点M为NC的中点，且AN=BC，请探究BC、BP、AP之间的数量关系，并进行证明．
24．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将直角三角尺绕直角顶点进行旋转，两条直角边分别与轴和轴交于点A、点．
(1)如图，当与原点重合时，试说明：；
(2)在旋转的过程中，当两条直角边分别相交于轴、轴正半轴时，这个结论还成立吗？请说明理由；
(3)在旋转的过程中，设的坐标是、的坐标是，请用含的代数式表示．
第十三章 轴对称压轴题考点训练
1．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（ ）
A．1+B．1+C．2-D．-1
【答案】B
【详解】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.
故答案为B.
2．已知点M(2,2)，且OM=2，在坐标轴上求作一点P，使△OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．(2,0)B．(0,4)C．(4,0)D．(0,8)
【答案】D
【分析】分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO，分别计算出相应的P点，从而得出答案．
【详解】∵M(2,2),且OM=2,且点P在坐标轴上
当 时
P点坐标为： ，A满足；
当时：
P点坐标为：，B满足；
当时：
P点坐标为：，C满足
故答案选：D
【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，则可得DB=DH，从而BH=2BE，又可证明△HGB≌△FGD， 则DF=BH，从而可求得DF的长．
【详解】过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，如图所示
∵DH∥AC
∴∠BDH=∠ACB
∵∠EDB＝∠ACB
∴∠EDB＝∠BDH
∴∠EDB=∠EDH
∵BE⊥DE
∴∠DEB=∠DEH
∴∠DBE=∠DHE
∴DB=DH
即△DBH是等腰三角形
∴BH=2BE=2×4=8
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠EDB=∠EDH=∠ACB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=90°-∠EDB=67.5°
∴∠HBG=∠EBD-∠ABC=22.5°
∴∠HBG=∠EDH
∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°
∴GB=GD，∠BGD=90°
在Rt△HGB和Rt△FGD中
∴△HGB≌△FGD
∴DF=BH=8
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形是问题的关键．
4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣）C．（﹣，﹣9）D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．
【详解】解：∵A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，
∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．
5．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（ ）
A．19B．28C．29D．38
【答案】B
【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长．
【详解】解：连接BD、DC，
∵AD平分∠ BAC，，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=9，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．
6．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质，证明；即可得①正确；证明，，再由，即可得②正确；先证，得，再证，即可得③正确；先证，得，再证，由，即可得④正确；
【详解】解：是等边三角形，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于边上的点G，
，
，
，故②正确；
如下图，过点G作于T，于J，于K，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上：正确的有4个；
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等．
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴ ，
即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
8．如图，已知，点A（0，0）、B（4，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcs∠CAA1=，B1A2=，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：.
故选A.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.
9．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
【答案】45
【分析】由三角形面积关系得出点在与平行，且到的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交于点，则，，此时点到两点距离之和最小，作于，则，证明是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而即可得到答案．
【详解】解：，
点在与平行，且到的距离为的直线上，
，
作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，
，
则，，此时点到两点距离之和最小，
作于，则，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
【答案】9
【分析】如图所示，在x轴上取，连接，证明是等边三角形，得到，则，再证明，得到，则点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，当点C运动到点时，的长有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，在x轴上取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），
设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，
∴当点C运动到点时，的长有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形，从而得到点C的运动轨迹是直线是解题的关键．
11．如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】2
【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出 ，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半求得时的 的值，即可求得线段的最小值．
【详解】解：取的中点为点，连接，
，
，
即，
，为中点，
，
在和中，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，最小，
是等腰三角形，
，
，
，
线段的最小值是为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题．
12．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ADC=45°，若△BCD的面积是18，则CD长为 ．
【答案】6
【分析】过点A作AE⊥AD，交DC延长线于点E，连接BE；可证△ACD≌△ABE，可得BE＝CD， BE⊥CD，垂足为E，由三角形面积公式可求BE×CD＝36，可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥AD，交DC延长线于点E，连接BE；
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠DAE＝90°，∠ADC＝45°，
∴∠AED=∠ADC＝45°，
∴AE=AD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC=45º，
∵∠AED＝45°，
∴∠BEC=∠AEB+∠AED＝90°，
∴S△BCD＝BE×CD＝18，
∵BE＝CD，
∴CD2＝36，
∵CD＞0
∴CD＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13．如图，点是等边内部一点，以为边，在的左边作等边，为的中点，连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】将△ABE旋转至△ACF处， 延长EM至EM=MG，连接CG，通过依次证明△ABE≌△△AFC、△BME≌△CMG、△EGC≌△ECF即可得出．
【详解】解：将△ABE旋转至△ACF处， 延长EM至EM=MG，连接CG
∴△ABE≌△△AFC，
∴AF=AE，∠BAC=∠CAF，∠ABE=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°=∠BAE+∠EAC，
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC，
又∵EM=MG，∠EMB=∠GMC，
∴△BME≌△CMG（SAS），
∴∠EBC=∠BCG，BE=CG
∵∠BEC=120°，
∴∠EBC+∠ECB=60°，
∴∠ECG=60°，∠ACE=∠BCG=∠EBC，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ABE+∠EBC=60°，
∵CF=BE=CG，∠ECF=∠ECG=60°，EC=EC，
∴△EGC≌△ECF（SAS），
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转综合题，全等三角形的性质和判定，三角形内角定理等．正确作出辅助，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
14．如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为 ．
【答案】或或或
【分析】根据题意，分为点P在上和点P在上两种情况，根据等腰三角形的定义，点P在上有两种情况，点P在有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求解．
【详解】解：①当点P在上，时，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴；
②当点P在上，时，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴；
③当点P在上，时，
连接，过点D作于点M，于点N，
∵，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
④当点P在上，时，
由③可得，，
∴，
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为．
15．如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图（见解析），过点P作，交AC于点D，先根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得出，从而得出，再根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，然后根据角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质得出，从而得出，最后联立求解即可得．
【详解】由题意得：
为的角平分线，
过点P作，交AC于点D
为的角平分线
在和中，
联立，解得
即的长为8
故答案为：8．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E在线段AD上，∠ACE＝45°，∠ABC＝2∠ECB，若BD﹣CD＝2，AE＝6，则AB＝ ．
【答案】8
【分析】延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设∠ECB＝α，则∠B＝2α，根据题意可求出∠DEC＝90°-α．根据作图结合线段垂直平分线的性质可证明AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∠B＝∠F＝2α．由三角形外角性质可求出∠DAC＝45°-α．由∠DAF＝90°-2α，从而得出∠CAF＝45°-α，即证明∠DAC＝∠FAC，从而易证△GAC≌△FAC（SAS），得出∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝2．再根据∠GCE＝180°-∠G-∠DEC，即可求出∠GCE=90°-α，即得出∠GCE＝∠GEC，从而得出GC＝GE＝2，即可求出AG＝AB＝8．
【详解】解：延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．
设∠ECB＝α，则∠B＝2α，
∵AD⊥BC，∴∠DEC＝90°-α，
∵BD＝DF，∴AB＝AF，∠BAD＝∠FAD，∴∠B＝∠F＝2α，
∵∠DEC＝90°-α，∠ACE＝45°，∴∠DAC＝90°-α-45°＝45°-α，
∵∠DAF＝90°-∠F＝90°-2α，∴∠CAF＝90°-2α-(45°-α)＝45°-α，∴∠DAC＝∠FAC，
在△△GAC和△FAC中，，∴△GAC≌△FAC（SAS），
∴∠G＝∠F＝2α，GC＝CF＝DF-CD＝BD-CD＝2，
∵∠GCE＝180°-∠G-∠DEC＝180°-2α- (90°-α)＝90°-α，∴∠GCE＝∠GEC，
∴GC＝GE＝2，∴AG＝AF=AB＝2+6=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键．
17．如图1，是等边三角形内一点，，连结．
（1）证明．
（2）如图2，以为斜边在外作等腰直角，连结．请判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，求点到的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，证明见解析；（3）．
【分析】（1）依据题意先求出，得出，即可求出；
（2）先求出，得到是等边三角形，求出，即可判断三角形的形状；
（3）过作于点，过作于点，延长交于点，由题意得由得再根据△是等边三角形、和是等腰直角三角形，得，从而求得，
再根据等积法即可求得EH．
【详解】是等边三角形，
，
在和中，
，
．
，
是等腰直角三角形，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
由得
，
，
是等腰三角形．
是等腰直角三角形，是等腰三角形，
，
由得，
如图，过作于点，过作于点，延长交于点
是等边三角形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得，
点到的距离为．
【点睛】此题考查等边三角形及等腰三角形的性质和判定，熟记概念是解题的关键，重点是辅助线的正确添加．
18．已知在等腰中，，点D在的延长线上，过点C作于点E与交于点F．
(1)如图1，若，求证：；
(2)在（1）的条件下，如图2，点G为内一点，，，若，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥CD于H，先根据三角形的内角和定理得，由等腰三角形三线合一的性质得，由8字 形可知∠BAH＝∠DCF，由三角形的外角的性质和角和和可得：∠CAF=∠AFC，由等腰三 角形的判定可得结论；
（2）如图2，连接FG并延长交CD于P，连接AP ，证明△ABG≅△CFG和△AGP≅△CGB， 并得△BGH是等腰直角三角形，由三角形的中位线定理知：BP＝BD，最后由等腰三角形的三线合一的性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点A作AH⊥CD于H，
∴，
∵，
∴，
∵，AH⊥CD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，连接FG并延长，交CD于P，连接AP，AG与CF交于点N，
∵∠AEC＝∠AGC＝90°，∠ANE=∠CNG，
∴∠BAN＝∠GCF，
∵AB=CF，AG=CG，
∴△ABG≅△CFG(SAS)，
∴FG=BG，∠CFG=∠ABG,，
∴∠BGF＝∠BEF＝90°，
∴∠BGP＝90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBG+∠ABG=∠BCG+∠ACG，
∵∠ABG＝∠BCG，
∴∠CBG＝∠ACG＝45° ，
∴∠CBG＝∠D，
∴AD∥BG，
∵△BGP是等腰直角三角形，
∴BG＝GP，
∴FG＝GP，
∴BD＝BP，
∵∠BGP＝∠AGC＝90° ，
∴∠BGC＝∠AGP，
∵AG＝CG，BG＝GP，
∴△AGP≅△CGB(SAS)，
∴∠APG=∠CBG=45°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC，
∴BC＝2BP，
∴BC＝2BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形全等解决问题．
19．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；
(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；
（2）过点作轴于，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．
【详解】（1）解：，
，，
，，
、，
故答案为：，；
（2）证明：过点作轴于，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
；
取点，连接，，
，，
与关于直线对称，连接交于，连接，则，
此时最小，，
到，的距离相等，，，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②：ME=BD，证明详见解析；③∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
【分析】（1）根据中垂线的判定定理“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”可得出结论.
（2）①由∠CAD=15°，BD=AD与直角等腰三角形的性质可知，∠DBA=∠DAB=30°，则可得∠BDE=30°+30°=60°，又根据SSS可证△ADC≌△BDC，则∠ACD=∠BCD=45°，可知∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，故DE平分∠BDC.
②连接MC，由DC=DM，∠CDE=60°，可知△MCD为等边三角形，∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°则根据SAS可证△BDC≌△EMC，得出结论ME=BD.
③根据题意可知，分类：当EN=EC时；当EN=CN时；当CE=CN时三种情况求出∠CNE的度数.
【详解】（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB，
故答案为CD⊥AB.
（2）①证明：∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE平分∠BDC；
故答案为DE平分∠BDC.
②结论：ME=BD，
理由：连接MC，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，∠CMD=60°，
又∵EC=CA，∠CAD=15°，
∴∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°,
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD，
故答案为ME=BD.
③当EN=EC时，∠ENC=7.5°或82.5°；
当EN=CN时，∠ENC=150°；
当CE=CN时，∠CNE=15°，
故答案为∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
【点睛】本题考查了中垂线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、外角的性质运用及动点问题.（1）熟悉垂直平分线的判定定理是解题关键.（2）灵活运用等腰三角形的性质与外角的性质是解题关键.如果不确定等腰三角形的腰与底边（顶角与底角）的情况下，要注意分类讨论.
21．在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)如图1，连接EC，求证：是等边三角形；
(2)点M是AC边上一个动点（不与点D重合），以BM为一边，在BM的下方作，MG交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)画图见详解，当分M点在线段上时，；当M点在线段上时，．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得，，根据是的角平分线，可得，即有可得是等腰三角形，结合和是的中线，可得，问题随之得解；
（2）分M点在线段上和M点在线段上两种情况来补全图形：当分M点在线段上时，延长至N点，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，即可得解；当M点在线段上时，延长至H，使得，连接，与交于点Q，先证明是等边三角形，再证明，即可得解．
【详解】（1）∵在中，，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）补全图形如下：（分M点在线段上和M点在线段上两种情况）
当分M点在线段上时，延长至N点，使得，连接，如图，
在（1）中求得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可知，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴；
当M点在线段上时，延长至H，使得，连接，与交于点Q，如图，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上：当分M点在线段上时，；当M点在线段上时，．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键．
22．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】（1）证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
（2）证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
（3）解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
23．已知AB∥CD，且CB⊥AB于点B，AN⊥DC于点N，M是线段NC上的一点，点P是CB延长线上的动点，连接AM，AP，
(1)如图1，若CB=PB，且C、P两点不重合，∠APB=60°，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在一个等边三角形，并说明理由．
(2)如图2，若∠NAP=2∠AMN，
①请猜想此时∠APC与∠NAM的数量关系，并进行证明．
②若点M为NC的中点，且AN=BC，请探究BC、BP、AP之间的数量关系，并进行证明．
【答案】(1)图见解析，理由见解析
(2)①，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得；
（2）①设，从而可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据平行线的性质即可得出结论；
②延长、，相交于点，延长，截取，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，根据三角形全等的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，结合（2）①的结论可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据线段和差、等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，则是等边三角形．理由如下：
，
，
又，
是等边三角形．
（2）解：①猜想，证明如下：
设，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
；
②如图，延长、，相交于点，延长，截取，连接，
点为的中点，
，
由（2）①已得：，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）①已证：，
，即，
又，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
24．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将直角三角尺绕直角顶点进行旋转，两条直角边分别与轴和轴交于点A、点．
(1)如图，当与原点重合时，试说明：；
(2)在旋转的过程中，当两条直角边分别相交于轴、轴正半轴时，这个结论还成立吗？请说明理由；
(3)在旋转的过程中，设的坐标是、的坐标是，请用含的代数式表示．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】过点作轴于点，知，由点坐标可得，继而可得，即可得答案；
过点作轴于点，轴于点，根据点坐标可得四边形为正方形，从而知、，再证≌即可；
由可知，即，即可得．
【详解】（1）如图，过点作轴于点，
由题意可知，
，
，
，
，
；
（2）如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，轴于点，
，
又，
四边形为正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，；
如图，当点在轴负半轴时，与以上同理可得；
（3）由知，，即，．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
评卷人
得分
一、单选题
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二、填空题
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三、解答题
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三、解答题
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