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2024年广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2024年广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学中考数学模拟试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数.若电梯上行4层楼记为+4，则电梯下行3层楼应记为( )
A. −3B. +3C. +4D. −4
2.《清朝野史大观⋅清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最.”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三视图都相同
3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为( )
A. 8.4×106B. 8.4×10−6C. 84×10−7D. 8.4×10−5
4.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄(单位：岁)分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是( )
A. 35B. 36C. 37D. 39
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a(a−1)=a2−1
C. a2÷a2=0D. (3a)2=9a2
6.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB′C′，若点C，B，C′共线，则∠ACB的度数为( )
A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°
7.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程( )
A. x+27+x5=1B. 7x+2+5x=1C. 7x+2−5x=1D. x+27=x5
8.如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知AB//MN//PQ，若∠2=100°，∠3=130°，则∠1的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
9.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC.已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为α，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为β，若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为( )
A. mtanα−mtanβB. mtanα−mtanβC. msinα−mcsβD. msinα−mcsβ
10.如图1，在菱形ABCD中AB=6，∠BAD=120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，当点P从B向点D运动时，y与x的函数关系图2所示，其中H(a,b)是图象上的最低点，则点H的坐标为( )
A. (4 3,3 3)B. (2 3,3 3)C. (3 3,4 3)D. (3 3,2 3)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若2a−b=3，则4a−2b+1= ______．
12.通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色.老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A.盐酸(呈酸性)，a.白醋(呈酸性)，B.氢氧化钠溶液(呈碱性)，b.氢氧化钙溶液(呈碱性)中的一种.学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为______．
13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，则cs∠OCB的值是______．
14.如图，△OAB的边OA在y轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，与边AB交于点C，若BC=3AC，S△AOB=10，则k的值为______．
15.如图，在菱形ABCD中，tanA=43，点M是边AB的中点，点N是边AD上一点，若一条光线从点M射出，先到达点N，再经AD反射后经过点C，则ANND的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：(−2024)0− 12+2tan60°+(−1)−2．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：3−aa−2÷(a+2−5a−2)，其中a=−1．
18.(本小题8分)
为庆祝中国共产党成立100周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史”(党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史)为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表：
请结合上述信息完成下列问题：
(1)m= ______，n= ______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是______度；
(4)若该校共上交书画作品1800份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数．
19.(本小题8分)
第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．
(1)求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11020元，求最多可以购买“妮妮”多少个？
20.(本小题8分)
“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具，在农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用.如图是板车侧面部分的示意图.AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
(1)求证：∠ADC=∠DBC；
(2)若CD=2 2，CB=2，求BD的长．
21.(本小题9分)
请阅读信息，并解决问题：
22.(本小题10分)
【综合与实践】
在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形ABCD进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点．
证明过程如下：连接CH，
∵正方形ABCD沿CE折叠，
∴∠D=∠B=∠CGH=90°，①_____，
又∵CH=CH，
∴△CGH≌△CDH，
∴GH=DH．
由题意可知E是AB的中点，设AB=2a，DH=x，
则AE=BE=EG=a，
在Rt△AEH中，可列方程：②_____，(方程不要求化简)
解得：DH=③_____，即H是AD边的三等分点．
“励志”小组对矩形纸片ABCD进行了如下操作：
第1步：如图2所示，先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，再展开铺平，折痕为BD，沿CE翻折得折痕CE交BD于点G；
第3步：过点G折叠矩形纸片ABCD，使折痕MN//AD．
【过程思考】
(1)“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是
①：______，②：______，③：______；
(2)“励志”小组经过上述操作，认为点M为AB边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展提升】
如图3，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D′，射线ED′与菱形ABCD的边交于点F，请直接写出D′F的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：电梯上行4层楼记为+4，则电梯下行3层楼应记为−3，
故选：A．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.0000084用科学记数法表示为8.4×10−6．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．
4.【答案】C
【解析】解：把数据从小到大排列为35，36，38，39，
所以中位数为36+382=37．
故选：C．
先把数据从小到大排列，再求出中间两个数的平均数即可．
本题考查了中位数，能熟记中位数的定义(把一组数据从小到大或从大到小排列，处于中间位置的一个数或两个数的平均数叫这组数据的中位数)是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a(a−1)=a2−a，故此选项不符合题意；
C、a2÷a2=1，故此选项不符合题意；
D、(3a)2=9a2，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算判断即可．
本题考查了合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质．
根据旋转的性质得出∠CAC′=120°，AC=AC′，再根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△AB′C′，
∴∠CAC′=120°，AC=AC′，
∵点C，B，C′ 共线，
∴∠ACB=∠AC′B=12(180°−∠CAC′)=30°．
7.【答案】A
【解析】解：可列方程：x+27+x5=1．
故选：A．
根据题意设甲乙经过x日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的x5和x+27，进而列出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：延长AB 到点C，如图：
∵AB//MN，
∴∠2+∠CBD=180°，
∴∠CBD=180°−∠2=80°，
∵∠3=130°，
∴∠CBE=∠3−∠CBD=50°
∵AB//PQ，
∴∠1=∠CBE=50°，
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质，延长AB 到点C，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出∠CBD=80°，则∠CBE=50°，再由两直线平行，内错角线段即可得到∠1=∠CBE=50°．
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△ACD中，AC=m，∠ADC=β，
∴CD=ACtanβ=mtanβ，
在Rt△ACB中，∠ABC=α，
∴BC=ACtanα=mtanα，
∴BD=BC−CD=mtanα−mtanβ，
故选：B．
先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接AP，作AE1⊥BC，垂足为E1，交BD于P1，
由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：AP=CP，∠DBC=∠ADB=12∠ABC=30°，
∴P1D=2AP1，P1B=2E1P1，
∴BD=P1D+P1B=2AP1+2E1P1=2AE1，P1B=2E1P1，
由三角形三边关系和垂线段最短知，PE+PC=AP+PE≥AE≥AE1，
即PE+PC有最小值AE1，
菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，
在Rt△ABE1中，∠ABC=60°，
解得AE1=AB×sin60°=6× 32=3 3，BE1=AB×cs60°=6×12=3，
在Rt△AP1E1中，BP1=BE1cs∠DBC=3÷cs30°=2 3，
∵BD=2AE1=6 3，
∴P1D=4 3，
∵H(a,b)是图象上的最低点，
∴b=y=PE+PC=AE1=3 3，
∴a=P1D=4 3，b=3 3，
故选：A．
从图2知，b是y=PE+PC的最小值，从图1作辅助线知b=PE+PC=AP+PE≥AE≥AE1；接下来求出b=AE1=3 3，则求出P1B=2 3，BD=6 3，最后得a=P1D=4 3，
本题考查动点问题的函数图象，掌握菱形的轴对称性质，三角形三边关系及垂线段最短是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：∵2a−b=3，
∴4a−2b+1
=2(2a−b)+1
=2×3+1
=7．
故答案为：7．
将4a−2b+1的前两项提取公因式，再把2a−b=3代入计算即可．
本题考查代数式求值，提取公因式是本题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中两瓶溶液恰好都变蓝的可能性有2种，
∴两瓶溶液恰好都变蓝的概率为：212=16，
故答案为：16．
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
13.【答案】 22
【解析】解：∵∠BOC=2∠A=2×45°=90°，
而OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∴cs∠OCB= 22．
故答案为 22．
先利用圆周角定理得到∠BOC=90°，则可判断△OBC为等腰直角三角形，所以∠OCB=45°，然后利用特殊角的三角函数值得到cs∠OCB的值．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
14.【答案】−4
【解析】解：如图，作BE⊥x轴，垂足为E，CD⊥x轴，垂足为D，连接OC，
∵BC=3AC，S△OAB=10，
∴S△BOC=34×10=152，
由反比例函数k值的几何意义可知：
S△COD=S△BOE=12丨k丨，
设C(m,km)，则B(4m,k4m)，
∵S△BOC=S△COD+S梯形BCDE−S△BOE=S梯形BCDE，
∴12(4m−m)[−(km+k4m)]=152，
解得：k=−4．
故答案为：−4．
作BE⊥x轴，垂足为E，CD⊥x轴，垂足为D，连接OC，由条件可知S△BOC=34×10=152，根据反比例函数k值几何意义可得S△BOC=S△COD+S梯形BCDE−S△BOE=S梯形BCDE，代入数据计算即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
15.【答案】114
【解析】解：作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，
设菱形边长为10个单位长，
∵M为AB中点，
∴AM=5，
∵tanA=43，
∴AE=3，ME=4，
∵AD=10，
∴DE=7，
∵AB//CD，
∴∠CDF=∠A，
∴tan∠CDF=43，
∵CD=10，
∴CD=8，DF=6，
设EN=x，
∴DN=7−x，
∴FN=13−x，
由光的反射定律得，∠MNE=∠CND，
∴△MNE∽△CNF，
∴EN：FN=ME：CF，即x：(13−x)=4：8，
∴x=133，
∴AN=AE+EN=223，DN=7−x=83，
∴AN：DN=114，
故答案为：114．
作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，设菱形边长为10个单位长，设EN=x，利用三角函数表示出EN、FN，求出CF和ME，由光的反射定律得，∠MNE=∠CND，证明△MNE∽△CNF，利用相似比求出x即可．
本题考查了解直角三角形，菱形的性质及光的反射定理是本题的解题关键．
16.【答案】解：(−2024)0− 12+2tan60°+(−1)−2
=1−2 3+2 3+1
=2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−(a−3)a−2÷(a2−4a−2−5a−2)
=−(a−3)a−2÷(a+3)(a−3)a−2
=−(a−3)a−2⋅a−2(a+3)(a−3)
=−1a+3，
当a=−1时，
原式=−1−1+3
=−12．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
18.【答案】(1)0.4，0.3
(2)
(3) 144
(4)估计以“党史”为主题的作品份数为1800×0.12=216(份)．
【解析】解：(1)m=20÷50=0.4，n=1−(0.12+0.4+0.18)=0.3，
故答案为：0.4，0.3；
(2)C主题数量为50×0.18=9，D主题数量为50×0.3=15，
补全图形如下：
(3)在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是360°×0.4=144°，
故答案为：144；
(4)见答案．
(1)根据频率=频数÷总数量可得m的值，由频率之和为1可得n的值；
(2)用C、D主题对应的频率乘以总数量可得其数量，从而补全图形；
(3)用360°乘以对应频率即可；
(4)用总数量乘以样本中以“党史”为主题的作品份数对应的频率即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19.【答案】解：(1)设购买一个“滨滨”需要x元，一个“妮妮”需要(x+40)元，
根据题意得：6400x=4800x+40×2，
解得：x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+40=80+40=120(元)．
答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元；
(2)设购买m个“妮妮”，则购买(100−m)个“滨滨”，
根据题意得：80(100−m)+120m≤11020，
解得：m≤1512，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为75．
答：最多可以购买“妮妮”75个．
【解析】(1)设购买一个“滨滨”需要x元，一个“妮妮”需要(x+40)元，利用数量=总价÷单价，结合用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买一个“滨滨”所需费用，再将其代入(x+40)中，即可求出购买一个“妮妮”所需费用；
(2)设购买m个“妮妮”，则购买(100−m)个“滨滨”，利用总价=单价×数量，结合总价不超过11020元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】(1)证明：如图2，连接OD，则OD=OB，
∵AB是⊙O的直径，
∴ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°
∵CD与⊙O相切于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵∠OBD=∠ODB，
∴∠A=∠CDB，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CDB，
∴∠ADC=∠DBC．
(2)解：∵△CAD∽△CDB，CD=2 2，CB=2，
∴DABD=CACD=CDCB=2 22= 2，
∴DA= 2BD，CA= 2CD= 2×2 2=4，
∴AB=CA−CB=4−2=2，
∵DA2+BD2=AB2，
∴( 2BD)2+BD2=22，
解得BD=2 33或BD=−2 33(不符合题意，舍去)，
∴BD的长是2 33．
【解析】(1)连接OD，由AB是⊙O的直径，得ADB=90°，则∠A+∠OBD=90°，由切线的性质得∠ODC=90°，则∠CDB+∠ODB=90°，而∠OBD=∠ODB，所以∠A=∠CDB，即可证明△CAD∽△CDB，得∠ADC=∠DBC；
(2)由相似三角形的性质得DABD=CACD=CDCB= 2，则DA= 2BD，CA= 2CD=4，所以AB=CA−CB=2，由勾股定理得( 2BD)2+BD2=22，求得BD=2 33．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等腰三角形的性质、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：任务1：
如图，以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点H为原点，
由题意得，O(0,25)，CH=120÷2−20=40，
则点C的坐标为(−40,0)，
令抛物线的解析式为y=ax2+25，
将点C(−40,0)代入y=ax2+25中得，
1600a2+25=0(a≠0)，
解得：a=−164，
则抛物线的解析式为y=−164x2+25．
任务2：∵EF=9(米)，
∴将y=9代入y=−164x2+25得，
x1=−32，x2=32(舍)，
∴EH=32(米)，
∴CE=40−32=8(米)，m=32÷8=4(米)，
∴琴弦EF与拱端C的水平距离CE为8米，m的值为4米．
任务3：将y=17代入y=−164x2+25得，
x1=−16 2，x2=16 2(舍)，
∵−24<−16 2<−20，
∴该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间．
【解析】任务1：以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点H为原点，令抛物线的解析式为y=ax2+25，将点C(−40,0)代入y=ax2+25中即可得出答案；
任务2：将y=9代入y=−164x2+25即可得出EH的长度，再根据线段的和差即可得出CE的长度，进而求出m的值；
任务3：将y=17代入y=−164x2+25出x的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键．
22.【答案】CG=CB=CD (2a−x)2+a2=(x+a)2 23a
【解析】解：(1)根据证明过程得：①CG=CB=CD，
②在Rt△AEH中，由勾股定理得AH2+AE2=EH2，即(2a−x)2+a2=(x+a)2，
③解方程得x=23a，即DH=23a，
故答案为：①CG=CB=CD，②(2a−x)2+a2=(x+a)2，③23a，
(2)结论正确；
理由：∵先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF，
∴E、F分别是AB.CD的中点，
∴BE=12AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴BGDG=BECD=BEAB=12，
∴BGBD=13，
∵MN//AD，
∴BMAB=BGBD=13，
∴点M为AB边的三等分点；
【拓展提升】如图，设AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，AC⊥BD，AB=AD=CD=BC，∠ADB=∠ABD=∠DBC，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2= 42+32=5，
∴AD=AB=5，
分两种情况：①当BE=13BD=2时，则DE=4，
如图，连接AD′，AE，D′E，D′E与AB交于点F，过点A作AG⊥D′E于点G，
由对称性可知，D′E=DE=4，AD′=AD=5，∠AD′E=∠ADB=∠ABD，∠AED=∠AEF，
∵∠AD′F=∠EBF，∠AFD′=∠BFE，
∴△AFD′∽△EFB，
∴EFAF=BEAD′=25，
设EF=2x，则AF=5x，
在△AEO和△AEG中，
∠AOE=∠AGE=90°∠AEO=∠AEGAE=AE，
∴△AEO≌△AEG(AAS)，
∴OE=EG=1，
∴GF=2x−1，AG=AO=4，
在△AGF中，AF2=AG2+GF2，
即(5x)2=42+(2x−1)2，
解得：x1=−1(舍)，x2=1721，
∴EF=2x=3421，
∴D′F=D′E−EF=4−3421=5021；
②当DE=13BD=2时，连接AD′，AE，AD′与BD交点G，延长ED′交BC于F，
由对称性可知，D′E=DE=2，∠AD′E=∠ADB=∠ABD，∠EGD′=∠AGB，
∴△EGD′∽△AGB，
∴AGEG=ABD′E=52，
设EG=2x，则AG=5x，即OG=2x−1，
在△AGO中，AG2=OA2+OG2，
即(5x)2=42+(2x−1)2，
解得：x1=−1(舍去)，x2=1721，
∴EG=2x=3421，
∵∠ED′A=∠DBC=∠ADB，∠GED′=∠FEG，
∴△EGD′∽△EFB，
∴EFEG=EBD′E．
∴EF=EG⋅EBD′E=6821，
∴D′F=EF−D′E=6821−2=2621．
综上，D′F的长为5021或2621．
(1)运用全等三角形的性质及勾股定理即可得出答案；
(2)根据两个三角形相似以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果；
【拓展提升】根据E是BD上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．
本题考查了正方形的性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称变换的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．主题
频数
频率
A党史
6
0.12
B新中国史
20
m
C改革开放史
0.18
D社会主义发展史
n
合计
50
1
问题
琴桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息
宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”.琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆(俗称“琴弦”)琴桥全长120米，拱高25米．
处理信息
如图是琴桥的主视图，A，B分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC=BD.一根琴弦固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8根.记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，…OH为第9根，…
测量数据
测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF高9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m米．
解决问题
任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值．
任务3：若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17m的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数.若电梯上行4层楼记为+4，则电梯下行3层楼应记为( )
A. −3B. +3C. +4D. −4
2.《清朝野史大观⋅清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最.”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三视图都相同
3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为( )
A. 8.4×106B. 8.4×10−6C. 84×10−7D. 8.4×10−5
4.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄(单位：岁)分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是( )
A. 35B. 36C. 37D. 39
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a(a−1)=a2−1
C. a2÷a2=0D. (3a)2=9a2
6.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB′C′，若点C，B，C′共线，则∠ACB的度数为( )
A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°
7.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程( )
A. x+27+x5=1B. 7x+2+5x=1C. 7x+2−5x=1D. x+27=x5
8.如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知AB//MN//PQ，若∠2=100°，∠3=130°，则∠1的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
9.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC.已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为α，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为β，若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为( )
A. mtanα−mtanβB. mtanα−mtanβC. msinα−mcsβD. msinα−mcsβ
10.如图1，在菱形ABCD中AB=6，∠BAD=120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，当点P从B向点D运动时，y与x的函数关系图2所示，其中H(a,b)是图象上的最低点，则点H的坐标为( )
A. (4 3,3 3)B. (2 3,3 3)C. (3 3,4 3)D. (3 3,2 3)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若2a−b=3，则4a−2b+1= ______．
12.通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色.老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A.盐酸(呈酸性)，a.白醋(呈酸性)，B.氢氧化钠溶液(呈碱性)，b.氢氧化钙溶液(呈碱性)中的一种.学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为______．
13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，则cs∠OCB的值是______．
14.如图，△OAB的边OA在y轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，与边AB交于点C，若BC=3AC，S△AOB=10，则k的值为______．
15.如图，在菱形ABCD中，tanA=43，点M是边AB的中点，点N是边AD上一点，若一条光线从点M射出，先到达点N，再经AD反射后经过点C，则ANND的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：(−2024)0− 12+2tan60°+(−1)−2．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：3−aa−2÷(a+2−5a−2)，其中a=−1．
18.(本小题8分)
为庆祝中国共产党成立100周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史”(党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史)为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表：
请结合上述信息完成下列问题：
(1)m= ______，n= ______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是______度；
(4)若该校共上交书画作品1800份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数．
19.(本小题8分)
第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．
(1)求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11020元，求最多可以购买“妮妮”多少个？
20.(本小题8分)
“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具，在农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用.如图是板车侧面部分的示意图.AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
(1)求证：∠ADC=∠DBC；
(2)若CD=2 2，CB=2，求BD的长．
21.(本小题9分)
请阅读信息，并解决问题：
22.(本小题10分)
【综合与实践】
在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形ABCD进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点．
证明过程如下：连接CH，
∵正方形ABCD沿CE折叠，
∴∠D=∠B=∠CGH=90°，①_____，
又∵CH=CH，
∴△CGH≌△CDH，
∴GH=DH．
由题意可知E是AB的中点，设AB=2a，DH=x，
则AE=BE=EG=a，
在Rt△AEH中，可列方程：②_____，(方程不要求化简)
解得：DH=③_____，即H是AD边的三等分点．
“励志”小组对矩形纸片ABCD进行了如下操作：
第1步：如图2所示，先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，再展开铺平，折痕为BD，沿CE翻折得折痕CE交BD于点G；
第3步：过点G折叠矩形纸片ABCD，使折痕MN//AD．
【过程思考】
(1)“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是
①：______，②：______，③：______；
(2)“励志”小组经过上述操作，认为点M为AB边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展提升】
如图3，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D′，射线ED′与菱形ABCD的边交于点F，请直接写出D′F的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：电梯上行4层楼记为+4，则电梯下行3层楼应记为−3，
故选：A．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.0000084用科学记数法表示为8.4×10−6．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．
4.【答案】C
【解析】解：把数据从小到大排列为35，36，38，39，
所以中位数为36+382=37．
故选：C．
先把数据从小到大排列，再求出中间两个数的平均数即可．
本题考查了中位数，能熟记中位数的定义(把一组数据从小到大或从大到小排列，处于中间位置的一个数或两个数的平均数叫这组数据的中位数)是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a(a−1)=a2−a，故此选项不符合题意；
C、a2÷a2=1，故此选项不符合题意；
D、(3a)2=9a2，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算判断即可．
本题考查了合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质．
根据旋转的性质得出∠CAC′=120°，AC=AC′，再根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△AB′C′，
∴∠CAC′=120°，AC=AC′，
∵点C，B，C′ 共线，
∴∠ACB=∠AC′B=12(180°−∠CAC′)=30°．
7.【答案】A
【解析】解：可列方程：x+27+x5=1．
故选：A．
根据题意设甲乙经过x日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的x5和x+27，进而列出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：延长AB 到点C，如图：
∵AB//MN，
∴∠2+∠CBD=180°，
∴∠CBD=180°−∠2=80°，
∵∠3=130°，
∴∠CBE=∠3−∠CBD=50°
∵AB//PQ，
∴∠1=∠CBE=50°，
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质，延长AB 到点C，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出∠CBD=80°，则∠CBE=50°，再由两直线平行，内错角线段即可得到∠1=∠CBE=50°．
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△ACD中，AC=m，∠ADC=β，
∴CD=ACtanβ=mtanβ，
在Rt△ACB中，∠ABC=α，
∴BC=ACtanα=mtanα，
∴BD=BC−CD=mtanα−mtanβ，
故选：B．
先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接AP，作AE1⊥BC，垂足为E1，交BD于P1，
由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：AP=CP，∠DBC=∠ADB=12∠ABC=30°，
∴P1D=2AP1，P1B=2E1P1，
∴BD=P1D+P1B=2AP1+2E1P1=2AE1，P1B=2E1P1，
由三角形三边关系和垂线段最短知，PE+PC=AP+PE≥AE≥AE1，
即PE+PC有最小值AE1，
菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，
在Rt△ABE1中，∠ABC=60°，
解得AE1=AB×sin60°=6× 32=3 3，BE1=AB×cs60°=6×12=3，
在Rt△AP1E1中，BP1=BE1cs∠DBC=3÷cs30°=2 3，
∵BD=2AE1=6 3，
∴P1D=4 3，
∵H(a,b)是图象上的最低点，
∴b=y=PE+PC=AE1=3 3，
∴a=P1D=4 3，b=3 3，
故选：A．
从图2知，b是y=PE+PC的最小值，从图1作辅助线知b=PE+PC=AP+PE≥AE≥AE1；接下来求出b=AE1=3 3，则求出P1B=2 3，BD=6 3，最后得a=P1D=4 3，
本题考查动点问题的函数图象，掌握菱形的轴对称性质，三角形三边关系及垂线段最短是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：∵2a−b=3，
∴4a−2b+1
=2(2a−b)+1
=2×3+1
=7．
故答案为：7．
将4a−2b+1的前两项提取公因式，再把2a−b=3代入计算即可．
本题考查代数式求值，提取公因式是本题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中两瓶溶液恰好都变蓝的可能性有2种，
∴两瓶溶液恰好都变蓝的概率为：212=16，
故答案为：16．
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
13.【答案】 22
【解析】解：∵∠BOC=2∠A=2×45°=90°，
而OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∴cs∠OCB= 22．
故答案为 22．
先利用圆周角定理得到∠BOC=90°，则可判断△OBC为等腰直角三角形，所以∠OCB=45°，然后利用特殊角的三角函数值得到cs∠OCB的值．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
14.【答案】−4
【解析】解：如图，作BE⊥x轴，垂足为E，CD⊥x轴，垂足为D，连接OC，
∵BC=3AC，S△OAB=10，
∴S△BOC=34×10=152，
由反比例函数k值的几何意义可知：
S△COD=S△BOE=12丨k丨，
设C(m,km)，则B(4m,k4m)，
∵S△BOC=S△COD+S梯形BCDE−S△BOE=S梯形BCDE，
∴12(4m−m)[−(km+k4m)]=152，
解得：k=−4．
故答案为：−4．
作BE⊥x轴，垂足为E，CD⊥x轴，垂足为D，连接OC，由条件可知S△BOC=34×10=152，根据反比例函数k值几何意义可得S△BOC=S△COD+S梯形BCDE−S△BOE=S梯形BCDE，代入数据计算即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
15.【答案】114
【解析】解：作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，
设菱形边长为10个单位长，
∵M为AB中点，
∴AM=5，
∵tanA=43，
∴AE=3，ME=4，
∵AD=10，
∴DE=7，
∵AB//CD，
∴∠CDF=∠A，
∴tan∠CDF=43，
∵CD=10，
∴CD=8，DF=6，
设EN=x，
∴DN=7−x，
∴FN=13−x，
由光的反射定律得，∠MNE=∠CND，
∴△MNE∽△CNF，
∴EN：FN=ME：CF，即x：(13−x)=4：8，
∴x=133，
∴AN=AE+EN=223，DN=7−x=83，
∴AN：DN=114，
故答案为：114．
作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，设菱形边长为10个单位长，设EN=x，利用三角函数表示出EN、FN，求出CF和ME，由光的反射定律得，∠MNE=∠CND，证明△MNE∽△CNF，利用相似比求出x即可．
本题考查了解直角三角形，菱形的性质及光的反射定理是本题的解题关键．
16.【答案】解：(−2024)0− 12+2tan60°+(−1)−2
=1−2 3+2 3+1
=2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−(a−3)a−2÷(a2−4a−2−5a−2)
=−(a−3)a−2÷(a+3)(a−3)a−2
=−(a−3)a−2⋅a−2(a+3)(a−3)
=−1a+3，
当a=−1时，
原式=−1−1+3
=−12．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
18.【答案】(1)0.4，0.3
(2)
(3) 144
(4)估计以“党史”为主题的作品份数为1800×0.12=216(份)．
【解析】解：(1)m=20÷50=0.4，n=1−(0.12+0.4+0.18)=0.3，
故答案为：0.4，0.3；
(2)C主题数量为50×0.18=9，D主题数量为50×0.3=15，
补全图形如下：
(3)在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是360°×0.4=144°，
故答案为：144；
(4)见答案．
(1)根据频率=频数÷总数量可得m的值，由频率之和为1可得n的值；
(2)用C、D主题对应的频率乘以总数量可得其数量，从而补全图形；
(3)用360°乘以对应频率即可；
(4)用总数量乘以样本中以“党史”为主题的作品份数对应的频率即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19.【答案】解：(1)设购买一个“滨滨”需要x元，一个“妮妮”需要(x+40)元，
根据题意得：6400x=4800x+40×2，
解得：x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+40=80+40=120(元)．
答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元；
(2)设购买m个“妮妮”，则购买(100−m)个“滨滨”，
根据题意得：80(100−m)+120m≤11020，
解得：m≤1512，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为75．
答：最多可以购买“妮妮”75个．
【解析】(1)设购买一个“滨滨”需要x元，一个“妮妮”需要(x+40)元，利用数量=总价÷单价，结合用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买一个“滨滨”所需费用，再将其代入(x+40)中，即可求出购买一个“妮妮”所需费用；
(2)设购买m个“妮妮”，则购买(100−m)个“滨滨”，利用总价=单价×数量，结合总价不超过11020元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】(1)证明：如图2，连接OD，则OD=OB，
∵AB是⊙O的直径，
∴ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°
∵CD与⊙O相切于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵∠OBD=∠ODB，
∴∠A=∠CDB，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CDB，
∴∠ADC=∠DBC．
(2)解：∵△CAD∽△CDB，CD=2 2，CB=2，
∴DABD=CACD=CDCB=2 22= 2，
∴DA= 2BD，CA= 2CD= 2×2 2=4，
∴AB=CA−CB=4−2=2，
∵DA2+BD2=AB2，
∴( 2BD)2+BD2=22，
解得BD=2 33或BD=−2 33(不符合题意，舍去)，
∴BD的长是2 33．
【解析】(1)连接OD，由AB是⊙O的直径，得ADB=90°，则∠A+∠OBD=90°，由切线的性质得∠ODC=90°，则∠CDB+∠ODB=90°，而∠OBD=∠ODB，所以∠A=∠CDB，即可证明△CAD∽△CDB，得∠ADC=∠DBC；
(2)由相似三角形的性质得DABD=CACD=CDCB= 2，则DA= 2BD，CA= 2CD=4，所以AB=CA−CB=2，由勾股定理得( 2BD)2+BD2=22，求得BD=2 33．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等腰三角形的性质、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：任务1：
如图，以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点H为原点，
由题意得，O(0,25)，CH=120÷2−20=40，
则点C的坐标为(−40,0)，
令抛物线的解析式为y=ax2+25，
将点C(−40,0)代入y=ax2+25中得，
1600a2+25=0(a≠0)，
解得：a=−164，
则抛物线的解析式为y=−164x2+25．
任务2：∵EF=9(米)，
∴将y=9代入y=−164x2+25得，
x1=−32，x2=32(舍)，
∴EH=32(米)，
∴CE=40−32=8(米)，m=32÷8=4(米)，
∴琴弦EF与拱端C的水平距离CE为8米，m的值为4米．
任务3：将y=17代入y=−164x2+25得，
x1=−16 2，x2=16 2(舍)，
∵−24<−16 2<−20，
∴该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间．
【解析】任务1：以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点H为原点，令抛物线的解析式为y=ax2+25，将点C(−40,0)代入y=ax2+25中即可得出答案；
任务2：将y=9代入y=−164x2+25即可得出EH的长度，再根据线段的和差即可得出CE的长度，进而求出m的值；
任务3：将y=17代入y=−164x2+25出x的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键．
22.【答案】CG=CB=CD (2a−x)2+a2=(x+a)2 23a
【解析】解：(1)根据证明过程得：①CG=CB=CD，
②在Rt△AEH中，由勾股定理得AH2+AE2=EH2，即(2a−x)2+a2=(x+a)2，
③解方程得x=23a，即DH=23a，
故答案为：①CG=CB=CD，②(2a−x)2+a2=(x+a)2，③23a，
(2)结论正确；
理由：∵先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF，
∴E、F分别是AB.CD的中点，
∴BE=12AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴BGDG=BECD=BEAB=12，
∴BGBD=13，
∵MN//AD，
∴BMAB=BGBD=13，
∴点M为AB边的三等分点；
【拓展提升】如图，设AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，AC⊥BD，AB=AD=CD=BC，∠ADB=∠ABD=∠DBC，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2= 42+32=5，
∴AD=AB=5，
分两种情况：①当BE=13BD=2时，则DE=4，
如图，连接AD′，AE，D′E，D′E与AB交于点F，过点A作AG⊥D′E于点G，
由对称性可知，D′E=DE=4，AD′=AD=5，∠AD′E=∠ADB=∠ABD，∠AED=∠AEF，
∵∠AD′F=∠EBF，∠AFD′=∠BFE，
∴△AFD′∽△EFB，
∴EFAF=BEAD′=25，
设EF=2x，则AF=5x，
在△AEO和△AEG中，
∠AOE=∠AGE=90°∠AEO=∠AEGAE=AE，
∴△AEO≌△AEG(AAS)，
∴OE=EG=1，
∴GF=2x−1，AG=AO=4，
在△AGF中，AF2=AG2+GF2，
即(5x)2=42+(2x−1)2，
解得：x1=−1(舍)，x2=1721，
∴EF=2x=3421，
∴D′F=D′E−EF=4−3421=5021；
②当DE=13BD=2时，连接AD′，AE，AD′与BD交点G，延长ED′交BC于F，
由对称性可知，D′E=DE=2，∠AD′E=∠ADB=∠ABD，∠EGD′=∠AGB，
∴△EGD′∽△AGB，
∴AGEG=ABD′E=52，
设EG=2x，则AG=5x，即OG=2x−1，
在△AGO中，AG2=OA2+OG2，
即(5x)2=42+(2x−1)2，
解得：x1=−1(舍去)，x2=1721，
∴EG=2x=3421，
∵∠ED′A=∠DBC=∠ADB，∠GED′=∠FEG，
∴△EGD′∽△EFB，
∴EFEG=EBD′E．
∴EF=EG⋅EBD′E=6821，
∴D′F=EF−D′E=6821−2=2621．
综上，D′F的长为5021或2621．
(1)运用全等三角形的性质及勾股定理即可得出答案；
(2)根据两个三角形相似以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果；
【拓展提升】根据E是BD上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．
本题考查了正方形的性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称变换的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．主题
频数
频率
A党史
6
0.12
B新中国史
20
m
C改革开放史
0.18
D社会主义发展史
n
合计
50
1
问题
琴桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息
宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”.琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆(俗称“琴弦”)琴桥全长120米，拱高25米．
处理信息
如图是琴桥的主视图，A，B分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC=BD.一根琴弦固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8根.记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，…OH为第9根，…
测量数据
测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF高9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m米．
解决问题
任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值．
任务3：若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17m的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
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