2024年山东省潍坊市寿光市中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省潍坊市寿光市中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算中正确的是( )
A. 3a2+a=3a3B. (a−b)2=a2−b2
C. a4b÷a2=a2D. (ab2)2=a2b4
2.榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是( )
A. B. C. D.
3.将一把含30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边BF过点B)，若∠ADE=54°，则∠FBC的度数是( )
A. 20°
B. 24°
C. 32°
D. 40°
4.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是( )
A. x>0.2
B. 0C. 0D. x>2
5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(12,8)，D(6,4)，E(2,3)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是( )
A. (4,5)
B. (4,6)
C. (5,6)
D. (5,5)
6.在同一直角坐标系中，一次函数y1=12x+2，y2=kx+b(k<0)的图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A. y2随x的增大而减小
B. b>3
C. 当0D. 方程组x−2y=−4kx−y=−b的解为x=2y=3
7.一元二次方程x2−3x+2=0的两根为x1和x2，则下列结论正确的是( )
A. x1+x2=−3B. x1x2=2C. |x1−x2|=1D. x12+x22=7
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如表：
则下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x=−32B. 开口向上
C. 抛物线与坐标轴有3个交点D. 当x>−2时，y随x的增大而减小
9.如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，O都在格点上，AC与小正方形的边交于点D，则下列说法正确的是( )
A. △ABC为直角三角形
B. 连接BD，则点O在BD上
C. 点O为△ABC的外心
D. cs∠BAC=45
10.在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示.(温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力=G重力，当石块入水后，F拉力=C重力−F浮力.)则以下说法正确的是( )
A. 当石块下降3cm时，此时石块在水里
B. 当6≤x≤10时，F拉力(N)与x(cm)之间的函数表达式为F拉力=38x+254
C. 石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D. 当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底223cm
二、非选择题（共106分）
11.分解因式：a3−9a= ．
12.如图，△ABC的边AC为⊙O的直径.以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边AB，AC于点D，E.再分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点F，射线AF与⊙O交于点P.点M为ACP上一点，连接AM，PM.若∠BAC=54°，则∠M的度数为______．
13.对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x−[x].如[3.14]=3，{3.14}=0.14.若a=[3− 2]，b={3− 2}，则代数式(a+ 2)b= ______.(要求答案为具体的数值)
14.如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是6cm的正六边形，侧棱长8cm，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕n圈到达点B，则丝线长最短需要______cm．
15.(1)计算： 27+(−2cs60°)2024−(12)−2−|3+2 3|；
(2)先化简，再求值2xx+1−2x−4x2−1÷x−2x2−2x+1，其中x为方程x2+x−2=0的根．
16.某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A.很好；B.较好；C.一般；D.不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

(1)此次调查的总人数为多少人；
(2)条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整；
(3)该校九年级共有学生1200名，请你估计“达标”的共有多少人；
(4)为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
17.已知梯形ABCD中，AD//BC，点E，点F分别为AB，CD的中点．
(1)请直接写出EF与AD，BC之间的位置关系和数量关系；
(2)请证明(1)的结论．
18.图1是小亮同学安装的化学实验装置，试管略向下倾斜，试管夹固定在距试管口的三分之一处.图2是图1抽象出的几何模型，且所有点都在同一平面内.已知AB=30cm，BE=13AB，AC⊥CF，DE⊥CF，试管AB倾斜角α为10°．
(1)求AC与DE之间的水平距离CD的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE=21.7cm，MN=8cm，∠ABM=145°，求线段DN的长度.(参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18)
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE=BC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CD=2，BC=4，求AF的长．
20.数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
【实验过程】如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位：s)、运动速度v(单位：cm/s)、滑行距离y(单位：cm)的数据．
记录的数据如下：
【问题解决】
(1)根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型(一次函数、反比例函数、二次函数)中，选择适当的函数模型，分别求出v，y满足的函数关系式；(不用写出自变量的取值范围)
(2)当小球在水平木板停下来时，求小球的滑行距离．
21.如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，连接DF、DG．
(1)如图2，点E落在对角线BD上，AD与EF相交于点H，
①连接AF，求证：四边形ABDF是平行四边形；
②求线段AH的长度；
(2)在矩形AEFG绕点A旋转一周的过程中，△DFG面积的最大值为______．
22.某兴趣小组开展综合实放活动：在正方形ABCD中，BC=4，动点P以每秒1个单位的速度从B点出发匀速运动，到达点C时停止，作AP的垂线PM交CD于点M，连接AM，设点P的运动时间为t s，Rt△ADM的面积为S，探究S与t的关系．
(1)如图1，当点P由B点向C点运动时，①当t=3s时，CM= ______，S= ______；
②经探究发现S是关于t的函数，请写出S关于t的关系式；
(2)若存在两个时刻t1，t2(t1答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：3a2与a不能合并，故选项A不符合题意；
(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项B不符合题意；
a4b÷a2=a2b，故选项C不符合题意；
(ab2)2=a2b4，故选项D符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：该几何体的主视图是：
故选：B．
根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3.【答案】B
【解析】解：∵DE//BF，
∴∠BFD=∠ADE=54°，
∵∠C=30°，
∴∠FBC=∠BFD−∠C=24°．
故选：B．
由平行线的性质推出∠BFD=∠ADE=54°，由三角形外角的性质求出∠FBC=∠BFD−∠C=24°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BFD=∠ADE=54°，由三角形外角的性质即可求出的度数∠FBC．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，
设y=kx，
∵点(0.4,250)在此函数的图象上，
∴k=0.4×250=100，
∴y=100x(x>0)，
∵y<500，
∴<500，
∵x>0，
∴500x>100，
∴x>0.2，
即镜片焦距x的取值范围是x>0.2．
故选：A．
由于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，可设y=kx，把点(0.4,250)代入求得k的值，得到反比例函数解析式，根据题意列出不等式，解不等式即可求出焦距x的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解答问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，A(12,8)，D(6,4)，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵点E的坐标为(2,3)，
∴B点的坐标为(2×2,3×2)，即(4,6)，
故选：B．
根据点A、D的坐标求出△ABC与△DEF的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，根据点A、D的坐标求出△ABC与△DEF的相似比是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.由图象得y2随x的增大而减小，故A不符合题意；
B.由图象得：b>3，故B不符合题意；
C.把(m,3)代入y1=12x+2，得3=12m+2，
解得m=2，
当y=0时，即0=12x+2，
解得x=−4，
∴直线y1=12x+2与y2=kx+b的交点坐标为(2,3)，与x轴的交点坐标为(−4,0)，
∴当0D.由图象得：方程组x−2y=−4kx−y=−b的解为x=2y=3，故D不符合题意；
故选：C．
根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
7.【答案】BC
【解析】解：∵方程x2−3x+2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=2，故A选项不符合题意，B选项符合题意；
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=9−4=5，故D选项不符合题意；
(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=5−4=1，
∴|x1−x2|=1，故C选项符合题意．
故选：BC．
利用根与系数的关系可得出：x1+x2=3，x1⋅x2=2，进一步求得代数式的值判断即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=3，x1⋅x2=2.解题的关键是根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
8.【答案】AC
【解析】解：
∵抛物线过点(−2,2)、(−1,2)，
∴抛物线对称轴为x=−32，
故选项A正确；
根据表格可知抛物线开口向下，
故选项B不正确；
由图象可知抛物线与坐标轴有3个交点，故选项C正确；
∴当x<−23时，y随x的增大而增大，当x>−23时，y随x的增大而减小，
故选项D错误．
由图象可知抛物线与坐标轴有3个交点，故选项C正确；
故选AC．
根据表格抛物线过点(−2,2)、(−1,2)，可知抛物线对称轴为x=−32，再根据二次函数图象与性质即可解答．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
9.【答案】BD
【解析】解：∵AC2=32+42=25，BC2=32+12=10，AB2=36，
∴25+10≠36，
∴AC2+BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形，故A不符合题意；
∵AD=CD，
∴BD是△ABC的中线，
∵OC=OB= 22+12= 5，CD= 22+(32)2=52，OD= 12+(12)2= 52，
∴OC2+OB2=BC2，CD2=OC2+OD2，OA= 12+32= 10，
∴∠BOC=∠COD=90°，
∴∠BOD=180°，
∴OC=OB≠OA，
∴点O在BD上，点O不是△ABC的外心，故B，C不符合题意，
∵AC=5，
∴cs∠BAC=45，故D符合题意，
故选：BD．
根据勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外心的性质以及三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、由图得，当石块下降3cm时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意；
B、设F=kx+b，代入(6,4)(10,2.5)，得F=−38x+254，故B不符合题意；
C、将x=8代入F=−38x+254，得F=134，4−134=34，故C不符合题意；
D、将F=3代入F=−38x+254，得x=263，16−263=223，故D符合题意；
故选：D．
观察图象，解出6≤x10的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题．
本题考查了函数图象的应用，对物理常识的掌握及数形结合的思想是解题关键．
11.【答案】a(a+3)(a−3)
【解析】【分析】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．先提出公因式a，再运用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：a3−9a=a(a2−32)=a(a+3)(a−3)．
故答案为a(a+3)(a−3)．
12.【答案】63°
【解析】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠APC=90°，
由题意得：AP平分∠CAB，
∴∠CAP=12∠CAB=27°，
∴∠C=90°−∠CAP=63°，
∴∠M=∠C=63°，
故答案为：63°．
先根据直径所对的圆周角是直角可得∠APC=90°，再根据题意可得：AP平分∠CAB，从而可得∠CAP=12∠CAB=27°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C=63°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠M=∠C=63°，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，圆周角定理，作图−基本作图，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】 2
【解析】解：∵1< 2<2，
∴1<3− 2<2，
∴a=[3− 2]=1，b={3− 2}=3− 2−1=2− 2，
∴(a+ 2)b=(1+ 2)(2− 2)=2+2 2− 2−2= 2．
故答案为： 2．
首先估算1<3− 2<2，进而根据题目中的规定得a=[3− 2]=1，b={3− 2}=3− 2−1=2− 2，然后将a，b代入代数式(a+ 2)b之中进行计算即可得出答案．
此题主要考查了无理数大小的估算，实数的运算，熟练掌握无理数大小的估算，及实数的运算是解决问题的关键．
14.【答案】4 4+9n2
【解析】解：将直棱柱展开，连接AB．
从点A开始经过6个侧面缠绕n圈到达点B，相当于两条直角边分别是36n和8，
根据两点之间线段最短，则AB= 82+(36n)2=4 4+9n2(cm)．
故答案为：4 4+9n2cm．
要求直棱柱中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将直棱柱展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．
本题主要考查平面展开−最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是8n和6，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答．
15.【答案】解：(1)原式=3 3+(−2×12)2024−4−(3+2 3)
=3 3+(−1)2024−4−3−2 3
=3 3+1−4−3−2 3
= 3−6；
(2)原式=2xx+1−2(x−2)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x−2
=2xx+1−2(x−1)x+1
=2x−2x+2x+1
=2x+1，
解方程x2+x−2=0得x1=1，x2=−2，
∵x−1≠0且x+1≠0且x−2≠0，
∴x=−2，
当x=−2时，原式=2−2+1=−2．
【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值的意义计算，再进行乘方运算，然后把 27化简后合并即可；
(2)先把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分，接着进行同分母的减法运算得到原式=2x+1，然后解方程得到x=1或x=−2，最后根据分式有意义的条件把x=−2代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了实数的运算．
16.【答案】解：(1)(1+2)÷15%=20(人)，
答：此次调查的总人数为20人；
(2)C组的人数为：20×25%=5(人)，
∴C组女生人数为：5−2=3(人)，
∴D组人数为：20×(1−50%−25%−15%)=2(人)，
∴D组男生人数为：2−1=1(人)，
补全统计图如下：

(3)1200×(15%+50%+25%)=1080(人)；
答：估计“达标”的共有1080人；
(4)画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种．
所以P(所选两位同学恰好是相同性别)=36=12．
【解析】(1)由A等级的人数除以所占百分比即可；
(2)用总人数分别乘以“一般”和“不达标”所占的百分比求出C、D类的男女生人数和，再求出C等级的女生和D等级的男生，然后补全统计图即可；
(3)用总人数乘以达标的人数所占的百分比即可；
(4)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】(1)解：EF/​/AD/​/BC，EF=12(AD+BC)；
(2)证明：连接AF并延长交BC的延长线于G，
∵AD/​/BC，
∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，
在△ADF与△GCF中，
∠D=∠FCGDF=CF∠DAF=∠G，
∴△ADF≌△GCF(SSA)，
∴AF=FG，AD=CG，
∵AE=BE，
∴EF为△ABG的中位线．
∴EF=12BG，EF/​/BG，
∴EF/​/AD/​/BC，
∴EF=12(AD+BC)．
【解析】(1)根据题意得到EF/​/AD/​/BC，EF=12(AD+BC)；
(2)连接AF并延长交BC的延长线于G，根据平行线的性质得到∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，根据全等三角形的性质得到AF=FG，AD=CG，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了梯形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)过点E作EG⊥AC，垂足为G，

由题意得：EG=CD，
∵AB=30cm，BE=13AB，
∴BE=13×30=10(cm)，
∴AE=AB−BE=20(cm)，
在Rt△AEG中，∠AEG=10°，
∴EG=AE⋅cs10°≈20×0.98=19.6(cm)，
∴EG=CD=19.6cm，
∴AC与DE之间的水平距离CD的长度约为19.6cm；
(2)过点B作BH⊥DN，垂足为H，过点B作BP⊥DE，垂足为P，过点M作MQ⊥BH，垂足为Q，

由题意得：DP=BH，QM=HN，∠PBH=90°，MN=QH=8cm，∠ABP=10°，
在Rt△EBP中，BE=10cm，
∴EP=BE⋅sin10°≈10×0.17=1.7(cm)，
BP=BE⋅cs10°≈10×0.98=9.8(cm)，
∵DE=21.7cm，
∴DP=BH=DE−EP=21.7−1.7=20(cm)，
∴BQ=BH−QH=20−8=12(cm)，
∵∠ABM=145°，
∴∠MBQ=∠ABM−∠ABP−∠PBH=45°，
在Rt△BQM中，QM=BQ⋅tan45°=12(cm)，
∴HN=QM=12(cm)，
∴DN=DH+HN=BP+HN=9.8+12=21.8(cm)，
∴线段DN的长度约为21.8cm．
【解析】(1)过点E作EG⊥AC，垂足为G，根据题意可得：EG=CD，BE=13AB=10cm，从而可得AE=20cm，然后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，进行计算即可解答；
(2)过点B作BH⊥DN，垂足为H，过点B作BP⊥DE，垂足为P，过点M作MQ⊥BH，垂足为Q，根据题意可得：DP=BH，QM=HN，∠PBH=90°，MN=QH=8cm，∠ABP=10°，然后在Rt△EBP中，利用锐角三角函数的定义求出EP和BP的长，从而求出DP的长，进而求出BQ的长，再利用角的和差关系可得∠MBQ=45°，最后在Rt△BQM中，利用锐角三角函数的定义求出QM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接OE，则OE=OD，
∴∠OED=∠ODE=∠BDC，
∵CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE=90°，
∵OE是⊙O的半径，且CE⊥OE，
∴CE是⊙O的切线．
(2)解：连接DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，
∵CD=2，
∴OC=OD+2，
∵OE2+CE2=OC2，且OE=OD，CE=BC=4，
∴OD2+42=(OD+2)2，
解得OD=3，
∴AD=2×3=6，AC=2×3+2=8，
∴AB= AC2+BC2= 82+42=4 5，
∵AFAD=ACAB=csA，
∴AF=AC⋅ADAB=8×64 5=12 55，
∴AF的长是12 55．
【解析】(1)连接OE，则∠OED=∠ODE=∠BDC，由CE=BC，得∠CEB=∠CBE，而∠ACB=90°，所以∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE=90°，即可证明CE是⊙O的切线；
(2)连接DF，由勾股定理得OD2+42=(OD+2)2，求得OD=3，所以AD=6，AC=8，求得AB= AC2+BC2=4 5，由AFAD=ACAB=csA，得AF=AC⋅ADAB=12 55．
此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由表格数据可知：v与x的函数关系为一次函数关系，
∴设v=kx+c，代入(0,10)，(2,9)，
得：c=102k+c=9，
解得：k=−12c=10
∴v与x的函数关系式为v=−12x+10；
由表格数据可知：y与x的函数关系为二次函数关系，
设y=ax2+bx，代入(2,19)，(4,36)，
得：4a+2b=1916a+4b=36，
解得：a=−14b=10，
∴y与x的函数关系式为y=−14x2+10x；
(3)当v=−12x+10=0时；
解得：x=20，
将x=20代入y=−14x2+10x，
得：y=−14×202+10×20=100．
∴当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离100cm．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)令v=0，求得小球停下来的时间，再将x=20代入y与x的函数关系式解答即可．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】12
【解析】(1)①证明：如图，
∵四边形形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵旋转，
∴AE=AB，EF=BC=AD，∠1=∠ABC=∠BAD=90°，
在△ABD和△EAF中，
AB=AE∠BAD=∠1AD=EF，
∴△ABD≌△EAF(SAS)，
∴∠2=∠EAF，BD=AF，
∵AB=AE，
∴∠3=∠2=∠EAF，
∴AF/​/BD，
又∵AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
②解：设HD=x，则AH=4−x，
∵▱ABDF，
∴AB/​/DF，AB=DF，
∴∠ADF=∠BAD=90°，
又∵∠1=90°，
∴∠ADF=∠1，
∵AE=AB，AB=DF，
∴AE=DF，
在△AEH和△FDH中，
∠AHE=∠FHD∠1=∠HDFAE=FD，
∴△AEH≌△FDH(SAS)，
∴HE=HD=x，
∵∠1=90°，
∴EA2+EH2=AH2，
又∵AH=4−x，EA=AB=3，EH=x，
∴32+x2=(4−x)2，
∴x=78，
∴AH=4−x=258．
(2)解：∵将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，
∴旋转过程中，GF是定值，
当D，A，G三点共时，三角形DFG的面积最大，如图，
此时DG=8，
∴S△DFG=12FG⋅DG=12×3×8=12，
故答案为：12．
(1)①证明△ABD≌△EAF(SAS)，得出∠2=∠EAF，BD=AF，由平行四边形的判定可得出结论；
②证明△AEH≌△FDH(SAS)，得出HE=HD=x，由勾股定理可得出答案；
(2)由旋转的性质画出图形，由三角形面积可求出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】34 132
【解析】解：(1)①当t=3时，BP=3，CP=4−3=1，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AD=CD=4，
∵AP⊥PM，
∴∠APB+∠CPM=∠PMC+∠CPM=90°，
∴∠APB=∠PMC，
∴△ABP∽△PCM，
∴PCAB=CMBP，
∴14=CM3，
∴CM=34，则DM=134，
∴Rt△ADM的面积S=12AD⋅DM=12×4×134=132，
故答案为：34，132；
②当点P由点B运动到点C时，BP=t，
∵△ABP∽△PCM，
∴PCAB=CMBP，即4−t4=CMt，
∴CM=4t−t24，
∴DM=4−CM=t2−4t+164，
∴Rt△ADM的面积S=12AD⋅DM=12×4×t2−4t+164=12t2−2t+8(0≤t≤4)；
(2)∵S=12t2−2t+8，
∴t1+t2=−−22×12×2=4．
(1)①证明△ABP∽△PCM，可得CM=34，则DM=134，利用三角形的面积公式即可求解；
②由题意得PC=4−t，根据相似三角形的性质可得CM=4t−t24，则DM=4−CM=t2−4t+164，利用三角形的面积公式即可求解；
(2)由二次函数的性质可得t1+t2=−b2a×2，可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
−3
2
2
−3
−13
…
运动时间x/s
0
2
4
6
8
10
…
运动速度v/(cm/s)
10
9
8
7
6
5
…
滑行距离y/cm
0
19
36
51
64
75
…