八年级数学下册专题01二次根式压轴(四大类型)(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题01二次根式压轴(四大类型)(原卷版+解析)，共23页。


本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
【类型一】利用数轴化简根式】
【类型二】含字母的二次根式化简 (注意范围)】
【类型三】双重二次根式化简
【类型四】二次根式有意义的条件
【类型一：利用数轴化简根式 】
【典例1】已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．
【变式1-1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简：，得（ ）
A．﹣3aB．﹣a+2bC．﹣2aD．a﹣b
【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：．
【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|．
【变式1-4】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．
【类型二：含字母的二次根式化简 (注意范围) 】
【典例2】化简﹣x的结果是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．﹣
【变式2-1】已知a＞b，则的化简结果是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【变式2-2】化简的结果正确的是（ ）
A．2m2B．﹣2m2C．﹣2m2﹣D．2m2
【变式2-3】化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2aB．﹣2aC．0D．2a
【变式2-4】化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【类型三：双重二次根式化简 】
【典例3】材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．
例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：；
（3）计算：+．
【变式3-1】阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
+2×1×＝（1+）2．
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将7+2化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简；．
【变式探究】
（3）若a+2＝，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．
问题：
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
【类型四：二次根式有意义的条件】
【典例4】已知x，y为实数，y＝，求xy的平方根．
【变式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．
【变式4-2】已知+2＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．
1．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
2．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ．
3．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．
4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．
5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；
（3）化简：．
6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn＝，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1）；
（2）．
7．x、y均为实数y＜++，化简：．
8．若＝•，求（x+1）的值．
9．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b），例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，
∴＝＝＝2+．
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
10．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣．
11．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简+﹣．
专题01二次根式化简常考压轴（四大类型）
专题分析

本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
【类型一】利用数轴化简根式】
【类型二】含字母的二次根式化简 (注意范围)】
【类型三】双重二次根式化简
【类型四】二次根式有意义的条件
【类型一：利用数轴化简根式 】
【典例1】已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．
【答案】a﹣2c．
【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴
＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
【变式1-1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简：，得（ ）
A．﹣3aB．﹣a+2bC．﹣2aD．a﹣b
【答案】A
【解答】解：由题意得：b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣a
＝﹣a﹣b﹣a+b﹣a
＝﹣3a．
故选：A．
【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：．
【答案】﹣c．
【解答】解：由数轴可知，
c＜b＜0＜a，且|c|＞|b|＞|a|，
原式＝（﹣b）﹣（a﹣b）+a﹣c＝﹣b﹣a+b+a﹣c＝﹣c．
【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＜﹣1，b＞1，a＜b
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2
【变式1-4】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由数轴可得：
a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
【类型二：含字母的二次根式化简 (注意范围) 】
【典例2】化简﹣x的结果是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．﹣
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣x
＝﹣x•
＝﹣x•
＝，
故选：A．
【变式2-1】已知a＞b，则的化简结果是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【答案】D
【解答】解：由题意得：≥0，
∵a＞b，
∴（b﹣a）2＞0，
∴a＜0．
∴原式＝×＝×
＝
＝
＝﹣．
故选：D．
【变式2-2】化简的结果正确的是（ ）
A．2m2B．﹣2m2C．﹣2m2﹣D．2m2
【答案】D
【解答】解：∵﹣4m2n≥0，而m2≥0，
∴n≤0，
∴＝|2m2|＝2m2，
故选：D．
【变式2-3】化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2aB．﹣2aC．0D．2a
【答案】C
【解答】解：﹣a
＝﹣a﹣a2•
＝﹣a+a
＝0．
故选：C．
【变式2-4】化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，
∴x＜0，
∴原式＝
＝•|x|
＝•（﹣x）
＝﹣．
故选：D．
【类型三：双重二次根式化简 】
【典例3】材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．
例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：＝ ± ，＝ ± ；
（2）化简：；
（3）计算：+．
【答案】（1）±，±；
（2）±；
（3）或．
【解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，
故答案为：±，±；
（2）＝＝＝±；
（3）+
＝+
＝+
＝﹣++
＝，
同理可得+＝．
【变式3-1】阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
【答案】（1）m2+3n2，2mn；
（2）a＝13或a＝7；
（3）1+2．
【解答】解：（1）＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
古答案为：m2+3n2，2mn；
（2），
由（1）可知a＝m2+3n2，4＝2mn，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或a＝7；
（3）
＝
＝1+2．
【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
+2×1×＝（1+）2．
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将7+2化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简；．
【变式探究】
（3）若a+2＝，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）（）2；
（2）3﹣；
（3）a＝10或22．
【解答】解：（1）7+2
＝（2+5）+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2；
（2）
＝
＝
＝3﹣；
（3）∵a+2＝，a，m，n均为正整数，
∴a+2＝（）2，a+2××1＝（）2，
∴m＝3，n＝7或m＝21，n＝1，
∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．
【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．
问题：
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
原式＝
＝
＝；
故答案为：；；
（2）原式＝
＝
＝；
（3）原式＝++++
＝1++2﹣+﹣2+
＝﹣1．
【类型四：二次根式有意义的条件】
【典例4】已知x，y为实数，y＝，求xy的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，得
，≥0，且x﹣2≠0
解得x＝﹣2，y＝﹣
xy＝，
xy的平方根是
【变式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，1﹣3x≥0，
解得，x＝，
则y＝3，
＝2，
则的平方根是±．
【变式4-2】已知+2＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意知a﹣17≥0，17﹣a≥0，
则a﹣17＝0，
解得：a＝17；
（2）由（1）可知a＝17，
则b+8＝0，
解得：b＝﹣8，
故a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则a2﹣b2的平方根为：±＝±15．
【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x﹣2016≥0，
解得，x≥2016，
则x﹣2015+＝x，
∴＝2015，
解得x＝20152+2016，
则x﹣20152＝2016．
1．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
【答案】C
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C
2．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣
3．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ 2018 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+＝m．
化简，得＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a﹣c＜0，
则原式＝|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|＝﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c＝﹣a．
5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝ c2+3d2 ，b＝ 2cd ；
（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；
（3）化简：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵，
∴a＝c2+3d2，b＝2cd．
故答案为：c2+3d2，2cd．
（2）∵，
∴．
（3）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn＝，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）+1；
（2）﹣2．
【解答】解：（1）∵4+2＝（）2+12+2××1＝（+1）2，
∴＝＝|+1|＝+1，
（2）∵9﹣4＝（）2+22﹣2××2＝（﹣2）2，
∴＝＝|﹣2|＝﹣2．
7．x、y均为实数y＜++，化简：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，
解得x≥1且x≤1，
所以，x＝1，
y＜，
所以，＝＝﹣1．
8．若＝•，求（x+1）的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝•，
∴99﹣x≥0，x﹣99≥0，
解得：x＝99，
则原式＝（x+1）＝＝＝10．
9．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b），例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，
∴＝＝＝2+．
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）﹣；
（2）﹣；
（3）．
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝＝﹣；
（3）＝＝．
10．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由数轴可知a＜b＜0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∵＞0，
∴﹣a＞0、b﹣＜0，
则原式＝|a|﹣（a+b）+﹣a﹣|b﹣|
＝﹣a﹣a﹣b+﹣a+（b﹣）
＝﹣3a﹣b++b﹣
＝﹣3a．
11．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简+﹣．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0
∴
＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|
＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）+（c﹣a﹣b）
＝a+b+c+b+c﹣a+c﹣a﹣b
＝﹣a+b+3c