河南省郑州市第十一初级中学2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题

这是一份河南省郑州市第十一初级中学2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）．在试题卷上作答无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）试卷源自 每日更新，会员下载免费且不限量。A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】∵
∴A．，原式错误，不符合题意；
∴B．，原式正确，符合题意；
∴C．，原式错误，不符合题意；
∴D．，原式错误，不符合题意；
故选：B．
3. 下列式子中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中，为整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键．
根据分式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是分式，故本选项不符合题意；
B、不是分式，故本选项不符合题意；
C、是分式，故本选项符合题意；
D、不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反证法的应用，熟练掌握反证法的意义及步骤是解题的关键．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行判断作答即可．
【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则，
∴首先应该假设．
故选：B．
5. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．的右边必是积的形式，不符合题意；
C．的右边不是整式，不符合题意；
D．，符合题意；
故选D．
6. 某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据利润等于售价减进价，以及利润率不低于，列出不等式即可．
【详解】解：将该商品打x折销售，根据题意可得：
．
故选：D
【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用．解题的关键是找准数量关系，正确的列出不等式．
7. 如图，在中， 点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则的度数为( )
A. 125°B. 135°C. 55°D. 35°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的性质得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= ×(∠ABC+∠ACB)=55°，
∴∠BOC=180°−55°=125°，
故选A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A. 10B. 20C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，证明是等边三角形，得出，从而得出，证明是等边三角形，得出，根据勾股定理，结合含角的直角三角形性质，求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形性质，解题的关键是证明是等边三角形，求出的长．
9. 直线与直线在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将不等式变形为，再利用函数图像解决即可．
【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为，
∵，
∴，
∴，即直线在直线的上方，
∵当时，直线在直线的上方，
∴解集为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
10. 一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【详解】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM=90°．
∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，
∴∠AFM=∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，
∴∠A=∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF=NF．
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA=MF=MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△AMF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当MF最小时，FN也最小；
即当DF⊥AC时，MF最小，此时FN=AC=2．
∴MN=MF=；
当△CMN面积最大时，此时△MNF的面积最小．
此时S△CMN=S四边形CFMN-S△FMN=S△AFC-S△DEF=4-2=2，
故⑤正确．
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 计算： = ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】按照分式乘法运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键．
12. 小明、小林和小华三人在一起讨论一个一元一次不等式组：
小明：它的所有解都为非负数；
小林：其中一个不等式的解集为；
小华：其中有一个不等式在求解过程中需要改变不等号的方向．
请你写出一个同时符合上述个条件的不等式组：_______________________．
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解的概念和不等式的基本性质求解可得．
【详解】解：符合上述3个条件的不等式组可以是（不唯一）,
故答案为：.
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解的概念和不等式的基本性质．
13. 如图，把三角形ABC沿着BC的方向平移到三角形DEF的位置．若BC＝5cm，EC＝3cm，则三角形ABC移动的距离是__________cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平移的定义，即可得出BE是平移的距离，计算出来即可．
【详解】把三角形ABC沿着BC的方向平移到三角形DEF的位置，平移的方向是BC方向，平移的距离是BE的长度，
∵BC＝5cm，EC＝3cm，
∴BE=BC-EC=5-3=2cm．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平移的定义，平移的两要素，从题目中分析得出BE的长度是平移的距离是本题的关键．
14. 如图，中，D是的中点，交于，则_______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长．
【详解】解：连接，过作于，
∵是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：10．
15. 如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，在点D运动过程中，的最小值______．
【答案】
【解析】
【分析】以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的最小值是．
【详解】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图：

，，，，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴最小即是最小，
∴当时，最小，此时，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质．
三、解答题（共55分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原式提公因式后，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查提公因式法和公式法因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
17. 下面是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
（1）第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：_________________
（2）第三步出错的原因是：______________________________；
（3）请从第三步开始，写出正确解答过程．
【答案】（1）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变 （2）移项没有变号 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤，第一步去分母，依据是不等式的基本性质2；
（2）第三步是移项，移项时注意要变号；
（3）根据第三步移项，第四步把x的系数化为1，解不等式即可，注意不等号方向的变化．
【小问1详解】
解：一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
【小问2详解】
第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号．
故答案为：移项没有变号．
小问3详解】
移项，得：−5x−2x＞−10＋5−6，
合并同类项，得−7x＞−11，
系数化为1，得x＜．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．
18. 已知：如图，是的高，且．求证：是等腰三角形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明再证明可得从而可得结论.
【详解】解： 是的高，





是等腰三角形.
【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握利用等角对等边判定等腰三角形是解题的关键.
19. 如图，的三个顶点都在格点上，且点B的坐标为．
（1）请画出向下平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出绕点按逆时针方向旋转90°后得到的，并写出点的坐标是________．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析，的坐标是
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可，进而可得的点坐标．
【小问1详解】
解：如图1，即为所求．
【小问2详解】
解：如图2，即为所求．
由旋转的性质可得的坐标为．
【点睛】本题考查了作图—平移变换、旋转变换等知识．解题的关键在于熟练掌握平移和旋转的性质．
20. 如图，于E，于F，若．

（1）求证：平分；
（2）写出与之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明详见解析；
（2），理由详见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质：
（1）根据，得出，可得到，即可；
（2）根据证明，可得，进而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴与 均为直角三角形，
∵在 与中，
∵，
∴
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
在 与中，
∵ ，
∴，
∴，
∴．
21. 抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式，小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出，进货成本、平台提成等成本，销售单价如表所示：
设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该团队每天投入总成本不超过元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量．
【答案】（1）；
（2）“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元．
【解析】
【分析】（1）由题意得，−−−−−，整理求解即可；
（2）由题意得，−，解得，，然后根据一次函数的性质求利润的最大值，以及两种水果的进货量即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
∵该团队每天投入总成本不超过元，
∴，
解得：，
∵，，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
则，
∴“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
22. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，点D在等边的边上，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．试猜想与的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题；
（2）实践探究：希望小组受到启发，如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若的延长线经过点E，求的度数．
（3）问题解决：智慧小组突发奇想，如图3，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点F，连接．智慧小组对该图形进行探究，得出结论：．智慧小组的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）智慧小组的结论正确，理由见详解
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，然后可证，进而问题可求解；
（2）由题意易得，则有，然后可证，进而根据全等三角形的性质可进行求解；
（3）同理（2）可得，，过点A分别作，，垂足分别为M、N，然后根据角平分线的判定定理可进行求解．
【小问1详解】
证明：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设与的交点为F，如图，
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴；
【小问3详解】
证明：智慧小组的结论正确，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
过点A分别作，，垂足分别为M、N，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、角平分线的判定定理及旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、角平分线的判定定理及旋转的性质是解题的关键．解答过程
自我检查
解：去分母，得．…第一步
去括号，得．…第二步
移项，得．…第三步
合并同类项，得．…第四步
系数化为1，得．…第五步
第一步正确，其依据是________；
第二步符合去括号法则，也正确；
第三步出错了！
题号
进货成本（元/箱）
平台提成等成本（元/箱）
销售单价（元/箱）
荔枝
36
6
50
龙眼
28
7
41